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\(\sin 3x\) और \(\cos 5x\) के आवर्त क्रमशः \( \frac{2\pi}{3} \) और \( \frac{2\pi}{5} \) हैं, जिनका सामान्य आवर्त \(2\pi\) है। परीक्षा में गुणांकों के लिए आवर्त अलग-अलग निकालें। / The periods of \(\sin 3x\) and \(\cos 5x\) are \( \frac{2\pi}{3} \) and \( \frac{2\pi}{5} \), whose common period is \(2\pi\). In exams, find each period separately first.
क्योंकि \(-1\leq \sin x \leq 1\), इसलिए \(3+2\sin x\) का मान (1) से (5) तक होगा। परीक्षा में पहले मूल फलन का परिसर लिखें। / Since \(-1\leq \sin x \leq 1\), \(3+2\sin x\) ranges from (1) to (5). In exams, write the base range first.
\(\sin x=\cos x\) से \(\tan x=1\) मिलता है, इसलिए \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\) हैं। परीक्षा में दिए गए अंतराल को ध्यान से देखें। / From \(\sin x=\cos x\), we get \(\tan x=1\), so \(x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\). In exams, check the given interval carefully.
\(\cos 2x\) का न्यूनतम मान (-1) है, इसलिए (4+3(-1)=1)। परीक्षा में अधिकतम और न्यूनतम के लिए \(\cos x\) की सीमा याद रखें। / The minimum value of \(\cos 2x\) is (-1), so (4+3(-1)=1). In exams, remember the range of \(\cos x\) for maximum and minimum.
(\(\tan \theta+\cot \theta\)2=\tan-2\theta+\cot-2\theta+2) होता है। इसलिए मान (16-2=14) है। / We use (\(\tan \theta+\cot \theta\)2=\tan-2\theta+\cot-2\theta+2). Hence the value is (16-2=14).
क्योंकि \(\sin 70^\circ=\cos 20^\circ\), इसलिए योग \(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1\) है। परीक्षा में complementary angles पहचानें। / Since \(\sin 70^\circ=\cos 20^\circ\), the sum is \(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1\). In exams, identify complementary angles.
\(\tan\frac{x}{2}\) और \(\cot\frac{x}{2}\) दोनों का आवर्त \(2\pi\) है। परीक्षा में \(\tan ax\) का आवर्त \( \frac{\pi}{|a|} \) लगाएं। / Both \(\tan\frac{x}{2}\) and \(\cot\frac{x}{2}\) have period \(2\pi\). In exams, use the period of \(\tan ax\) as \( \frac{\pi}{|a|} \).
\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) होता है। इसलिए परिसर \( [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \) है। / We have \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\). Hence the range is \( [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \).
दिया है \(f(x)=\sin x\cos x\)। अतः \(f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=(-\sin x)(\cos x)=-\sin x\cos x=-f(x)\)। इसलिए यह विषम फलन है। सम फलन के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin x\) विषम और \(\cos x\) सम होता है; विषम तथा सम फलनों का गुणनफल विषम होता है। / Given \(f(x)=\sin x\cos x\). Therefore, \(f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=(-\sin x)(\cos x)=-\sin x\cos x=-f(x)\). Hence, the function is odd. For an even function, we would need \(f(-x)=f(x)\), which is not true here. Exam tip: \(\sin x\) is odd and \(\cos x\) is even; the product of an odd and an even function is odd.
\(\cos x=\frac{4}{5}\) होगा, इसलिए \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}\)। परीक्षा में चतुर्थांश से चिन्ह तय करें। / We get \(\cos x=\frac{4}{5}\), so \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}\). In exams, decide the sign from the quadrant.
\(\frac{\pi}{2}+x\) के लिए sine, cosine में बदलता है और दूसरे चतुर्थांश में धनात्मक रहता है। इसलिए मान \(\cos x\) है। / For \(\frac{\pi}{2}+x\), sine changes to cosine and remains positive in the second quadrant. Hence the value is \(\cos x\).
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश से जुड़ा रूप है जहाँ \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi+x\)=-\cos x)। / The form \(\pi+x\) is linked to the third quadrant where \(\cos x\) is negative. Hence (\cos\(\pi+x\)=-\cos x).
दिया है \(\tan x=2\), अतः \(\tan^2x=4\)। इसलिए \(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}=\frac{1-4}{1+4}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}\)। \(\frac{3}{5}\) चिह्न की गलती से मिल सकता है, यदि अंश में \(1-4\) को गलत ढंग से धनात्मक लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले \(\tan x\) का वर्ग निकालें, फिर अंश और हर में अलग-अलग मान रखकर सरलीकरण करें। / Given \(\tan x=2\), we get \(\tan^2x=4\). Hence, \(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}=\frac{1-4}{1+4}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}\). The value \(\frac{3}{5}\) results from a sign error in the numerator. Exam tip: square the given trigonometric value first, then substitute carefully in both numerator and denominator.
सूत्र \(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\) लगाएं। यहाँ उत्तर \(2\sin 2x\cos x\) है। / Use \(\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\). Here the answer is \(2\sin 2x\cos x\).
सूत्र \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\) है। इसलिए उत्तर \(-2\sin 3x\sin x\) है। / The formula is \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\). Hence the answer is \(-2\sin 3x\sin x\).
\(|\sin x|\) में ऋणात्मक भाग धनात्मक हो जाता है, इसलिए पैटर्न हर \(\pi\) पर दोहरता है। परीक्षा में modulus से आवर्त घट सकता है। / In \(|\sin x|\), the negative part becomes positive, so the pattern repeats every \(\pi\). In exams, modulus can reduce the period.
क्योंकि (\sin-2\(x+\pi\)=\sin-2 x), इसलिए मूल आवर्त \(\pi\) है। परीक्षा में वर्ग वाले sine और cosine का आवर्त याद रखें। / Since (\sin-2\(x+\pi\)=\sin-2 x), the fundamental period is \(\pi\). In exams, remember the period of squared sine and cosine.
क्योंकि (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1), इसलिए दूसरा गुणक \(\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में reciprocal pair पहचानें। / Since (\(\sec x+\tan x\)\(\sec x-\tan x\)=1), the other factor is \(\frac{1}{3}\). In exams, identify reciprocal pairs.
द्विकोण सूत्रों का प्रयोग करें: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) तथा \(1+\cos 2x=2\cos^2x\)। अतः \(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)। \(\cot x\), \(\tan x\) का व्युत्क्रम है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(\sin 2x\) और \(\cos 2x\) के द्विकोण सूत्र लिखें। / Use the double-angle identities \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) and \(1+\cos 2x=2\cos^2x\). Therefore, \(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\). \(\cot x\) is the reciprocal of \(\tan x\), so it is not correct. Exam tip: first substitute the double-angle identities before cancelling common factors.
पहचानें लगाएँ: \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) तथा \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)। अतः \(\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)। \(\cot x\) इसका व्युत्क्रम होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले अंश और हर में द्विकोणीय सर्वसमिकाएँ लगाएँ। / Use the identities \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) and \(\sin 2x=2\sin x\cos x\). Therefore, \(\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\). \(\cot x\) is the reciprocal of \(\tan x\), so it is not correct. Exam tip: first rewrite both numerator and denominator using double-angle identities.
मूल पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) है। परीक्षा में इसे \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से भी सिद्ध किया जा सकता है। / The basic identity is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\). In exams, it can also be derived from \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
पहचान \,\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) का प्रयोग करें। यहाँ \(\cot x=3\), अतः \(\cot^2 x=9\)। इसलिए \(\cosec^2 x=1+9=10\)। विकल्प 9 केवल \(\cot^2 x\) का मान है, \(\cosec^2 x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\) पहचान में 1 जोड़ना न भूलें। / Use the identity \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\). Given \(\cot x=3\), we get \(\cot^2 x=9\). Therefore, \(\cosec^2 x=1+9=10\). Option 9 is only the value of \(\cot^2 x\), not of \(\cosec^2 x\). Exam tip: In the identity \(1+\cot^2 x=\cosec^2 x\), do not forget to add 1.
यह (\sin\(75^\circ-15^\circ\)) का रूप है। इसलिए मान \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\) है। / This is the form of (\sin\(75^\circ-15^\circ\)). Hence the value is \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
B. यह \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), जहाँ \(n\in\mathbb{Z}\), को छोड़कर सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है।/It is defined for all real \(x\) except \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है, इसलिए जहाँ \(\cos x=0\) होता है वहाँ यह अपरिभाषित है। \(\cos x=0\) के लिए \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\) होता है। परीक्षा में tan के साथ हर \(\cos x\) अवश्य जाँचें। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), it is undefined wherever \(\cos x=0\). This occurs at \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\). Option C excludes zeros of sine, which affect cotangent instead. Exam tip: check the denominator first.
A. \(x=2n\pi+y\) या \(x=(2n+1)\pi-y\), जहाँ \(n\in\mathbb Z\)/\(x=2n\pi+y\) or \(x=(2n+1)\pi-y\), where \(n\in\mathbb Z\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin x=\sin y\) होने पर कोणों के दो सामान्य परिवार मिलते हैं: \(x=2n\pi+y\) तथा \(x=(2n+1)\pi-y\), जहाँ \(n\in\mathbb Z\)। पहला परिवार आवर्तिता से मिलता है, जबकि दूसरे में \(\sin(\pi-y)=\sin y\) का उपयोग होता है। विकल्प B केवल कुछ स्थितियों को दर्शाता है और दूसरा परिवार छोड़ देता है। परीक्षा टिप: \(\sin\) के लिए समान मान वाले कोणों को \(y\) और \(\pi-y\) के रूप में याद रखें। / When \(\sin x=\sin y\), the two general families are \(x=2n\pi+y\) and \(x=(2n+1)\pi-y\), where \(n\in\mathbb Z\). The first follows from periodicity, while the second uses \(\sin(\pi-y)=\sin y\). Option B represents only some cases and misses the second family. Exam tip: for equal sine values, remember the angles \(y\) and \(\pi-y\).
\(\cos x=\cos y\) के लिए कोण \(2n\pi\pm y\) के रूप में आते हैं। परीक्षा में cosine की सम प्रकृति याद रखें। / For \(\cos x=\cos y\), angles are of the form \(2n\pi\pm y\). In exams, remember the even nature of cosine.
निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिकोणमितीय फलन सम फलन है, जिसका न्यूनतम धनात्मक आवर्त
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\(\cos(-2x)=\cos 2x\), इसलिए \(\cos 2x\) सम फलन है। \(2x\) होने से इसका आवर्त \(\pi\) है और मान \([-1,1]\) में रहते हैं। \(\sec 2x\) सम है, पर उसका परास यह नहीं है। परीक्षा में समता के लिए \(f(-x)\) जाँचें। / Since \(\cos(-2x)=\cos 2x\), \(\cos 2x\) is even. Replacing \(x\) by \(x+\pi\) leaves it unchanged, and its range is \([-1,1]\). Although \(\sec 2x\) is even, its range excludes values between \(-1\) and \(1\). Exam tip: test \(f(-x)\) for parity.
\(\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\) और \(\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\) के सूत्र लगाने पर गुणनफल (1) आता है। यह एक उपयोगी standard result है। / Using the formulas for \(\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\) and \(\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\), the product is (1). This is a useful standard result.
समकोण त्रिभुज में लम्ब (7), आधार (24), कर्ण (25) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{7}{25}\)। / In a right triangle, perpendicular is (7), base is (24), and hypotenuse is (25). Hence \(\sin x=\frac{7}{25}\).
\(\cos x\) का आवर्त \(2\pi\) और \(\cos 2x\) का \(\pi\) है। इनका सामान्य मूल आवर्त \(2\pi\) है। / The period of \(\cos x\) is \(2\pi\) and that of \(\cos 2x\) is \(\pi\). Their common fundamental period is \(2\pi\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(-1\leq \sin x\leq 1\) होता है। परीक्षा में sine और cosine का basic range सबसे पहले लगाएं। / For any real (x), \(-1\leq \sin x\leq 1\). In exams, apply the basic range of sine and cosine first.
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है, इसलिए \(\cos x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। अतः \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\)। / Since \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), it is undefined when \(\cos x=0\). Thus \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। अतः \(x=n\pi\)। / Since \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\), it is undefined when \(\sin x=0\). Thus \(x=n\pi\).
\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\) है। अधिकतम \(\sqrt{2}\) तब मिलता है जब \(x=\frac{\pi}{4}\)। / We use \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\). The maximum \(\sqrt{2}\) occurs at \(x=\frac{\pi}{4}\).
दुगुना कोण सूत्र के अनुसार \(2\sin x\cos x=\sin 2x\)। परीक्षा में यह identity बार-बार काम आती है। / By the double angle formula, \(2\sin x\cos x=\sin 2x\). This identity is used frequently in exams.
दुगुना कोण पहचान \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\) है। परीक्षा में \(\cos 2x\) के तीनों रूप याद रखें। / The double angle identity is \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x\). In exams, remember all three forms of \(\cos 2x\).
\(\sec x=1/\cos x\) है, इसलिए \(\cos x=0\) होने पर यह अपरिभाषित है; ये मान \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\) हैं। साथ ही \(|\sec x|\ge1\), इसलिए दिया गया परास मिलता है। \(\csc x\) के लिए निषिद्ध मान \(n\pi\) होते हैं। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम फलनों में हर के शून्य होने वाले कोण पहले जाँचें। / Since \(\sec x=1/\cos x\), it is undefined when \(\cos x=0\), i.e. at \(x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\). Also, \(|\sec x|\ge1\), giving the stated range. For \(\csc x\), the excluded values are \(n\pi\). Exam tip: first locate angles that make the denominator zero in reciprocal functions.
\(\tan ax\) का आवर्त \( \frac{\pi}{|a|} \) होता है। यहाँ (a=3), इसलिए आवर्त \( \frac{\pi}{3} \) है। / The period of \(\tan ax\) is \( \frac{\pi}{|a|} \). Here (a=3), so the period is \( \frac{\pi}{3} \).
\(\cos ax\) का आवर्त \( \frac{2\pi}{|a|} \) होता है। इसलिए \(\cos 4x\) का आवर्त \( \frac{\pi}{2} \) है। / The period of \(\cos ax\) is \( \frac{2\pi}{|a|} \). Hence the period of \(\cos 4x\) is \( \frac{\pi}{2} \).
द्वितीय चतुर्थांश में \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=-\frac{12}{13}\)। / In the second quadrant, \(\cos x\) is negative. From \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=-\frac{12}{13}\).
तृतीय चतुर्थांश में \(\sin x\) और \(\cos x\) दोनों ऋणात्मक होते हैं, पर \(\tan x\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin x=-\frac{4}{5}\)। / In the third quadrant, both \(\sin x\) and \(\cos x\) are negative, while \(\tan x\) is positive. Hence \(\sin x=-\frac{4}{5}\).
त्रिगुण कोण का मानक सूत्र \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\) होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C, विकल्प B का ऋणात्मक रूप है, अर्थात वह \(-\sin 3x\) के बराबर है। विकल्प D कोसाइन के त्रिगुण कोण सूत्र से संबंधित है, साइन के नहीं। परीक्षा टिप: \(\sin 3x\) के सूत्र में \(\sin^3 x\) का गुणांक 4 और उसके पहले ऋण चिह्न याद रखें। / The standard triple-angle identity is \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x\), so option B is correct. Option C is the negative of option B and hence equals \(-\sin 3x\). Option D is related to the triple-angle formula for cosine, not sine. Exam tip: remember that the \(\sin^3 x\) term in \(\sin 3x\) has coefficient 4 and a minus sign.
त्रिगुण कोण सूत्र \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\) है। परीक्षा में इसे \(\sin 3x\) से confuse न करें। / The triple angle formula is \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\). In exams, do not confuse it with \(\sin 3x\).
\(\sin x\) प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक है। इसलिए \(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\)। / \(\sin x\) is positive in the first and second quadrants. Hence \(x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\).
\(\cos x\) द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। इसलिए \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)। / \(\cos x\) is negative in the second and third quadrants. Hence \(x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\).
\(a\sin x+b\cos x\) का अधिकतम मान \(\sqrt{a^2+b^2}\) होता है। इसलिए (\sqrt{52+(-12)2}=13) मिलेगा। / The maximum value of \(a\sin x+b\cos x\) is \(\sqrt{a^2+b^2}\). So (\sqrt{52+(-12)2}=13).
\(\sin 2x\) का आवर्त \(\pi\) और \(\sin 4x\) का आवर्त \(\frac{\pi}{2}\) है। इनका सामान्य मूल आवर्त \(\pi\) है। / The period of \(\sin 2x\) is \(\pi\) and the period of \(\sin 4x\) is \(\frac{\pi}{2}\). Their common fundamental period is \(\pi\).
(\sin x\(1+\sin x\)=0), इसलिए \(\sin x=0\) या \(\sin x=-1\)। दिए गए अंतराल में \(x=0,\pi,\frac{3\pi}{2}\) मिलते हैं। / Since (\sin x\(1+\sin x\)=0), \(\sin x=0\) or \(\sin x=-1\). In the given interval, \(x=0,\pi,\frac{3\pi}{2}\).
चतुर्थ चतुर्थांश में \(\sin \theta\) ऋणात्मक और \(\cos \theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) और \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\)। / In the fourth quadrant, \(\sin \theta\) is negative and \(\cos \theta\) is positive. Hence \(\sin \theta=-\frac{15}{17}\) and \(\tan \theta=-\frac{15}{8}\).
