Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहचान \,\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) का प्रयोग करें। यहाँ \(\cot x=3\), अतः \(\cot^2 x=9\)। इसलिए \(\cosec^2 x=1+9=10\)। विकल्प 9 केवल \(\cot^2 x\) का मान है, \(\cosec^2 x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) पहचान में 1 जोड़ना न भूलें। / Use the identity \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\). Given \(\cot x=3\), we get \(\cot^2 x=9\). Therefore, \(\cosec^2 x=1+9=10\). Option 9 is only the value of \(\cot^2 x\), not of \(\cosec^2 x\). Exam tip: In the identity \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\), do not forget to add 1.
\(\frac{\pi}{2}-\theta\) पर cotangent का co-function tangent होता है। परीक्षा में reciprocal function pair याद रखें। / At \( \frac{\pi}{2}-\theta\), cotangent changes to the co-function tangent. In exams remember reciprocal function pairs.
क्योंकि (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1)। इसलिए आवश्यक व्युत्क्रम \(\cosec x+\cot x\) है। / Since (\(\cosec x-\cot x\)\(\cosec x+\cot x\)=1). Hence the required reciprocal is \(\cosec x+\cot x\).
वर्ग करने पर \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\) मिलता है। इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) और \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\)। / Squaring gives \(1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\). Thus \(\sin x\cos x=\frac{4}{9}\) and \(\tan x+\cot x=\frac{9}{4}\).
वर्ग करने पर \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), इसलिए \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\)। अब \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\)। / Squaring gives \(1+2\sin x\cos x=\frac{49}{25}\), so \(\sin x\cos x=\frac{12}{25}\). Now \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{25}{12}\).
\(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) रखकर सरल करें। मान \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\) है। / Substitute \(\cot^2 x=\frac{9}{4}\) and simplify. The value is \(\frac{\frac{9}{4}-1}{\frac{9}{4}+1}=\frac{5}{13}\).
पहचान \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) का प्रयोग करें। अतः \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\)। इसलिए सही उत्तर \(1\) है। \(\sin^2 x\) केवल गुणनखंड है, सरल मान नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\cot^2 x\) दिखते ही \(\cosec^2 x\) वाली पहचान याद करें। / Use the identity \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Thus, \(\sin^2 x(1+\cot^2 x)=\sin^2 x\cdot\cosec^2 x=\sin^2 x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=1\). Therefore, the correct answer is \(1\). \(\sin^2 x\) is only a factor, not the simplified value. Exam tip: When you see \(1+\cot^2 x\), recall the \(\cosec^2 x\) identity.
\(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) और \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) होता है। इसलिए अनुपात (1) है। / \(\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}\) and \(\sec x\cosec x=\frac{1}{\sin x\cos x}\). Hence the ratio is (1).
सर्वसमिकाओं \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) तथा \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) का प्रयोग करने पर
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
अतः सही उत्तर \(-\cot x\) है। \(\cot x\) लेने पर हर के ऋण चिह्न की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: \(\pi+x\) वाले कोण में sine का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Using the identities \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) and \(\sin(\pi+x)=-\sin x\),
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
Therefore, the correct answer is \(-\cot x\). Choosing \(\cot x\) would ignore the negative sign in the denominator. Exam tip: for an angle of the form \(\pi+x\), sine has a negative sign.
\(\frac{3\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक है। इसलिए (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{3\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{3\pi}{2}+x\)=-\cot x).
मानक अर्ध-कोण रूप \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\) है। \(\tan \frac{x}{2}\) और \(\cot \frac{x}{2}\) के रूप अलग रखें। / The standard half-angle form is \(\cot \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}\). Keep the forms of \(\tan \frac{x}{2}\) and \(\cot \frac{x}{2}\) separate.
(\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1) होता है। इसलिए आवश्यक मान \(\frac{1}{6}\) है। / The identity is (\(\cosec x+\cot x\)\(\cosec x-\cot x\)=1). Therefore, the required value is \(\frac{1}{6}\).
दिया है \,\(\tan x+\cot x=5\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\) मिलता है। चूँकि \(\tan x\cot x=1\), इसलिए \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\)। अतः \(\tan^2x+\cot^2x=23\)। विकल्प 25 केवल योग के वर्ग का मान है; उसमें से 2 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\tan x\cot x=1\) का उपयोग करना न भूलें। / Given \(\tan x+\cot x=5\). Squaring both sides gives \((\tan x+\cot x)^2=\tan^2x+\cot^2x+2\tan x\cot x\). Since \(\tan x\cot x=1\), we get \(25=\tan^2x+\cot^2x+2\). Hence, \(\tan^2x+\cot^2x=23\). Option 25 is only the square of the given sum; the extra 2 must be subtracted. Exam tip: always use \(\tan x\cot x=1\) in such identities.
ऊपर \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) और नीचे \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) है। अनुपात \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\) होता है। / The numerator is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) and the denominator is \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\). Their ratio is \(\frac{\sec^2 x}{\cosec^2 x}=\tan^2 x\).
सर्वसमिका \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) से \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\) मिलता है। दिया है \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), अतः \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\)। इसलिए \(\cosec x+\cot x=3\)। \(\frac{1}{3}\) दिया हुआ व्यंजक है, उसका प्रतिलोम लेने पर 3 प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) पहचानकर दोनों संयुग्म व्यंजकों का गुणनफल लें। / Using the identity \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\), we get \((\cosec x-\cot x)(\cosec x+\cot x)=1\). Given \(\cosec x-\cot x=\frac{1}{3}\), so \(\frac{1}{3}(\cosec x+\cot x)=1\). Therefore, \(\cosec x+\cot x=3\). The value \(\frac{1}{3}\) is the given expression; its reciprocal gives 3. Exam tip: recognise \(\cosec^2 x-\cot^2 x=1\) and multiply the conjugate expressions in such questions.
पाइथागोरसीय त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\) मिलता है। अतः \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), जहाँ व्यंजक परिभाषित है। \(\cot^2 x\) उत्तर नहीं है, क्योंकि यह केवल अंश का सरल रूप है। परीक्षा टिप: \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) को \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) के साथ याद रखें। / Using the Pythagorean trigonometric identity \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), we get \(\cosec^2 x-1=\cot^2 x\). Therefore, \(\frac{\cosec^2 x-1}{\cot^2 x}=\frac{\cot^2 x}{\cot^2 x}=1\), wherever the expression is defined. \(\cot^2 x\) is not the final answer because it is only the simplified numerator. Exam tip: remember \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) alongside \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\).
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\) मिलता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cosec x\) धनात्मक होता है। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(|\cosec x|=\frac{5}{4}\). In the second quadrant, \(\cosec x\) is positive.
\(\frac{\pi}{2}+x\) पर \(\tan\) बदलकर \(\cot\) होता है और चिन्ह ऋणात्मक होता है। इसलिए (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x)। / At \(\frac{\pi}{2}+x\), \(\tan\) changes to \(\cot\) with a negative sign. Hence (\tan\(\frac{\pi}{2}+x\)=-\cot x).
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec x=\frac{17}{15}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक मान लें। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(\cosec x=\frac{17}{15}\). Take the positive value in the first quadrant.
\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर को हमेशा ध्यान से देखें। / \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), so it is undefined when \(\sin x=0\). Always check the denominator carefully.
\(\cot x\) हर \(\pi\) के बाद अपना मान दोहराता है। \(\tan x\) और \(\cot x\) दोनों का काल \(\pi\) है। / \(\cot x\) repeats its value after every \(\pi\). Both \(\tan x\) and \(\cot x\) have period \(\pi\).
\(\frac{\pi}{2}\) के पूरक कोण में \(\tan x\) बदलकर \(\cot x\) हो जाता है। पूरक पहचान याद रखें। / For a complementary angle with \(\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) changes to \(\cot x\). Remember cofunction identities.
क्योंकि \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), अंतर (1) होगा। यह पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से जुड़ी है। / Since \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), the difference is (1). This identity is linked to \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
सह-फलन की भागफल पहचान के अनुसार \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), का सूत्र है; अतः वह \(\cot x\) नहीं है। ध्यान दें कि \(\cot x\) तभी परिभाषित है जब \(\sin x\ne0\) हो। परीक्षा टिप: \(\tan x\) में sin ऊपर और cos नीचे होता है, जबकि \(\cot x\) में क्रम उलटा होता है। / By the quotient identity, \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), so option B is correct. Option A is the formula for \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), not for \(\cot x\). Note that \(\cot x\) is defined only when \(\sin x\ne0\). Exam tip: in \(\tan x\), sine is in the numerator and cosine in the denominator; for \(\cot x\), the order is reversed.
परिभाषा के अनुसार \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) तथा \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)। अतः \(\tan\theta\cdot\cot\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1\), जहाँ दोनों फलन परिभाषित हों। \(0\) केवल कुछ अन्य त्रिकोणमितीय गुणनफलों में आ सकता है, इस गुणनफल में नहीं। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों का गुणनफल सामान्यतः \(1\) होता है। / Using the definitions, \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) and \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\). Therefore, \(\tan\theta\cdot\cot\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1\), wherever both functions are defined. It is not \(0\); tangent and cotangent are reciprocal ratios. Exam tip: the product of reciprocal trigonometric ratios is usually \(1\).
\(\cot \theta\) का काल \(\pi\) होता है। इसलिए (\cot\(\theta+\pi\)) का मान \(\cot \theta\) ही रहता है। / The period of \(\cot \theta\) is \(\pi\). Therefore (\cot\(\theta+\pi\)) remains \(\cot \theta\).
