On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An odd number leaves remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Therefore, an odd number is written as (2q+1). चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है। चरण 3: इसलिए विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जाती है।
The lemma uses dividend (a), divisor (b), quotient (q), and remainder (r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct relation is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
Do not forget the condition \(0 \le r < b\). चरण 1: प्रमेयिका में भाज्य (a), भाजक (b), भागफल (q) और शेषफल (r) होते हैं। चरण 2: सही संबंध (a=bq+r) है। चरण 3: साथ में \(0 \le r < b\) लिखना न भूलें।
A. क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर है/Because the remainder is equal to the divisor
Step 1
Concept
Here the divisor appears to be (7) and the remainder (7).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder must be less than the divisor, not equal to it.
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, it should be carried into the quotient. चरण 1: यहां भाजक (7) और शेषफल (7) दिख रहा है। चरण 2: शेषफल को भाजक से छोटा होना चाहिए, बराबर नहीं। चरण 3: बराबर शेषफल मिलने पर उसे अगले भागफल में बदल दें।
This simplifies to (2q). चरण 1: सम संख्या (2) से पूर्ण विभाजित होती है। चरण 2: इसलिए शेषफल (0) होगा और रूप (a=2q+0) बनेगा। चरण 3: इसे सरल करके (2q) लिखा जाता है।
The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
To find the invalid form, check the range of the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(23=5\times3+8\), the remainder (8) is greater than the divisor (5).
Step 3
Exam Tip
Even if the equality is numerically true, check the remainder condition. चरण 1: अमान्य रूप खोजने के लिए शेषफल की सीमा जांचें। चरण 2: \(23=5\times3+8\) में शेषफल (8) है, जो भाजक (5) से बड़ा है। चरण 3: संख्या बराबर दिखे, फिर भी शेषफल की शर्त जरूर देखें।
A. भागफल (13), शेषफल (1)/Quotient (13), remainder (1)
Step 1
Concept
\(12 \times 13=156\) and \(12 \times 14=168\).
Step 2
Why this answer is correct
(156) is the nearest smaller multiple of (12), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In the correct answer, the remainder must be less than the divisor and not negative. चरण 1: \(12 \times 13=156\) और \(12 \times 14=168\) है। चरण 2: (156), (157) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (1) है। चरण 3: सही उत्तर में शेषफल भाजक से छोटा और ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
A. हर धनात्मक पूर्णांक (a) को (bq+r) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(0 \le r < b\)/Every positive integer (a) can be written as (bq+r) where \(0 \le r < b\)
Step 1
Concept
The main form of Euclid’s division lemma is (a=bq+r).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is greater than or equal to (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory questions, remembering the range of the remainder is important. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय का मुख्य रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें शेषफल (0) से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: सैद्धांतिक प्रश्नों में शेषफल की सीमा याद रखना जरूरी है।
A. भागफल (12), शेषफल (2)/Quotient (12), remainder (2)
Step 1
Concept
\(11 \times 12=132\) and \(11 \times 13=143\).
Step 2
Why this answer is correct
(132) is the nearest smaller multiple of (11), so the remainder is (134-132=2).
Step 3
Exam Tip
The remainder in the answer must always be less than the divisor. चरण 1: \(11 \times 12=132\) और \(11 \times 13=143\) है। चरण 2: (132), (134) से छोटा निकट गुणज है, इसलिए शेषफल (134-132=2) है। चरण 3: उत्तर में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
A. शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है/The remainder is always less than the divisor
Step 1
Concept
The main condition on the remainder is \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In theory-based questions, remember this condition directly. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की मुख्य शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल भाजक से छोटा होता है। चरण 3: ऐसे सैद्धांतिक प्रश्नों में शर्त को सीधे याद रखें।
When the dividend is a multiple of the divisor, the remainder is always (0). चरण 1: (56) को (7) से भाग देने पर \(7 \times 8=56\) मिलता है। चरण 2: कोई संख्या बचती नहीं है इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: जब भाज्य भाजक का गुणज हो तो शेषफल हमेशा (0) होता है।
When division is exact, the remainder is always (0). चरण 1: \(13 \times 7=91\)। चरण 2: (91-91=0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: पूर्ण विभाजन होने पर शेषफल हमेशा (0) होता है।
In it, (a) and (b) are positive integers and \(b \ne 0\).
Step 3
Exam Tip
While reading the question, pay attention to the type of numbers involved. चरण 1: यह प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए प्रयोग की जाती है। चरण 2: इसमें (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक होते हैं और \(b \ne 0\) होता है। चरण 3: प्रश्न पढ़ते समय संख्या के प्रकार पर ध्यान दें।
A. भागफल (7), शेषफल (8)/Quotient (7), remainder (8)
Step 1
Concept
Dividing (71) by (9), we get \(9 \times 7=63\).
Step 2
Why this answer is correct
(71-63=8), so the quotient is (7) and the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: (71) को (9) से भाग देने पर \(9 \times 7=63\) मिलता है। चरण 2: (71-63=8), इसलिए भागफल (7) और शेषफल (8) है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जाँचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
When (b=1), we get \(0 \le r < 1\), so only (r=0) is possible.
Step 3
Exam Tip
Any integer divided by (1) leaves remainder (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0 \le r < b\) है। चरण 2: जब (b=1), तब \(0 \le r < 1\) होगा, इसलिए केवल (r=0) संभव है। चरण 3: किसी भी पूर्णांक को (1) से भाग देने पर शेषफल (0) रहता है।
A. शेषफल भाजक से छोटा होता है/The remainder is less than the divisor
Step 1
Concept
The lemma gives the remainder range \(0 \le r < b\).
Step 2
Why this answer is correct
This means the remainder is always less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In statement-based questions, this rule is very useful. चरण 1: प्रमेयिका में शेषफल की सीमा \(0 \le r < b\) दी जाती है। चरण 2: इसका अर्थ है कि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होगा। चरण 3: कथन आधारित प्रश्नों में यही नियम सबसे उपयोगी है।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
The range of the remainder is very important in the lemma.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may be (0), but it must be less than the divisor (b).
Step 3
Exam Tip
Read the inequality carefully in such questions. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की सीमा बहुत महत्वपूर्ण होती है। चरण 2: शेषफल (0) हो सकता है, लेकिन वह भाजक (b) से छोटा ही रहता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमानता को ध्यान से पढ़ें।
A. प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक (a) और (b) के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है/For every positive integer (a) and (b), (a=bq+r) can be written
Step 1
Concept
The lemma says that for positive integers, (a=bq+r) can be written.
Step 2
Why this answer is correct
The condition \(0 \le r < b\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
While reading statements, eliminate wrong options using the remainder condition. चरण 1: प्रमेयिका कहती है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए (a=bq+r) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसमें \(0 \le r < b\) जरूरी शर्त है। चरण 3: कथन पढ़ते समय शेषफल वाली शर्त से गलत विकल्प हटाएं।
In (a=bq+r), (b) is the number by which division is done.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, (b) is called the divisor.
Step 3
Exam Tip
Remember that the divisor cannot be zero. चरण 1: (a=bq+r) में (b) वह संख्या है जिससे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसलिए (b) को भाजक कहते हैं। चरण 3: याद रखें कि भाजक शून्य नहीं हो सकता।
What remains after division is called the remainder.
Step 3
Exam Tip
Always check \(0 \le r < b\) for (r). चरण 1: (a=bq+r) में (r) अंत में जुड़ता है। चरण 2: भाग करने के बाद जो बचता है, वही शेषफल कहलाता है। चरण 3: (r) के लिए हमेशा \(0 \le r < b\) जांचें।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) is multiplied by (b), so it is the quotient.
Step 3
Exam Tip
Identifying symbols reduces mistakes in exams. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) वह संख्या है जिससे (b) को गुणा किया जाता है, इसलिए यह भागफल है। चरण 3: प्रतीकों की पहचान परीक्षा में गलती कम करती है।
In Euclid’s Division Lemma, (a) and (b) are positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor (b) cannot be zero, so (b>0).
Step 3
Exam Tip
In division questions, first check the divisor condition. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक माने जाते हैं। चरण 2: भाजक (b) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए (b>0) होना चाहिए। चरण 3: भाग से जुड़े प्रश्नों में भाजक की शर्त पहले देखें।
The remainder is always at least zero and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check the range of the remainder. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका में (a=bq+r) लिखा जाता है। चरण 2: यहां शेषफल हमेशा शून्य से बड़ा या बराबर और भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
In \(20=6 \times 2+8\), remainder (8) is greater than divisor (6).
Step 3
Exam Tip
It is not enough for the sum to be correct; the remainder range must also be correct. चरण 1: शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए। चरण 2: \(20=6 \times 2+8\) में शेषफल (8), भाजक (6) से बड़ा है। चरण 3: केवल योग सही होना काफी नहीं, शेषफल की सीमा भी सही होनी चाहिए।
The remainder (4) is less than the divisor (6). चरण 1: \(6 \times 10=60\) है। चरण 2: (64-60=4), इसलिए \(64=6 \times 10+4\) सही है। चरण 3: शेषफल (4) भाजक (6) से छोटा है।
When the dividend and divisor are equal, the remainder is (0). चरण 1: समान संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल (1) होता है। चरण 2: कुछ भी शेष नहीं बचता, इसलिए \(35=35 \times 1+0\)। चरण 3: जब भाज्य और भाजक समान हों तो शेषफल (0) होता है।
On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the number can be written as (3q+0, 3q+1, 3q+2).
Step 3
Exam Tip
Build general forms using possible remainders. चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए संख्या (3q+0, 3q+1, 3q+2) के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: सामान्य रूप बनाते समय संभावित शेषफलों को आधार बनाएं।
(73-72=1), so the remainder is (1) and quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the form where the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(8\times9=72\) है। चरण 2: (73-72=1), इसलिए शेषफल (1) और भागफल (9) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखने वाला रूप ही चुनें।
The remaining part is (4), so the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
The remainder is less than the divisor, so the form is valid. चरण 1: (5q+4) में (5q), (5) का गुणज है। चरण 2: इसके बाद बचा हुआ भाग (4) है, इसलिए शेषफल (4) होगा। चरण 3: शेषफल भाजक से छोटा है, इसलिए रूप सही है।
In such forms, (q) can be an integer. चरण 1: (a=bq+r) में (b=4) और (r=1) रखें। चरण 2: इससे (a=4q+1) मिलेगा। चरण 3: ऐसे रूपों में (q) कोई पूर्णांक हो सकता है।
The remainder is added and remains less than the divisor. चरण 1: प्रमेयिका के अनुसार (a=bq+r) होता है। चरण 2: (b=12) और (r=5) रखने पर (a=12q+5) मिलता है। चरण 3: शेषफल हमेशा जोड़ा जाता है और भाजक से छोटा रहता है।
When the divisor is 69, the remainder can be from 0 to 68.
Step 2
Why this answer is correct
69 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 69 होने पर शेषफल 0 से 68 तक हो सकता है। चरण 2: 69 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<144\) है। चरण 2: 144 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 143 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 238 below 4961.
Step 2
Why this answer is correct
\(238\times20=4760\), so the remainder is (4961-4760=201).
Step 3
Exam Tip
Since the remainder is smaller than 238, this is the valid Euclidean form. चरण 1: 238 का 4961 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(238\times20=4760\), इसलिए शेषफल (4961-4760=201) है। चरण 3: शेषफल 238 से छोटा है, इसलिए यही वैध यूक्लिडीय रूप है।
When the divisor is 58, the remainder can be from 0 to 57.
Step 2
Why this answer is correct
58 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 58 होने पर शेषफल 0 से 57 तक हो सकता है। चरण 2: 58 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले जांचें।
The remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<125\) है। चरण 2: 125 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 124 है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 173 below 3876.
Step 2
Why this answer is correct
\(173\times22=3806\), so the remainder is (3876-3806=70).
Step 3
Exam Tip
In a valid answer, the remainder must be less than 173. चरण 1: 173 का 3876 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(173\times22=3806\), इसलिए शेषफल (3876-3806=70) है। चरण 3: वैध उत्तर में शेषफल 173 से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 46, the remainder can be from 0 to 45.
Step 2
Why this answer is correct
46 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: भाजक 46 होने पर शेषफल 0 से 45 तक हो सकता है। चरण 2: 46 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्न में (r<b) वाली शर्त सबसे पहले देखें।
Remember in exams that the remainder is never equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<108\) है। चरण 2: 108 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 107 है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
Find the nearest lower multiple of 156 below 2547.
Step 2
Why this answer is correct
\(156\times16=2496\), so the remainder is (2547-2496=51).
Step 3
Exam Tip
In a valid Euclidean form, the remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: 156 का 2547 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(156\times16=2496\), इसलिए शेषफल (2547-2496=51) है। चरण 3: वैध यूक्लिडीय रूप में शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। चरण 2: 19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
Remembering the meanings of symbols helps solve questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: ऐसी संख्या को भाज्य कहा जाता है। चरण 3: प्रतीकों के अर्थ याद रखने से सवाल जल्दी हल होते हैं।
Euclid’s division lemma is applied to two positive integers.
Step 2
Why this answer is correct
(b) is the divisor and it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
For the dividing number, positivity and non-zero value are necessary. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लगाई जाती है। चरण 2: (b) भाजक है और वह शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: भाग देने वाली संख्या के लिए धनात्मकता और अशून्यता जरूरी है।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient.
Step 3
Exam Tip
Remembering the names of symbols makes the formula easier to use. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है। चरण 3: प्रतीकों के नाम याद रखने से सूत्र का प्रयोग आसान हो जाता है।
In Euclid’s division lemma, the remainder is not negative.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder is smaller than the divisor, so \(0 \le r < b\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Avoid the common mistake of allowing (r=b). चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: शेषफल भाजक से छोटा होता है, इसलिए \(0 \le r < b\) सही है। चरण 3: परीक्षा में (r=b) वाली गलती से बचें।
In division by (100), the last two digits often give the remainder, but still check (r<100). चरण 1: \(100 \times 9=900\)। चरण 2: (999-900=99), इसलिए शेषफल (99) है। चरण 3: (100) से भाग में अंतिम दो अंक अक्सर शेषफल बताते हैं, पर शर्त (r<100) भी देखें।
While choosing the quotient, make sure (bq) does not exceed (a). चरण 1: (43) को (6) से भाग दें। चरण 2: \(6 \times 7=42\) और (43-42=1), इसलिए (r=1)। चरण 3: भागफल चुनते समय (bq) को (a) से बड़ा न होने दें।
Here (r) is the part left after division, so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Identify (q) and (r) separately. चरण 1: प्रमेय का रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें (r) वह भाग है जो विभाजन के बाद बचता है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: (q) और (r) को अलग-अलग पहचानें।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient and (r) represents the remainder.
Step 3
Exam Tip
Remembering the meaning of symbols helps solve short questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है और (r) शेषफल को। चरण 3: अक्षरों का अर्थ याद रखने से छोटे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
A. भागफल और शेषफल के रूप में संख्या लिखने में/Writing a number in quotient and remainder form
Step 1
Concept
This lemma shows how to write a number using divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Its form is (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
The same idea is also useful later in highest common factor questions. चरण 1: यह प्रमेयिका बताती है कि किसी संख्या को भाजक, भागफल और शेषफल की सहायता से कैसे लिखा जाता है। चरण 2: इसका रूप (a=bq+r) है। चरण 3: आगे महत्तम समापवर्तक के प्रश्नों में भी यही विचार काम आता है।
Link each symbol with its name to remember it well. चरण 1: (a=bq+r) में (a) वह संख्या है जिसे भाग दिया जाता है। चरण 2: इसी कारण (a) को भाज्य कहते हैं। चरण 3: चिन्हों को नामों से जोड़कर याद करें।
On division by (9), remainders can be from (0) to (8).
Step 2
Why this answer is correct
In (9q+9), the remainder is (9), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (9(q+1)). चरण 1: (9) से भाग देने पर शेषफल (0) से (8) तक हो सकते हैं। चरण 2: (9q+9) में शेषफल (9) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (9(q+1)) लिखा जाना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written correctly as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे सही रूप में (3(q+1)) लिखना चाहिए।
On division by (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
In (3q+3), the remainder is (3), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
It should be written as (3(q+1)). चरण 1: (3) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: (3q+3) में शेषफल (3) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: इसे (3(q+1)) के रूप में लिखना चाहिए।
On division by (4), possible remainders are (0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is (4), which equals the divisor.
Step 3
Exam Tip
Such a form should be written as (4(q+1)). चरण 1: (4) से भाग देने पर शेषफल (0,1,2,3) हो सकते हैं। चरण 2: (4q+4) में शेषफल (4) है, जो भाजक के बराबर है। चरण 3: ऐसे रूप को (4(q+1)) लिखना चाहिए।
(76-72=4), so the quotient is (8) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
In exams, finally check that the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(9 \times 8=72\) और \(9 \times 9=81\) है। चरण 2: (76-72=4), इसलिए भागफल (8) और शेषफल (4) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम जांच करें कि शेषफल भाजक से छोटा है।
An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
Since (312) is greater, \(305=24 \times 12+17\) is correct.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(24 \times 12=288\) और \(24 \times 13=312\) है। चरण 2: (312) बड़ा है, इसलिए \(305=24 \times 12+17\) सही है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं होता।
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: \(31 \times 12=372\) और \(31 \times 13=403\)। चरण 2: (403) बड़ा है, इसलिए \(400=31 \times 12+28\)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिडीय रूप नहीं है।
In \(75=8 \times 9+3\), (8) is the number by which division is done.
Step 3
Exam Tip
Identify the divisor by looking at the first number in the product. चरण 1: यूक्लिड रूप में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(75=8 \times 9+3\) में (8) वह संख्या है जिससे भाग दिया गया है। चरण 3: गुणा वाले पहले अंक को देखकर भाजक पहचानें।
If the added part is a multiple of the divisor, the remainder can become (0). चरण 1: (46), (23) का (2) गुना है। चरण 2: (23q+46=23(q+2)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: यदि जोड़ा गया भाग भाजक का गुणज हो, तो शेषफल (0) बन सकता है।
Every odd number can be written in the form (2q+1). चरण 1: (2q+1) में (2) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम संख्या होती है। चरण 3: हर विषम संख्या (2q+1) के रूप में लिखी जा सकती है।
(20) cannot be the remainder because it is greater than (18).
Step 2
Why this answer is correct
(20=18+2), so (18q+20=18(q+1)+2).
Step 3
Exam Tip
The correct remainder always lies from (0) to one less than the divisor. चरण 1: (20) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि वह (18) से बड़ा है। चरण 2: (20=18+2), इसलिए (18q+20=18(q+1)+2)। चरण 3: सही शेषफल हमेशा (0) और भाजक से एक कम तक होता है।
If division by (2) leaves remainder (1), the number has the form (2q+1).
Step 2
Why this answer is correct
Such a number is odd.
Step 3
Exam Tip
Not every odd number is prime or a perfect square, so avoid quick assumptions. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (1) हो तो संख्या (2q+1) के रूप में होती है। चरण 2: ऐसी संख्या विषम होती है। चरण 3: हर विषम संख्या अभाज्य या पूर्ण वर्ग नहीं होती, इसलिए जल्दी निष्कर्ष न निकालें।
In (a=5q+4), the divisor is (5) and the remainder is (4).
Step 3
Exam Tip
Since (4<5), this form is already correct. चरण 1: (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: (a=5q+4) में भाजक (5) और शेषफल (4) है। चरण 3: क्योंकि (4<5), यह रूप पहले से सही है।
On division by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
So the number becomes (2q+0) or (2q+1).
Step 3
Exam Tip
These forms identify even and odd numbers. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: इसलिए संख्या (2q+0) या (2q+1) बनती है। चरण 3: इन्हीं रूपों से सम और विषम संख्या पहचानी जाती है।
In Euclidean form (a=bq+r), the number added at the end is (r).
Step 2
Why this answer is correct
In the given form, (3) is added at the end.
Step 3
Exam Tip
Since (3<8), the remainder is in the correct range. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में अंत में जुड़ने वाली संख्या (r) होती है। चरण 2: दिए गए रूप में अंत में (3) जुड़ा है। चरण 3: (3<8), इसलिए शेषफल सही सीमा में है।
In the given form, (99) is on the left side, so the dividend is (99).
Step 3
Exam Tip
The dividend is the number being divided. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: दिए गए रूप में बाईं ओर (99) है, इसलिए भाज्य (99) है। चरण 3: भाज्य वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाता है।
In the given form, (12) is multiplied by (q), so it is the divisor.
Step 3
Exam Tip
The number multiplying the quotient is usually the divisor. चरण 1: (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: दिए गए रूप में (12), (q) से गुणा हो रहा है, इसलिए यही भाजक है। चरण 3: गुणा वाले पहले अंक को अक्सर भाजक माना जाता है।
In \(31=4 \times 7+3\), (4) is in the divisor’s place.
Step 3
Exam Tip
In the product (bq), identify the first factor as the divisor when comparing with the form. चरण 1: (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: \(31=4 \times 7+3\) में (4) भाजक की जगह है। चरण 3: रूप में पहले गुणक को भाजक मानें जब तुलना (bq) से हो।
In (a=bq+r), the number added at the end is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
Here the added number is (1).
Step 3
Exam Tip
Since (1<10), the remainder is valid. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) में अंत में जुड़ने वाली संख्या शेषफल होती है। चरण 2: यहां अंत में (1) जुड़ा है। चरण 3: (1<10), इसलिए शेषफल मान्य है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 899.
Step 2
Why this answer is correct
\(900\times10=9000\), so (9001=9000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 900 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 899 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(900\times10=9000\), इसलिए (9001=9000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 900 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 390.
Step 2
Why this answer is correct
\(391\times15=5865\), so (6127=5865+262).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 391 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 390 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(391\times15=5865\), इसलिए (6127=5865+262) है। चरण 3: ऋणात्मक या 391 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 699.
Step 2
Why this answer is correct
\(700\times10=7000\), so (7001=7000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 700 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 699 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(700\times10=7000\), इसलिए (7001=7000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 700 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 288.
Step 2
Why this answer is correct
\(289\times15=4335\), so (4555=4335+220).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 289 does not make the correct Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 288 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(289\times15=4335\), इसलिए (4555=4335+220) है। चरण 3: ऋणात्मक या 289 से बड़ा शेषफल सही यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In standard form, the remainder must be from 0 to 499.
Step 2
Why this answer is correct
\(500\times10=5000\), so (5001=5000+1).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder greater than 500 does not make the standard Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 499 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(500\times10=5000\), इसलिए (5001=5000+1) है। चरण 3: ऋणात्मक या 500 से बड़ा शेषफल मानक यूक्लिडीय रूप नहीं बनाता।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than 247.
Step 2
Why this answer is correct
\(247\times12=2964\), so (3199=2964+235).
Step 3
Exam Tip
A negative remainder or a remainder bigger than the divisor is not the standard form. चरण 1: यूक्लिडीय रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और 247 से छोटा होता है। चरण 2: \(247\times12=2964\), इसलिए (3199=2964+235) है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल दिखे तो वह मानक रूप नहीं है।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है।
\(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। चरण 2: \(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है।
\(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.
Step 3
Exam Tip
Along with calculation, also check the range of the remainder. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए।
When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4. चरण 1: (m=4q+3) में 1 जोड़ें। चरण 2: (m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। चरण 3: शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। चरण 2: (4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.
Step 2
Why this answer is correct
\(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.
Step 3
Exam Tip
Check both the calculation and the remainder limit. चरण 1: वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times22=418\), so (431=418+13) and (13<19).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: यूक्लिड रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: \(19\times22=418\), इसलिए (431=418+13) और (13<19)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिड रूप नहीं माना जाता।
On division by (31), the remainder must be from (0) to (30).
Step 2
Why this answer is correct
In (31q+30), the remainder is (30), which is less than (31).
Step 3
Exam Tip
A remainder (31), (37), or negative is not in standard form. चरण 1: (31) से भाग देने पर शेषफल (0) से (30) तक होना चाहिए। चरण 2: (31q+30) में शेषफल (30) है, जो (31) से छोटा है। चरण 3: शेषफल (31), (37) या ऋणात्मक हो तो वह मानक रूप नहीं होगा।
