\(1^2\) and \(13^2\) give 1, \(3^2\) and \(11^2\) give 9, and \(5^2\) and \(9^2\) give 11 as remainders.
Step 3
Exam Tip
Write possible remainders without repeating them. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(13^2\) से 1, \(3^2\) और \(11^2\) से 9, तथा \(5^2\) और \(9^2\) से 11 शेषफल मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों को दोहराए बिना लिखें।
The final answer must always be less than 34. चरण 1: वर्ग के लिए \(27^2=729\) लें। चरण 2: \(729=34\times21+15\), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 34 से छोटा होना चाहिए।
\(5^2=25\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 5 या 7 है। चरण 2: \(5^2=25\) और \(7^2=49\), दोनों को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
The square remainder comes from dividing \(16^2=256\) by 19.
Step 2
Why this answer is correct
\(256=19\times13+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square only the remainder instead of the full number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(16^2=256\) को 19 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(256=19\times13+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लें।
\(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), and \(11^2\) all leave remainder 1 when divided by 12.
Step 3
Exam Tip
Checking the squares of possible remainders separately is a safe method. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\), \(5^2\), \(7^2\), और \(11^2\) सभी को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: संभावित शेषफलों के वर्गों को अलग-अलग जांचना सुरक्षित तरीका है।
\(441=26\times16+25\), so the remainder should be 25.
Step 3
Exam Tip
The final answer must always be less than 26. चरण 1: वर्ग के लिए \(21^2=441\) लें। चरण 2: \(441=26\times16+25\), इसलिए शेषफल 25 होना चाहिए। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 26 से छोटा होना चाहिए।
\(3^2=9\) and \(7^2=49\), and both leave remainder 9 when divided by 10.
Step 3
Exam Tip
In form-based questions, work only with the remainder. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 7 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(7^2=49\), दोनों को 10 से भाग देने पर शेषफल 9 है। चरण 3: रूप आधारित प्रश्नों में केवल शेषफल पर काम करें।
Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है।
The square remainder comes from dividing \(14^2=196\) by 17.
Step 2
Why this answer is correct
\(196=17\times11+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(14^2=196\) को 17 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(196=17\times11+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
\(1^2\) and \(9^2\) leave remainder 1, while \(3^2\) and \(7^2\) leave remainder 9.
Step 3
Exam Tip
When listing possible remainders, count repeated results only once. चरण 1: दिए गए शेषफलों के वर्ग देखें। चरण 2: \(1^2\) और \(9^2\) का शेषफल 1 है, जबकि \(3^2\) और \(7^2\) का शेषफल 9 है। चरण 3: संभावित शेषफल सूची बनाते समय दोहराव को एक बार ही गिनें।
The final answer must be smaller than 21, so 289 cannot be the answer. चरण 1: वर्ग के लिए \(17^2=289\) लें। चरण 2: \(289=21\times13+16\), इसलिए शेषफल 16 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 21 से छोटा होना चाहिए, इसलिए 289 उत्तर नहीं हो सकता।
\(3^2=9\) and \(5^2=25\), and both leave remainder 1 on division by 8.
Step 3
Exam Tip
Checking squares of odd remainders modulo 8 is a quick method. चरण 1: दोनों रूपों में शेषफल 3 या 5 है। चरण 2: \(3^2=9\) और \(5^2=25\), दोनों को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: विषम शेषफलों के वर्ग को 8 से जांचना तेज तरीका है।
Their square remainders are 0, 1, 4, 2, 2, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 2, or 4. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 2 या 4 हो सकता है।
The square remainder comes from dividing \(11^2=121\) by 13.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=13\times9+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(11^2=121\) को 13 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(121=13\times9+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
Do not write 121 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(11^2=121\) लें। चरण 2: \(121=15\times8+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 121 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
In such forms, work only with the remainder, not the whole number. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: ऐसे रूपों में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.
Step 2
Why this answer is correct
Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: 5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता।
The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square the remainder instead of the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
Squares of many numbers coprime to 6 show remainder 1, but checking is always better. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों में शेषफल 1 है। चरण 3: 6 से सहअभाज्य कई संख्याओं के वर्गों में शेषफल 1 दिखता है, पर हमेशा जांच करना अच्छा है।
Do not write 64 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(8^2=64\) लें। चरण 2: \(64=13\times4+12\), इसलिए शेषफल 12 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 64 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, and 3.
Step 2
Why this answer is correct
The square remainders are respectively 0, 1, 0, and 1.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 4 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 0, 1 मिलते हैं। चरण 3: 4 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं होता।
The square remainder comes from dividing \(7^2=49\) by 9.
Step 2
Why this answer is correct
\(49=9\times5+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(7^2=49\) को 9 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(49=9\times5+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग में पूरी संख्या की जगह केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
The square remainder comes from dividing \(4^2=16\) by 5.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=5\times3+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
A remainder one less than the divisor often gives square remainder 1. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(4^2=16\) को 5 से भाग देने पर मिलेगा। चरण 2: \(16=5\times3+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल का वर्ग अक्सर 1 देता है।
The square remainder is obtained from \(15^2=225\) divided by 16. \(225=16\times14+1\).
Step 3
Exam Tip
The square of a remainder (b-1) often gives remainder 1. चरण 1: संख्या को (16q+15) मानें। चरण 2: वर्ग का शेषफल \(15^2=225\) को 16 से भाग देने पर मिलेगा। \(225=16\times14+1\)। चरण 3: (b-1) शेषफल का वर्ग अक्सर 1 शेषफल देता है।
The square remainders are 0, 1, and the remainder of \(2^2=4\), which is 1.
Step 3
Exam Tip
For squares modulo 3, remainder 2 never appears. चरण 1: संख्या को (3q), (3q+1), (3q+2) माना जा सकता है। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1 और \(2^2=4\) से 1 होंगे। चरण 3: वर्गों में शेषफल 2 नहीं आता, यह महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है।
The remainder of \(p^2\) is the remainder of \(4^2=16\) divided by 6, and \(16=6\times2+4\).
Step 3
Exam Tip
In power-based questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (p=6q+4) मानें। चरण 2: \(p^2\) का शेषफल \(4^2=16\) को 6 से भाग देने पर मिलेगा, और \(16=6\times2+4\)। चरण 3: घात वाले सवालों में पूरे अंक की जगह शेषफल पर काम करें।
The number has remainder 5, so the square has the same remainder as \(5^2=25\) divided by 6.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=6\times4+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
In square questions, first square the smaller remainder. चरण 1: संख्या का शेषफल 5 है, इसलिए वर्ग का शेषफल \(5^2=25\) को 6 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(25=6\times4+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: वर्ग वाले सवालों में पहले छोटे शेषफल का वर्ग लें।
