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In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,2)) is paired with ((2,1)), and diagonal pairs cause no problem.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check each reverse ordered pair. चरण 1: सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। चरण 2: यहां ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है और सभी युग्म अपनी शर्त पूरी करते हैं। चरण 3: परीक्षा में हर उलटा युग्म अलग से जांचें।
Symmetry requires the reverse pair of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,1)) are both present, but the reverse of ((2,3)), which is ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
The quickest exam method is to locate missing reverse pairs. चरण 1: सममितता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, पर ((2,3)) का उलटा ((3,2)) नहीं है। चरण 3: कमी वाले उलटे युग्म को पहचानना सबसे तेज तरीका है।
If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
So whenever ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
For condition-based relations, swap the order and test the condition. चरण 1: यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: ऐसी शर्तों में क्रम बदलकर शर्त जांचें।
Hence the reverse pair also satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Remember that the negative of an odd integer is also odd. चरण 1: यदि (a-b) विषम है, तो (b-a=-(a-b)) भी विषम होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी शर्त पूरी करता है। चरण 3: ऋणात्मक विषम संख्या भी विषम ही मानी जाती है।
If (a=b), then the reverse pair also satisfies the same equality.
Step 2
Why this answer is correct
Conditions like (a<b), divisibility, and (a=b+1) usually fail after swapping.
Step 3
Exam Tip
Relations built on equality are commonly symmetric. चरण 1: (a=b) होने पर उलटा युग्म भी उसी बराबरी को पूरा करता है। चरण 2: लेकिन (a<b), विभाज्यता और (a=b+1) में क्रम बदलने से शर्त सामान्यतः टूट जाती है। चरण 3: बराबरी पर बने संबंध अक्सर सममित होते हैं।
In a symmetric relation, the reverse of every ordered pair must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((5,8)) is ((8,5)).
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not force diagonal pairs to be present. चरण 1: सममित संबंध में किसी भी युग्म का उलटा युग्म भी रहता है। चरण 2: ((5,8)) का उलटा ((8,5)) है। चरण 3: सममितता विकर्ण युग्मों की अनिवार्यता नहीं बताती।
The definition of symmetry is directly about the reverse ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
It does not necessarily require ((a,a)), ((b,b)), or (a=b).
Step 3
Exam Tip
Remember the exact definition to avoid common traps. चरण 1: सममितता की परिभाषा सीधे उलटे युग्म से जुड़ी है। चरण 2: यह ((a,a)) या ((b,b)) को अनिवार्य नहीं बनाती और (a=b) भी जरूरी नहीं है। चरण 3: परिभाषा को ठीक-ठीक याद रखना बहुत जरूरी है।
((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs do not need a separate reverse pair. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((1,3)) के साथ ((3,1)) है। चरण 2: ((2,2)) अपना उलटा स्वयं है, इसलिए समस्या नहीं बनाता। चरण 3: समान युग्मों को अलग उलटे युग्म की जरूरत नहीं होती।
A. क्योंकि ((1,3)) नहीं है/Because ((1,3)) is missing
Step 1
Concept
\((3,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
For symmetry, its reverse ((1,3)) must also be in (R), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
Missing diagonal pairs do not necessarily break symmetry. चरण 1: \((3,1)\in R\) है। चरण 2: सममितता के लिए इसका उलटा ((1,3)) भी (R) में होना चाहिए, पर वह नहीं है। चरण 3: विकर्ण युग्मों की कमी सममितता तोड़ने का कारण जरूरी नहीं होती।
The remaining (\frac{4(4-1)}{2}=6) unordered off-diagonal pairs are chosen as reverse-pair blocks.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (4+6=10), so the number is \(2^{10}\). चरण 1: 4 विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: शेष (\frac{4(4-1)}{2}=6) उलटे युग्मों के जोड़े हैं, हर जोड़ा साथ चुना या हटाया जाता है। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10), इसलिए संख्या \(2^{10}\) है।
Off the diagonal, there are (\frac{n(n-1)}{2}) reverse-pair blocks.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the answer is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: (n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 2: विकर्ण से बाहर (\frac{n(n-1)}{2}) जोड़े हैं, जिन्हें साथ-साथ चुना जाता है। चरण 3: कुल स्वतंत्र स्थान (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए उत्तर \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है।
The number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\).
Step 3
Exam Tip
For small sets, applying the formula gives a quick answer. चरण 1: यहां (n=2) है। चरण 2: सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}=2^{\frac{2\cdot3}{2}}=2^3\) होगी। चरण 3: छोटे समुच्चय में सूत्र लगाकर जल्दी उत्तर मिल जाता है।
The other conditions remain true after swapping the order.
Step 3
Exam Tip
Directional inequalities often break symmetry. चरण 1: (a<b) होने पर सामान्यतः (b<a) नहीं होता। चरण 2: बाकी शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं। चरण 3: असमानता वाली शर्तों में दिशा बदलने से अक्सर सममितता टूटती है।
To test symmetry using a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here the ((1,3)) and ((3,1)) positions both contain 1, and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
A relation is symmetric when its matrix equals its transpose. चरण 1: आव्यूह से सममितता जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर के स्थानों को मिलाते हैं। चरण 2: यहां ((1,3)) और ((3,1)) दोनों स्थानों पर 1 है, बाकी भी मेल खाते हैं। चरण 3: संबंध का आव्यूह अपने परिवर्तित आव्यूह के बराबर हो तो संबंध सममित होता है।
The matrix of a symmetric relation is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
In option A, the upper-right and lower-left entries are both 1.
Step 3
Exam Tip
For a \(2\times2\) matrix, checking those two off-diagonal entries is enough. चरण 1: सममित संबंध का आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में सममित होता है। चरण 2: विकल्प A में ऊपर-दाएं और नीचे-बाएं दोनों स्थानों पर 1 है। चरण 3: दो गुणा दो आव्यूह में बस दोनों बाहर वाले स्थानों को मिलाना काफी है।
In a symmetric relation, every reverse pair already belongs to (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
This is a useful shortcut connecting symmetry and inverse relations. चरण 1: \(R^{-1}\) में हर युग्म उलट जाता है। चरण 2: सममित संबंध में हर उलटा युग्म पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) होता है। चरण 3: सममितता और प्रतिलोम संबंध का संबंध याद रखें।
\(R^{-1}=R\) means the relation remains the same after reversing all pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Hence whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 3
Exam Tip
This is an equivalent test for symmetry. चरण 1: \(R^{-1}=R\) का अर्थ है कि संबंध उलटने पर वही रहता है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा। चरण 3: यह सममितता की बराबर वाली पहचान है।
So if ((a,b)) is in the relation, ((b,a)) also satisfies the same condition.
Step 3
Exam Tip
Conditions based on absolute distance are usually symmetric. चरण 1: (|a-b|=|b-a|) होता है। चरण 2: इसलिए यदि ((a,b)) संबंध में है, तो ((b,a)) भी वही शर्त पूरी करेगा। चरण 3: परम मान वाली दूरी आधारित शर्तें सामान्यतः सममित होती हैं।
A one-direction equality condition is usually not symmetric. चरण 1: ((1,3)) इस संबंध में है क्योंकि (1+2=3)। चरण 2: इसका उलटा ((3,1)) शर्त (3+2=1) पूरी नहीं करता। चरण 3: एक दिशा वाली बराबरी संबंध को सममित नहीं बनाती।
A. \((R={(a,b):a-b\) is even}) on integers/\(पूर्णांकों पर (R={(a,b):a-b\) is even})
Step 1
Concept
(a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Test each property separately in exam questions. चरण 1: (a-a=0) सम है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। चरण 3: एक ही संबंध में अलग-अलग गुणों को अलग-अलग जांचें।
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) is also in both.
Step 3
Exam Tip
Hence \((b,a)\in R\cap S\), so the intersection is symmetric. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए \((b,a)\in R\cap S\), अतः प्रतिच्छेद सममित है।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((b,a)) also belongs to the union. चरण 1: यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में है। चरण 2: जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में होगा। चरण 3: इसलिए ((b,a)) संघ में भी होगा।
A. पूरक भी सममित होगा/The complement will also be symmetric
Step 1
Concept
If ((a,b)) is in the complement, then \((a,b)\notin R\).
Step 2
Why this answer is correct
If ((b,a)) were in (R), symmetry would force \((a,b)\in R\), a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((b,a)) is also in the complement. चरण 1: यदि ((a,b)) पूरक में है, तो ((a,b)) (R) में नहीं है। चरण 2: अगर ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो गलत है। चरण 3: इसलिए ((b,a)) भी पूरक में है।
Both ((2,3)) and ((3,2)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.
Step 3
Exam Tip
Missing ((3,3)) prevents reflexivity, but not symmetry. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, तथा विकर्ण युग्म अपने उलटे स्वयं हैं। चरण 3: ((3,3)) न होने से प्रतिवर्तीता नहीं, पर सममितता बनी रहती है।
A. हर सममित संबंध प्रतिवर्ती होता है/Every symmetric relation is reflexive
Step 1
Concept
Symmetry only requires reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
It does not require every ((a,a)) to be present.
Step 3
Exam Tip
Hence the statement that every symmetric relation is reflexive is false. चरण 1: सममितता केवल उलटे युग्म की मांग करती है। चरण 2: यह जरूरी नहीं करती कि हर ((a,a)) संबंध में हो। चरण 3: इसलिए हर सममित संबंध का प्रतिवर्ती होना गलत कथन है।
A. क्योंकि कोई ऐसा युग्म नहीं है जो शर्त तोड़े/Because there is no pair that violates the condition
Step 1
Concept
Symmetry fails only when some ((a,b)) is present but ((b,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so there is no violation.
Step 3
Exam Tip
This is an example of a vacuously true statement. चरण 1: सममितता तभी टूटती है जब कोई ((a,b)) हो और ((b,a)) न हो। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं है। चरण 3: ऐसे सत्य को रिक्त सत्य की तरह समझा जा सकता है।
A. क्योंकि हर संभव युग्म और उसका उलटा दोनों मौजूद होते हैं/Because every possible pair and its reverse are present
Step 1
Concept
The universal relation contains all ordered pairs from \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 3
Exam Tip
Having all pairs makes symmetry automatic. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी अवश्य मौजूद होता है। चरण 3: सभी युग्म होने से सममितता तुरंत मिल जाती है।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of such a pair is the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Hence the identity relation is always symmetric. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। चरण 2: ऐसे युग्म का उलटा भी ((a,a)) ही होता है। चरण 3: इसलिए पहचान संबंध हमेशा सममित होता है।
\(a\equiv b \pmod{2}\) means both have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).
Step 3
Exam Tip
Congruence-type conditions are usually symmetric. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि दोनों की सम-विषम प्रकृति समान है। चरण 2: यदि (a) और (b) समान प्रकृति के हैं, तो (b) और (a) भी समान प्रकृति के होंगे। चरण 3: तुल्यता जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं।
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है/Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
Swapping the order does not break congruence. चरण 1: \(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। चरण 2: समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। चरण 3: सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता।
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Symmetry and reflexivity are separate properties. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। चरण 2: लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। चरण 3: सममित और प्रतिवर्ती गुण अलग-अलग होते हैं।
((1,1)) and ((2,2)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
In mixed-property questions, test each property separately. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है। चरण 3: मिश्रित गुणों वाले प्रश्नों में दोनों जांचें अलग रखें।
((2,3)) and ((3,2)) are also present, but the reverse of ((1,3)), namely ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Add only the missing reverse pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) मौजूद हैं। चरण 2: ((2,3)) और ((3,2)) भी मौजूद हैं, पर ((1,3)) का उलटा ((3,1)) नहीं है। चरण 3: केवल वही उलटा युग्म जोड़ें जिसकी कमी है।
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and the reverse of ((2,3)) is ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
For a minimum completion, add only the required reverse pairs. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उलटा चाहिए। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) और ((2,3)) का उलटा ((3,2)) है। चरण 3: न्यूनतम जोड़ में केवल जरूरी उलटे युग्म जोड़े जाते हैं।
If (ab) is even, then (ba) is also even because multiplication is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the reverse pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
For product-based conditions, check what happens after swapping. चरण 1: यदि (ab) सम है, तो (ba) भी सम होगा क्योंकि गुणा का क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: गुणा आधारित समता में क्रम बदलकर जरूर जांचें।
Therefore the reverse of every related pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
The key signal is that changing the order does not change the sum. चरण 1: यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। चरण 2: इसलिए किसी भी युग्म का उलटा भी संबंध में रहेगा। चरण 3: जोड़ में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, यह मुख्य संकेत है।
A. क्योंकि \((3,1)\in R\) है पर \((1,3)\notin R\)/Because \((3,1)\in R\) but \((1,3)\notin R\)
Step 1
Concept
((3,1)) belongs to the relation because (3-1=2).
Step 2
Why this answer is correct
Its reverse ((1,3)) does not satisfy (1-3=2).
Step 3
Exam Tip
A fixed directed difference usually breaks symmetry. चरण 1: ((3,1)) संबंध में है क्योंकि (3-1=2)। चरण 2: इसका उलटा ((1,3)) शर्त (1-3=2) पूरी नहीं करता। चरण 3: निश्चित अंतर वाली दिशा सममितता को तोड़ देती है।
If (a>b), the reversed condition (b>a) is generally false.
Step 2
Why this answer is correct
The other conditions remain true after swapping.
Step 3
Exam Tip
Directional comparisons are a common source of non-symmetry. चरण 1: (a>b) होने पर उलटा (b>a) सामान्यतः गलत होगा। चरण 2: बाकी शर्तें क्रम बदलने पर भी बनी रहती हैं। चरण 3: दिशा वाली तुलना सममितता की सबसे आम गलती है।
A. ((5,2)) और ((7,5)) (R) में हैं/((5,2)) and ((7,5)) are in (R)
Step 1
Concept
Symmetry guarantees only the reverse pairs of the given pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) gives ((5,2)), and ((5,7)) gives ((7,5)).
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not create a new connecting pair like ((2,7)). चरण 1: सममितता केवल दिए गए युग्मों के उलटे युग्मों की गारंटी देती है। चरण 2: ((2,5)) से ((5,2)) और ((5,7)) से ((7,5)) मिलते हैं। चरण 3: सममितता से नया मध्य युग्म नहीं बनता।
A. \((a,a)\in R\) हर \(a\in A\) के लिए/\((a,a)\in R\) for every \(a\in A\)
Step 1
Concept
Symmetry is based on reverse ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Having every diagonal pair is the condition for reflexivity, not symmetry.
Step 3
Exam Tip
Mixing property names is a common exam mistake. चरण 1: सममितता उलटे युग्म पर आधारित है। चरण 2: हर विकर्ण युग्म का होना प्रतिवर्तीता की शर्त है, सममितता की नहीं। चरण 3: गुणों के नामों को मिलाने से परीक्षा में गलती होती है।
For ((1,2)), the reverse pair ((2,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
Since it is missing, the definition of symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
One counterexample is enough to disprove symmetry. चरण 1: ((1,2)) के लिए उलटा युग्म ((2,1)) जरूरी है। चरण 2: यह युग्म नहीं है, इसलिए सममितता की परिभाषा टूटती है। चरण 3: एक ही विरोधी उदाहरण काफी होता है।
In a symmetric relation, the presence of ((i,j)) and ((j,i)) must match.
Step 2
Why this answer is correct
In matrix form, this means \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
This condition is written as \(M=M^T\). चरण 1: सममित संबंध में ((i,j)) और ((j,i)) की उपस्थिति समान होती है। चरण 2: आव्यूह में इसका अर्थ है \(m_{ij}=m_{ji}\)। चरण 3: यही शर्त \(M=M^T\) कहलाती है।
In the given (R), every pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is missing, so transitivity fails.
Step 3
Exam Tip
Symmetry does not automatically imply transitivity. चरण 1: दिए गए (R) में हर युग्म का उलटा मौजूद है, इसलिए यह सममित है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। चरण 3: सममितता से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती।
A. ((2,3)) और ((3,2)) दोनों का न होना/Absence of both ((2,3)) and ((3,2))
Step 1
Concept
Symmetry fails when a present pair lacks its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
If both ((2,3)) and ((3,2)) are absent, there is no imbalance.
Step 3
Exam Tip
Absence in both directions does not break symmetry. चरण 1: सममितता में समस्या तब होती है जब किसी मौजूद युग्म का उलटा न हो। चरण 2: यदि ((2,3)) और ((3,2)) दोनों ही नहीं हैं, तो कोई असंतुलन नहीं बनता। चरण 3: दोनों दिशाओं का साथ न होना सममितता नहीं तोड़ता।
A. क्योंकि प्रत्येक युग्म अपना उलटा स्वयं होता है/Because each pair is its own reverse
Step 1
Concept
Reversing a diagonal pair ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
So the reverse of each such pair is already present.
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs are always safe for symmetry. चरण 1: विकर्ण युग्म ((a,a)) को उलटने पर फिर ((a,a)) ही मिलता है। चरण 2: इसलिए ऐसे हर युग्म का उलटा उसी संबंध में मौजूद रहता है। चरण 3: विकर्ण युग्म सममितता के लिए सुरक्षित माने जाते हैं।
If (a) and (b) are both even or both odd, the same remains true after swapping them.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Same-type conditions often give symmetric relations. चरण 1: यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो क्रम बदलने पर भी यही बात सही रहती है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) से ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: समान प्रकार वाली शर्तें अक्सर सममित होती हैं।
If \(a^2=b^2\), then reversing the equality gives \(b^2=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
Equality-based conditions are easy to test by swapping sides. चरण 1: यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। चरण 2: इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। चरण 3: बराबरी वाली शर्त में दोनों दिशाओं की जांच सरल होती है।
A. यदि (a), (b) का मित्र हो तो (b), (a) का मित्र भी हो/If (a) is a friend of (b), then (b) is also a friend of (a)
Step 1
Concept
Symmetry means the relation works in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
For friendship to be symmetric, if one person is a friend of another, the second must also be a friend of the first.
Step 3
Exam Tip
Even in real-life examples, check the reverse direction. चरण 1: सममितता का अर्थ है संबंध दोनों दिशाओं में चले। चरण 2: मित्रता को सममित मानने के लिए यदि एक व्यक्ति दूसरे का मित्र है, तो दूसरा भी पहले का मित्र होना चाहिए। चरण 3: वास्तविक उदाहरणों में भी उलटी दिशा जांचें।
A. यह सममित और प्रतिवर्ती दोनों है/It is both symmetric and reflexive
Step 1
Concept
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) are all present, so reflexivity also holds.
Step 3
Exam Tip
When two properties are asked, verify both separately. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी मौजूद हैं, इसलिए प्रतिवर्तीता भी है। चरण 3: जब दोनों गुण पूछे जाएं, तो दोनों की अलग जांच करें।
A. हर ((a,b)) के लिए ((b,a)) की जांच करना/Check ((b,a)) for every ((a,b))
Step 1
Concept
Symmetry depends on every pair and its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all non-diagonal pairs must be checked in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
Do not conclude by checking only one pair in a hurry. चरण 1: सममितता हर युग्म और उसके उलटे युग्म से जुड़ी है। चरण 2: इसलिए सभी गैर-विकर्ण युग्मों की उलटी दिशा जरूर जांचनी चाहिए। चरण 3: जल्दी में केवल एक युग्म देखकर निष्कर्ष न निकालें।
