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C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(2\times5\)
Explanation
Simple Explanation
आयताकार मैट्रिक्स में पंक्तियां और स्तंभ बराबर नहीं होते। \(2\times5\) में \(2\ne5\) है। / In a rectangular matrix, rows and columns are not equal. In \(2\times5\), \(2\ne5\).
C. क्रम \(4\times4\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(4\times4\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। \(4\times4\) में दोनों संख्या (4) हैं। / In a square matrix, the number of rows and columns is equal. In \(4\times4\), both numbers are (4).
(i=j) मुख्य विकर्ण को दर्शाता है, जहां अवयव (1) हैं। \(i\ne j\) पर बाकी अवयव (0) हैं, इसलिए यह इकाई मैट्रिक्स है। / (i=j) represents the main diagonal, where the elements are (1). For \(i\ne j\), the other elements are (0), so it is an identity matrix.
जब सभी अवयव (0) हों, तो मैट्रिक्स शून्य मैट्रिक्स होती है। यह definition पर आधारित सीधा प्रश्न है। / When all elements are (0), the matrix is a zero matrix. This is a direct definition-based question.
इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी (0) होते हैं। यह रूप दूसरे विकल्प में है। / An identity matrix has (1) on the main diagonal and (0) elsewhere. This form is in the second option.
शून्य मैट्रिक्स में हर अवयव (0) होता है। पहले विकल्प में चारों अवयव (0) हैं। / Every element in a zero matrix is (0). In the first option, all four elements are (0).
इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर (1) होते हैं। बाकी अवयव (0) होते हैं। / In an identity matrix, the main diagonal elements are (1). The remaining elements are (0).
अदिश मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर समान संख्या होती है। बाकी सभी अवयव (0) होते हैं। / In a scalar matrix, the main diagonal has the same number. All other elements are (0).
विकर्ण मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) होते हैं। मुख्य विकर्ण के अवयव (0) या nonzero हो सकते हैं। / In a diagonal matrix, all elements outside the main diagonal are (0). Main diagonal elements may be (0) or nonzero.
मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) हैं। इसलिए यह विकर्ण मैट्रिक्स है। / All elements outside the main diagonal are (0). Therefore this is a diagonal matrix.
मुख्य विकर्ण पर बराबर अवयव (5) हैं और बाकी अवयव (0) हैं। ऐसी विकर्ण मैट्रिक्स अदिश मैट्रिक्स कहलाती है। / The main diagonal has equal elements (5), and the remaining elements are (0). Such a diagonal matrix is called a scalar matrix.
मुख्य विकर्ण के बाहर सभी अवयव (0) हैं। इसलिए यह विकर्ण मैट्रिक्स है। / All elements outside the main diagonal are (0). Therefore it is a diagonal matrix.
इस मैट्रिक्स के सभी अवयव (0) हैं। सभी अवयव (0) हों तो उसे शून्य मैट्रिक्स कहते हैं। / All elements of this matrix are (0). A matrix with all elements (0) is called a zero matrix.
मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव (1) हैं और बाकी (0) हैं। ऐसी मैट्रिक्स को इकाई मैट्रिक्स कहते हैं। / All main diagonal elements are (1) and the remaining elements are (0). Such a matrix is called an identity matrix.
इसमें केवल (1) पंक्ति है। केवल एक पंक्ति वाली मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहते हैं। / It has only (1) row. A matrix with only one row is called a row matrix.
इसमें केवल (1) स्तंभ और (3) पंक्तियां हैं। ऐसे मैट्रिक्स को स्तंभ मैट्रिक्स कहते हैं। / It has only (1) column and (3) rows. Such a matrix is called a column matrix.
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। / The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। / If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है। / That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric.
A. संख्याओं की आयताकार व्यवस्था/A rectangular arrangement of numbers
Explanation
Simple Explanation
मैट्रिक्स संख्याओं या व्यंजकों की आयताकार व्यवस्था है। इसे पंक्तियों और स्तंभों में लिखा जाता है। / A matrix is a rectangular arrangement of numbers or expressions. It is written in rows and columns.
\(1\times1=1\), इसलिए इसमें केवल (1) अवयव होता है। छोटे क्रम में भी वही नियम लागू होता है। / Since \(1\times1=1\), it has only (1) element. The same rule applies even for small orders.
कुल अवयव (=) पंक्ति \(\times\) स्तंभ है। \(24=m\times6\) से (m=4) मिलता है। / Total elements (=) rows \(\times\) columns. From \(24=m\times6\), we get (m=4).
कुल अवयव (=) पंक्ति \(\times\) स्तंभ होता है। इसलिए \(15=3\times n\) से (n=5)। / Total elements (=) rows \(\times\) columns. Thus \(15=3\times n\) gives (n=5).
कुल अवयव पंक्तियों और स्तंभों के गुणनफल से मिलते हैं। इसलिए संख्या (mn) है। / The total elements are obtained by multiplying rows and columns. Therefore the number is (mn).
\(a_{ij}=i\) में प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयव उसी पंक्ति संख्या के बराबर होंगे। पहली पंक्ति में (1) और दूसरी में (2) आएगा। / In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
A. दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव/Element in (2)nd row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{23}\) में (2) पंक्ति संख्या और (3) स्तंभ संख्या है। इसलिए यह दूसरी पंक्ति तीसरे स्तंभ का अवयव है। / In \(a_{23}\), (2) is the row number and (3) is the column number. So it is the element in the (2)nd row and (3)rd column.
(a*{ij}) में (i) पंक्ति संख्या को दर्शाता है। (j) स्तंभ संख्या को दर्शाता है। / In \(a_{ij}\), (i) represents the row number. (j) represents the column number.
कुल अवयव \(3\times4=12\) होते हैं। अवयवों की संख्या पंक्तियों और स्तंभों के गुणनफल से मिलती है। / The total elements are \(3\times4=12\). The number of elements is found by multiplying rows and columns.
इस मैट्रिक्स में (2) पंक्तियां और (3) स्तंभ हैं। क्रम हमेशा पंक्ति \(\times\) स्तंभ लिखा जाता है। / This matrix has (2) rows and (3) columns. Order is always written as row \(\times\) column.
आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें। / In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित है। / Hence the relation is symmetric.
आव्यूह से सममितता जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर के स्थानों को मिलाते हैं। / To test symmetry using a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,3)) और ((3,1)) दोनों स्थानों पर 1 है, बाकी भी मेल खाते हैं। / Here the ((1,3)) and ((3,1)) positions both contain 1, and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने परिवर्तित आव्यूह के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.
सममित आव्यूह में \(m_{12}=m_{21}\) होना चाहिए। / In a symmetric matrix, \(m_{12}=m_{21}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
पहले विकल्प में दोनों प्रविष्टियाँ (1) हैं, इसलिए यह मुख्य विकर्ण के बारे में समान है। / In option A, both entries are (1), so the matrix is identical about the main diagonal.
Step 3
Exam Tip
छोटे आव्यूह में विकर्ण के ऊपर और नीचे की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / In small matrices, compare entries above and below the diagonal.
स्वरों (A,I) को एक खंड मानने पर \(5!\cdot 2!\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। साथ वाली शर्त में खंड विधि सबसे उपयोगी है। / Treat vowels (A,I) as one block, giving \(5!\cdot 2!\) arrangements. For together conditions, the block method is most useful.
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है। / Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
A. प्रतिवर्ती और प्रतिसममित पर संक्रामी नहीं/Reflexive and antisymmetric but not transitive
Explanation
Simple Explanation
सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और कोई विपरीत अविकर्ण जोड़ा साथ नहीं है। पर ((1,2)) और ((2,3)) हैं जबकि ((1,3)) नहीं है। / All diagonal entries are (1) and no opposite off-diagonal pair occurs together. But ((1,2)) and ((2,3)) are present while ((1,3)) is absent.
मैट्रिक्स में सभी विकर्ण प्रविष्टियां (1) हैं और मैट्रिक्स सममित है। युग्म ({1,3}) का पूरा वर्ग बनता है, इसलिए संक्रामिता भी सही है। / All diagonal entries of the matrix are (1) and the matrix is symmetric. The pair ({1,3}) forms a complete class, so transitivity also holds.
A. जब अनेक गतिविधियाँ सीमित समय और संसाधन के लिए प्रतिस्पर्धा करें/When many activities compete for limited time and resources
Explanation
Simple Explanation
Priority matrix महत्वपूर्ण और तात्कालिक tasks को अलग करने में मदद करती है। परीक्षा में limited resources पर priority जरूरी है। / A priority matrix helps separate important and urgent tasks. In exams, priority is necessary with limited resources.
A. dual reporting में command clarity और coordination बनाए रखना/Maintaining command clarity and coordination in dual reporting
Explanation
Simple Explanation
matrix में कई reporting lines भ्रम पैदा कर सकती हैं इसलिए unity and coordination पर ध्यान चाहिए। परीक्षा में modern case को मूल principle से जोड़ें। / Multiple reporting lines in a matrix can create confusion so unity and coordination need attention. In exams connect modern case with the basic principle.
मुख्य विकर्ण पर समान अवयव (3) हैं और बाहर के अवयव (0) हैं। इसलिए (A) अदिश मैट्रिक्स है। / The main diagonal has equal elements (3), and outside elements are (0). Therefore (A) is a scalar matrix.
A. तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स/Identity matrix of order (3)
Explanation
Simple Explanation
मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी स्थानों पर (0) हैं। यह \(3\times3\) इकाई मैट्रिक्स है। / The main diagonal has (1) and all other positions have (0). It is the \(3\times3\) identity matrix.
A. क्योंकि \(m_{12}\neq m_{21}\)/Because \(m_{12}\neq m_{21}\)
Step 1
Concept
सममित संबंध के आव्यूह में \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For a symmetric relation matrix, \(m_{ij}=m_{ji}\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\), लेकिन \(m_{21}=0\), इसलिए बराबरी टूट गई। / Here \(m_{12}=1\), but \(m_{21}=0\), so the equality fails.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / In matrix-based questions, compare entries on both sides of the main diagonal.
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। / Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it.
आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। / To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric.
संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए। / In matrix questions, compare entries across the main diagonal.
आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ बराबर होनी चाहिए। / For a relation matrix to represent a symmetric relation, entries across the main diagonal must match.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ पहली और तीसरी स्थिति पर \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), तथा बाकी विपरीत प्रविष्टियाँ भी बराबर हैं। / Here \(m_{13}=1\) and \(m_{31}=1\), and the other opposite entries also match.
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने स्थानांतरण के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.
आव्यूह में मुख्य विकर्ण के दोनों ओर समान प्रविष्टियाँ हों तो उलटे युग्म साथ-साथ मिलते हैं। / If entries on both sides of the main diagonal match, reverse pairs occur together.
Step 2
Why this answer is correct
यह सममितता की शर्त को दिखाता है। / This represents the condition of symmetry.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्नों में मुख्य विकर्ण को दर्पण रेखा की तरह देखें। / In matrix questions, treat the main diagonal like a mirror line.
तीन अवयवों वाले समुच्चय पर किसी संबंध का आव्यूह \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\) है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कितनी प्रविष्टियाँ बदलनी होंगी?
आव्यूह से स्ववाची संबंध जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण देखें। / To check reflexivity from a matrix, look at the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण प्रविष्टियाँ (1,0,1) हैं, इसलिए बीच वाली प्रविष्टि को (1) करना होगा। / The diagonal entries are (1,0,1), so the middle entry must be changed to (1).
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण की कमी बदलना पर्याप्त है। / Only the missing diagonal entry needs correction.
C. लोकप्रियता और लाभ के आधार पर व्यंजनों को वर्गीकृत करने के लिए/To classify dishes based on popularity and profit
Explanation
Simple Explanation
यह मैट्रिक्स बताता है कि कौन-सा व्यंजन रखना, सुधारना या बदलना है। परीक्षा में मेन्यू को आय योजना से जोड़ें। / This matrix shows which dish to keep, improve or change. Exam tip: connect menu with income planning.
\(a_{22}\) दूसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव है। दिए गए मैट्रिक्स में यह (6) है। / \(a_{22}\) is the element in the second row and second column. In the given matrix, it is (6).
(A) का क्रम \(2\times3\) है। transpose में क्रम बदलकर \(3\times2\) हो जाता है। / The order of (A) is \(2\times3\). In transpose, the order changes to \(3\times2\).
बराबर मैट्रिक्स में समान स्थानों पर बराबर अवयव होते हैं। इसलिए (x=3) और (y=4)। / In equal matrices, corresponding elements are equal. Therefore (x=3) and (y=4).
दोनों का क्रम समान है, पर अंतिम अवयव (4) और (5) बराबर नहीं हैं। इसलिए \(A\ne B\)। / Their order is the same, but the last elements (4) and (5) are not equal. Therefore \(A\ne B\).
दूसरी पंक्ति में नीचे वाली क्षैतिज सूची आती है। इसलिए दूसरी पंक्ति (4,5,6) है। / The second row is the lower horizontal list. Therefore the second row is (4,5,6).
A. पहली पंक्ति और तीसरा स्तंभ/(1)st row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{13}\) में (1) पंक्ति को और (3) स्तंभ को बताता है। index का क्रम हमेशा पंक्ति फिर स्तंभ होता है। / In \(a_{13}\), (1) tells the row and (3) tells the column. The index order is always row then column.
मुख्य विकर्ण के बाहर वाले अवयव off-diagonal होते हैं। यहां वे (5) और (7) हैं। / The elements outside the main diagonal are off-diagonal elements. Here they are (5) and (7).
मुख्य विकर्ण ऊपर बाएं से नीचे दाएं जाता है। इसलिए अवयव (1) और (2) हैं। / The main diagonal goes from top-left to bottom-right. Therefore the elements are (1) and (2).
Transpose लेने पर पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल जाते हैं। इसलिए \(2\times3\) का transpose \(3\times2\) होगा। / On taking transpose, rows and columns interchange. Therefore the transpose of \(2\times3\) has order \(3\times2\).
परिवर्तित मैट्रिक्स में पंक्तियां स्तंभ बन जाती हैं। इसलिए \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\)। / In transpose, rows become columns. Hence \(A^T=\begin{bmatrix}1&3\2&4\end{bmatrix}\).
हर पंक्ति में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) स्तंभ हैं। स्तंभ ऊपर से नीचे बनते हैं। / Each row has (4) elements, so there are (4) columns. Columns run from top to bottom.
दिए गए मैट्रिक्स में क्षैतिज सूचियां (3) हैं। इसलिए पंक्तियों की संख्या (3) है। / The given matrix has (3) horizontal lists. Therefore the number of rows is (3).
\(a_{ij}=j\) में अवयव स्तंभ संख्या के बराबर होता है। इसलिए हर पंक्ति में (1,2) आएगा। / In \(a_{ij}=j\), each element equals the column number. So each row becomes (1,2).
C. जब उनका क्रम समान हो और समान स्थानों के अवयव बराबर हों/When their orders are same and corresponding elements are equal
Explanation
Simple Explanation
दो मैट्रिक्स बराबर होने के लिए उनका क्रम समान होना चाहिए। साथ ही हर corresponding अवयव बराबर होना चाहिए। / For two matrices to be equal, their order must be the same. Also, every corresponding element must be equal.
\(a_{21}\) दूसरी पंक्ति और पहले स्तंभ का अवयव है। इस स्थान पर (9) है। / \(a_{21}\) is the element in the second row and first column. At this position, the value is (9).
\(a_{12}\) पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ का अवयव है। वहां मान (2) है। / \(a_{12}\) is the element of the first row and second column. The value there is (2).
A. DNA fragment को gel matrix से release करने के लिए/To release DNA fragment from gel matrix
Explanation
Simple Explanation
Desired band agarose matrix में फंसा होता है। Melting और binding steps DNA recovery में मदद करते हैं। / The desired band is trapped in agarose matrix. Melting and binding steps help DNA recovery.
A. क्रम की सबसे पुरानी दर्ज घटना/The earliest recorded event in the sequence
Explanation
Simple Explanation
आरेख ऊर्ध्व संबंधों को कालक्रम में व्यवस्थित करता है। नीचे की इकाइयाँ सामान्यतः पहले की घटनाएँ होती हैं। / The diagram organises vertical relationships chronologically. Lower units generally represent earlier events.
B. संदर्भों का कालानुक्रमिक क्रम समझना/To understand the chronological order of contexts
Explanation
Simple Explanation
परतों गड्ढों दीवारों और भरावों के संबंध से स्थल का निर्माण क्रम बनाया जाता है। यह जटिल स्तरक्रम समझने में सहायक है। / Relationships among layers pits walls and fills are used to reconstruct the site's sequence. This helps interpret complex stratigraphy.
A. प्राथमिकता मैट्रिक्स या सूची बनाकर निर्णय करना/Decide using a priority matrix or list
Explanation
Simple Explanation
सूची या मैट्रिक्स दबाव में भी निर्णय स्पष्ट करती है। परीक्षा में व्यवस्थित प्राथमिकता विधि चुनें। / A list or matrix clarifies decisions even under pressure. In exams, choose a systematic prioritisation method.
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
