Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
कटान बिंदुओं के पहले निर्देशांक शून्यक होते हैं। टिप: दूसरे निर्देशांक को (0) देखकर बिंदु चुनें। / The first coordinates of intersection points are the zeroes. Tip: choose points whose second coordinate is (0).
दो शून्यकों के बीच का मध्य मान उनके औसत के बराबर होता है। इसलिए मध्य मान होगा \(\frac{-4+6}{2}=1\)। जियोमेट्रिक अर्थ: परवलय की समाक्ष (axis of symmetry) दोनों शून्यकों के मध्य से होकर गुज़रती है, और क्वाड्रैटिक के लिए यह मध्य मान \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) के बराबर होता है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 5 अधिक निकट लगता है क्योंकि यह दूसरे शून्यक 6 के पास है, परंतु यह औसत नहीं है। परीक्षा टिप: यदि परवलय का समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो शून्यकों का मध्य मान \(-\tfrac{b}{2a}\) से शीघ्र पाया जा सकता है। / The midpoint of two zeroes is their average. So midpoint = \(\frac{-4+6}{2}=1\). Geometric meaning: the parabola's axis of symmetry passes through the midpoint of its roots, and for a quadratic the midpoint equals \(\frac{\alpha+\beta}{2}\). Note on distractors: 5 is close to the root 6 but is not the average; 0 and -2 are averages for other pairs, not for -4 and 6. Exam tip: for a quadratic \(ax^2+bx+c\), the midpoint of the roots equals \(-\tfrac{b}{2a}\), useful to compute quickly.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
किसी बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जहाँ उसका आलेख x-अक्ष से मिलता है। \( (2,0) \) और \( (5,0) \) पर मिलने का अर्थ है दो अलग x-मूल्य: 2 और 5। ध्यान दें कि "स्पर्श" होने पर उस स्थान पर बहुपद की शून्यक की गुणात्मक बहुलकता सम (even) हो सकती है और "काटने" पर बहुलकता विषम (odd) हो सकती है — पर यह गुणात्मक बहुलकता अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या बदलती नहीं है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक = 2। टिप: परीक्षा में केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; गुणात्मक बहुलकता केवल आलेख का व्यवहार बताती है। / Distinct real zeros are the distinct x-values where the graph meets the x-axis. Here the graph meets at x=2 (touching) and x=5 (crossing), so there are two distinct zeros: 2 and 5. "Touching" usually indicates an even multiplicity and "crossing" an odd multiplicity, but multiplicity affects behavior, not the count of distinct zeros. Thus the answer is two. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the axis; multiplicity matters only for the shape at each root.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
A. आलेख \((0,-3)\) से गुजरता है/The graph passes through \((0,-3)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p(0)=-3\), तो बहुपद का y-अक्ष पर छेदन बिंदु \((0,p(0))\) होता है, अतः आलेख निश्चित रूप से \((0,-3)\) से गुजरेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) तभी शून्यक होगा जब \(p(0)=0\), परन्तु यहां \(p(0)\neq0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि x-अक्ष पर छेदन पॉइंट उस x पर होता है जहाँ \(p(x)=0\); हमें \(p(-3)\) का मान नहीं दिया गया। विकल्प D भी सिद्ध नहीं किया जा सकता—बहुपद के शून्यक अन्य x‑मूल्यों पर हो सकते हैं। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु \(x=a\) के लिए \(p(a)\) देखकर तय करें कि वह शून्यक है (\(p(a)=0\)) या y‑intercept (\(p(a)\neq0\))। / Given \(p(0)=-3\), the y-intercept of the polynomial is \((0,p(0))\), so the graph passes through \((0,-3)\). Option B is wrong because \(x=0\) would be a zero only if \(p(0)=0\), which is not the case. Option C is incorrect since the x-axis is crossed at values where \(p(x)=0\); we are not given \(p(-3)\). Option D cannot be concluded — the polynomial may have zeros at other x-values. Exam tip: evaluate \(p(a)\); if \(p(a)=0\) then x=a is a root, otherwise it gives the y-intercept value at x=a.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
\(x^2-2x\) को गुणा करके लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)\). जब किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा, अतः \(x=0\) या \(x=2\). विकल्प B गलत है क्योंकि \(p(1)=1-2=-1\) शून्य नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(-2)=4+4=8\) शून्य नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(x=0\) को अनदेखा करता है। टिप: x-अक्ष पर कटने के लिए \(p(x)=0\) लिखकर बहुपद को फैक्टर करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)\). The x-intercepts satisfy \(p(x)=0\), so \(x=0\) or \(x=2\). Option B is incorrect because \(p(1)=1-2=-1\) (not zero); option C is incorrect because \(p(-2)=4+4=8\) (not zero); option D is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common term to find zeros quickly.
x-अक्ष पर कटान के बिंदु ही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यकों का योग सीधे उन x-मूल्यों को जोड़कर मिलता है: \(-2+1+5=4\)। विकल्प A (8) तब गलत होगा जब कोई अभ्यर्थी मात्र मानों के परिमाण जोड़ दे (\(|-2|+|1|+|5|=8\)), जो सही नहीं है क्योंकि संकेत (-) महत्वपूर्ण है। परीक्षा-सुझाव: जोड़ते समय हर शून्य का संकेत ध्यान से लें; सिर्फ x-मूल्यों को जोड़ें, y-संयोजन को नहीं। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial, so sum the x-values: \(-2+1+5=4\). Option A (8) is incorrect—someone might have added absolute values (2+1+5=8), which ignores the negative sign. Exam tip: always keep the signs of the zeros while summing; only use the x-coordinates of intercepts.
बहुलक के शून्य वे x‑मान हैं जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता/छूता है, यानी y = 0। दिए गए बिंदुओं में केवल (−3, 0) और (8, 0) की दूसरी निर्देशांक शून्य है, इसलिए वही शून्यक दिखाते हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि (0,4) का y = 4 ≠ 0; विकल्प A और D भी गैर‑शून्य y वाले बिंदु शामिल करते हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को चुनते समय उसका दूसरा निर्देशांक (y) अवश्य देखें — y = 0 होना चाहिए। / Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis, i.e. y = 0. From the given points only (−3, 0) and (8, 0) have y = 0, so they are the zeros. Option C is incorrect because (0, 4) has y = 4 ≠ 0; options A and D include points with nonzero y. Exam tip: always check the second coordinate — zeros occur where y = 0 (x‑intercepts).
शुन्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को छेदता है, अर्थात् \(y=0\)। गणना: \(4x+12=0\) से \(4x=-12\) और इसलिए \(x=-3\)। विकल्प B (3) आम गलती है — साइन उल्टा लेना; विकल्प D (−12) तब होगा जब कोई \(4x= -144\) जैसा गलत रूप बनाये। परीक्षकीय टिप: शून्यक पाने के लिए सीधे \(y=0\) रखें और हल करें; हल करने के बाद परिक्षण के लिए मूल मान पर पुनः_SUBSTITUTE करके देखें कि \(y=0\) आता है। / The zero (root) is the x-value where the graph crosses the x-axis, so set \(y=0\). Solve: \(4x+12=0\) gives \(4x=-12\) and \(x=-3\). Option B (3) is a common sign mistake — the correct solution is negative. Option D (−12) is incorrect and results from a wrong manipulation of the equation. Exam tip: always set \(y=0\) to find the root and substitute back to verify that \(y=0\) is obtained.
A. x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा/It will touch the x-axis at \(x=6\)
Explanation
Simple Explanation
यह बहुपद \(p(x)=(x-6)^2\) में शून्यक \(x=6\) की गुणाभाज्यता (multiplicity) 2 है — यानी वही शून्य दोहरा है। गुणाभाज्यता जोड़ी (even) होने पर ग्राफ आमतौर पर x-अक्ष को स्पर्श करता है और उससे पार नहीं होता (bounce)। इसलिए ग्राफ x-अक्ष को \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। निकट विकल्पों का तर्क: C गलत है क्योंकि केवल एक ही शून्य है (दोहरा), B गलत है क्योंकि शून्य \(-6\) नहीं है, D गलत है क्योंकि \(x=6\) पर बहुपद शून्य देता है। परीक्षा टिप: शून्यक की multiplicity की parity देखें — सम multiplicity पर स्पर्श, विषम पर काटना। / The polynomial \(p(x)=(x-6)^2\) has the zero \(x=6\) with multiplicity 2 (a repeated root). When the multiplicity is even the graph touches the x-axis at that root and does not cross (it bounces). Hence the graph touches the x-axis at \(x=6\). Why others are wrong: C is incorrect because there is only one (repeated) root, B is wrong because the root is not \(-6\), D is wrong because the polynomial is zero at \(x=6\) so it does meet the axis. Exam tip: determine parity of the root's multiplicity — even means touch, odd means cross.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होना चाहिए। टिप: शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of zeroes cannot exceed the degree.
B. आलेख (0,5) से गुजरता है/The graph passes through (0,5)
Explanation
Simple Explanation
यदि आलेख (0,5) से गुजरता है तो उस बिंदु पर y का मान 5 है, यानी
\(p(0)=5\). चूँकि शून्यक का अर्थ होता है कि उस x-मूल्य के लिए y=0 हो, यहाँ \(y\neq0\) है इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। नज़दीकी विकर्शक गलत क्यों है: आलेख का (0,0) से गुजरना या \(p(0)=0\) लिखना स्पष्ट रूप से यह दर्शाते हैं कि \(p(0)=0\), अतः वहां \(x=0\) शून्यक होगा। परीक्षा-सूत्र: y-अक्ष पर बिंदु (0,k) में k=0 तब ही हो तो x=0 शून्यक है — अन्यथा नहीं। / If the graph passes through (0,5) then the y-value at x=0 is 5, i.e. \(p(0)=5\). A zero at x=0 requires the value to be 0, so here \(x=0\) is not a zero because \(y\neq0\). Why the nearest distractor is wrong: passing through (0,0) or stating \(p(0)=0\) explicitly means \(p(0)=0\), so in those cases x=0 would be a zero. Exam tip: check the y-value at x=0 — if it is 0 then x=0 is a root, otherwise it is not.
यदि \(p(a)=0\), तो \(x=a\) पर फलन का मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होता है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर क्रमशः बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ग्राफ पर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह x‑समन्वय 0 मानकर y‑मूल्यों को पहले और दूसरे समन्वय के स्थान पर उल्टा डालता है; विकल्प C और D दोनों में समन्वय और मान बदल दिए गए हैं और इसलिए गलत हैं. टिप: शॉर्ट‑हैंड में याद रखें — शून्य देने वाला x‑मान पहले समन्वय में और शून्य हमेशा y‑समन्वय होता है। / If \(p(a)=0\), then at \(x=a\) the function value is zero, so the graph contains the point \((a,0)\). Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the corresponding points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Option B is the closest distractor: it mistakenly treats the zeros as y‑coordinates at \(x=0\). Options C and D swap or pair coordinates incorrectly, so they are not points where the polynomial equals zero. Exam tip: the x‑value that makes the polynomial zero is the first coordinate; the y‑coordinate is 0.
B. केवल एक अलग शून्यक (दोहराया हुआ)/Only one distinct zero (repeated)
Explanation
Simple Explanation
इस बहुपद को वर्ग पूर्ण के रूप में पहचानें: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)। इसलिए शून्यक केवल \(x=-2\) है, पर इसका गुणकता (multiplicity) 2 है — दूसरे शब्दों में एक ही प्रतिवर्ती (repeated) शून्यक। डिस्क्रिमिनेंट द्वारा भी जाँच की जा सकती है: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), जिससे एक ही (दोहराया) वास्तविक शून्यक मिलता है। परीक्षा टिप: द्विघात बहुपद में \(\Delta=0\) होने पर एक ही वास्तविक शून्यक (repeated root) होता है; पूर्ण वर्ग वाले रूप को तुरंत पहचानना तेज़ है। / Recognize the perfect square: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Thus the only root is \(x=-2\), but it has multiplicity 2 — a single distinct (repeated) root. You can also use the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), which implies one real repeated root. Exam tip: for quadratics, \(\Delta=0\) means one distinct root; spotting perfect-square trinomials is faster in exams.
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु का x-समन्वय शून्यक होता है। यहाँ प्रतिच्छेदन बिंदु (-5, 0) है, इसलिए शून्यक -5 है। "पार करना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणांक विषम (आम तौर पर 1) है। विकल्प A गलत है क्योंकि संकेत नकारात्मक है; विकल्प C गलत है क्योंकि 0 y-मान है न कि x-मान; विकल्प D गलत है क्योंकि कोई अन्य विकल्प सही नहीं है। परीक्षा सुझाव: x-अक्ष पर बने बिंदु का x-मान ही शून्य बताता है — चिह्न बदलने से बचें। / The x-coordinate of an x-axis intersection is the zero. Since the intersection is at (-5, 0), the real zero is -5. The fact that the curve crosses there indicates an odd multiplicity (typically 1). Option A is wrong because it ignores the negative sign; C confuses the y-value (0) with the x-value; D is incorrect because a valid zero is given. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept and keep its sign unchanged.
दूरी दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांकों का परास मान (absolute difference) है: \,|10-2|=8। इसलिए सही उत्तर 8 है। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि कुछ विद्यार्थी बिंदुओं को जोड़कर (10+2) ग़लत रूप से 12 लेते हैं, जबकि दूरी के लिए घटाव का परास लेते हैं। परीक्षा-टिप: दो x-अक्ष कटानों की दूरी निकालने के लिए हमेशा \,|x2-x1| का प्रयोग करें। / Distance on the number line is the absolute difference of the x-coordinates: \,|10-2|=8. Hence 8 is correct. Option B (12) is incorrect — it comes from wrongly adding the coordinates (10+2) instead of taking their difference. Exam tip: use \,|x2-x1| to find distance between two x-intercepts quickly.
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeros
Explanation
Simple Explanation
यदि हम \(p(x)=3(x+4)(x-2)\) के शून्य खोजें तो शून्य वही होंगे जहाँ \((x+4)(x-2)=0\), अर्थात् \(x=-4\) और \(x=2\)। गैर-शून्य स्थिर गुणक (यहाँ \(3\)) को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर समीकरण \(p(x)=0\) के हल नहीं बदलते। इसलिए शून्यकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। निकटतम भ्रम (विकल्प A): स्थिर गुणक केवल फलन के मानों को स्केल करता है, शून्यकारकों को नहीं। परीक्षा टिप: शून्य जानने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और कारकों को शून्य के बराबर मानें। / Zeros are solutions of \(p(x)=0\). For \(p(x)=3(x+4)(x-2)\), setting \(p(x)=0\) gives \((x+4)(x-2)=0\), so zeros are \(x=-4\) and \(x=2\). A nonzero constant multiplier (3) scales the polynomial values but does not change where it becomes zero. Why A is wrong: multiplying the polynomial by 3 does not multiply the roots. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve the factor equation to find zeros quickly.
A. यह (x=1) पर स्पर्श करेगा/It will touch at (x=1)
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय वहाँ स्पर्श करता है। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो स्पर्श की जाँच करें। / The vertex is on the (x)-axis, so the parabola touches there. Tip: if the vertex has (y=0), check for touching.
B. बीच में कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा/There is at least one x-axis intersection between them
Explanation
Simple Explanation
सही कारण: \(p(-1)>0\) से \(x=-1\) पर बहुपद का मान धन है और \(p(4)<0\) से \(x=4\) पर मान ऋण है। किसी निरंतर फलन के लिए मान का चिन्ह बदलना मध्य मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार उस बीच कम से कम एक बिंदु \(c\in(-1,4)\) पर \(p(c)=0\) होना दर्शाता है। क्योंकि बहुपद का ग्राफ निरंतर होता है, इसलिए आवश्यकतः कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा। निकटतम विचलन क्यों गलत है: A गलत है क्योंकि दिए हुए मान शून्य नहीं हैं; C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन के बावजूद कोई प्रतिच्छेद न होना असंभव है; D गलत है क्योंकि केवल y-अक्ष का कटान बताना प्रासंगिक नहीं है — यह x‑अक्ष पर शून्य के अस्तित्व को बदलता नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के प्रश्नों में संकेत बदलने पर तुरंत मध्य मान प्रमेय याद रखें और संंतिलित अंतराल चुनें। / Why correct: \(p(-1)>0\) means the polynomial's value at \(x=-1\) is positive and \(p(4)<0\) means it is negative at \(x=4\). For a continuous function, a sign change on an interval implies by the Intermediate Value Theorem that there exists at least one \(c\in(-1,4)\) with \(p(c)=0\). Thus the graph must cross the x-axis at least once between -1 and 4. Why other options fail: A is false because the given values are not zero; C is false because a sign change guarantees a root in the interval; D is irrelevant — cutting the y-axis does not prevent an x-axis intersection in the interval. Exam tip: For polynomials (continuous), a sign change over an interval is a quick indicator of at least one real root there (use the Intermediate Value Theorem).
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
(x-2-6x+9=(x-3)2) इसलिए स्पर्श बिंदु ((3,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग का शून्यक तुरंत पहचानें। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the touching point is ((3,0)). Tip: identify the zero of a perfect square quickly.
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
संख्या रेखा पर दायीं ओर स्थित संख्या बड़ी मानी जाती है। -2, -9 की तुलना में दायीं ओर है, इसलिए -2 बड़ा है। विकल्प -9 इस बहुपद का दूसरा शून्यक है इसलिए गलत; विकल्प 0 और 9 दिए गए शून्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या कम ऋणात्मक (अर्थात् absolute मान छोटा) होती है वह बड़ी होती है — सीधे संख्या रेखा पर सोचें। / On the number line a number to the right is greater. -2 lies to the right of -9, so -2 is greater. -9 is the other root and thus smaller; 0 and 9 are not the given zeroes. Exam tip: For negatives, the one with smaller absolute value (less negative) is larger—visualize on the number line.
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
C. यह \\(x\\)-अक्ष के समांतर है और इसे नहीं काटता/It is parallel to the x-axis and does not intersect it
Explanation
Simple Explanation
यदि \\(p(x)=5\\), तो बहुपद एक स्थिर (constant) है और उसका आलेख क्षैतिज रेखा \\(y=5\\) होता है। इस रेखा का y-मान कभी \\0\\ नहीं होगा, इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है और यह \\(x\\)-अक्ष को नहीं काटती। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि वे कम से कम एक ऐसा x मान मान लेते हैं जिसके लिए \\(p(x)=0\\ होना चाहिए, जो असंभव है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि उसका अर्थ होता कि हर x पर \\(p(x)=0\\, जो \\(p(x)=5\\) से विरोधाभास है। परीक्षा-टिप: कोई भी गैर-शून्य स्थिर बहुपद (degree 0) का वास्तविक शून्यक नहीं होता। / For \\(p(x)=5\\) the polynomial is a nonzero constant, so its graph is the horizontal line \\(y=5\\). Since y never equals \\0\\, the graph does not meet the x-axis and there are no real zeros. Options A and B would require at least one x with \\(p(x)=0\\, which is impossible here; option D wrongly asserts \\(p(x)=0\\ for every x. Exam tip: a nonzero constant polynomial has degree \\0\\ and no real roots (zeros).
A. आलेख केवल x-अक्ष है/The graph is the x-axis itself
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद का अर्थ है कि सभी x के लिए \(p(x)=0\)। अतः आलेख उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनका स्थानाङ्क \((x,0)\) है — यही x-अक्ष है। विकल्प C गलत है क्योंकि "x-अक्ष के ऊपर" होने का अर्थ \(y>0\) होगा, जो यहाँ सत्य नहीं है; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि y-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=0\) है और विकल्प D का तर्क सीधे विरुद्ध है (आलेख हर बिंदु पर x-अक्ष को छूता है)। परीक्षण सुझाव: शून्य बहुपद हमेशा स्थायी 0 देता है, इसका ग्राफ हमेशा x-अक्ष ही होगा। / The zero polynomial means \(p(x)=0\) for every real x, so its graph is the set of points \((x,0)\) — i.e. the x-axis. Option C is wrong because "above the x-axis" implies \(y>0\), which is not true here; option B is incorrect because the y-axis is the vertical line \(x=0\); option D contradicts the definition since the graph actually coincides with the x-axis. Exam tip: remember zero polynomial = constant 0, graph = x-axis.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
यह ((x+1)2+4) है जो हमेशा धनात्मक है। टिप: यदि मान कभी (0) न बने तो (x)-अक्ष कटान नहीं होगा। / It is ((x+1)2+4), which is always positive. Tip: if the value never becomes (0), there is no (x)-axis intersection.
A. x = 3 शून्यक है पर x = 7 नहीं/x = 3 is a zero but x = 7 is not
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root/zero) का अर्थ है वह x‑मान जहाँ p(x) का मान शून्य हो। यहाँ p(3)=0 दिया है, अतः x=3 बहुपद का शून्यक है। परन्तु p(7)=4 है, जो शून्य नहीं है, अतः x=7 शून्यक नहीं। नज़ारीय अर्थ: ग्राफ़ x=3 पर x‑अक्ष को छूता/काटता है, पर x=7 पर बिंदु (7,4) x‑अक्ष से ऊपर स्थित है। गलत विकल्पों का संक्षेप: B उल्टा है (गलत क्योंकि p(3)=0 है), C और D भी गलत हैं क्योंकि p(7) = 4 ≠ 0। परीक्षीय सुझाव: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा p(a) की मान को 0 से सीधे जाँचें। / A zero (root) means p(a)=0 at that x‑value. Since p(3)=0, x=3 is a root. Because p(7)=4 (not 0), x=7 is not a root. Geometrically, the graph meets the x‑axis at x=3, whereas the point (7,4) lies above the x‑axis. Why others are wrong: B reverses the facts, C is false because p(7)≠0, and D is false because x=3 is indeed a zero. Exam tip: always substitute the x‑value into p(x) and check if the result is exactly 0.
p(x) के शून्यक उन x मानों को कहते हैं जिनके लिए p(x)=0।\n\n
equation: \(2x^2-8=0\). दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(x^2-4=0\) मिलता है, इसलिए \(x^2=4\) और \(x=\pm2\)। अतः शून्यक 2 और −2 हैं।\n\nनज़दीकी विचलन (option B) गलत है क्योंकि वहाँ \(x^2=4\) से सीधे \(x=\pm4\) लेना गलत वर्गमूल है।\nटिप: हमेशा पहले समान गुणक से भाग करके सरल करें, फिर वर्गमूल लें। / Zeroes are x-values where p(x)=0.\n\nStarting with \(2x^2-8=0\), divide both sides by 2 to get \(x^2-4=0\). Thus \(x^2=4\) and \(x=\pm2\). Therefore the zeroes are 2 and −2.\n\nWhy the closest distractor (option B) is wrong: it incorrectly gives ±4, which would come from the mistaken step of taking the square root incorrectly.\nExam tip: factor out or divide by common factors first, then take square roots of positive results carefully.
कटान का पहला निर्देशांक (r) ही शून्यक है और (r<0) है। टिप: प्रतीकात्मक प्रश्न में भी नियम वही रहता है। / The first coordinate (r) of the intersection is the zero, and (r<0). Tip: the same rule works in symbolic questions.
ऋण चिह्न शून्यक नहीं बदलता और ((x+3)2=0) से (x=-3) है। टिप: बाहर का गुणक शून्यक नहीं बदलता। / The negative sign does not change the zero, and ((x+3)2=0) gives (x=-3). Tip: an outside multiplier does not change the zero.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-समन्वय बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं ",-1", "2" और "4"। अतः गुणनफल \\((-1)\times2\times4=-8\\) होता है। सबसे निकटभ्रष्ट विकल्प C (8) केवल संख्याओं का गुणन सही है पर् चिन्ह गलत है; A और D स्पष्ट अंकगणितीय गलतियाँ हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर दिए गए x-समन्वयों को सीधे गुणा करें, और ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -1, 2 and 4, so the product is \\((-1)\times2\times4=-8\\). The closest distractor C (8) results from ignoring the negative sign; A and D are simple arithmetic mismatches. Exam tip: multiply the x-intercepts (including their signs) to get the product of zeros.
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
दोहराया (2) अलग शून्यक में एक बार गिना जाता है। टिप: अलग शून्यक में समान मान पुनः न लिखें। / The repeated (2) is counted once for distinct zeroes. Tip: do not rewrite the same value for distinct zeroes.
(x-3-x=x(x-1)(x+1)) इसलिए शून्यक (-1), (0), (1) हैं। टिप: पहले सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-x=x(x-1)(x+1)), so the zeroes are (-1), (0), (1). Tip: factor out the common term first.
A. \(x=11\) एक वास्तविक शून्य है और इसकी गुणता सम (even multiplicity) है।
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर छूता है तो उस बिंदु पर फलन का मान शून्य होता है, अतः \(x=11\) एक शून्य (root) है. और यदि ग्राफ अक्ष को छूता है पर कटता नहीं है तो उस शून्य की गुणता सम होती है (जैसे गुणा 2,4,...). विकल्प B गलत है क्योंकि छूने का अर्थ है मान 0 होना; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे अन्य x-मानों को शून्य घोषित करते हैं जो दिए हुए चित्र से समर्थित नहीं हैं. परीक्षीय संकेत: ग्राफ का अक्ष को छूना = सम गुणता (कोई साइन परिवर्तन नहीं), अक्ष को पार करना = विषम गुणता (साइन बदलता है)। / If the graph touches the x-axis at a point, the polynomial value there is 0, so \(x=11\) is a root. Touching without crossing indicates the root has even multiplicity (2,4,...). Option B is incorrect because touching implies f(11)=0; options C and D claim different x-values as zeros which are not supported. Exam tip: touching (no sign change) ⇒ even multiplicity; crossing (sign change) ⇒ odd multiplicity.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)) इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। टिप: गुणनखंड बनाकर कटान बिंदु लिखें। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). Tip: factor and then write intersection points.
x-अक्ष पर कटान बिंदु शून्यक (roots) होते हैं, यहाँ शून्यक 3 और 12 हैं। उनका अंकगणितीय औसत \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\) है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A (15) केवल 3 और 12 का योग है; विकल्प D (36) उनका गुणनफल है; विकल्प B (9) किसी ग़लत गणना या संख्या के गलत पढ़ने से आ सकता है। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के शून्यकों α और β का औसत \\(-\frac{b}{2a}\\) से भी शीघ्र ज्ञात किया जा सकता है। / The x-intercepts are the zeros (roots) 3 and 12. The arithmetic mean is \\(\frac{3+12}{2}=7.5\\), so option C is correct. Option A (15) is the sum 3+12; option D (36) is the product 3×12; option B (9) is an incorrect result from a miscalculation or misreading. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the average of the two roots equals \(-\frac{b}{2a}\).
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
यदि किसी बहुपद का मान \(p(a)=0\) है तो बिंदु \((a,0)\) x-अक्ष पर होता है क्योंकि x-अक्ष पर y‑समन = 0 होता है। यहाँ केवल \(p(2)=0\) दिया है, अतः \((2,0)\) x-अक्ष पर है। \(p(1)<0\) और \(p(3)>0\) केवल फलन के संकेत (negative/positive) दर्शाते हैं, वे शून्य नहीं हैं; इसलिए \((1,0)\) या \((3,0)\) सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: कोई बिंदु x-अक्ष पर तभी होगा जब उस x‑मान पर फलन का मान शून्य हो। / A point \((a,0)\) lies on the x-axis exactly when the polynomial satisfies \(p(a)=0\) (y = 0). Here only \(p(2)=0\), so \((2,0)\) is the x-intercept. The facts \(p(1)<0\) and \(p(3)>0\) give signs of the function (negative/positive) but are not zeros, so \((1,0)\) and \((3,0)\) are incorrect. Quick exam tip: check for equality to zero to identify x-axis points, not inequalities.
शून्यक (-6), (-2), (4) हैं और (4) सबसे बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर का मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-6), (-2), (4), and (4) is the greatest. Tip: the value to the right on the number line is greater.
तीन अलग कारक तीन अलग शून्यक (1), (4), (-2) देते हैं। टिप: हर रैखिक कारक एक संभावित कटान देता है। / The three different factors give three distinct zeroes (1), (4), (-2). Tip: each linear factor gives a possible intersection.
