Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
डिग्री (5) तभी होगी जब \(x^5\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(a-2\neq0\) होना चाहिए। / The degree will be (5) only when the coefficient of \(x^5\) is not zero. Therefore \(a-2\neq0\).
(k=-3) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=-3) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (2).
रेखीय बनने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (m-4=0) से (m=4) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^3\) must be (0). From (m-4=0), we get (m=4).
C. क्योंकि (x+4) मूल चिह्न के अंदर है/Because (x+4) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x+4}\) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore the whole expression is not a polynomial.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (3) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (3), and all powers are valid. So it is a cubic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में (x) है, इसलिए इसे सीधे बहुपद नहीं कहते। सरल रूप के लिए \(x\neq0\) की शर्त ध्यान रखें। / In the original form, (x) is in the denominator, so it is not directly called a polynomial. For simplification, keep the condition \(x\neq0\) in mind.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^4}{x}=x^3\) और \(\frac{2x}{x}=2\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^4}{x}=x^3\) and \(\frac{2x}{x}=2\). So the simplified form is \(x^3+2\).
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
\(a\neq0\) होने से \(x^7\) पद मौजूद रहेगा। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^7\) term remains present. Therefore the highest power is (7).
(a=0) होने से \(x^7\) पद हट जाता है। \(b\neq0\) होने से \(x^3\) पद बचता है। / When (a=0), the \(x^7\) term disappears. Since \(b\neq0\), the \(x^3\) term remains.
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(t^2-4=0\) से \(t=\pm2\) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From \(t^2-4=0\), we get \(t=\pm2\).
नियतांक बनने के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
(x) के संदर्भ में (y) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
इस बहुपद में \(x^5\) और (x) पद अनुपस्थित हैं। इसलिए दोनों के गुणांक (0) हैं। / The \(x^5\) and (x) terms are absent in this polynomial. Therefore both coefficients are (0).
\(\frac{7}{x-3}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{7}{x-3}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(n=1) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (n=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
\(-5x^4+x^2-7\) की डिग्री (4) है और अग्रणी गुणांक (-5) है। इसलिए दोनों शर्तें पूरी हैं। / \(-5x^4+x^2-7\) has degree (4) and leading coefficient (-5). Therefore both conditions are satisfied.
(x-3(x-2)=x-4-2x-3), फिर \(-x^4\) से \(x^4\) कट जाता है। सरल रूप \(-2x^3+6x\) है। / (x-3(x-2)=x-4-2x-3), then \(-x^4\) cancels \(x^4\). The simplified form is \(-2x^3+6x\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(-\frac{2}{7}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (3), और (1) हैं, इसलिए डिग्री (3) है। / \(\pi\) and \(-\frac{2}{7}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (3), and (1), so the degree is (3).
(c=0) होने पर \(x^5\) पद हट जाता है और \(x^4\) का गुणांक (1) रहता है। इसलिए डिग्री (4) है। / When (c=0), the \(x^5\) term disappears and the coefficient of \(x^4\) remains (1). Therefore the degree is (4).
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\) जब \(x\neq-1\)। इसलिए सरल रूप \(x^2+x-1\) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\) when \(x\neq-1\). So the simplified form is \(x^2+x-1\).
\(\sqrt{5}\) अशून्य नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / \(\sqrt{5}\) is a non-zero constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(b=0) होने से \(x^5\) पद हट जाता है। \(a\neq0\) होने से \(x^2\) पद बचता है। / Since (b=0), the \(x^5\) term disappears. Since \(a\neq0\), the \(x^2\) term remains.
\(0x^2\) शून्य पद है, इसलिए उसे नहीं गिनते। बाकी (4) पद अशून्य हैं। / \(0x^2\) is a zero term, so it is not counted. The remaining (4) terms are non-zero.
(x) के संदर्भ में \(3y^2-5y+1\) में कोई (x) पद नहीं है। इसलिए यह (x) में नियतांक बहुपद माना जा सकता है। / With respect to (x), \(3y^2-5y+1\) has no (x) term. So it can be treated as a constant polynomial in (x).
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / Fractional and irrational real coefficients are valid in a polynomial. The highest power is (3).
\(\pi\) और \(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (3), (2), और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{13}\) are real coefficients. The powers of (x) are (3), (2), and (0).
C. क्योंकि \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{1}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{1}{2}}\), the variable has a fractional power. Such a power is not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^3\) और \(x^2\) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u-5=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^3\) and \(x^2\) must be (0). From (u-5=0), both terms disappear.
इन तीनों घातों वाले पद बहुपद में अनुपस्थित हैं। इसलिए इनके गुणांक (0), (0), और (0) हैं। / The terms with these three powers are absent in the polynomial. Therefore their coefficients are (0), (0), and (0).
(r=2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (1). Therefore the degree is (4).
\(x^0-1=1-1=0\) है, इसलिए यह भी शून्य बहुपद है? ध्यान दें कि विकल्प (C) शून्य ही है। / \(x^0-1=1-1=0\), so this is also the zero polynomial. Check simplification before choosing.
\(-6x^3+x^2-5\) की डिग्री (3) है और अग्रणी गुणांक (-6) है। इसलिए यह सही विकल्प है। / \(-6x^3+x^2-5\) has degree (3) and leading coefficient (-6). Therefore it is the correct option.
(x-2\(x^2-3\)=x-4-3x-2), फिर \(-x^4\) से \(x^4\) कटता है। सरल रूप \(-3x^2+2x\) है। / (x-2\(x^2-3\)=x-4-3x-2), then \(-x^4\) cancels \(x^4\). The simplified form is \(-3x^2+2x\).
सरल रूप में सबसे बड़ी घात (2) है। इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / In the simplified form, the highest power is (2). Therefore it is a quadratic polynomial.
(h=1) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (h=1) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). The remaining highest power is (3).
डिग्री (2) के लिए \(x^4\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (2a+6=0) से (a=-3) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^4\) must be (0). From (2a+6=0), we get (a=-3).
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x}=x^4\) और \(\frac{x}{x}=1\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^4-1\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x}=x^4\) and \(\frac{x}{x}=1\). So the simplified form is \(x^4-1\).
नियतांक बनने के लिए (v+1=0) और (v-2=0) दोनों चाहिए। एक ही (v) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (v+1=0) and (v-2=0) are required. One value of (v) cannot satisfy both conditions.
\(4x^2-9\) की डिग्री (2) है और (x) पद अनुपस्थित है। इसलिए (x) का गुणांक (0) है। / \(4x^2-9\) has degree (2), and the (x) term is absent. So the coefficient of (x) is (0).
\(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) जब \(x\neq2\)। इसलिए सरल रूप \(x^3+x+2\) है। / \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) when \(x\neq2\). Therefore the simplified form is \(x^3+x+2\).
