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पहचान \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\) का प्रयोग करें। दिया है \(\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\), अतः \(\frac{1}{4}=1-2\sin x\cos x\)। इसलिए \(2\sin x\cos x=\frac{3}{4}\) और \(\sin x\cos x=\frac{3}{8}\) होगा। \(\frac{1}{4}\) केवल दिए गए अंतर का वर्ग है, गुणनफल नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले द्विपद का वर्ग लेकर \(\sin^2x+\cos^2x=1\) लगाएँ। / Use \((\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x\). Since \(\sin x-\cos x=\frac{1}{2}\), we get \(\frac{1}{4}=1-2\sin x\cos x\). Hence \(2\sin x\cos x=\frac{3}{4}\), so \(\sin x\cos x=\frac{3}{8}\). The value \(\frac{1}{4}\) is the square of the given difference, not the product. Exam tip: square the given expression first and then use \(\sin^2x+\cos^2x=1\).
पहचान (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2) का उपयोग करें। इसलिए मान \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\) है। / Use the identity (\(\sin x+\cos x\)2+\(\sin x-\cos x\)2=2). Hence the value is \(2-\frac{36}{25}=\frac{14}{25}\).
दिया है \,\(\tan x+\cot x=5\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\) मिलता है। चूँकि \(\tan x\cot x=1\), इसलिए \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\)। अतः \(\tan^2x+\cot^2x=23\)। विकल्प 25 केवल योग के वर्ग का मान है; उसमें से 2 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\tan x\cot x=1\) का उपयोग करना न भूलें। / Given \(\tan x+\cot x=5\). Squaring both sides gives \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\). Since \(\tan x\cot x=1\), we get \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\). Hence, \(\tan^2x+\cot^2x=23\). Option 25 is only the square of the given sum; the extra 2 must be subtracted. Exam tip: always use \(\tan x\cot x=1\) in such identities.
पहचान \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) से \((\sec x-\tan x)(\sec x+\tan x)=1\) मिलता है। अतः \(\frac{1}{4}(\sec x+\tan x)=1\), इसलिए \(\sec x+\tan x=4\)। विकल्प \(16\) तब आता यदि \(\frac{1}{4}\) का गलत वर्ग किया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) को गुणनखंडों के रूप में लिखें। / Using the identity \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\), we get \((\sec x-\tan x)(\sec x+\tan x)=1\). Hence \(\frac{1}{4}(\sec x+\tan x)=1\), so \(\sec x+\tan x=4\). The option \(16\) may result from incorrectly squaring \(\frac{1}{4}\). Exam tip: rewrite \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\) as a product in such questions.
(\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1) होता है। इसलिए आवश्यक मान \(\frac{1}{6}\) है। / The identity is (\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1). Therefore, the required value is \(\frac{1}{6}\).
अर्ध-कोण पहचान से \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\) होता है। ऐसे रूपों में हर देखकर पहचान करें। / By the half-angle identity, \(\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}\). In such forms, identify the denominator carefully.
मानक अर्ध-कोण रूप \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\) है। \(\tan \frac{x}{2}\) और \(\cot \frac{x}{2}\) के रूप अलग रखें। / The standard half-angle form is \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\). Keep the forms of \(\tan \frac{x}{2}\) and \(\cot \frac{x}{2}\) separate.
A. \(\cos x\) का न्यूनतम मान \(-1\) है, इसलिए \(y\) का न्यूनतम मान \(1\) है।/The minimum value of \(\cos x\) is \(-1\), so the minimum value of \(y\) is \(1\).
Explanation
Simple Explanation
\(\cos x\) का परास \([-1,1]\) होता है। अतः दोनों सिरों में 2 जोड़ने पर \(y\) का परास \([1,3]\) मिलता है; इसलिए न्यूनतम मान 1 है। परीक्षा में स्थिरांक जोड़ने पर परास के दोनों सिरों को उतना ही बदलें। / The range of \(\cos x\) is \([-1,1]\). Adding 2 to both endpoints gives the range \([1,3]\), so the minimum is 1. In exams, when a constant is added, shift both endpoints of the range by that constant.
क्योंकि \(\cos x\) का मान \(-1\) से \(1\) के बीच होता है, इसलिए \(5\cos x\) का न्यूनतम मान \(-5\) होगा। अतः \(2+5\cos x\) का न्यूनतम मान \(2-5=-3\) है, जो \(\cos x=-1\) पर प्राप्त होता है। विकल्प \(7\) अधिकतम मान है, क्योंकि वह \(\cos x=1\) पर मिलता है। परीक्षा टिप: \(a+b\cos x\) में \(b>0\) होने पर न्यूनतम मान \(a-b\) होता है। / Since \(\cos x\) lies between \(-1\) and \(1\), the minimum value of \(5\cos x\) is \(-5\). Hence, the minimum value of \(2+5\cos x\) is \(2-5=-3\), attained when \(\cos x=-1\). Option \(7\) is the maximum value, obtained when \(\cos x=1\). Exam tip: for \(a+b\cos x\) with \(b>0\), the minimum value is \(a-b\).
चूँकि \(\sin 2x\) का मान हमेशा \(-1\) से \(1\) के बीच रहता है, इसलिए \(3\sin 2x\) का परिसर \([-3,3]\) होगा। अब इसमें \(-1\) जोड़ने पर पूरा परिसर 1 इकाई बाईं ओर खिसक जाता है: \([-3-1,\,3-1]=[-4,2]\)। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में केवल 3 से गुणा करने का प्रभाव लिया गया है, \(-1\) का स्थानांतरण नहीं। परीक्षा टिप: \(a\sin(bx)+c\) का परिसर \([c-|a|,\,c+|a|]\) होता है। / Since \(\sin 2x\) always lies between \(-1\) and \(1\), the range of \(3\sin 2x\) is \([-3,3]\). Adding \(-1\) shifts every value down by 1, giving \([-3-1,\,3-1]=[-4,2]\). Hence, option B is correct. Option A accounts only for multiplication by 3 and misses the downward shift by 1. Exam tip: the range of \(a\sin(bx)+c\) is \([c-|a|,\,c+|a|]\).
फलन \(a\cos(bx)+c\) का काल \(\frac{2\pi}{|b|}\) होता है। यहाँ \(b=3\) है, इसलिए काल \(\frac{2\pi}{3}\) है। गुणांक 2 केवल आयाम बदलता है और +4 केवल ग्राफ को ऊपर खिसकाता है; ये काल को नहीं बदलते। \(\frac{\pi}{3}\) आधा काल है, इसलिए यह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin bx\) या \(\cos bx\) में काल ज्ञात करने के लिए \(2\pi\) को \(|b|\) से भाग दें। / For a function of the form \(a\cos(bx)+c\), the period is \(\frac{2\pi}{|b|}\). Here, \(b=3\), so the period is \(\frac{2\pi}{3}\). The coefficient 2 changes only the amplitude, and +4 shifts the graph upward; neither changes the period. \(\frac{\pi}{3}\) is half of the period, so it is not correct. Exam tip: For \(\sin bx\) or \(\cos bx\), divide \(2\pi\) by \(|b|\) to find the period.
\(\tan kx\) का काल \(\frac{\pi}{k}\) होता है। यहाँ (k=2), इसलिए मूल काल \(\frac{\pi}{2}\) है। / The period of \(\tan kx\) is \(\frac{\pi}{k}\). Here (k=2), so the fundamental period is \(\frac{\pi}{2}\).
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक और \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin x=\frac{4}{5}\), इसलिए \(\tan x=-\frac{4}{3}\) है। / In the second quadrant, \(\sin x\) is positive and \(\cos x\) is negative. Since \(\sin x=\frac{4}{5}\), \(\tan x=-\frac{4}{3}\).
तीसरे चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\cos x=-\frac{12}{13}\), इसलिए \(\sec x=-\frac{13}{12}\) है। / In the third quadrant, \(\cos x\) is negative. Since \(\cos x=-\frac{12}{13}\), \(\sec x=-\frac{13}{12}\).
चौथे चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक और \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। (7,24,25) त्रिक से \(\cos x=\frac{7}{25}\) है। / In the fourth quadrant, \(\cos x\) is positive and \(\sin x\) is negative. From the (7,24,25) triple, \(\cos x=\frac{7}{25}\).
\(\cos x=-\frac{8}{17}\) होगा। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin x\) धनात्मक है, इसलिए \(\sin x=\frac{15}{17}\) है। / \(\cos x=-\frac{8}{17}\). In the second quadrant, \(\sin x\) is positive, so \(\sin x=\frac{15}{17}\).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश से संबंधित है। वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है, इसलिए (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x)। / \(2\pi-x\) is related to the fourth quadrant. There \(\sin x\) is negative, so (\sin\(2\pi-x\)=-\sin x).
\(2\pi-x\) चौथे चतुर्थांश में आता है और \(\cos x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\cos\(2\pi-x\)=\cos x)। / \(2\pi-x\) lies in the fourth quadrant and \(\cos x\) remains positive. Hence (\cos\(2\pi-x\)=\cos x).
\(2\pi-x\) और \(-x\) सह-अंत कोण हैं, क्योंकि उनके बीच का अंतर \(2\pi\) है। अतः \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\)। स्पर्शज्या एक विषम फलन है, इसलिए \(\tan(-x)=-\tan x\)। \(\cot x\) वाला विकल्प गलत है क्योंकि पूरक कोण लेने पर ही tangent और cotangent का संबंध आता है। परीक्षा टिप: \(\tan(2\pi-x)\) को पहले \(\tan(-x)\) में बदलें। / The angles \(2\pi-x\) and \(-x\) are coterminal because they differ by \(2\pi\). Hence, \(\tan(2\pi-x)=\tan(-x)\). Since tangent is an odd function, \(\tan(-x)=-\tan x\). The \(\cot x\) option is incorrect because tangent changes to cotangent for complementary angles, not for this angle. Exam tip: First reduce \(2\pi-x\) to \(-x\).
\(\frac{3\pi}{2}+x\) रूप में \(\sin\) बदलकर \(\cos\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cos x\) है। / In the form \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\sin\) changes to \(\cos\) with a negative sign. Hence the answer is \(-\cos x\).
\(\frac{3\pi}{2}-x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा है। \(\cos\) बदलकर \(\sin\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक रहता है। / \(\frac{3\pi}{2}-x\) is related to the third quadrant. \(\cos\) changes to \(\sin\) with a negative sign.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक है। इसलिए (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x).
पहचानें: \(\sin(\pi-x)=\sin x\) तथा \(\cos(\pi+x)=-\cos x\)। अतः \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\)। \(\tan x\) निकटतम विचलक है, पर हर में ऋण चिह्न के कारण वह गलत है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में sin और cos के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi-x)=\sin x\) and \(\cos(\pi+x)=-\cos x\). Therefore, \(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi+x)}=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan x\). \(\tan x\) is the closest distractor, but it misses the negative sign from the denominator. Exam tip: For angles involving \(\pi\pm x\), check the sign of each trigonometric function separately.
सर्वसमिकाओं \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) तथा \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) का प्रयोग करने पर
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
अतः सही उत्तर \(-\cot x\) है। \(\cot x\) लेने पर हर के ऋण चिह्न की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: \(\pi+x\) वाले कोण में sine का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Using the identities \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) and \(\sin(\pi+x)=-\sin x\),
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
Therefore, the correct answer is \(-\cot x\). Choosing \(\cot x\) would ignore the negative sign in the denominator. Exam tip: for an angle of the form \(\pi+x\), sine has a negative sign.
\(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) और \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) होता है। इसलिए अनुपात (1) है। / \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) and \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\). Hence the ratio is (1).
पहचान \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) का प्रयोग करें। अतः \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\)। इसलिए सही उत्तर \(1\) है। \(\sin^2 x\) केवल गुणनखंड है, सरल मान नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\cot^2 x\) दिखते ही \(\cosec^2 x\) वाली पहचान याद करें। / Use the identity \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Thus, \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\). Therefore, the correct answer is \(1\). \(\sin^2 x\) is only a factor, not the simplified value. Exam tip: When you see \(1+\cot^2 x\), recall the \(\cosec^2 x\) identity.
पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) का प्रयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\cos^2 x\sec^2 x\) बनता है। क्योंकि \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), इसलिए इसका मान \(1\) है। \(\sec^2 x\) केवल कोष्ठक वाले भाग का मान है, पूरे व्यंजक का नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\tan^2 x\) दिखते ही इसे \(\sec^2 x\) से बदलें। / Using the identity \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\), the expression becomes \(\cos^2 x\sec^2 x\). Since \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), its value is \(1\). \(\sec^2 x\) is only the value of the bracketed part, not of the complete expression. Exam tip: When you see \(1+\tan^2 x\), replace it with \(\sec^2 x\).
\(\tan^2 x=\frac{1}{4}\) रखें। तब मान \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\) है। / Put \(\tan^2 x=\frac{1}{4}\). Then the value is \(\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}\).
\(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) रखकर सरल करें। मान \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\) है। / Substitute \(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) and simplify. The value is \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\).
पहचान \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\) में \(a=\sin^2 x\) और \(b=\cos^2 x\) रखने पर \(\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), इसलिए मान \(1-2\sin^2 x\cos^2 x\) है। विकल्प A में ऋण चिह्न के स्थान पर गलत रूप से धन चिह्न है। परीक्षा टिप: घात 4 वाले ऐसे पदों को पहले \(\sin^2 x\) और \(\cos^2 x\) का वर्ग मानकर पहचान लगाएँ। / Using \(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\), take \(a=\sin^2 x\) and \(b=\cos^2 x\). Then \(\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the expression equals \(1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Option A incorrectly has a plus sign instead of a minus sign. Exam tip: for fourth powers, treat \(\sin^2 x\) and \(\cos^2 x\) as the two terms before applying an algebraic identity.
पहचान \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\) लगाएँ। \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), इसलिए मान \(\frac{7}{8}\) है। / Use \(\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x\). Since \(\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{16}\), the value is \(\frac{7}{8}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=3\), इसलिए \(\sin x\cos x=1\) मिलता है। फिर \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), इसलिए मान (1) नहीं बल्कि विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=3\), so \(\sin x\cos x=1\). Then \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\), so the value is (1), but none of the options is correct.
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\)। अब \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\)। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), so \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\). Now \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\).
वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) और \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\)। / Squaring gives \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\). Thus \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) and \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\).
क्योंकि \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\) होगा। दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), इसलिए \(\sec x=\frac{5}{3}\)। / Since \(\sec x-\tan x=\frac{1}{3}\). Adding both equations gives \(2\sec x=3+\frac{1}{3}\), so \(\sec x=\frac{5}{3}\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\) मिलेगा। यह \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\sin^2 x}\). This is \(\frac{2}{\cos^2 x}=2\sec^2 x\).
हरों को मिलाने पर \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\) मिलता है। यह \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\) है। / Combining denominators gives \(\frac{2}{1-\cos^2 x}\). This is \(\frac{2}{\sin^2 x}=2\cosec^2 x\).
\(\sec x+\tan x\) के हर और अंश को \(\sec x-\tan x\) से गुणा करें। तब हर \((\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)=\sec^2x-\tan^2x=1\) होगा। इसलिए \(\frac{1}{\sec x+\tan x}=\sec x-\tan x\)। विकल्प C इसका ऋणात्मक मान है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sec^2x-\tan^2x=1\) पहचान का उपयोग ऐसे व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में करें। / Multiply the numerator and denominator by \(\sec x-\tan x\). The denominator becomes \((\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)=\sec^2x-\tan^2x=1\). Hence, \(\frac{1}{\sec x+\tan x}=\sec x-\tan x\). Option C is the negative of the required expression, so it is incorrect. Exam tip: use the identity \(\sec^2x-\tan^2x=1\) for reciprocal expressions of this form.
क्योंकि (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1)। इसलिए आवश्यक व्युत्क्रम \(\cosec x+\cot x\) है। / Since (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1). Hence the required reciprocal is \(\cosec x+\cot x\).
आयाम गुणांक के परिमाण के बराबर होता है। यहाँ \(\sin 4x\) का गुणांक (-2) है, इसलिए आयाम (2) है। / Amplitude equals the absolute value of the coefficient. Here the coefficient of \(\sin 4x\) is (-2), so the amplitude is (2).
\(\cos kx\) का काल \(\frac{2\pi}{k}\) होता है। यहाँ \(k=\frac{1}{2}\), इसलिए काल \(4\pi\) है। / The period of \(\cos kx\) is \(\frac{2\pi}{k}\). Here \(k=\frac{1}{2}\), so the period is \(4\pi\).
B. यह \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), जहाँ \(n\in\mathbb Z\), पर अपरिभाषित है/It is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), where \(n\in\mathbb Z\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है। जब \(\cos x=0\), अर्थात \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\), तब हर शून्य होने से फलन अपरिभाषित है। \(\tan x\) का परास सभी वास्तविक संख्याएँ है। परीक्षा टिप: भिन्न वाले त्रिकोणमितीय फलन में हर को शून्य जाँचें। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), it is undefined wherever \(\cos x=0\), i.e., at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\). Its range is all real numbers, not \([-1,1]\). Exam tip: for a quotient trig function, first check where its denominator becomes zero.
\(\sin(-x)=-\sin x\), इसलिए \(\sin x\) विषम फलन है और इसका मूल आवर्त \(2\pi\) है। \(\tan x\) विषम तो है, पर उसका मूल आवर्त \(\pi\) होता है। परीक्षा में दोनों शर्तों को अलग-अलग जाँचें। / Since \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\sin x\) is an odd function, and its fundamental period is \(2\pi\). Although \(\tan x\) is also odd, its fundamental period is \(\pi\). In exams, verify each condition separately.
क्योंकि (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), इसलिए \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\)। दोनों समीकरण घटाने पर \(\tan x=\frac{21}{20}\) मिलता है। / Since (\(\sec x-\tan x\)\(\sec x+\tan x\)=1), \(\sec x+\tan x=\frac{5}{2}\). Subtracting the two equations gives \(\tan x=\frac{21}{20}\).
अंश को (\sin x\(1-\sin^2 x\)) लिखें। क्योंकि \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), इसलिए मान \(\sin x\) है। / Write the numerator as (\sin x\(1-\sin^2 x\)). Since \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), the value is \(\sin x\).
चूँकि \(0\leq \cos^2 x\leq 1\), इसलिए \(0\leq 4\cos^2 x\leq 4\)। अतः \(2-4\cos^2 x\) का न्यूनतम मान \(-2\) (जब \(\cos^2 x=1\)) और अधिकतम मान \(2\) (जब \(\cos^2 x=0\)) है। इसलिए परिसर \([-2,2]\) है। \([0,2]\) केवल धनात्मक मानों को लेता है, जबकि फलन का मान \(-2\) भी हो सकता है। परीक्षा टिप: \(a+b\cos^2 x\) में पहले \(\cos^2 x\) का परिसर \([0,1]\) लिखकर सिरों पर मान जाँचें। / Since \(0\leq \cos^2 x\leq 1\), we get \(0\leq 4\cos^2 x\leq 4\). Hence, \(2-4\cos^2 x\) has minimum value \(-2\) when \(\cos^2 x=1\), and maximum value \(2\) when \(\cos^2 x=0\). Therefore, its range is \([-2,2]\). The interval \([0,2]\) is incorrect because the function can also take the value \(-2\). Exam tip: for an expression involving \(\cos^2 x\), first use its range \([0,1]\) and then test the endpoint values.
