Level 22 • 50/50 questions • 35 seconds per question.
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C. तीनThree
तीन अलग (x)-अक्ष कटान हैं इसलिए तीन वास्तविक शून्यक हैं। टिप: केवल (y=0) वाले बिंदु गिनें। / There are three distinct (x)-axis intersections, so there are three real zeroes. Tip: count only points with (y=0).
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B. एकOne
स्पर्श बिंदु केवल एक अलग शून्यक (3) देता है। टिप: दोहराए हुए शून्यक को अलग शून्यक में एक बार गिनें। / The touching point gives only one distinct zero (3). Tip: count a repeated zero once when distinct zeroes are asked.
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A. शून्यZero
जब आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता तो (p(x)=0) नहीं होता। टिप: वास्तविक शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर दिखता है। / When the graph does not meet the (x)-axis, (p(x)=0) never occurs. Tip: a real zero is seen on the (x)-axis.
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If \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\), where \(a\neq b\), at which points does its graph cut the x-axis?
C. \((a,0)\) and \((b,0)\)
यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु का x-निर्देशांक \(a\) और y-निर्देशांक \(p(a)=0\) होगा, इसलिए वह बिंदु \((a,0)\) है। इसी तरह \(p(b)=0\) से बिंदु \((b,0)\) मिलेगा। इसलिए आलेख x-अक्ष को बिंदुओं \((a,0)\) और \((b,0)\) पर काटता है। भ्रमित करने वाला विकल्प \((0,a)\) और \((0,b)\) इसलिए गलत है क्योंकि वे y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0) और उन पर पहुँचने के लिए हमें \(p(0)=a\) या \(p(0)=b\) चाहिए होता, जो दिया नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखकर x के मान निकालें; यदि कोई शून्य की पुनरावृत्ति (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ छू सकता है, विषम होने पर काटता है। / If \(p(a)=0\), the point on the graph has x-coordinate \(a\) and y-coordinate \(p(a)=0\), i.e. the point \((a,0)\). Similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Thus the graph meets the x-axis at \((a,0)\) and \((b,0)\). The tempting option \((0,a)\) and \((0,b)\) is wrong because those are points on the y-axis (x=0) and would correspond to values like \(p(0)=a\), which is not given. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\); note multiplicity — even multiplicity may cause the graph to touch the axis, odd multiplicity makes it cross.
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A polynomial graph passes through ((0,-5)), ((2,0)), ((5,0)) and ((7,3)). What are its zeroes?
B. (2) और (5)(2) and (5)
शून्यक उन बिंदुओं के (x)-मान हैं जहाँ (y=0) है। टिप: ((0,-5)) (y)-अक्ष कटान है, शून्यक नहीं। / Zeroes are the (x)-values of points where (y=0). Tip: ((0,-5)) is a (y)-intercept, not a zero.
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C. यह शून्यक नहीं दर्शाता क्योंकि y ≠ 0 है; शून्यक के लिए y = 0 होना चाहिएIt does not represent a zero because y ≠ 0; for a zero we must have y = 0
शून्यक (root) वही x-मान है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् बिंदु x-अक्ष पर रहता है और रूप (a, 0) जैसा होता है। बिंदु (0, 8) y-अक्ष पर है इसलिए y ≠ 0 है और यह शून्यक नहीं है। विकल्प A गलत है क्योंकि y = 8 होने पर बहुपद शून्य नहीं होता। परीक्षा-टिप: किसी भी संभावित शून्य की जाँच के लिए हमेशा देखें कि y = 0 है या नहीं। / A polynomial's zero (root) is an x-value where the polynomial equals 0, so the corresponding point lies on the x-axis as (a, 0). The point (0, 8) is a y-intercept with y ≠ 0, therefore it is not a zero. Option A is wrong because y = 8 does not make the polynomial zero. Exam tip: to identify roots, always check whether y = 0 (i.e., the point is on the x-axis).
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What will be the (x)-axis intersections of the graph of (p(x)=(x-4)(x+2))?
A. ((4,0)) और ((-2,0))((4,0)) and ((-2,0))
कारकों को शून्य करने पर (x=4) और (x=-2) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=4) and (x=-2). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
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Where will the line (y=2x-10) cut the (x)-axis?
B. ((5,0))
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए (2x-10=0) से (x=5) है। टिप: रेखा का शून्यक निकालने के लिए (y=0) रखें। / On the (x)-axis (y=0), so (2x-10=0) gives (x=5). Tip: put (y=0) to find the zero of a line.
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If a parabola intersects the x-axis at (-1, 0) and (4, 0), what is the sum of its zeros?
A. 3
x-अक्ष पर जिस बिंदु पर परवलय कटती है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही परवलय के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -1 और 4 हैं, अतः उनका योग = -1 + 4 = 3 है। निकटवर्ती भ्रामक उत्तरों की व्याख्या: -3 अक्सर तब मिलता है जब कोई साइन भूलकर उल्टा कर दे (जैसे 1 − 4 = -3), और 4 या -4 तब होते हैं जब केवल एक मान लिया गया हो या साइन पूरी तरह गलत हो। टिप: x-अक्ष के छेदन बिंदुओं से सीधे x-मूल पढ़ें और साइन पर ध्यान दें। / The x-coordinates of the x-axis intercepts are the zeros of the parabola. Here the zeros are -1 and 4, so their sum is -1 + 4 = 3. Why distractors are wrong: -3 typically arises from a sign error (confusing -1 + 4 with 1 − 4), while 4 or -4 result from using only one root or taking incorrect signs. Exam tip: read the x-values of intercept points directly and watch the signs carefully.
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If a graph cuts the (x)-axis at ((-6,0)) and ((2,0)), what is the product of zeroes?
C. (-12)
शून्यक (-6) और (2) हैं, इसलिए गुणनफल (-12) है। टिप: (y)-निर्देशांक को गुणन में शामिल न करें। / The zeroes are (-6) and (2), so the product is (-12). Tip: do not include the (y)-coordinate in the product.
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C. दोTwo
दिशा ऊपर या नीचे होने से संख्या नहीं बदलती, कटान दो हैं। टिप: शून्यकों की संख्या (x)-अक्ष कटान से तय करें। / The opening direction does not change the count, there are two intersections. Tip: decide zeroes by (x)-axis intersections.
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If \(p(-3)=0\), \(p(0)=5\) and \(p(4)=0\), at which points will the graph intersect the x-axis?
B. (-3, 0) and (4, 0)
किसी भी बहुपद के ग्राफ का x-अक्ष छेद (x‑अंतर) तब होता है जब उसके मान y = 0 हों, अर्थात् \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, इसलिए छेद बिंदु (-3, 0) और (4, 0) हैं। विकल्प A में (0,5) y‑समन है, x‑अक्ष पर नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा‑टिप: सीधे उन x‑मानों को चुनें जिनके लिए \(p(x)=0\); वहाँ y‑समन हमेशा 0 होता है। / An x‑intercept occurs where the graph has y = 0, i.e. where \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(4)=0\), the graph meets the x‑axis at (-3, 0) and (4, 0). Option A is incorrect because (0, 5) has y ≠ 0 and is not on the x‑axis. Exam tip: To find x‑intercepts, look for the x‑values that make \(p(x)=0\); those x's give points (x, 0).
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A polynomial graph cuts the (x)-axis twice and the (y)-axis once. How many real zeroes does it have?
B. दोTwo
वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
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A. शून्यZero
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
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B. (1) और (5)(1) and (5)
शून्यक वे x‑मान होते हैं जिन पर गुणनफल का मान \(p(x)=0\) होता है। तालिका में केवल \(p(1)=0\) और \(p(5)=0\) है, इसलिए शून्यक x=1 और x=5 हैं। विकल्प C गलत है क्योंकि 6 और −4 फल (output) हैं, x‑मान नहीं; विकल्प A गलत है क्योंकि \(p(-2)=6\) और \(p(3)=-4\) से वे x शून्यक नहीं हैं; विकल्प D भी गलत है क्योंकि सभी दिए x‑मानों में से केवल 1 और 5 ही शून्य बनाते हैं। परीक्षा टिप: तालिका या ग्राफ में सीधे उन x‑मानों को चुनें जिनके साथ \(p(x)=0\) लिखा हो। / Zeros of a polynomial are the x‑values for which \(p(x)=0\). From the table we have \(p(1)=0\) and \(p(5)=0\), so the zeros are x=1 and x=5. Option C is incorrect because 6 and −4 are function values (outputs), not x‑values; option A is wrong since \(p(-2)\neq0\) and \(p(3)\neq0\); option D is wrong because not every listed x gives \(p(x)=0\). Exam tip: when given a table, pick the x entries whose corresponding p(x) equals 0.
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C. \(-2\) और \(3\)\(-2\) and \(3\)
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
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Which of the following graphs will have exactly one real zero?
B. जो (x)-अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करेOne that touches the (x)-axis at only one point
कोई भी वास्तविक शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या स्पर्श करता है। यदि ग्राफ केवल एक ही बिंदु पर (x)-अक्ष को स्पर्श करता है तो उस ग्राफ का केवल एक विशिष्ट वास्तविक शून्यक होगा — यह अक्सर गुणनखंड की गुणता (multiplicity) के कारण होता है (दोहरे मूल पर स्पर्श)। विकल्प A में दो अलग-अलग कटाव होंगे इसलिए दो वास्तविक शून्यक होंगे। विकल्प C में कोई भी कटाव नहीं होगा इसलिए शून्य वास्तविक शून्यक हैं। विकल्प D केवल तब संभव है जब फलन शून्य-फलन (zero polynomial) हो; सामान्य गैर-शून्य बहुपद के लिए ऐसा नहीं होता। परिक्षा टिप: x-अक्ष से मिलने के बिंदुओं की गिनती करो — अगर ग्राफ को स्पर्श करता है और पार नहीं करता तो वह एक ही अलग शून्यक दे सकता है (समासम्य गुणता अक्सर सम होने पर स्पर्श, विषम होने पर पार)। / Real zeros correspond to x-intercepts of the graph. A graph that touches the x-axis at exactly one point has exactly one distinct real zero (this often indicates a repeated root with even multiplicity). Option A crosses the x-axis at two distinct points → two real zeros. Option C does not meet the x-axis → no real zeros. Option D would give infinitely many zeros only if the function is the zero polynomial (coincides with the x-axis), which is not the typical non-zero polynomial case. Exam tip: count distinct x-intercepts; if the curve merely touches (tangent) the axis at a point it represents a repeated root, while crossing indicates an odd multiplicity root.
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If p(x) = x-2 - 16, at which points does its graph intersect the x-axis?
B. (4,0), (-4,0)
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद तब होते हैं जब p(x)=0 होता है. प्रशीलन: \(x^2-16=0\) से \(x^2=16\) और इसलिए \(x=\pm4\). अतः x-अक्ष पर बिंदु (4,0) और (-4,0) होंगे। निकटतम भ्रम (option A) का कारण: कुछ छात्र x और y निर्देशांक को उलट कर या साइन भूल कर (0,16) लिख सकते हैं — वास्तविक y-अक्ष पर छेदन \(p(0)= -16\) इसलिए (0,-16) होता, न कि (0,16)। टिप: समाधान तेज़ी से लिखने के लिए बहुपद को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) — शून्य के लिए प्रत्येक कारक को शून्य लें। / x-intercepts occur where p(x)=0. Reason: solve \(x^2-16=0\) giving \(x^2=16\) and hence \(x=\pm4\). Therefore the graph meets the x-axis at (4,0) and (-4,0). Closest distractor (option A) arises from swapping coordinates or sign errors — note that p(0) = -16, so the y-intercept is (0,-16), not (0,16) or (16,0). Exam tip: factor the quadratic as \(x^2-16=(x-4)(x+4)\) and set each factor to zero to find zeros quickly.
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If \(p(x)=x^2+9\), how many times will its graph cut the x-axis?
A. शून्य बारZero times
कारण: यह एक द्विघात फलन है जहाँ \(a=1, b=0, c=9\)। इसकी डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\) है, अतः वास्तविक शून्य (real root) नहीं हैं। वैकल्पिक दृष्टिकोण: \(x^2\) कभी ऋण नहीं होता, इसलिए \(x^2+9\ge9\) और यह कभी 0 नहीं होता। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: "दो बार" तभी होगा जब डिस्क्रिमिनेंट धनात्मक हो (दो अलग वास्तविक मूल), और "एक बार" तभी जब डिस्क्रिमिनेंट शून्य हो (आधार बिंदु पर स्पर्श)। परीक्षा-टिप: किसी द्विघात के वास्तविक शून्य जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट \(b^2-4ac\) की जाँच करें। / Reason: For the quadratic with \(a=1, b=0, c=9\) the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), so there are no real roots. Alternatively, \(x^2\ge0\) for all real \(x\), so \(x^2+9\ge9\) and never equals 0. Why the closest distractors are wrong: "Two times" requires a positive discriminant (two distinct real roots); "One time" requires discriminant zero (a repeated root). Exam tip: Use the discriminant \(b^2-4ac\) to quickly determine number of real x-intercepts.
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If (p(x)=(x+1)2), how will the graph meet the (x)-axis?
B. (x=-1) पर स्पर्श करेगाIt will touch at (x=-1)
((x+1)2=0) से केवल (x=-1) मिलता है और यह दोहराया शून्यक है। टिप: वर्ग वाले कारक में स्पर्श की संभावना देखें। / ((x+1)2=0) gives only (x=-1), and it is a repeated zero. Tip: a squared factor often indicates touching.
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A parabola cuts the (x)-axis at ((-5,0)) and ((1,0)). What is the greater zero?
C. (1)
शून्यक (-5) और (1) हैं, जिनमें (1) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-5) and (1), and (1) is greater. Tip: the value to the right on the number line is greater.
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If the (x)-axis intersections of a graph are ((m,0)) and ((n,0)), what is the product of the zeroes?
B. (mn)
शून्यक (m) और (n) हैं, इसलिए गुणनफल (mn) है। टिप: कटान बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्यक है। / The zeroes are (m) and (n), so the product is (mn). Tip: the first coordinate of the intersection point is the zero.
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B. क्योंकि उनके (y)-मान (0) नहीं हैंBecause their (y)-values are not (0)
(3) और (5) पर (p(x)) क्रमशः (4) और (-1) है। टिप: शून्यक के लिए फलन मान बिल्कुल (0) होना चाहिए। / At (3) and (5), (p(x)) is (4) and (-1). Tip: for a zero, the function value must be exactly (0).
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C. चतुर्थ घात बहुपदFourth degree polynomial
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
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In which situation will a linear polynomial have no real zero?
B. जब उसका ग्राफ (x)-अक्ष के समांतर और ऊपर होWhen its graph is parallel to and above the (x)-axis
(x)-अक्ष के समांतर ऊपर रेखा (x)-अक्ष से नहीं मिलती। टिप: ऐसा ग्राफ अशून्य स्थिर बहुपद जैसा होता है। / A line parallel to and above the (x)-axis does not meet the (x)-axis. Tip: such a graph behaves like a non-zero constant polynomial.
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If (p(2)) is positive and (p(5)) is negative, which statement about the graph is most appropriate?
A. ग्राफ (x=2) और (x=5) के बीच (x)-अक्ष को पार कर सकता हैThe graph may cross the (x)-axis between (x=2) and (x=5)
चिह्न बदलना बीच में (x)-अक्ष से मिलने का संकेत देता है। टिप: बहुपद के ग्राफ सतत होते हैं। / A change of sign indicates a meeting with the (x)-axis in between. Tip: polynomial graphs are continuous.
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C. 2
परिभाषा के अनुसार कोई संख्या \(a\) उस बहुपद का शून्यक तभी होती है जब \(p(a)=0\)। यहाँ सीधे दिया है कि \(p(2)=0\), अतः 2 निश्चित रूप से शून्यक है। जबकि \(p(-1)<0\) और \(p(0)<0\) इन स्थानों पर फलन मान शून्य से भिन्न (ऋण) है — इसलिए \(-1\) और \(0\) शून्यक नहीं हो सकते। विकल्प 'कोई नहीं' गलत है क्योंकि \(p(2)=0\) स्पष्ट रूप से एक शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: किसी मान के शून्यक होने की पुष्टि के लिए वही दिया हुआ समीकरण देखें — केवल \(p(a)=0\) पर ही वह मान शून्यक होगा। / By definition a number \(a\) is a zero of the polynomial only if \(p(a)=0\). Here \(p(2)=0\) is given, so 2 is definitely a root. The statements \(p(-1)<0\) and \(p(0)<0\) show values that are nonzero (negative), so \(-1\) and \(0\) are not roots. 'None' is incorrect because \(p(2)=0\) explicitly gives a zero. Exam tip: to confirm a zero, look for an explicit equality \(p(a)=0\); sign information alone (positive/negative) does not prove a root.
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A. दोनों (0)Both (0)
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
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A graph intersects the x-axis at x = -3 and x = 9. What is the distance between these zeroes?
C. 12
दूरी का अर्थ है दो बिंदुओं के बीच का सकारात्मक अंतर, यानी अनुप्रयोग में हम absolute difference लेते हैं। यहाँ दूरी = |9 - (-3)| = |12| = 12। विकल्प A (6) आम गलती है यदि कोई दूरी की बजाय मध्यबिंदु या दूरी को आधा मान लेता है। विकल्प B (9) तब आती है जब कोई केवल 9 का मान ले लेता है और -3 को नजरअंदाज करता है — यह सही तरीका नहीं है। विकल्प D (-12) गलत है क्योंकि दूरी कभी नकारात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी दो x-स्थानांकों के बीच दूरी = |x2 - x1| लिखकर तुरंत निकालें। / Distance between two zeros on the x-axis is the absolute difference of their x-coordinates. Here distance = |9 - (-3)| = |12| = 12, so option C is correct. Option A (6) could arise from mistakenly taking half the separation (confusing midpoint with distance). Option B (9) reflects ignoring the negative sign of -3 and using only 9, which is incorrect. Option D (-12) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: compute distance as |x2 - x1| to avoid sign errors.
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If the zeroes are (-2) and (6), what is the midpoint of the (x)-axis intersection points?
A. ((2,0))
बिंदु ((-2,0)) और ((6,0)) का मध्यबिंदु ((2,0)) है। टिप: समान (y)-मान हो तो केवल (x)-मानों का औसत लें। / The midpoint of ((-2,0)) and ((6,0)) is ((2,0)). Tip: when (y)-values are equal, average the (x)-values.
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The (x)-axis intersections of a parabola are ((r,0)) and ((s,0)). What is the average of its zeroes?
C. \(\frac{r+s}{2}\)
शून्यक (r) और (s) हैं, इसलिए औसत \(\frac{r+s}{2}\) है। टिप: औसत में योग को संख्या से भाग दें। / The zeroes are (r) and (s), so the average is \(\frac{r+s}{2}\). Tip: divide the sum by the number of values.
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B. वे परस्पर विपरीत हैंThey are opposites of each other
x-अक्ष पर काटने के बिंदु उस फलन के शून्यक (zeros) के x-मान देते हैं; यहाँ शून्यक -4 और 4 हैं। ये एक-दूसरे के विपरीत हैं क्योंकि 4 = -(-4)। विकल्प A गलत है क्योंकि -4 ≠ 4; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि एक शून्य धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक है। परीक्षा सुझाव: यदि x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु ±a के रूप में होते हैं तो शून्यकों का योग 0 होता है और बहुपद में \(x^2 - a^2\) गुणक होगा। / The x-intercepts give the zeros of the function: here the zeros are -4 and 4. They are opposites because 4 = -(-4). Option A is incorrect since -4 and 4 are not equal; options C and D are wrong because one root is positive and the other is negative. Exam tip: zeros at ±a imply sum 0 and the polynomial has factor \(x^2 - a^2\), which helps quickly identify symmetric roots.
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B. (0), (2) और (5) शून्यक हैं(0), (2) and (5) are zeroes
यदि बहुपद p(x) का ग्राफ बिंदु (a,0) पर x-अक्ष को काटता है, तो उस बिंदु का x-कोऑर्डिनेट a बहुपद का शून्य (root) या शून्यक होता है क्योंकि p(a)=0। यहाँ दिया गया है कि ग्राफ (0,0), (2,0) और (5,0) पर काटता है, अतः x=0, x=2 और x=5 तीनों शून्यक हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प D गलत है क्योंकि वह (0,0) को नजरअंदाज कर रहा है। परीक्षा टिप: (0,0) को अक्सर अनदेखा कर दिया जाता है — किसी भी इंटरसेप्ट को ध्यान से पढ़कर बताइए कि x-कोऑर्डिनेट शून्यक है। / If the graph of a polynomial p(x) passes through (a,0), then a is a zero of the polynomial because p(a)=0. Given intersections at (0,0), (2,0) and (5,0), the zeros are x=0, x=2 and x=5. The closest distractor (D) is incorrect because it ignores the origin (0,0). Exam tip: never skip the origin — treat (0,0) as a valid x-intercept giving the zero x=0.
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What is the zero (x-intercept) of the line \(y=-3x-12\)?
B. -4
शून्यक वह x मान है जहाँ y=0 होता है। \(y=-3x-12\) में \(y=0\) रखकर मिलता है: \(0=-3x-12\) \(\Rightarrow -3x=12\) \(\Rightarrow x=-4\)। इसलिए उत्तर -4 सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प 4 गलत है क्योंकि उसके लिए साइन उल्टा होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी रेखा का x-अवरोध निकालने के लिए हमेशा y=0 रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y=0. Set \(y=0\): \(0=-3x-12\) gives \(-3x=12\) and so \(x=-4\). Thus -4 is correct. The closest distractor 4 is incorrect because it has the wrong sign. Exam tip: to find an x-intercept of a line, always substitute y=0 and solve for x.
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If (p(x)=x(x-5)), at which (x)-values will the graph cut the (x)-axis?
A. (0) और (5)(0) and (5)
(x=0) या (x-5=0) से (x=0,5) मिलते हैं। टिप: गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक कारक शून्य होता है। / From (x=0) or (x-5=0), we get (x=0,5). Tip: if a product is zero, at least one factor is zero.
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C. तीनThree
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
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If (p(-2)=0) and (p(2)=0), how are the zeroes positioned with respect to the (y)-axis?
C. वे (y)-अक्ष के दोनों ओर समान दूरी पर हैंThey are equally distant on both sides of the (y)-axis
(-2) और (2) (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक ग्राफ में सममिति का संकेत दे सकते हैं। / (-2) and (2) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes may indicate symmetry in the graph.
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A graph crosses the (x)-axis at (x=1) and (x=4). If (p(x)>0) at (x=2), why is (x=2) not a zero?
B. क्योंकि (p(2)\neq0) हैBecause (p(2)\neq0)
शून्यक के लिए फलन मान (0) होना चाहिए। टिप: बीच में होना शून्यक होने की गारंटी नहीं देता। / For a zero, the function value must be (0). Tip: being between zeroes does not guarantee being a zero.
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If the graph of a cubic polynomial cuts the (x)-axis only once, what is the number of real zeroes?
A. एकOne
कटान केवल एक है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: घन बहुपद में अधिकतम तीन वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, जरूरी नहीं कि तीन हों। / There is only one intersection, so there is one real zero. Tip: a cubic can have at most three real zeroes, not necessarily three.
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If a quadratic graph stays below the (x)-axis and does not touch it, which statement is correct?
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं हैIt has no real zero
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए (p(x)=0) नहीं होता। टिप: ऊपर या नीचे रहना दोनों स्थितियों में कोई कटान नहीं देता। / The graph does not meet the (x)-axis, so (p(x)=0) does not occur. Tip: staying above or below without meeting gives no intersection.
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If \(x=7\) is a zero of a polynomial, which point must lie on its graph?
C. (7,0)
यदि \(x=7\) बहुपद \(p(x)\) का शून्यक है तो \(p(7)=0\) होगा। ग्राफ पर जहाँ क्रिया का मान (y) शून्य होता है वहीं x-अक्ष पर बिंदु आता है, अतः बिंदु \((7,0)\) अवश्य होगा। विकल्प (0,7) में x और y उलटे हैं, (7,7) में y शून्य नहीं है, और (-7,0) तब होगा जब \(x=-7\) शून्यक हो। टिप: किसी शून्यक \(r\) के लिए ग्राफ पर बिंदु \((r,0)\) ढूँढें। / If \(x=7\) is a zero of the polynomial \(p(x)\), then \(p(7)=0\). Points where the polynomial value is zero lie on the x-axis, so the graph must contain (7,0). (0,7) swaps coordinates, (7,7) has a nonzero y-value, and (-7,0) would correspond to \(x=-7\) being a root. Exam tip: for any root r, the graph meets the x-axis at (r,0).
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A graph has x-axis intersections at (a,0), (b,0), (c,0). Which statement is correct?
B. शून्यक (a,b,c) हैंThe zeroes are (a,b,c)
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
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If (p(x)=2(x-3)2), how will the graph meet the (x)-axis?
A. (x=3) पर स्पर्श करेगाIt will touch at (x=3)
((x-3)2=0) से केवल (x=3) मिलता है और वर्ग के कारण स्पर्श होता है। टिप: बाहर का (2) शून्यक नहीं बदलता। / ((x-3)2=0) gives only (x=3), and the square causes touching. Tip: the outside (2) does not change the zero.
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If \(p(x)= -x^2 + 25\), what are the real zeros (x-intercepts) of its graph?
A. (5) और (-5)(5) and (-5)
शून्यक वे x-मान हैं जिन पर बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए \(p(x)=0\) रखें: \(-x^2+25=0\) से \(x^2=25\) और अतः \(x=\pm5\)। वैकल्पिक रूप से विभाजन करें: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\) से भी शून्यक \(x=5, -5\) मिलते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह 25 को x के रूप में ले रहा है — यहाँ 25 y का मान (ऊपर की ओर शिखर) नहीं x-मूल है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(p(0)=25\), न कि 0। टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और यदि संभव हो तो घटक निकाल कर (factor) जांचें। / Zeros are x-values where the polynomial equals zero, so set \(p(x)=0\): \(-x^2+25=0\) gives \(x^2=25\) and hence \(x=\pm5\). You can also factor: \(-x^2+25=-(x^2-25)=-(x-5)(x+5)\), yielding \(x=5,-5\). Option B is incorrect because it mistakes 25 (a y-value in the vertex) for the x-root. Option C is wrong since \(p(0)=25\), not 0. Exam tip: set the polynomial equal to zero first and factor when possible to find roots quickly.
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If ((-2,0)) and ((6,0)) are zero points on a graph, how many units apart are they on the (x)-axis?
C. (8)
दूरी (6-(-2)=8) इकाई है। टिप: (x)-अक्ष पर दूरी (x)-मानों के अंतर का परिमाण है। / The distance is (6-(-2)=8) units. Tip: distance on the (x)-axis is the absolute difference of (x)-values.
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If (p(0)=0) and (p(5)=0), which statement about the graph is correct?
A. ग्राफ ((0,0)) और ((5,0)) से गुजरता हैThe graph passes through ((0,0)) and ((5,0))
दोनों दिए गए (x)-मानों पर फलन मान (0) है। टिप: (p(0)=0) होने पर ग्राफ मूल बिंदु से गुजरता है। / At both given (x)-values, the function value is (0). Tip: when (p(0)=0), the graph passes through the origin.
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B. दोTwo
काटना (crossing) और स्पर्श (touching) दोनों ही x-अक्ष पर शून्यक दर्शाते हैं। काटने वाला बिंदु सामान्यतः विषम गुणांक (odd multiplicity) वाला शून्यक होता है (यहाँ x=2), जबकि स्पर्श करने वाला बिंदु सम गुणांक (even multiplicity) वाला शून्यक होता है और वह भी एक ही x-मूल्य पर केवल एक अलग शून्यक गिना जाएगा (यहाँ x=-1)। अतः अलग वास्तविक शून्यक x=2 और x=-1 — कुल 2 हैं। निकटतम विकर्षक (तीन) इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श करने से एक ही x-मूल्य पर दो अलग शून्यक नहीं बनते; गुणांक दो होने पर वह एक ही शून्यक है। परीक्षा युक्ति: अलग शून्यकों की गिनती के लिये केवल अलग x-मूल्यों को गिनें; multiplicity को अलग-गिणती मत समझें। / Both a crossing and a touching point are x-axis zeros. A crossing point typically corresponds to an odd multiplicity root (here x=2), while a touching point corresponds to an even multiplicity root but still represents one distinct x-value (here x=-1). Therefore the distinct real zeros are x=2 and x=-1 — two in total. The choice 'three' is wrong because a touch (even multiplicity) does not create an additional distinct x-value. Exam tip: count distinct x-values where the graph meets the x-axis; multiplicity does not increase the count of distinct zeros.
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C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं हैThere is no real zero
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता और दिए गए मान भी शून्य नहीं हैं। टिप: फलन मान (0) न हो तो शून्यक न मानें। / The graph does not meet the (x)-axis and the given values are not zero. Tip: do not call a value a zero unless the function value is (0).
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If a graph cuts the (x)-axis at ((-3,0)), ((2,0)), ((8,0)), which is the smallest zero?
A. (-3)
शून्यक (-3), (2), (8) हैं और सबसे छोटा (-3) है। टिप: ऋणात्मक संख्या धनात्मक से छोटी होती है। / The zeroes are (-3), (2), (8), and the smallest is (-3). Tip: a negative number is smaller than a positive number.
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C. (4) और (-6) दोनों शून्यक हैंBoth (4) and (-6) are zeroes
स्पर्श और कटान दोनों स्थितियों में ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: शून्यक पहचानते समय मिलना देखें, पार करना जरूरी नहीं। / In both touching and crossing, the graph meets the (x)-axis. Tip: for a zero, meeting the axis is enough, crossing is not necessary.
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