(0*x=0) for every (x), so it can never become (1).
Step 3
Exam Tip
Zero has no multiplicative inverse, even in a remainder-based operation. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (1) है। चरण 2: (0*x=0) हर (x) के लिए, इसलिए यह कभी (1) नहीं बन सकता। चरण 3: शून्य का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता, यह बात शेषफल वाली क्रिया में भी याद रखें।
In multiplication modulo (5), the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
A multiplicative inverse must make the product congruent to (1). चरण 1: गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। चरण 2: (2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। चरण 3: गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए।
In multiplication with remainders, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
For inverse (x) of (2), the remainder of (2x) on division by (5) must be (1).
Step 3
Exam Tip
\(2\cdot3=6\), whose remainder is (1), so the answer is (3). चरण 1: गुणन के शेष में तत्समक (1) है। चरण 2: (2) के प्रतिलोम (x) के लिए (2x) का (5) से शेष (1) होना चाहिए। चरण 3: \(2\cdot3=6\) और (6) का शेष (1) है, इसलिए उत्तर (3) है।
A. यह बंद है और (1) तत्समक है/It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
For a finite set, sample products reveal the closure pattern. चरण 1: दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। चरण 2: (1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। चरण 3: सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें।
This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse. चरण 1: यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। चरण 2: (1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। चरण 3: (0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं।
(3*3) gives the remainder of (9) on division by (4), which is (1).
Step 3
Exam Tip
In modular multiplication, elements relatively prime to the modulus have inverses. चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। चरण 2: (3*3) में (9) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 3: शेषफल आधारित गुणन में वही अवयव प्रतिलोम रखते हैं जो मापांक से सहभाज्य हों।
In this multiplication-based remainder operation, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
We need (2*b=1). Since \(2\cdot2=4\), and the remainder of (4) on division by (3) is (1), the inverse is (2).
Step 3
Exam Tip
While finding an inverse, always equate the operation result to the identity element. चरण 1: इस गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में तत्समक (1) है। चरण 2: (2*b=1) चाहिए। \(2\cdot2=4\) और (4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम खोजते समय संक्रिया का परिणाम हमेशा तत्समक अवयव के बराबर रखें।
In a multiplication-based remainder operation, we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder of \(a\cdot1\) when divided by (5) is (a), since (a) already lies from (0) to (4).
Step 3
Exam Tip
For multiplication modulo a number, (1) is the identity. चरण 1: गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। चरण 2: \(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर शेष (a) ही रहता है, क्योंकि (a) पहले से (0) से (4) के बीच है। चरण 3: गुणन वाली शेषफल संक्रिया में (1) तत्समक होता है।
In (a*1), \(a\cdot1=a\), and its remainder modulo (3) is the same (a) for elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For modulo multiplication, check (1) first as identity. चरण 1: गुणा में (1) से गुणा करने पर संख्या वही रहती है। चरण 2: (a*1) में \(a\cdot1=a\) और उसका (3) से शेषफल (A) के अवयवों के लिए वही (a) है। चरण 3: शेषफल गुणा में (1) को पहले जांचें।
In remainder-based operations, the final answer is the remainder, not the original product. चरण 1: पहले (ab) निकालें। \(2\cdot2=4\) है। चरण 2: (4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है। चरण 3: शेषफल वाली संक्रिया में अंतिम उत्तर शेषफल होता है मूल गुणनफल नहीं।
