Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करते हैं। परीक्षा में \(30^\circ\) के गुणकों को जल्दी पहचानें। / Multiply degrees by \( \frac{\pi}{180} \) to convert into radians. In exams identify multiples of \(30^\circ\) quickly.
\(-\frac{7\pi}{6}=-210^\circ\) और \(360^\circ\) जोड़ने पर \(150^\circ\) मिलता है। नकारात्मक कोण में \(360^\circ\) जोड़कर मुख्य कोण खोजें। / \(-\frac{7\pi}{6}=-210^\circ\) and adding \(360^\circ\) gives \(150^\circ\). For a negative angle add \(360^\circ\) to get the principal angle.
सहप्रारंभी कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाए जाते हैं। \(920^\circ-2\times360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ\)। यह धनात्मक है और \(360^\circ\) से छोटा है, इसलिए सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(200^\circ\) है। \(220^\circ\) प्राप्त करने के लिए \(700^\circ\) घटाना पड़ेगा, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / Coterminal angles are obtained by adding or subtracting integral multiples of \(360^\circ\). Here, \(920^\circ-2\times360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ\). Since it is positive and less than \(360^\circ\), \(200^\circ\) is the least positive coterminal angle. \(220^\circ\) would require subtracting \(700^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: reduce a degree measure modulo \(360^\circ\).
\(3150'=52.5^\circ\) और \(52.5^\circ=\frac{7\pi}{24}\) है। पहले मिनट को डिग्री में बदलें। / \(3150'=52.5^\circ\) and \(52.5^\circ=\frac{7\pi}{24}\). Convert minutes into degrees first.
मान लें कि कोण \(x^\circ\) है। इसका पूरक कोण \((90-x)^\circ\) होगा। प्रश्नानुसार \(90-x=x+24\)। अतः \(2x=66\), इसलिए \(x=33\)। इसलिए सही उत्तर \(33^\circ\) है। \(36^\circ\) लेने पर उसका पूरक \(54^\circ\) होगा, जो केवल \(18^\circ\) अधिक है। परीक्षा टिप: पूरक कोणों का योग हमेशा \(90^\circ\) होता है। / Let the angle be \(x^\circ\). Its complement is \((90-x)^\circ\). Given that the complement is \(24^\circ\) greater than the angle, \(90-x=x+24\). Thus, \(2x=66\), so \(x=33\). Therefore, the correct answer is \(33^\circ\). For example, if the angle were \(36^\circ\), its complement would be \(54^\circ\), which is only \(18^\circ\) greater. Exam tip: complementary angles always add up to \(90^\circ\).
यदि कोण (x) है तो \(180^\circ-x=3x\) से \(x=45^\circ\) मिलता है। संपूरक कोणों का योग \(180^\circ\) होता है। / If the angle is (x) then \(180^\circ-x=3x\) gives \(x=45^\circ\). Supplementary angles add to \(180^\circ\).
एक पूर्ण चक्कर \(2\pi\) रेडियन के बराबर होता है। अतः \(2.75=\frac{11}{4}\) चक्करों का कोण \(\frac{11}{4}\times 2\pi=\frac{11\pi}{2}\) रेडियन होगा। \(\frac{9\pi}{2}\) केवल \(2.25\) चक्करों के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चक्करों को रेडियन में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को हमेशा \(2\pi\) से गुणा करें। / One complete revolution equals \(2\pi\) radians. Since \(2.75=\frac{11}{4}\), the angle is \(\frac{11}{4}\times 2\pi=\frac{11\pi}{2}\) radians. Note that \(\frac{9\pi}{2}\) represents only \(2.25\) revolutions, so it is not correct. Exam tip: multiply the number of revolutions by \(2\pi\) to convert revolutions into radians.
केंद्रीय कोण रेडियन में दिया है, इसलिए चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) सीधे लागू होगा। यहाँ \(r=14\) सेमी तथा \(\theta=\frac{3\pi}{7}\) है। अतः \(s=14\times\frac{3\pi}{7}=6\pi\) सेमी। \(7\pi\) सेमी लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें त्रिज्या और कोण का गुणन सही प्रकार से सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(s=r\theta\) में \(\theta\) का रेडियन में होना आवश्यक है। / Since the central angle is given in radians, use the arc-length formula \(s=r\theta\). Here, \(r=14\) cm and \(\theta=\frac{3\pi}{7}\). Thus, \(s=14\times\frac{3\pi}{7}=6\pi\) cm. \(7\pi\) cm would result from incorrect simplification of the product. Exam tip: In \(s=r\theta\), the angle \(\theta\) must be in radians.
त्रिज्यखंड का परिमाप दो त्रिज्याओं और चाप की लंबाई का योग होता है: \(P=2r+r\theta\), जहाँ \(\theta\) रेडियन में है। यहाँ चाप की लंबाई \(10\times\frac{2\pi}{5}=4\pi\) सेमी है। अतः \(P=2(10)+4\pi=20+4\pi\) सेमी। विकल्प C में चाप की लंबाई \(2\pi\) गलत ली गई है। परीक्षा टिप: कोण रेडियन में हो तो चाप की लंबाई सीधे \(r\theta\) से निकालें। / The perimeter of a sector is the sum of its two radii and its arc length: \(P=2r+r\theta\), where \(\theta\) is in radians. Here, the arc length is \(10\times\frac{2\pi}{5}=4\pi\) cm. Therefore, \(P=2(10)+4\pi=20+4\pi\) cm. Option C incorrectly takes the arc length as \(2\pi\). Exam tip: when the angle is in radians, use \(r\theta\) directly for arc length.
(9) चक्कर प्रति मिनट \(=18\pi\) रेडियन प्रति मिनट है। (60) से भाग देने पर \(\frac{3\pi}{10}\) मिलता है। / (9) revolutions per minute equals \(18\pi\) radians per minute. Dividing by (60) gives \(\frac{3\pi}{10}\).
मिनट सुई (60) मिनट में \(2\pi\) घूमती है। (25) मिनट में कोण \(\frac{25}{60}\times2\pi=\frac{5\pi}{6}\) है। / The minute hand turns \(2\pi\) in (60) minutes. In (25) minutes the angle is \(\frac{25}{60}\times2\pi=\frac{5\pi}{6}\).
मिनट सुई \(240^\circ\) पर और घंटे की सुई \(80^\circ\) पर होती है। अंतर \(160^\circ\) है। / The minute hand is at \(240^\circ\) and the hour hand is at \(80^\circ\). The difference is \(160^\circ\).
दिया गया कोण ऋणात्मक है। इसका सह-अंत कोण ज्ञात करने के लिए इसमें 360° के गुणज जोड़ते हैं: \(-850^\circ+3\times360^\circ=230^\circ\)। क्योंकि \(180^\circ<230^\circ<270^\circ\), इसलिए इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। चतुर्थ चतुर्थांश \(270^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाकर चतुर्थांश पहचानें। / The given angle is negative. Add a multiple of 360° to find a coterminal angle: \(-850^\circ+3\times360^\circ=230^\circ\). Since \(180^\circ<230^\circ<270^\circ\), its terminal side lies in the third quadrant. The fourth quadrant contains angles between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Reduce any angle to a value between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) before identifying its quadrant.
\(1280^\circ-1080^\circ=200^\circ\) है। तृतीय चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(200^\circ-180^\circ=20^\circ\) होता है। / \(1280^\circ-1080^\circ=200^\circ\). In the third quadrant the reference angle is \(200^\circ-180^\circ=20^\circ\).
सहप्रारंभी कोणों में \(2\pi\) के पूर्ण गुणज जोड़े जाते हैं। इसलिए रूप \(-\frac{3\pi}{4}+2n\pi\) है। / Coterminal angles are formed by adding integral multiples of \(2\pi\). Hence the form is \(-\frac{3\pi}{4}+2n\pi\).
मानक स्थिति में कोण धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। ऋणात्मक y-अक्ष तक पहुँचने के लिए एक पूर्ण चक्र के तीन-चौथाई भाग का कोण चाहिए: \(270^\circ=\frac{3\pi}{2}\) रेडियन। \(\frac{\pi}{2}\) धनात्मक y-अक्ष और \(\pi\) ऋणात्मक x-अक्ष को दर्शाता है। परीक्षा टिप: अक्षों के मान याद रखें—\(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\)। / In standard position, a positive angle is measured anticlockwise from the positive x-axis. Reaching the negative y-axis requires three-fourths of a full revolution: \(270^\circ=\frac{3\pi}{2}\) radians. \(\frac{\pi}{2}\) represents the positive y-axis, while \(\pi\) represents the negative x-axis. Exam tip: remember the axis angles \(0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\).
\(23^\circ45'=\frac{95}{4}^\circ\) होता है। रेडियन में \(\frac{95}{4}\times\frac{\pi}{180}=\frac{19\pi}{144}\) है। / \(23^\circ45'=\frac{95}{4}^\circ\). In radians it is \(\frac{95}{4}\times\frac{\pi}{180}=\frac{19\pi}{144}\).
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180}{\pi}\) से गुणा करें। \(\frac{17\pi}{12}\times\frac{180}{\pi}=255^\circ\) है। / Multiply radians by \(\frac{180}{\pi}\) to convert into degrees. \(\frac{17\pi}{12}\times\frac{180}{\pi}=255^\circ\).
A. चतुर्थ चतुर्थांश और \(\frac{\pi}{3}\)/Fourth quadrant and \(\frac{\pi}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5\pi}{3}=300^\circ\) होता है जो चतुर्थ चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण \(360^\circ-300^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}\) है। / \(\frac{5\pi}{3}=300^\circ\) which lies in the fourth quadrant. The reference angle is \(360^\circ-300^\circ=60^\circ=\frac{\pi}{3}\).
\(\frac{19\pi}{4}-4\pi=\frac{3\pi}{4}\) है। \(2\pi\) के गुणज घटाकर मुख्य कोण पाएं। / \(\frac{19\pi}{4}-4\pi=\frac{3\pi}{4}\). Subtract multiples of \(2\pi\) to get the principal angle.
संपूरक कोणों का योग \(\pi\) रेडियन होता है। अतः \(x=\pi-\frac{7\pi}{18}=\frac{18\pi-7\pi}{18}=\frac{11\pi}{18}\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। \(\frac{13\pi}{18}\) लेने पर योग \(\frac{20\pi}{18}\) होगा, जो \(\pi\) नहीं है। परीक्षा टिप: रेडियन में संपूरक कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण को \(\pi\) से घटाएँ। / The sum of supplementary angles is \(\pi\) radians. Therefore, \(x=\pi-\frac{7\pi}{18}=\frac{18\pi-7\pi}{18}=\frac{11\pi}{18}\). Hence, option C is correct. If \(\frac{13\pi}{18}\) were chosen, the sum would be \(\frac{20\pi}{18}\), not \(\pi\). Exam tip: In radians, subtract the given angle from \(\pi\) to find its supplementary angle.
रेडियन में पूरक कोणों का योग \(\frac{\pi}{2}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{5}\) है। / In radians complementary angles add to \(\frac{\pi}{2}\). So the answer is \(\frac{\pi}{2}-\frac{2}{5}\).
रेडियन में केंद्रीय कोण के लिए संबंध \(s=r\theta\) होता है। अतः \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{22}{7}\) रेडियन। \(\frac{7}{22}\) लेने पर अनुपात उलटा हो जाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: चाप की लंबाई ज्ञात हो तो रेडियन कोण निकालने के लिए हमेशा \(\theta=\frac{s}{r}\) प्रयोग करें। / For a central angle measured in radians, \(s=r\theta\). Therefore, \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{22}{7}\) radians. \(\frac{7}{22}\) is incorrect because it reverses the required ratio. Exam tip: when arc length is given, use \(\theta=\frac{s}{r}\) directly for the angle in radians.
त्रिज्यखंड क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}r^2\theta\) होता है। इसलिए \(\frac{1}{2}\times36\times\frac{5\pi}{9}=10\pi\) है। / Sector area is \(\frac{1}{2}r^2\theta\). So \(\frac{1}{2}\times36\times\frac{5\pi}{9}=10\pi\).
(1) रेडियन \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\) होता है। अनुमान वाले प्रश्नों में \(\pi\approx3.14\) लें। / (1) radian \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\). In approximation questions use \(\pi\approx3.14\).
चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, अतः \(\theta=\frac{s}{r}\)। यहाँ चाप की लंबाई व्यास के बराबर है, इसलिए \(s=2r\)। अतः \(\theta=\frac{2r}{r}=2\) रेडियन। \(\pi\) रेडियन अर्धवृत्त के लिए होता है, जहाँ चाप की लंबाई \(\pi r\) होती है, न कि \(2r\)। परीक्षा टिप: रेडियन में कोण निकालने के लिए हमेशा \(\theta=\frac{s}{r}\) का प्रयोग करें। / Using the arc-length formula \(s=r\theta\), we get \(\theta=\frac{s}{r}\). Here the arc length equals the diameter, so \(s=2r\). Therefore, \(\theta=\frac{2r}{r}=2\) radians. \(\pi\) radians represents a semicircle, whose arc length is \(\pi r\), not \(2r\). Exam tip: To find an angle in radians, use \(\theta=\frac{s}{r}\).
पहिए के एक पूर्ण चक्कर में चली गई दूरी उसकी परिधि होती है। परिधि \(=2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times35=220\) सेमी। दी गई दूरी भी 220 सेमी है, अतः चक्करों की संख्या \(\frac{220}{220}=1\) होगी। \(\frac{1}{2}\) चक्कर में पहिया केवल 110 सेमी चलेगा। परीक्षा टिप: चक्करों की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल दूरी को पहिए की परिधि से भाग दें। / The distance covered in one complete revolution equals the circumference of the wheel. Its circumference is \(2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times35=220\) cm. Since the given distance is also 220 cm, the number of revolutions is \(\frac{220}{220}=1\). In contrast, \(\frac{1}{2}\) revolution would cover only 110 cm. Exam tip: divide the total distance by the wheel's circumference to find the number of revolutions.
\(54^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{10}\) होता है। डिग्री से रेडियन में जाने पर \(\frac{\pi}{180}\) लगाएं। / \(54^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{10}\). Use \(\frac{\pi}{180}\) when converting degrees to radians.
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्ण गुणज होता है। चूँकि \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), इसलिए \(\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)। अतः छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\frac{7\pi}{6}\) भी धनात्मक है, पर उसका अंतर \(\frac{13\pi}{6}\) से \(\pi\) है, \(2\pi\) का गुणज नहीं। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए \(2\pi\) जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(2\pi\). Since \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), \(\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\). Hence, the smaller positive coterminal angle is \(\frac{\pi}{6}\). Although \(\frac{7\pi}{6}\) is positive, its difference from \(\frac{13\pi}{6}\) is \(\pi\), not a multiple of \(2\pi\). Exam tip: add or subtract \(2\pi\) to reduce an angle to \([0,2\pi)\).
डिग्री में सहप्रारंभी कोण \(360^\circ\) के गुणज जोड़कर मिलते हैं। इसलिए रूप \(110^\circ+360^\circ k\) है। / In degrees coterminal angles are obtained by adding multiples of \(360^\circ\). So the form is \(110^\circ+360^\circ k\).
\(\frac{\pi}{9}\times\frac{180^\circ}{\pi}=20^\circ\) है। रेडियन से डिग्री में जाने पर \(\frac{180}{\pi}\) से गुणा करें। / \(\frac{\pi}{9}\times\frac{180^\circ}{\pi}=20^\circ\). Multiply by \(\frac{180}{\pi}\) to convert radians into degrees.
\(72^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{5}\) होता है। सरलीकरण में (72) और (180) को (36) से भाग दें। / \(72^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{5}\). Divide (72) and (180) by (36) while simplifying.
\(\theta=\frac{s}{r}=\frac{8\pi}{16}=\frac{\pi}{2}\) है। चाप लंबाई सूत्र को उल्टा लगाएं। / \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{8\pi}{16}=\frac{\pi}{2}\). Apply the arc length formula in reverse.
\(\frac{1}{2}r^2\theta=45\pi\) रखें। \(\frac{81}{2}\theta=45\pi\) से \(\theta=\frac{10\pi}{9}\) मिलता है। / Put \(\frac{1}{2}r^2\theta=45\pi\). From \(\frac{81}{2}\theta=45\pi\) we get \(\theta=\frac{10\pi}{9}\).
घंटे की सुई (1) घंटे में \(30^\circ\) घूमती है। \(\frac{10}{3}\) घंटे में कोण \(100^\circ\) होगा। / The hour hand turns \(30^\circ\) in (1) hour. In \(\frac{10}{3}\) hours the angle is \(100^\circ\).
(60) मिनट में \(2\pi\) रेडियन घूमती है। (7.5) मिनट में \(\frac{7.5}{60}\times2\pi=\frac{\pi}{4}\) है। / It turns \(2\pi\) radians in (60) minutes. In (7.5) minutes it turns \(\frac{7.5}{60}\times2\pi=\frac{\pi}{4}\).
\(-\frac{23\pi}{6}+4\pi=\frac{\pi}{6}\) है। नकारात्मक रेडियन कोण में \(2\pi\) के गुणज जोड़ें। / \(-\frac{23\pi}{6}+4\pi=\frac{\pi}{6}\). Add multiples of \(2\pi\) to a negative radian angle.
\(\frac{11\pi}{10}\) तृतीय चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण \(\frac{11\pi}{10}-\pi=\frac{\pi}{10}\) है। / \(\frac{11\pi}{10}\) lies in the third quadrant. The reference angle is \(\frac{11\pi}{10}-\pi=\frac{\pi}{10}\).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनके मापों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), इसलिए A सही है। B में अंतर केवल \(90^\circ\) है। परीक्षा में कोणों का अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal arms, and their measures differ by a whole multiple of \(360^\circ\). Here, \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), so A is correct. In B, the difference is only \(90^\circ\). Exam tip: check the difference first.
\(12^\circ30'=12.5^\circ=\frac{25}{2}^\circ\) होता है। रेडियन में \(\frac{25}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{72}\) है। / \(12^\circ30'=12.5^\circ=\frac{25}{2}^\circ\). In radians it is \(\frac{25}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{72}\).
एक पूर्ण चक्कर का कोण \(2\pi\) रेडियन होता है। अतः चक्करों की संख्या \(\frac{7\pi}{2}\div 2\pi=\frac{7}{4}\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(\frac{7}{4}\) चक्कर है। \(\frac{3}{2}\) चक्कर केवल \(3\pi\) रेडियन के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रेडियन को चक्करों में बदलने के लिए कोण को हमेशा \(2\pi\) से भाग दें। / One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Therefore, the number of revolutions is \(\frac{7\pi}{2}\div 2\pi=\frac{7}{4}\). Hence, the correct answer is \(\frac{7}{4}\) revolutions. \(\frac{3}{2}\) revolutions equals only \(3\pi\) radians, so it is not correct. Exam tip: To convert radians into revolutions, divide the angle by \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों में \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर भुजा की अंतिम स्थिति नहीं बदलती। अतः \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), और \(45^\circ\) दिए गए अंतराल \(0^\circ\le\theta<360^\circ\) में है। \(30^\circ\) निकट मान हो सकता है, पर वह \(-315^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज का अंतर नहीं रखता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को इसी अंतराल में लाने के लिए पहले \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles have the same terminal side, so they differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), and \(45^\circ\) lies in the required interval \(0^\circ\le\theta<360^\circ\). Although \(30^\circ\) is nearby, it does not differ from \(-315^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: to express a negative angle in this interval, first add \(360^\circ\).
(4) रेडियन \(=4\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx229.2^\circ\) है। अनुमान में \(\pi\approx3.14\) रखें। / (4) radians \(=4\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx229.2^\circ\). Use \(\pi\approx3.14\) for approximation.
समान चाप लंबाई के लिए \(\theta\) त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है। त्रिज्या दुगुनी होने पर कोण आधा होकर \(\frac{3\pi}{10}\) होगा। / For the same arc length \(\theta\) is inversely proportional to radius. When radius doubles the angle becomes half as \(\frac{3\pi}{10}\).
एक पूर्ण चक्कर का कोण \(2\pi\) रेडियन होता है। अतः उसके \(\frac{3}{8}\) भाग का माप \(\frac{3}{8}\times 2\pi=\frac{3\pi}{4}\) रेडियन होगा। \(\frac{\pi}{2}\) पूर्ण चक्कर के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चक्कर के किसी भिन्न भाग को रेडियन में बदलने के लिए उस भिन्न को \(2\pi\) से गुणा करें। / One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Therefore, \(\frac{3}{8}\) of a revolution is \(\frac{3}{8}\times 2\pi=\frac{3\pi}{4}\) radians. \(\frac{\pi}{2}\) represents only \(\frac{1}{4}\) of a revolution, so it is not correct. Exam tip: To convert a fractional revolution into radians, multiply the fraction by \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(1490^\circ\) में से \(360^\circ\) का सबसे बड़ा उपयुक्त गुणज \(1440^\circ=4\times360^\circ\) घटाने पर \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\) मिलता है। अतः सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(50^\circ\) है। \(40^\circ\) निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(1490^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज से भिन्न नहीं है। परीक्षा टिप: किसी कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर प्राप्त धनात्मक शेषफल लें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Subtract the greatest suitable multiple of \(360^\circ\): \(1440^\circ=4\times360^\circ\). Thus, \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\). Therefore, the least positive coterminal angle is \(50^\circ\). Although \(40^\circ\) is a close distractor, it does not differ from \(1490^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and take the positive remainder.
तृतीय चतुर्थांश में कोण \(\pi+\) संदर्भ कोण होता है। इसलिए \(\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}\) है। / In the third quadrant the angle is \(\pi+\) reference angle. Hence \(\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}\).
A. \(45^\circ\) और \(405^\circ\)/\(45^\circ\) and \(405^\circ\)
Explanation
Simple Explanation
\(405^\circ-45^\circ=360^\circ\) है इसलिए दोनों सहप्रारंभी हैं। अंतर \(360^\circ\) का गुणज होना चाहिए। / \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\) so they are coterminal. The difference must be a multiple of \(360^\circ\).
A. जब चाप लंबाई त्रिज्या के बराबर हो/When arc length equals radius
Explanation
Simple Explanation
(1) रेडियन तब बनता है जब \(s=r\) हो। परिभाषा आधारित प्रश्नों में \(s=r\theta\) को याद रखें. / (1) radian is formed when \(s=r\). For definition based questions remember \(s=r\theta\).
चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। \(40^\circ=40\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\) रेडियन। अतः \(s=63\times\frac{2\pi}{9}=14\pi\) m। इसलिए सही उत्तर \(14\pi\) m है। \(16\pi\) m जैसी निकटतम भ्रामक राशि गलत कोण-परिवर्तन या गुणा के कारण आ सकती है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के सूत्र में कोण को हमेशा पहले रेडियन में बदलें। / The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be in radians. \(40^\circ=40\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\) radians. Therefore, \(s=63\times\frac{2\pi}{9}=14\pi\) m. Hence, \(14\pi\) m is correct. A nearby distractor such as \(16\pi\) m can result from an incorrect degree-to-radian conversion or multiplication. Exam tip: always convert the angle to radians before applying the arc-length formula.
