\(128=2^7\), so \(\frac{7}{128}\) has (7) decimal places.
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(160=2^5\cdot 5\), giving (4), (3), and (5) places.
Step 3
Exam Tip
For comparison, factorise the denominators quickly. चरण 1: \(128=2^7\), इसलिए \(\frac{7}{128}\) में (7) दशमलव स्थान होंगे। चरण 2: \(625=5^4\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(160=2^5\cdot 5\) हैं, इसलिए इनके स्थान क्रमशः (4), (3), और (5) हैं। चरण 3: तुलना में हर का अभाज्य रूप जल्दी निकालें।
\(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\), whose denominator is (3), so the decimal is non-terminating recurring. The other options reduce to denominators with only (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
Check the lowest form of every option first. चरण 1: विकल्पों को सरल करें। चरण 2: \(\frac{121}{363}=\frac{1}{3}\) है, जिसका हर (3) है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। बाकी विकल्प सरल होकर (2) और (5) वाले हर देते हैं। चरण 3: हर विकल्प में सरलतम रूप सबसे पहले देखें।
The reduced denominator is (2), so the decimal terminates. In the other options, factors like (3) or (7) do not cancel completely.
Step 3
Exam Tip
Such questions test whether you reduce the fraction first. चरण 1: \(\frac{21}{42}=\frac{1}{2}\) हो जाता है। चरण 2: सरलतम रूप में हर (2) है, इसलिए दशमलव सांत होगा। बाकी विकल्पों में (3) या (7) जैसे गुणनखंड पूरी तरह नहीं कटते। चरण 3: ऐसे प्रश्न सरलतम रूप की जाँच करवाते हैं।
Because (3) is present in the denominator, the decimal will not terminate.
Step 3
Exam Tip
Since it is rational, the decimal will be non-terminating recurring. चरण 1: \(45=3^2\times5\) है। चरण 2: हर में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: परिमेय संख्या होने के कारण इसका दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा।
\(\frac{44}{242}\) simplifies by (22) to \(\frac{2}{11}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator (11) is not made of (2) and (5), so the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Simplify every option before making the final choice. चरण 1: \(\frac{44}{242}\) को (22) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। चरण 2: हर (11) में (2) या (5) नहीं है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सभी विकल्पों को सरल करके ही अंतिम चयन करें।
For a terminating decimal, the denominator must have only (2) and (5) as prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(8=2^3\), \(\frac{7}{8}\) terminates.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Always prime-factorise the denominator first. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड होने चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\), इसलिए \(\frac{7}{8}\) का दशमलव समाप्त होगा। चरण 3: परीक्षा सुझाव: पहले हर का अभाज्य गुणनखंडन करें।
The denominator contains (3), so \(\frac{7}{18}\) will not terminate.
Step 3
Exam Tip
In options, identify the denominator that has a factor other than (2) and (5). चरण 1: \(18=2\times3^2\) है। चरण 2: भाजक में (3) है, इसलिए \(\frac{7}{18}\) का दशमलव समाप्त नहीं होगा। चरण 3: विकल्पों में उस भाजक को पहचानें जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हो।
The factor (3) makes the decimal non-terminating, and since the number is rational, it is recurring.
Step 3
Exam Tip
Be alert when a factor other than (2) or (5) appears. चरण 1: \(15=3\times5\) है। चरण 2: भाजक में (3) होने से दशमलव समाप्त नहीं होगा और भिन्न परिमेय है, इसलिए आवर्ती होगा। चरण 3: (2) और (5) से अलग गुणनखंड देखते ही सावधान हो जाएं।
It contains only (2) and (5), so \(\frac{9}{40}\) gives a terminating decimal.
Step 3
Exam Tip
Quickly factor the denominators in options. चरण 1: \(40=2^3\times5\) है। चरण 2: इसमें केवल (2) और (5) हैं, इसलिए \(\frac{9}{40}\) समाप्त दशमलव देगा। चरण 3: विकल्पों में भाजक के अभाज्य गुणनखंड तेजी से पहचानें।
\(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{1}{2}\). \(-\frac{1}{2}\) lies between (-1) and (0) and is rational. Place negative fractions carefully on the number line.
Step 3
Exam Tip
\(-\frac{1}{2}\) (-1) और (0) के बीच है और परिमेय है। संख्या रेखा पर ऋणात्मक भिन्नों को ध्यान से रखें।
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), \(\pi\). \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\), and \(\pi\) are all irrational. Identify square roots of perfect squares and fractions separately.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{7}\) और \(\pi\) सभी अपरिमेय हैं। पूर्ण वर्ग की जड़ और भिन्न को अलग पहचानें।
\(111=3\cdot 37\), which has factors other than (2) and (5). Therefore the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Fractions from recurring decimals often have denominators made from (9)'s. चरण 1: \(\frac{18}{999}=\frac{2}{111}\) है। चरण 2: \(111=3\cdot 37\), जिसमें (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। चरण 3: आवर्ती दशमलव से आई भिन्नों में हर में अक्सर (9) वाले गुणनखंड होते हैं।
A. सांत और (3) स्थानों पर समाप्त/Terminating after (3) places
Step 1
Concept
\(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(125=5^3\), the decimal terminates after (3) places.
Step 3
Exam Tip
Even for small fractions, reduce to lowest form first. चरण 1: \(\frac{6}{375}=\frac{2}{125}\) है। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: छोटी भिन्नों में भी सरलतम रूप निकालना जरूरी है।
\(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\), so it actually terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The other listed fractions also reduce to denominators containing only (2) and (5). Therefore none of them is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
If a requested option does not appear, recheck every simplification carefully. चरण 1: \(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\) नहीं, बल्कि \(\frac{14}{350}=\frac{1}{25}\) ही होता है, इसलिए यह सांत है। यहाँ सावधानी से विकल्प जाँचें। चरण 2: बाकी दिए गए सभी विकल्प भी सरलतम रूप में केवल (2) और (5) वाले हर देते हैं। इसलिए कोई भी असांत आवर्ती नहीं है। चरण 3: यदि प्रश्न में ऐसा विकल्प माँगा जाए और न मिले, तो गणना दोबारा जाँचें।
A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
Its decimal expansion either terminates or has a fixed repetition.
Step 3
Exam Tip
A non-terminating non-recurring decimal is not rational. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका दशमलव या तो समाप्त होता है या निश्चित दोहराव देता है। चरण 3: असमाप्त अनावर्ती दशमलव परिमेय संख्या का नहीं होता।
Since \(16=2^4\), the decimal terminates after (4) places.
Step 3
Exam Tip
Reducing first is necessary in such fractions. चरण 1: \(\frac{15}{48}=\frac{5}{16}\) है। चरण 2: \(16=2^4\), इसलिए दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। चरण 3: ऐसी भिन्नों में पहले सरल करना जरूरी है।
Dividing \(\frac{21}{14}\) by (7) gives \(\frac{3}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{2}=1.5\).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Reduce larger fractions before converting to decimals. चरण 1: \(\frac{21}{14}\) को (7) से सरल करने पर \(\frac{3}{2}\) मिलता है। चरण 2: \(\frac{3}{2}=1.5\) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: बड़ी भिन्नों को पहले घटाकर सरल रूप में लाएं।
The denominator has factors other than (2) and (5), so the decimal does not terminate and recurs.
Step 3
Exam Tip
Such denominators in rational fractions give recurring decimals. चरण 1: \(33=3\times11\) है। चरण 2: भाजक में (2) और (5) के अलावा गुणनखंड हैं, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और आवर्ती होगा। चरण 3: परिमेय भिन्न में ऐसे भाजक आवर्ती दशमलव देते हैं।
Fractions with denominator (16) may have four decimal places. चरण 1: \(16=2^4\) है, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: \(\frac{1}{16}=\frac{625}{10000}=0.0625\) है। चरण 3: (16) वाले भिन्नों में चार दशमलव स्थान आ सकते हैं।
The fraction is in lowest form and the denominator is (7).
Step 2
Why this answer is correct
Since the denominator has a factor other than (2) or (5), the decimal is non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{22}{7}\) is rational, so its non-terminating decimal must repeat. चरण 1: भिन्न सरल रूप में है और भाजक (7) है। चरण 2: भाजक में (2) या (5) के अलावा गुणनखंड है, इसलिए दशमलव असमाप्त आवर्ती होगा। चरण 3: \(\frac{22}{7}\) परिमेय है, इसलिए उसका असमाप्त दशमलव आवर्ती ही होगा।
A. जब (a) को दो पूर्ण वर्गों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके/When (a) can be written as a ratio of two perfect squares
Step 1
Concept
The square root of a rational fraction is rational when both numerator and denominator can be perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), so a ratio of two perfect squares is a safe condition.
Step 3
Exam Tip
Being positive or less than (1) does not guarantee a rational square root. चरण 1: किसी परिमेय भिन्न का वर्गमूल परिमेय तब होता है जब अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग बन सकें। चरण 2: जैसे \(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\), इसलिए दो पूर्ण वर्गों का अनुपात सुरक्षित स्थिति है। चरण 3: केवल धनात्मक या (1) से छोटा होना परिमेय वर्गमूल की गारंटी नहीं देता।
Multiply by \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The numerator becomes (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) and the denominator is (10-6=4), so the value is \(4+\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
In conjugate fractions, clear the denominator first. चरण 1: हर को परिमेय बनाने के लिए \(\sqrt{10}+\sqrt{6}\) से गुणा करें। चरण 2: ऊपर (\(\sqrt{10}+\sqrt{6}\)2=16+2\sqrt{60}) और नीचे (10-6=4) मिलता है, इसलिए मान \(4+\sqrt{15}\) है। चरण 3: संयुग्मी वाले भिन्नों में हर को पहले साफ करें।
First observe the common structure and take \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) and \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\). Here \(a^2+b^2=24\) and (ab=2), so (x=12).
Step 3
Exam Tip
For fractions with conjugate surds, use substitution instead of expanding everything directly. चरण 1: पहले दोनों भिन्नों का साझा रूप देखें और \(a=\sqrt{7}+\sqrt{5}\) तथा \(b=\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मानें। चरण 2: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) होगा। यहाँ \(a^2+b^2=24\) और (ab=2) इसलिए (x=12) है। चरण 3: संयुग्मी मूलों वाले भिन्नों में सीधे लंबा प्रसार करने के बजाय (a) और (b) रखकर हल करें।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), and \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying the square-root option is a good way to check it. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल वाले विकल्प को सरल करके जांचना अच्छा तरीका है।
Terminating decimals, fractions, and recurring decimals are rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplify the square root to identify its nature. चरण 1: समाप्त दशमलव, भिन्न और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके उसकी प्रकृति पहचानें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Simplifying a square root often helps identify the number correctly. चरण 1: समाप्त दशमलव और भिन्न परिमेय होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: वर्गमूल को सरल करके देखना कई बार सही पहचान देता है।
(6) is not a perfect square, so \(\sqrt{6}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, eliminate clear rational numbers first. चरण 1: दशमलव (0.75), भिन्न और पूर्णांक परिमेय होते हैं। चरण 2: (6) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{6}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले साफ परिमेय संख्याएँ हटाने से उत्तर जल्दी मिलता है।
A. धनात्मक पूर्णांक जो 1 से बड़े हों/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is about writing positive integers greater than 1 as products of primes.
Step 2
Why this answer is correct
So it discusses numbers greater than 1.
Step 3
Exam Tip
Do not include 1 in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: इसलिए सही चर्चा ऐसी संख्याओं की है जो 1 से बड़ी हों। चरण 3: 1 को इस प्रमेय के सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल न करें।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
