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(\tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), इसलिए योग (0) होता है। परीक्षा में allied angle sign से उत्तर तुरंत मिलता है। / ( \tan\(\pi-\theta\)=-\tan \theta), so the sum is (0). In exams allied angle sign gives the answer quickly.
\(2\pi-\theta\) चतुर्थ चतुर्थांश में है जहां tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sine और cosine के sign से tangent निकालें। / \(2\pi-\theta\) is in the fourth quadrant where tangent is negative. In exams derive tangent from sine and cosine signs.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है और cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में sign table तुरंत याद करें। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant and cosine is negative. In exams recall the sign table quickly.
\(\pi+\theta\) तृतीय चतुर्थांश में है जहां sine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में allied angle पहचानना जरूरी है। / \( \pi+\theta\) is in the third quadrant where sine is negative. In exams identifying allied angles is important.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है और tangent ऋणात्मक होता है। परीक्षा में tangent के sign पर विशेष ध्यान दें। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant and tangent is negative. In exams pay special attention to the sign of tangent.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में है जहां cosine ऋणात्मक होता है। परीक्षा में चतुर्थांश का चिन्ह जरूर लगाएं। / \( \pi-\theta\) is in the second quadrant where cosine is negative. In exams always apply quadrant sign.
\(\pi-\theta\) द्वितीय चतुर्थांश में आता है और sine धनात्मक रहता है। परीक्षा में allied angle formula याद रखें। / \( \pi-\theta\) lies in the second quadrant and sine remains positive. In exams remember allied angle formulas.
सर्वसमिकाओं \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) तथा \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) का प्रयोग करने पर
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
अतः सही उत्तर \(-\cot x\) है। \(\cot x\) लेने पर हर के ऋण चिह्न की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: \(\pi+x\) वाले कोण में sine का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Using the identities \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) and \(\sin(\pi+x)=-\sin x\),
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
Therefore, the correct answer is \(-\cot x\). Choosing \(\cot x\) would ignore the negative sign in the denominator. Exam tip: for an angle of the form \(\pi+x\), sine has a negative sign.
पहचानें: \(\sin(\pi-x)=\sin x\) तथा \(\cos(\pi+x)=-\cos x\)। अतः \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\)। \(\tan x\) निकटतम विचलक है, पर हर में ऋण चिह्न के कारण वह गलत है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में sin और cos के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi-x)=\sin x\) and \(\cos(\pi+x)=-\cos x\). Therefore, \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\). \(\tan x\) is the closest distractor, but it misses the negative sign from the denominator. Exam tip: For angles involving \(\pi\pm x\), check the sign of each trigonometric function separately.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक है। इसलिए (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x).
\(\frac{3\pi}{2}-x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा है। \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक रहता है। / \(\frac{3\pi}{2}-x\) is related to the third quadrant. \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cos x\) है। / In the form \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) with a negative sign. Hence the answer is \(-\cos x\).
\(2\pi-x\) और \(-x\) सह-अंत कोण हैं, क्योंकि उनके बीच का अंतर \(2\pi\) है। अतः \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\)। स्पर्शज्या एक विषम फलन है, इसलिए \(\tan(-x)=-\tan x\)। \(\cot x\) वाला विकल्प गलत है क्योंकि पूरक कोण लेने पर ही tangent और cotangent का संबंध आता है। परीक्षा टिप: \(\tan(2\pi-x)\) को पहले \(\tan(-x)\) में बदलें। / The angles \(2\pi-x\) and \(-x\) are coterminal because they differ by \(2\pi\). Hence, \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\). Since tangent is an odd function, \(\tan(-x)=-\tan x\). The \(\cot x\) option is incorrect because tangent changes to cotangent for complementary angles, not for this angle. Exam tip: First reduce \(2\pi-x\) to \(-x\).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश में आता है और \(\cos x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\cos\(2\pi-x\)=\cos x)। / \(2\pi-x\) lies in the fourth quadrant and \(\cos x\) remains positive. Hence (\cos\(2\pi-x\)=\cos x).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश से संबंधित है। वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है, इसलिए (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x)। / \(2\pi-x\) is related to the fourth quadrant. There \(\sin x\) is negative, so (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x).
A. \(\sin(\pi-x)=\sin x\), क्योंकि द्वितीय चतुर्थांश में साइन धनात्मक होता है।/\(\sin(\pi-x)=\sin x\), because sine is positive in the second quadrant.
Explanation
Simple Explanation
सही पहचान \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\) है। \(\pi-x\) द्वितीय चतुर्थांश में होता है, जहाँ साइन धनात्मक रहता है। परीक्षा में \(\pi\pm x\) के लिए चतुर्थांश का चिह्न जरूर जाँचें। / Using the subtraction formula, \(\sin(\pi-x)=\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x=0-(-1)\sin x=\sin x\). The angle \(\pi-x\) is in quadrant II, where sine is positive. Exam tip: check the quadrant sign for identities involving \(\pi\pm x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए \(-\sin x\) मिलता है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign. Hence it becomes \(-\sin x\).
\(\frac{\pi}{2}+x\) वाले रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह धनात्मक रहता है। इसलिए उत्तर \(\cos x\) है। / In the form \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) and the sign remains positive. Hence the answer is \(\cos x\).
\(\tan\) का आवर्त \(\pi\) है, इसलिए \(\tan(\pi+x)=\tan x\)। साथ ही, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\)। अतः \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\)। \(-2\tan x\) तब मिलता यदि पदों का क्रम उलटा होता। परीक्षा टिप: \(\tan(\pi-x)\) में ऋण चिह्न अवश्य ध्यान रखें। / The period of \(\tan\) is \(\pi\), so \(\tan(\pi+x)=\tan x\). Also, \(\tan(\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x\). Hence, \(\tan(\pi+x)-\tan(\pi-x)=\tan x-(-\tan x)=2\tan x\). The value \(-2\tan x\) would result if the order of the two terms were reversed. Exam tip: carefully retain the negative sign in \(\tan(\pi-x)\).
पूरक कोण के सूत्रों से \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) तथा \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) होता है। अतः \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\)। \(0\) केवल विशेष मानों, जैसे \(\cos x=0\), के लिए मिल सकता है; यह सामान्य सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में पहले त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) and \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). Hence, \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\). The value \(0\) may occur only for particular values such as when \(\cos x=0\); it is not the general simplified form. Exam tip: For angles of the form \(\pi\pm x\), first check the sign of the trigonometric function.
पूरक कोण सूत्रों के अनुसार \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) तथा \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है। अतः \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\)। \(2\sin x\) तब मिलता है जब दोनों पद \(\sin x\) के समान चिह्न वाले हों, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में चिन्ह निर्धारित करने के लिए कोण का चतुर्थांश अवश्य देखें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) and \(\sin(\pi-x)=\sin x\). Therefore, \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\). The result \(2\sin x\) would occur only if both terms had the same sign, which they do not here. Exam tip: for angles of the form \(\pi\pm x\), determine the sign by identifying the quadrant.
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश में है और वहाँ \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi+x\)=-\cos x)। / \(\pi+x\) is in the third quadrant and \(\cos x\) is negative there. Therefore, (\cos\(\pi+x\)=-\cos x).
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश में आता है और वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\sin\(\pi+x\)=-\sin x)। / \(\pi+x\) lies in the third quadrant and \(\sin x\) is negative there. Hence (\sin\(\pi+x\)=-\sin x).
\(\tan x\) का काल \(\pi\) है, इसलिए (\tan\(\pi+x\)=\tan x)। काल का उपयोग करके उत्तर जल्दी मिलता है। / The period of \(\tan x\) is \(\pi\), so (\tan\(\pi+x\)=\tan x). Using period gives the answer quickly.
सहपूरक कोण के सूत्र के अनुसार \(\cos(\pi-x)=-\cos x\)। क्योंकि \(\pi-x\) का कोज्या, \(x\) के कोज्या के बराबर परंतु विपरीत चिह्न वाला होता है। \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है, इसलिए \(\sin x\) वाला विकल्प इस प्रश्न में सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi-x\) के लिए sine का चिह्न धनात्मक और cosine का चिह्न ऋणात्मक याद रखें। / Using the supplementary-angle identity, \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). The cosine of \(\pi-x\) has the same magnitude as \(\cos x\), but the opposite sign. Note that \(\sin(\pi-x)=\sin x\), so the sine options do not apply here. Exam tip: for \(\pi-x\), remember that sine remains positive while cosine changes sign.
\(\pi-x\) दूसरे चतुर्थांश में होता है और वहाँ \(\sin x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\sin\(\pi-x\)=\sin x)। / \(\pi-x\) lies in the second quadrant and \(\sin x\) remains positive there. Hence (\sin\(\pi-x\)=\sin x).
