trigonometric simplification MCQ Questions for Class 11
trigonometric simplification se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहचानें लगाएँ: \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) तथा \(\sin 2x=2\sin x\cos x\)। अतः \(\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)। \(\cot x\) इसका व्युत्क्रम होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले अंश और हर में द्विकोणीय सर्वसमिकाएँ लगाएँ। / Use the identities \(1-\cos 2x=2\sin^2x\) and \(\sin 2x=2\sin x\cos x\). Therefore, \(\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\). \(\cot x\) is the reciprocal of \(\tan x\), so it is not correct. Exam tip: first rewrite both numerator and denominator using double-angle identities.
द्विकोण सूत्रों का प्रयोग करें: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) तथा \(1+\cos 2x=2\cos^2x\)। अतः \(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\)। \(\cot x\), \(\tan x\) का व्युत्क्रम है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(\sin 2x\) और \(\cos 2x\) के द्विकोण सूत्र लिखें। / Use the double-angle identities \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) and \(1+\cos 2x=2\cos^2x\). Therefore, \(\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\). \(\cot x\) is the reciprocal of \(\tan x\), so it is not correct. Exam tip: first substitute the double-angle identities before cancelling common factors.
पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) का प्रयोग करने पर दिया गया व्यंजक \(\cos^2 x\sec^2 x\) बनता है। क्योंकि \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), इसलिए इसका मान \(1\) है। \(\sec^2 x\) केवल कोष्ठक वाले भाग का मान है, पूरे व्यंजक का नहीं। परीक्षा टिप: \(1+\tan^2 x\) दिखते ही इसे \(\sec^2 x\) से बदलें। / Using the identity \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\), the expression becomes \(\cos^2 x\sec^2 x\). Since \(\sec^2 x=1/\cos^2 x\), its value is \(1\). \(\sec^2 x\) is only the value of the bracketed part, not of the complete expression. Exam tip: When you see \(1+\tan^2 x\), replace it with \(\sec^2 x\).
सर्वसमिकाओं \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) तथा \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) का प्रयोग करने पर
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
अतः सही उत्तर \(-\cot x\) है। \(\cot x\) लेने पर हर के ऋण चिह्न की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: \(\pi+x\) वाले कोण में sine का चिह्न ऋणात्मक होता है। / Using the identities \(\cos(2\pi-x)=\cos x\) and \(\sin(\pi+x)=-\sin x\),
\[\frac{\cos(2\pi-x)}{\sin(\pi+x)}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\cot x.\]
Therefore, the correct answer is \(-\cot x\). Choosing \(\cot x\) would ignore the negative sign in the denominator. Exam tip: for an angle of the form \(\pi+x\), sine has a negative sign.
अंतर के वर्गों के सूत्र से \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\)। अब \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), इसलिए सरल मान \(\sin^2 x-\cos^2 x\) है। विकल्प B इसका ऋणात्मक रूप है, इसलिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने के बाद मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें। / Using the difference of squares, \(\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)\). Since \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the simplified value is \(\sin^2 x-\cos^2 x\). Option B is its negative, so it is not correct. Exam tip: after applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), use the fundamental trigonometric identity.
पूरक कोण के सूत्रों से \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) तथा \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) होता है। अतः \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\)। \(0\) केवल विशेष मानों, जैसे \(\cos x=0\), के लिए मिल सकता है; यह सामान्य सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में पहले त्रिकोणमितीय फलन का चिह्न जाँचें। / Using allied-angle identities, \(\cos(\pi+x)=-\cos x\) and \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). Hence, \(\cos(\pi+x)+\cos(\pi-x)=-\cos x-\cos x=-2\cos x\). The value \(0\) may occur only for particular values such as when \(\cos x=0\); it is not the general simplified form. Exam tip: For angles of the form \(\pi\pm x\), first check the sign of the trigonometric function.
पूरक कोण सूत्रों के अनुसार \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) तथा \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है। अतः \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\)। \(2\sin x\) तब मिलता है जब दोनों पद \(\sin x\) के समान चिह्न वाले हों, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi\pm x\) वाले कोणों में चिन्ह निर्धारित करने के लिए कोण का चतुर्थांश अवश्य देखें। / Using allied-angle identities, \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) and \(\sin(\pi-x)=\sin x\). Therefore, \(\sin(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\sin x+\sin x=0\). The result \(2\sin x\) would occur only if both terms had the same sign, which they do not here. Exam tip: for angles of the form \(\pi\pm x\), determine the sign by identifying the quadrant.
