यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
#hard
A (p=3k)
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.
Step 3
Exam Tip
किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.
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किस स्थिति में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में नहीं कहा जा सकता?
In which situation can \(\frac{p}{q}\) not be called lowest form?
#real-numbers
#lowest-form
#coprime
#fraction
#hard
A जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
B जब (p) और (q) दोनों पूर्णांक हों / When (p) and (q) are both integers
C जब \(q\neq0\) हो / When \(q\neq0\)
D जब (p) और (q) अलग-अलग हों / When (p) and (q) are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। / If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है। / This idea becomes the contradiction in irrationality proofs.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने का कारण क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\), why does \(a^2=5b^2\) imply that (a) is divisible by (5)?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#proof
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
D क्योंकि (a) हमेशा (25) होता है / Because (a) is always (25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय हो और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर कौन-सा समीकरण मिलेगा?
If \(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), which equation is obtained after squaring?
#real-numbers
#root2
#squaring
#proof-step
#hard
A \(p^2=2q^2\)
B \(2p^2=q^2\)
C (p=2q)
D \(p^2=q^2+2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / Squaring \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(2=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। / Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ। / After squaring, remove the denominator carefully.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान है?
Which statement is common to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#common-method
#hard
A परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
B हर प्रमाण में अंश और हर दोनों सम होते हैं / In every proof, numerator and denominator both become even
C हर प्रमाण में (2) साझा गुणनखंड बनता है / In every proof, (2) becomes the common factor
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है / In every proof, the square root becomes an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में संख्या को पहले परिमेय माना जाता है। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है। / Then the related prime number is forced to divide both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
समान ढाँचा समझने से तीनों प्रमाण आसानी से याद रहते हैं। / Understanding this common structure makes all three proofs easier to remember.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो उसे किस रूप में सही तरह लिखा जाता?
If \(\sqrt{3}\) were rational, in which form would it be correctly written?
#real-numbers
#root3
#rational-form
#definition
#hard
A \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
C \(\sqrt{3}=p+q\), जहाँ (p,q) दशमलव हैं / \(\sqrt{3}=p+q\), where (p,q) are decimals
D \(\sqrt{3}=3p\), जहाँ (p) कोई भी संख्या है / \(\sqrt{3}=3p\), where (p) is any number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें। / Write this complete form at the beginning of the proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम क्यों माना जाता है?
Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
#hard
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या का वर्ग सम होता है / Because the square of every number is even
C क्योंकि सम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an even number is odd
D क्योंकि \(p^2\) हमेशा (p) से छोटा होता है / Because \(p^2\) is always smaller than (p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही क्रम दिया गया है?
Which option gives the correct order of proof for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#hard
A मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
B पहले \(5\mid b\), फिर \(\sqrt{5}=a+b\) / First \(5\mid b\), then \(\sqrt{5}=a+b\)
C मानें \(\sqrt{5}=a\), फिर (a=5b) / Assume \(\sqrt{5}=a\), then (a=5b)
D पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। / The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। / Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है। / Keeping the order correct makes the proof clear.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-divisibility
#irrationality
#hard
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(r^2\mid x\)
D (x) अवश्य (1) है / (x) must be (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (a=5k) रखा जाए, तो (b) के बारे में क्या सिद्ध होता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is proved about (b)?
#real-numbers
#root5
#substitution
#contradiction
#hard
A (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b) (25) से अवश्य विभाज्य है / (b) must be divisible by (25)
D (b) शून्य है / (b) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है। / This is the final step against coprimality.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और (p=3r), तो आगे कौन-सा सही समीकरण बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and (p=3r), what correct equation follows next?
#real-numbers
#root3
#substitution
#proof-step
#hard
A \(q^2=3r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(3q^2=r^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3r) रखने पर \(9r^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3r^2\)। / Substituting (p=3r) gives \(9r^2=3q^2\), so \(q^2=3r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस रूप से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता खुलता है। / This shows the path to proving (q) is divisible by (3).
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कौन-सी संख्या का वर्गमूल \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) जैसे प्रमाणों में अपरिमेय सिद्ध होता है?
Which type of square root is proved irrational in proofs like those for \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#prime-roots
#concept
#hard
A ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
B किसी भी सम संख्या का वर्गमूल / The square root of any even number
C किसी भी विषम संख्या का वर्गमूल / The square root of any odd number
D हर प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल / The square root of every natural number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। / Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें। / Understand the difference between a perfect square and a prime number.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद \(p^2=2q^2\) लिखते समय कौन-सी शर्त नहीं भूलनी चाहिए?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational and writing \(p^2=2q^2\), which condition must not be forgotten?
#real-numbers
#root2
#rational-assumption
#coprime
#hard
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
B (p) और (q) दोनों अभाज्य हैं / (p) and (q) are both prime
C (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हैं / (p) and (q) are both negative
D (p) और (q) दोनों (2) से पहले ही विभाज्य हैं / (p) and (q) are already divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। / The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है। / This condition is what creates the contradiction later.
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यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?
If \(a^2\) is divisible by (5), what conclusion about (a) is correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#prime-factor
#root5
#divisibility
#hard
A (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
B (a) (10) से विभाज्य है / (a) is divisible by (10)
C (a) अवश्य सम है / (a) must be even
D (a) अवश्य अभाज्य है / (a) must be prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। / If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है। / This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\).
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कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?
Which argument directly proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational?
#real-numbers
#root3
#proof
#common-factor
#hard
A मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
B मानने पर अंश और हर दोनों विषम हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become odd
C मानने पर अंश और हर बराबर हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator become equal
D मानने पर अंश हर से बड़ा हो जाता है / On assuming it rational, numerator becomes greater than denominator
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। / Taking \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। / This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही बात सहअभाज्यता से टकराती है। / That contradicts the condition of being coprime.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?
Why is it necessary to take \(\frac{p}{q}\) in lowest form while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#coprime
#hard
A ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो सकें / So that (p) and (q) can both be zero
C ताकि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक बन जाए / So that \(\sqrt{2}\) becomes an integer
D ताकि (q) को हटाया जा सके / So that (q) can be removed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। / The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है। / Always mention coprime at the start of the proof.
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यदि किसी छात्र ने लिखा कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) पूर्ण संख्या है, तो सही सुधार क्या होगा?
If a student writes that \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is a whole number, what is the correct correction?
#real-numbers
#root5
#perfect-square
#concept-error
#hard
A पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a whole number is not always rational
B हर पूर्ण संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है / The square root of every whole number is a whole number
C \(\sqrt{5}\) पूर्ण संख्या है / \(\sqrt{5}\) is a whole number
D \(\sqrt{5}\) को \(\frac{5}{1}\) लिखा जा सकता है / \(\sqrt{5}\) can be written as \(\frac{5}{1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a whole number is not always rational
Step 1
Concept
(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.
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किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?
Why is the assumption \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) finally proved wrong when (m,n) are taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#hard
A (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
B (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (2)
C (m) और (n) दोनों अपरिमेय निकलते हैं / (m) and (n) both turn out irrational
D (m) और (n) दोनों शून्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। / This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?
In the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational, what conclusion is obtained after putting (p=2k)?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#even-numbers
#hard
A \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
B \(q^2=k^2\), इसलिए (q=k) है / \(q^2=k^2\), so (q=k)
C \(p^2=q^2\), इसलिए (p=q) है / \(p^2=q^2\), so (p=q)
D (q=2p), इसलिए (q) सम है / (q=2p), so (q) is even
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। / Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है। / This second evenness completes the contradiction.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?
If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#divisibility
#hard
A \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
B \(5\mid b^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid b^2\), so \(5\mid a\)
C (a) और (b) दोनों विषम हैं / (a) and (b) are both odd
D (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं / (a) and (b) are both prime
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Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).
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किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?
Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#prime-divisibility
#hard
A यदि (3) किसी अभाज्य (p) को भाग दे तो वह \(p^2\) को भी भाग देगा / If (3) divides a prime (p), it also divides \(p^2\)
B यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
C हर वर्ग संख्या (3) से विभाज्य होती है / Every square number is divisible by (3)
D हर विषम संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य होता है / The square of every odd number is divisible by (3)
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Correct Answer
B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction mainly come from?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#proof
#hard
A (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
B केवल (p) विषम हो जाता है / Only (p) becomes odd
C केवल (q) विषम हो जाता है / Only (q) becomes odd
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / (p) and (q) both become negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। / So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / In exams, remember that coprime numbers cannot both be even.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि अंत में (p=5m) और (q=5n) मिलते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप पर सबसे सटीक टिप्पणी क्या होगी?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if finally (p=5m) and (q=5n) are obtained, what is the most accurate comment on the lowest form of \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt5 proof
#lowest form
#hard
#class 10
A यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
B यह सरलतम रूप ही है, क्योंकि (5) अभाज्य है / It is still in lowest form because (5) is prime
C यह परिभाषित नहीं है, क्योंकि (q=0) है / It is undefined because (q=0)
D यह (5) के बराबर हो जाता है / It becomes equal to (5)
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप नहीं हो सकता, क्योंकि इसे (5) से घटाया जा सकता है / It cannot be in lowest form because it can be reduced by (5)
Step 1
Concept
(p=5m) और (q=5n) होने पर अंश और हर दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If (p=5m) and (q=5n), both numerator and denominator have common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\) लिखा जा सकता है, यानी भिन्न घट सकती है। / So \(\frac{p}{q}=\frac{5m}{5n}=\frac{m}{n}\), meaning the fraction can be reduced.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / This contradicts the lowest-form assumption, so \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में \(p^2=3q^2\) को अभाज्य गुणनखंडों की घातों से कैसे समझा जा सकता है?
How can \(p^2=3q^2\) in the proof of \(\sqrt{3}\) be understood using exponents of prime factors?
#sqrt3 proof
#prime exponent
#hard
#class 10
A वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
B वर्ग में हर अभाज्य की घात शून्य होती है / In a square, every prime has exponent zero
C (3) पूर्ण वर्ग है, इसलिए कोई समस्या नहीं / (3) is a perfect square, so there is no issue
D (q) शून्य होने से समीकरण बनता है / The equation forms because (q) is zero
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Correct Answer
A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है / In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। / In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। / In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है। / This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator.
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (a) सम सिद्ध हो गया है और \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में है। अब सबसे सही अगला कदम कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) has been proved even and \(\frac{a}{b}\) is in lowest form. What is the most correct next step?
#sqrt2 proof
#proof order
#hard
#class 10
A (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
B यहीं विरोधाभास लिख देना / Write contradiction here itself
C (a=b) मान लेना / Assume (a=b)
D \(\sqrt{2}=2\) लिख देना / Write \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. (b) को भी समीकरण में रखकर सम सिद्ध करना / Prove (b) even by substituting in the equation
Step 1
Concept
केवल (a) सम मिलना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं बनाता। / Getting only (a) even does not create contradiction with the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
(a=2k) को \(a^2=2b^2\) में रखकर \(b^2=2k^2\) और फिर (b) सम सिद्ध करना होगा। / Substitute (a=2k) in \(a^2=2b^2\) to get \(b^2=2k^2\), then prove (b) even.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनेगा जब दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिले। / Contradiction occurs only when both have common factor (2).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धियों का सही सामान्य ढांचा देता है?
Which option gives the correct common structure of the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#proof structure
#irrationality
#hard
#class 10
A परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
B दशमलव निकालना, अनुमान लगाना, उत्तर लिखना / Find decimal, estimate, write the answer
C हर को शून्य मानना, फिर भिन्न हटाना / Assume denominator zero, then remove the fraction
D वर्गमूल को अंदर की संख्या मानना / Treat the square root as the inside number
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor
Step 1
Concept
पहले संख्या को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / First assume the number rational and write it as \(\frac{p}{q}\) in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने से विभाज्यता वाला समीकरण मिलता है। / Squaring gives a divisibility equation.
Step 3
Exam Tip
अंत में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाकर अपरिमेयता सिद्ध करते हैं। / Finally, a common factor gives contradiction and proves irrationality.
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तीनों सिद्धियों में अंतिम पंक्ति लिखते समय कौन सा वाक्य सबसे सुरक्षित है?
While writing the final line in all three proofs, which sentence is the safest?
#final conclusion
#exam writing
#hard
#class 10
A यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
B अतः हर शून्य है / Hence the denominator is zero
C अतः वर्गमूल अंदर की संख्या के बराबर है / Hence the square root equals the number inside
D अतः दी गई संख्या पूर्ण वर्ग है / Hence the given number is a perfect square
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Correct Answer
A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विरुद्ध है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / All three proofs start with a rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / At the end, a contradiction is obtained from the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / Therefore the final line should clearly state contradiction and irrationality.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में अंतिम विरोधाभास से ठीक पहले कौन सा कथन होना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{5}\), which statement should come just before the final contradiction?
#sqrt5 proof
#pre contradiction
#hard
#class 10
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (q=0)
C \(\sqrt{5}=5\)
D (p=q)
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / First (p) is proved divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिस्थापन के बाद (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / After substitution, (q) is also proved divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसके बाद दोनों में साझा गुणनखंड (5) से विरोधाभास लिखा जाता है। / After this, contradiction is written using common factor (5).
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