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पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद के लिए संबंधित n का मान रखना होता है। अतः a_2=5+2(1)+2=9, a_3=9+2(2)+2=15, a_4=15+2(3)+2=23 और a_5=23+2(4)+2=33। इसलिए सही उत्तर 33 है। 31 तब मिलता यदि किसी चरण में बढ़ोतरी का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_5 ज्ञात करने के लिए नियम को n=1 से n=4 तक क्रमशः लागू करें। / In a recursive rule, substitute the appropriate value of n at every step. Thus, a_2=5+2(1)+2=9, a_3=9+2(2)+2=15, a_4=15+2(3)+2=23, and a_5=23+2(4)+2=33. Therefore, 33 is correct. A value such as 31 results from using an incorrect increment in one of the steps. Exam tip: to find a_5, apply the rule successively for n=1 through n=4.
पुनरावर्ती नियम में n=1 रखने पर a_2=60-(3×1+1)=56 मिलता है। फिर n=2 पर a_3=56-7=49 और n=3 पर a_4=49-10=39 होगा। इसलिए सही उत्तर 39 है। 42 तब मिल सकता है जब घटाई जाने वाली राशि को गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम में क्रमशः n=1, 2 और 3 रखें। / Using n=1 in the recursive rule gives a_2=60-(3×1+1)=56. Then, for n=2, a_3=56-7=49, and for n=3, a_4=49-10=39. Therefore, the correct answer is 39. A value such as 42 can result from calculating the amount to be subtracted incorrectly. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
पद (3,8,20,43) हैं इसलिए \(a_4=43\) है। पहले पिछले पद को दोगुना करें फिर (n+1) जोड़ें। / The terms are (3,8,20,43), so \(a_4=43\). Exam tip: double the previous term first and then add (n+1).
\(a_2=3\times7-2=19\) और \(a_3=3\times19-4=53\) नहीं बल्कि \(a_3=53\) है। सही गणना में (n=2) पर (4) घटता है। / \(a_2=3\times7-2=19\) and \(a_3=3\times19-4=53\). Exam tip: when (n=2), subtract (4).
पुनरावर्ती नियम में प्रारम्भिक पद और पिछले पद से अगला पद बनाने का संबंध दोनों चाहिए। विकल्प A में \(a_1=4\) तथा \(a_{n+1}=a_n+3\) हैं। विकल्प C में प्रारम्भिक पद नहीं है। परीक्षा टिप: ‘initial term + recurrence’ अवश्य जाँचें। / A recursive definition needs both an initial term and a rule connecting each new term to a previous term. Option A provides \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n+3\). Option C lacks an initial value. Exam tip: check for both parts.
पद (2,5,9,19,37) नहीं हैं क्योंकि \(a_5=19+2\times9=37\) होगा। इसलिए सही मान (37) है। / The terms give \(a_3=9\), \(a_4=19\), and \(a_5=37\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (2) before adding.
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है। यहाँ \(a_n-a_{n-1}=3\), इसलिए हर नया पद पिछले पद में 3 जोड़कर मिलता है। विकल्प B में गुणन होता है, जो गुणोत्तर प्रकार का नियम है। परीक्षा टिप: स्थिर अंतर दिखे तो ‘पिछला पद + d’ चुनें। / In an arithmetic sequence, consecutive terms have a constant difference. Here \(a_n-a_{n-1}=3\), so each new term is obtained by adding 3 to the previous term. Option B multiplies terms and is geometric in nature. Exam tip: for a fixed difference, use “previous term + d”.
पुनरावर्ती नियम से प्रत्येक नया पद पिछले पद का दोगुना लेकर उससे उसके पूर्ववर्ती पद को घटाने पर मिलता है। अतः \(a_3=2(10)-4=16\), \(a_4=2(16)-10=22\), \(a_5=28\) और \(a_6=34\)। इसलिए सही उत्तर 34 है। 32 निकट का विकल्प है, लेकिन वह इस क्रम का कोई पद नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे नियम में पहले दो-तीन पद क्रम से लिखकर जाँच करें। / Using the recursive rule, each new term is twice the previous term minus the term before it. Thus, \(a_3=2(10)-4=16\), \(a_4=2(16)-10=22\), \(a_5=28\), and \(a_6=34\). Therefore, the correct answer is 34. Although 32 is a close distractor, it is not a term of this sequence. Exam tip: write the next few terms in order when evaluating a recursive sequence.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में उस समय के n का मान रखकर मिलता है। अतः a_2=6+\(1^2+2×1\)=9, a_3=9+\(2^2+2×2\)=17 और a_4=17+\(3^2+2×3\)=32। इसलिए सही उत्तर 32 है। 30 प्राप्त हो सकता है यदि तीसरे चरण में वृद्धि 15 के बजाय गलत ली जाए। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए n=1, 2 और 3 का क्रमशः प्रयोग करें। / In a recursive rule, each new term is found by substituting the current value of n into the increment and adding it to the previous term. Thus, a_2=6+\(1^2+2×1\)=9, a_3=9+\(2^2+2×2\)=17, and a_4=17+\(3^2+2×3\)=32. Therefore, 32 is correct. The value 30 may result from incorrectly calculating the third increment instead of using 15. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखने पर घटाई जाने वाली राशियाँ 2, 6 और 12 मिलती हैं। अतः a_2=90-2=88, a_3=88-6=82 तथा a_4=82-12=70। इसलिए सही उत्तर 70 है। 72 तब मिल सकता है जब तीसरी बार n-2+n के स्थान पर गलत मान घटाया जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को तीन बार लागू करें। / Substitute n=1, 2, and 3 in the recursive rule. The quantities subtracted are 2, 6, and 12 respectively. Thus, a_2=90-2=88, a_3=88-6=82, and a_4=82-12=70. Therefore, 70 is correct. The value 72 can result from using an incorrect value for n-2+n in the third step. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule three times.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद में संबंधित घात जोड़कर मिलता है। अतः a_2=1+31=4, a_3=4+32=13 और a_4=13+33=40। इसलिए सही उत्तर 40 है। 39 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि 27 के बजाय 26 ली जाती, जो गलत है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए n=1, 2 और 3 पर नियम को क्रमशः लागू करें। / In a recursive rule, each new term is obtained by adding the required power to the previous term. Thus, a_2=1+31=4, a_3=4+32=13, and a_4=13+33=40. Therefore, the correct answer is 40. The value 39 would result from incorrectly using 26 instead of the final increment 27. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर 3, 9 और 27 घटते हैं। अतः \(a_2=100-3=97\), \(a_3=97-9=88\) तथा \(a_4=88-27=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 64 तब मिलता यदि अंतिम चरण में 24 घटाया जाता, जबकि नियम के अनुसार \(3^3=27\) घटाना है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का मान एक बढ़ाकर घात की गणना करें। / Using n=1, 2, and 3 in the recursive rule, subtract 3, 9, and 27 respectively. Thus, \(a_2=100-3=97\), \(a_3=97-9=88\), and \(a_4=88-27=61\). Therefore, the correct answer is 61. The value 64 would result from subtracting 24 in the last step, but the rule requires subtracting \(3^3=27\). Exam tip: Increase n by 1 for each new term before evaluating the power.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें। a_2=8+2(-1)1+1=7, a_3=7+2(-1)2+2=11 और a_4=11+2(-1)3+3=12। इसलिए सही उत्तर 12 है। 10 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब (-1)^n के बदलते चिन्ह को सही ढंग से न लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगले पद के लिए n का मान अलग-अलग लिखकर चिह्न जाँचें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3. We get a_2=8+2(-1)1+1=7, a_3=7+2(-1)2+2=11, and a_4=11+2(-1)3+3=12. Hence, the correct answer is 12. A value such as 10 can result from mishandling the alternating sign in (-1)^n. Exam tip: write the value of n at every step and check the sign separately.
पहले n=1 रखने पर, \(a_2=8+2(-1)^1+1=8-2+1=7\)। फिर n=2 रखने पर, \(a_3=7+2(-1)^2+2=7+2+2=11\)। इसलिए सही उत्तर 11 है। 10 लेने पर \((-1)^2\) के मान को गलत ऋणात्मक मान लिया जाएगा। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद निकालते समय n का सही मान क्रम से रखें। / First, put n=1: \(a_2=8+2(-1)^1+1=8-2+1=7\). Then put n=2: \(a_3=7+2(-1)^2+2=7+2+2=11\). Therefore, the correct answer is 11. Choosing 10 would incorrectly treat \((-1)^2\) as negative. Exam tip: in a recursive rule, substitute consecutive values of n carefully while finding each next term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक बार वर्तमान पद में \(n(n+3)\) जोड़ा जाता है। \(a_2=3+1(1+3)=7\), \(a_3=7+2(2+3)=17\), और \(a_4=17+3(3+3)=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 36 तब आ सकता है जब अंतिम वृद्धि \(18\) की जगह गलती से \(19\) ली जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में \(n=1,2,3\) क्रमशः लगाएँ। / In the recursive rule, add \(n(n+3)\) to the current term each time. \(a_2=3+1(1+3)=7\), \(a_3=7+2(2+3)=17\), and \(a_4=17+3(3+3)=35\). Hence, the correct answer is 35. The option 36 may result from incorrectly taking the final increase as 19 instead of 18. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule successively for \(n=1,2,3\).
दिया है कि \(a_1=3\) और \(a_{n+1}=a_n+n(n+3)\)। पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=3+1(1+3)=7\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=7+2(2+3)=7+10=17\)। अतः सही उत्तर 17 है। 15 प्राप्त करना जोड़ के पदों की गणना में त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में अगला पद निकालते समय प्रत्येक बार \(n\) का सही मान रखें। / Given \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n+n(n+3)\), first put \(n=1\): \(a_2=3+1(1+3)=7\). Next, put \(n=2\): \(a_3=7+2(2+3)=7+10=17\). Therefore, the correct answer is 17. A result such as 15 can arise from incorrectly evaluating the added term. Exam tip: in a recursive rule, substitute the correct value of \(n\) at every step.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर घटाई जाने वाली संख्याएँ 1(1+3)=4, 2(2+3)=10 और 3(3+3)=18 मिलती हैं। अतः a_2=120-4=116, a_3=116-10=106 तथा a_4=106-18=88। इसलिए सही उत्तर 88 है। 90 जैसे विकल्प में अंतिम चरण में 18 के बजाय गलत घटाव होने की संभावना रहती है। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए नियम को केवल n=1 से n=3 तक लागू करें। / Substitute n=1, 2, and 3 in the recursive rule. The amounts subtracted are 1(1+3)=4, 2(2+3)=10, and 3(3+3)=18. Thus, a_2=120-4=116, a_3=116-10=106, and a_4=106-18=88. Therefore, 88 is correct. An option such as 90 can result from an incorrect subtraction in the final step. Exam tip: to find a_4, apply the rule only for n=1 through n=3.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(a_2=2(4)+5=13\), \(a_3=2(13)+5=31\), और \(a_4=2(31)+5=67\)। इसलिए सही उत्तर 67 है। 65 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब पिछले पद पर नियम को सही ढंग से लागू न किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) पाने के लिए नियम को \(a_1\) से क्रमशः तीन बार लागू करें। / In a recursive rule, each new term is found from the preceding term. Thus, \(a_2=2(4)+5=13\), \(a_3=2(13)+5=31\), and \(a_4=2(31)+5=67\). Therefore, 67 is correct. A value such as 65 can result from applying the rule incorrectly to the previous term. Exam tip: To find \(a_4\) from \(a_1\), apply the rule three times in order.
एक विद्यार्थी कहता है कि अनुक्रम 5, 8, 11, 14, ... को केवल प्रत्यक्ष सूत्र से लिखा जा सकता है, पुनरावर्ती नियम से नहीं। उसका सुधार करने वाला सही पुनरावर्ती नियम कौन-सा है?
पहला पद 5 है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 3 जोड़ने पर मिलता है: \(5+3=8\), \(8+3=11\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में पद तीन गुना हो जाते हैं। परीक्षा में पहले दो पद बनाकर नियम जाँचें। / The first term is 5, and each next term is obtained by adding 3: \(5+3=8\) and \(8+3=11\). Hence A is correct. In B, terms are multiplied by 3 instead. Exam tip: generate two terms to check a recursive rule.
दूसरा पद ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) और \(a_1=5\) रखें: \(a_2=3a_1+1+2=3\times5+1+2=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। विकल्प 16 तब मिलता यदि \(n+2\) वाले भाग को सही प्रकार से न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय पहले \(n\) का सही मान रखें। / To find the second term, substitute \(n=1\) and \(a_1=5\) in the recursive rule: \(a_2=3a_1+1+2=3\times5+1+2=18\). Therefore, 18 is correct. Option 16 may result from not adding the \(n+2\) part correctly. Exam tip: while finding \(a_{n+1}\), first substitute the correct value of \(n\).
समानांतर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक नियत संख्या जोड़कर मिलता है। यहाँ हर बार 4 जुड़ता है, इसलिए अंतर स्थिर है। विकल्प B में पद 4 से गुणा होते हैं, जो गुणोत्तर श्रेणी का नियम है। परीक्षा टिप: “+ नियतांक” देखकर AP पहचानें। / In an arithmetic progression, each new term is obtained by adding a fixed constant to the previous term. Here, 4 is added every time, so the common difference is constant. Option B multiplies terms by 4, which indicates a geometric progression. Exam tip: look for “+ constant” to identify an AP.
पद (2,4,8,15,26) नहीं बल्कि \(a_5=26\) है। (2,4,7,11) जैसे बढ़ते जोड़ ध्यान से जोड़ें। / The terms are (2,4,8,15,26), so \(a_5=26\). Exam tip: add the increasing increments carefully.
पद (2,4,8,15) हैं इसलिए \(a_4=15\) है। त्रिभुजीय संख्या में (1) जोड़कर अगला जोड़ बनता है। / The terms are (2,4,8,15), so \(a_4=15\). Exam tip: the increment is a triangular number plus (1).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखने पर घटाने वाली राशियाँ \(2,4,7\) मिलती हैं। अतः \(a_2=80-2=78\), \(a_3=78-4=74\) और \(a_4=74-7=67\)। इसलिए सही उत्तर 67 है। 69 जैसा विकल्प अंतिम चरण में 7 के बजाय 5 घटाने की त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(a_4\) ज्ञात करने के लिए नियम को \(n=1\) से \(n=3\) तक ही लागू करें। / Substituting \(n=1,2,3\) in the recursive rule gives subtractions of \(2,4,7\), respectively. Thus, \(a_2=80-2=78\), \(a_3=78-4=74\), and \(a_4=74-7=67\). Therefore, the correct answer is 67. A value such as 69 can result from incorrectly subtracting 5 instead of 7 in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), apply the recurrence only for \(n=1\) through \(n=3\).
\(n=1\) रखने पर \(a_2=80-\frac{1\cdot2}{2}-1=80-2=78\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=78-\frac{2\cdot3}{2}-1=78-4=74\)। इसलिए सही उत्तर 74 है। 76 केवल पहली कमी को गलत मानने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद निकालते समय \(n\) का सही मान रखें। / Putting \(n=1\), \(a_2=80-\frac{1\cdot2}{2}-1=80-2=78\). Then, for \(n=2\), \(a_3=78-\frac{2\cdot3}{2}-1=78-4=74\). Hence, the correct answer is 74. The value 76 can result from calculating the first decrement incorrectly. Exam tip: in a recursive rule, substitute the correct value of \(n\) for each successive term.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=\frac{14}{2}+2(1)=9\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=\frac{9}{2}+2(2)=\frac{17}{2}\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 9, \(a_2\) का मान है, \(a_3\) का नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगला पद निकालते समय \(n\) का मान एक-एक करके बढ़ाएँ। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=\frac{14}{2}+2(1)=9\). Next, with \(n=2\), \(a_3=\frac{9}{2}+2(2)=\frac{17}{2}\). Hence, option C is correct. The value 9 is \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: Increase the value of \(n\) step by step while finding successive terms.
\(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) और \(a_1=16\) रखें: \(a_2=\frac{a_1}{2}+2(1)=\frac{16}{2}+2=8+2=10\)। इसलिए सही उत्तर 10 है। 8 केवल \(a_1\) का आधा है; इसमें \(2n\) वाला पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: \(a_2\) के लिए हमेशा नियम में \(n=1\) रखें। / To find \(a_2\), substitute \(n=1\) and \(a_1=16\) into the recursive rule: \(a_2=\frac{a_1}{2}+2(1)=\frac{16}{2}+2=8+2=10\). Therefore, 10 is correct. Option 8 only halves \(a_1\) and misses the \(2n\) term. Exam tip: for \(a_2\), use \(n=1\) in the recurrence.
यहाँ a_1=4 स्थिर है, इसलिए 3a_1=12 होगा। n=1 रखने पर a_2=4+12+1=17 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=17+12+2=31 मिलता है। इसलिए सही उत्तर 31 है। 30 तब मिलता यदि दूसरे चरण में n का मान 1 ही रख दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का अगला मान लें, लेकिन a_1 को स्थिर रखें। / Here, a_1=4 is fixed, so 3a_1=12. Putting n=1 gives a_2=4+12+1=17. Then, putting n=2 gives a_3=17+12+2=31. Therefore, the correct answer is 31. The value 30 would result from incorrectly using n=1 again in the second step. Exam tip: Use the next value of n for each new term, but keep a_1 fixed.
पुनरावर्ती नियम में n=3 रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2(3)\) होगा। अतः \(a_3=4+3+6=13\)। विकल्प 15 तब मिल सकता है जब \(2n\) के स्थान पर गलत मान लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी पुनरावर्ती संबंध में पहले मांगे गए पद का n लिखकर दिए गए प्रारंभिक पदों को सावधानी से रखें। / Substitute n=3 in the recursive rule: \(a_3=a_2+a_1+2(3)\). Therefore, \(a_3=4+3+6=13\). The value 15 can result from using an incorrect value for \(2n\). Exam tip: first substitute the index of the required term, then use the given initial terms carefully.
पहले n=3 रखने पर a_3=a_2+a_1+2(3)=4+3+6=13 मिलता है। फिर n=4 रखने पर a_4=a_3+a_2+2(4)=13+4+8=25। इसलिए सही उत्तर 25 है। 23 तब मिल सकता है जब 2n वाले पद में n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में हर नए पद के लिए n का वर्तमान मान लिखकर गणना करें। / First, for n=3, a_3=a_2+a_1+2(3)=4+3+6=13. Then, for n=4, a_4=a_3+a_2+2(4)=13+4+8=25. Therefore, the correct answer is 25. A value such as 23 can result from using an incorrect value of n in the term 2n. Exam tip: write the current value of n for each new term in a recursive rule.
पुनरावर्ती नियम में पहले a_1 का उपयोग करके a_2 ज्ञात करते हैं: \(a_2=4^2-2(4)=16-8=8\)। फिर \(a_3=8^2-2(8)=64-16=48\)। अतः सही उत्तर 48 है। 40 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: हर पद निकालने के बाद उसे अगले चरण में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Use the recursive rule first to find a_2: \(a_2=4^2-2(4)=16-8=8\). Then, \(a_3=8^2-2(8)=64-16=48\). Therefore, the correct answer is 48. A value such as 40 can result from an arithmetic error. Exam tip: calculate each term first and substitute it carefully into the next step.
B. वह अनुक्रम जिसमें प्रत्येक नया पद पिछले एक या अधिक पदों के आधार पर ज्ञात हो
Explanation
Simple Explanation
पुनरावर्ती नियम में अगला पद पहले के पद या पदों से बनाया जाता है; जैसे \(a_{n+1}=a_n+3\)। विकल्प A स्पष्ट (explicit) नियम बताता है, जहाँ पद सीधे \(n\) से मिलता है। परीक्षा में “पिछला पद” दिखे तो recursive rule पहचानें। / In a recursive rule, a new term is obtained from one or more earlier terms, for example \(a_{n+1}=a_n+3\). Option A describes an explicit rule, where a term is given directly in terms of \(n\). Exam tip: look for a previous-term relation.
पुनरावर्ती नियम में n=1 रखने पर a_2=a_12+a_1+1 होगा। अतः a_2=32+3+1=9+3+1=13। इसलिए विकल्प B सही है। 11 प्राप्त करने पर 1 जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: a_2 ज्ञात करने के लिए हमेशा नियम में n=1 रखें और दिए गए a_1 का मान प्रतिस्थापित करें। / Put n=1 in the recursive rule: a_2=a_12+a_1+1. Therefore, a_2=32+3+1=9+3+1=13, so option B is correct. The value 11 would result from forgetting to add 1. Exam tip: to find a_2, substitute n=1 in the rule and then use the given value of a_1.
पदों में (8) बार (4) जुड़ता है इसलिए \(a_9=6+32=38\) है। पद संख्या से एक कम बार नियम लगता है। / The rule adds (4) eight times, so \(a_9=6+32=38\). Exam tip: the rule is applied one less time than the term number.
पद (15,23,31,39,47,55,63,71) हैं इसलिए (71) आठवाँ पद है। पदों को क्रमांक के साथ लिखें। / The terms are (15,23,31,39,47,55,63,71), so (71) is the eighth term. Exam tip: write terms with their positions.
पुनरावर्ती नियम से: \(a_2=2(5)+3=13\), \(a_3=2(13)+3=29\) और \(a_4=2(29)+3=61\)। अतः \(a_4-a_2=61-13=48\), इसलिए सही उत्तर विकल्प D है। विकल्प 42, \(a_4-a_2\) का सही अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पदों को क्रम से लिखकर फिर मांगा गया अंतर निकालें। / Using the recursive rule: \(a_2=2(5)+3=13\), \(a_3=2(13)+3=29\), and \(a_4=2(29)+3=61\). Therefore, \(a_4-a_2=61-13=48\), so option D is correct. Option 42 is not the correct difference between \(a_4\) and \(a_2\). Exam tip: List the required terms in order before finding the requested difference.
दिया है कि \(a_1=5\) और \(a_{n+1}=2a_n+3\)। अतः \(a_2=2\times5+3=13\) तथा \(a_3=2\times13+3=29\)। इसलिए \(a_3-a_2=29-13=16\)। 14 प्राप्त हो सकता है यदि दूसरे पद की गणना में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से क्रमशः निकालें। / Given \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=2a_n+3\), we get \(a_2=2\times5+3=13\) and \(a_3=2\times13+3=29\). Therefore, \(a_3-a_2=29-13=16\). A value such as 14 can result from an error while calculating the second term. Exam tip: in a recursive sequence, find each required term step by step from the preceding term.
पुनरावर्ती नियम से पहले अगले पद निकालते हैं: \(a_3=7+4+3=14\), \(a_4=14+7+3=24\), और \(a_5=24+14+3=41\)। इसलिए सही उत्तर 41 है। 43 तब मिलता यदि किसी पिछले पद या स्थिरांक 3 को गलत जोड़ा जाए। परीक्षा में प्रत्येक नया पद निकालते समय ठीक दो पिछले पदों का उपयोग करें। / Using the recursive rule, find the preceding terms first: \(a_3=7+4+3=14\), \(a_4=14+7+3=24\), and \(a_5=24+14+3=41\). Therefore, the correct answer is 41. A value such as 43 results from incorrectly adding one of the previous terms or the constant 3. Exam tip: use exactly the two immediately preceding terms at every step.
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले दो पदों से तीसरा पद निकालें: \(a_3=7+4+3=14\)। फिर \(a_4=14+7+3=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 21 तब मिलता है जब हर चरण में जुड़ने वाले \(+3\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पद तक क्रमशः पद लिखकर निकालें। / Use the recursive rule step by step. First, \(a_3=7+4+3=14\). Then, \(a_4=14+7+3=24\). Therefore, the correct answer is 24. The value 21 results from omitting the \(+3\) in the recurrence. Exam tip: write each required term in order before finding the final term.
विकल्प A में \(a_{n+1}-a_n=7\) हर बार समान है, इसलिए सार्वांतर 7 वाली AP बनती है। विकल्प C में अंतर \(n\) के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: AP में क्रमागत पदों का अंतर स्थिर जाँचें। / In option A, \(a_{n+1}-a_n=7\) is constant, so the sequence is an AP with common difference 7. In option C, the difference changes with \(n\). Exam tip: check whether consecutive differences are fixed.
पुनरावर्ती नियम में हर बार वर्तमान पद में उस चरण के लिए दिया गया मान जोड़ा जाता है। अतः \(a_2=3+6(1)-1=8\), \(a_3=8+6(2)-1=19\), और \(a_4=19+6(3)-1=36\)। इसलिए सही उत्तर 36 है। 35 या 37 जैसे विकल्प अंतिम जोड़ \(6\times3-1=17\) की गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय पहले \(n\) का सही मान रखें। / In the recursive rule, add the stated value for each step to the current term. Thus, \(a_2=3+6(1)-1=8\), \(a_3=8+6(2)-1=19\), and \(a_4=19+6(3)-1=36\). Therefore, 36 is correct. Options such as 35 or 37 can result from miscalculating the final increment, \(6\times3-1=17\). Exam tip: substitute the correct value of \(n\) before finding \(a_{n+1}\).
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=a_1+6(1)-1=3+5=8 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a_3=a_2+6(2)-1=8+11=19 मिलता है। इसलिए सही उत्तर 19 है। 17 तब मिलता यदि दूसरे चरण में वृद्धि को गलत तरीके से 9 लिया जाए। परीक्षा टिप: a_3 ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः n=1 और n=2 के लिए लागू करें। / Using the recursive rule with n=1, a_2=a_1+6(1)-1=3+5=8. Then, with n=2, a_3=a_2+6(2)-1=8+11=19. Therefore, the correct answer is 19. The value 17 may result from incorrectly using an increment of 9 in the second step. Exam tip: To find a_3, apply the rule successively for n=1 and n=2.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर घटाई जाने वाली संख्याएँ 7, 11 और 15 मिलती हैं। अतः a_2=150-7=143, a_3=143-11=132 तथा a_4=132-15=117। इसलिए सही उत्तर 117 है। 114 तब मिल सकता है जब किसी चरण में घटाव की संख्या गलत ली जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए n का अगला मान अवश्य लें। / Using n=1, 2, and 3 in the recursive rule, the amounts subtracted are 7, 11, and 15 respectively. Thus, a_2=150-7=143, a_3=143-11=132, and a_4=132-15=117. Therefore, the correct answer is 117. A value such as 114 can result from using an incorrect subtraction in one of the steps. Exam tip: use the next value of n for each new term.
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=150-(4\times1+3)=143\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=143-(4\times2+3)=143-11=132\) होगा। अतः सही उत्तर 132 है। 129 तब मिलता यदि दूसरे चरण में घटाई जाने वाली मात्रा का गलत मान लिया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय \(n\) का मान एक-एक करके बढ़ाएँ। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=150-(4\times1+3)=143\). Then, with \(n=2\), \(a_3=143-(4\times2+3)=143-11=132\). Therefore, 132 is correct. A value such as 129 can result from using an incorrect amount in the second subtraction. Exam tip: increase the value of \(n\) step by step while finding successive terms.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर
\(n^2+2n+1=(n+1)^2\) जोड़ा जाता है। अतः \(a_2=2+4=6\), \(a_3=6+9=15\), और \(a_4=15+16=31\)। इसलिए सही उत्तर 31 है। 30 तब मिलता यदि अंतिम वृद्धि को 16 के बजाय 15 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: \(n^2+2n+1\) को तुरंत \((n+1)^2\) के रूप में पहचानें। / At each step, the recursive rule adds \(n^2+2n+1=(n+1)^2\). Thus, \(a_2=2+4=6\), \(a_3=6+9=15\), and \(a_4=15+16=31\). Therefore, 31 is correct. Option 30 may result from incorrectly using 15 instead of 16 for the final increment. Exam tip: quickly recognise \(n^2+2n+1\) as \((n+1)^2\).
पद \(24,32,\frac{128}{3}\) हैं इसलिए \(a_3=\frac{128}{3}\) है। सही विकल्प में भिन्न मान होना चाहिए। / The terms are \(24,32,\frac{128}{3}\), so \(a_3=\frac{128}{3}\). The correct option should include the fractional value.
दिया है \(a_1=18\)। पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) रखने पर \(a_2=a_1+\frac{a_1}{3}=18+\frac{18}{3}=18+6=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 22 प्राप्त करने के लिए वृद्धि को गलत रूप से 4 मानना पड़ेगा, जबकि \(18/3=6\) है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय नियम में पिछले पद \(a_n\) का मान सीधे रखिए। / Given \(a_1=18\), put \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1+\frac{a_1}{3}=18+\frac{18}{3}=18+6=24\). Hence, 24 is correct. The value 22 would result from incorrectly taking \(18/3\) as 4, whereas it is 6. Exam tip: to find \(a_{n+1}\), substitute the preceding term directly into the rule.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः पद ज्ञात करें: \(a_3=4\times3-3\times1=9\), \(a_4=4\times9-3\times3=27\), और \(a_5=4\times27-3\times9=81\)। इसलिए सही उत्तर 81 है। 27 निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(a_4\) है, \(a_5\) नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय पिछले दो पदों को सही क्रम में रखें। / Apply the recursive rule step by step: \(a_3=4\times3-3\times1=9\), \(a_4=4\times9-3\times3=27\), and \(a_5=4\times27-3\times9=81\). Hence, 81 is correct. The close distractor 27 is \(a_4\), not \(a_5\). Exam tip: while using a recurrence, keep track of the two previous terms in the correct order.
\(a_3=4\times3-3\times1=9\) और \(a_4=4\times9-3\times3=27\) है। दोनों पिछले पदों का उपयोग करें। / \(a_3=4\times3-3\times1=9\) and \(a_4=4\times9-3\times3=27\). Exam tip: use both previous terms.
\(a_2=1\times3+2=5\), \(a_3=2\times5+2=12\) और \(a_4=3\times12+2=38\) है। सही विकल्प में (38) होना चाहिए। / \(a_2=1\times3+2=5\), \(a_3=2\times5+2=12\), and \(a_4=3\times12+2=38\). The correct option should include (38).
