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दोनों फलनों के डोमेन का प्रतिच्छेद \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \) है। परीक्षा में जोड़ के लिए हमेशा डोमेन का प्रतिच्छेद लें। / The common domain is \( [2,\infty\)\cap\(-\infty,5]=[2,5] \). For addition, always take the intersection of domains.
गुणन में डोमेन (f) और (g) के डोमेन का प्रतिच्छेद होता है, इसलिए केवल (x=3) हटेगा। सरलीकरण से पहले मूल डोमेन देखना जरूरी है। / For product, the domain is the intersection of original domains, so only (x=3) is excluded. Check the original domain before simplifying.
हर जगह (g(x)\neq0) चाहिए, और \(x^2-4=0\) से \(x=\pm2\) मिलते हैं। भाग वाले प्रश्नों में हर के शून्य हमेशा हटाएं। / We need (g(x)\neq0), and \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm2\). In quotient questions, always exclude zeros of the denominator.
((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), इसलिए ((f+g)(4)=2)। पहले फलन जोड़ें, फिर मान रखें। / ((f+g)(x)=2x-5+3-x=x-2), so ((f+g)(4)=2). First add the functions, then substitute the value.
((f-g)(x)=4x), अतः ((f-g)(-3)=-12)। घटाव में दूसरे पूरे फलन का चिन्ह बदलना न भूलें। / ((f-g)(x)=4x), hence ((f-g)(-3)=-12). In subtraction, change the sign of the whole second function.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge0\) और \(\frac{1}{x-4}\) के लिए \(x\neq4\) चाहिए। इसलिए डोमेन \( [0,\infty\)-{4} ) है। / For \(\sqrt{x}\), \(x\ge0\), and for \(\frac{1}{x-4}\), \(x\neq4\). Hence the domain is \( [0,\infty\)-{4} ).
यद्यपि (fg=1) बनता है, मूल फलनों में (x=-2) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। सरलीकृत अभिव्यक्ति से डोमेन बढ़ाना गलत है। / Although (fg=1), the original functions do not allow (x=-2) and (x=1). It is wrong to enlarge the domain after simplification.
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), पर (x=1) मूल हर को शून्य करता है। रद्द करने के बाद भी हटाए गए बिंदु याद रखें। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\), but (x=1) makes the original denominator zero. After cancellation, remember the removed point.
जब \(x\ge2\), तब (|x-2|=x-2), इसलिए (f-g=0)। मापांक वाले फलन में केस बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / When \(x\ge2\), (|x-2|=x-2), so (f-g=0). For modulus functions, making cases is the safest method.
((fg)(x)=x-2(2x+1)), इसलिए ((fg)(-2)=4(-3)=-12)। (fg) का अर्थ (f(x)g(x)) होता है, संयोजन नहीं। / ((fg)(x)=x-2(2x+1)), so ((fg)(-2)=4(-3)=-12). (fg) means (f(x)g(x)), not composition.
\(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\) के लिए (x>1) और \(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le4\) चाहिए। अतः साझा डोमेन ( (1,4] ) है। / For \(\frac{1}{\sqrt{x-1}}\), (x>1), and for \(\sqrt{4-x}\), \(x\le4\). Thus the common domain is ( (1,4] ).
\(f+g=2x^2\) और (f-g=2), इसलिए अनुपात \(x^2\) है। पहले (f+g) और (f-g) अलग-अलग निकालें। / Here \(f+g=2x^2\) and (f-g=2), so the ratio is \(x^2\). First find (f+g) and (f-g) separately.
पहले फलन में \(x\neq-1\) और दूसरे में \(x\neq2\) चाहिए। जोड़ का डोमेन इन दोनों शर्तों का साझा भाग है। / The first function needs \(x\neq-1\), and the second needs \(x\neq2\). The domain of the sum is the common part of these conditions.
(g=(f+g)-f=x-2+x-(3x-2)=x-2-2x+2)। अज्ञात फलन निकालते समय पूरे फलन को घटाएं। / (g=(f+g)-f=x-2+x-(3x-2)=x-2-2x+2). To find the unknown function, subtract the whole known function.
(g=f-(f-g)=x-2+3x-\(2x^2-x\)=-x-2+4x)। इस प्रकार के प्रश्न में (g=f-(f-g)) याद रखें। / (g=f-(f-g)=x-2+3x-\(2x^2-x\)=-x-2+4x). In such questions, remember (g=f-(f-g)).
(\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), पर (h(x)\neq0) से \(x\neq\pm2\) है। सरलीकरण के बाद भी मूल हर की रोक बनी रहती है। / (\frac{(x+2)(x-2)}{x-2-4}=1), but (h(x)\neq0) gives \(x\neq\pm2\). The original denominator restriction remains after simplification.
\(\sqrt{9-x^2}\) के लिए \(-3\le x\le3\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x\neq0\) है। अतः डोमेन ( [-3,3]-{0} ) है। / For \(\sqrt{9-x^2}\), \(-3\le x\le3\), and for \(\frac{1}{x}\), \(x\neq0\). Hence the domain is ( [-3,3]-{0} ).
दोनों हरों के शून्य हटाने होंगे, इसलिए \(x=\pm1,\pm2\) निषिद्ध हैं। घटाव में भी डोमेन का प्रतिच्छेद लिया जाता है। / Zeros of both denominators must be removed, so \(x=\pm1,\pm2\) are excluded. For subtraction also, take the intersection of domains.
((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), इसलिए शून्य (-1,0,1) हैं। शून्य-समुच्चय के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f-g)(x)=x-3-x=x(x-1)(x+1)), so the zeros are (-1,0,1). For a zero set, equate the function to (0).
(\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), पर (x=2) डोमेन में नहीं है। इसलिए शून्य नहीं मिलता। / (\frac{f}{g}=\frac{(x-2)2}{x-2}=x-2), but (x=2) is not in the domain. Hence there is no zero.
मान \(x^2-|x|\) है, \(t=|x|\ge0\) रखने पर \(t^2-t\) का न्यूनतम \(-\frac{1}{4}\) है। कठिन प्रश्नों में मापांक को (t) से बदलना उपयोगी है। / The expression is \(x^2-|x|\). Put \(t=|x|\ge0\), then \(t^2-t\) has minimum \(-\frac{1}{4}\). For hard modulus questions, using (t) is helpful.
(f(0)=-1) और (g(0)=-1), इसलिए योग (-2) है। मान रखने से पहले जांचें कि (0) डोमेन में है। / (f(0)=-1) and (g(0)=-1), so the sum is (-2). Before substituting, check that (0) lies in the domain.
(g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, और तब (f(x)\neq0) अपने आप सत्य है। इसलिए डोमेन \( [1,\infty\) ) है। / For (g), \(x\ge1\) is needed, and then (f(x)\neq0) is automatically true. Hence the domain is \( [1,\infty\) ).
हर (g(x)) है, इसलिए \(\sqrt{x-1}\neq0\) और (x>1) चाहिए। भाग में हर वाले मूल को शून्य नहीं होने देना है। / The denominator is (g(x)), so \(\sqrt{x-1}\neq0\) and (x>1) are required. In division, the denominator radical cannot be zero.
(f-g=2kx), अतः (2k=6) और (k=3)। गुणांक मिलाना पैरामीटर प्रश्नों में तेज तरीका है। / (f-g=2kx), so (2k=6) and (k=3). Comparing coefficients is the fastest method in parameter questions.
(af+bg=(a+b)x+(a-b)), इसलिए (a+b=5)। ऐसे प्रश्न में (x) के गुणांक को सीधे मिलाएं। / (af+bg=(a+b)x+(a-b)), so (a+b=5). In such questions, compare the coefficient of (x) directly.
(2f-3g=2\(x^2-2x\)-3(3x-1)=2x-2-13x+3)। स्केलर गुणन में पूरे फलन पर गुणा करें। / (2f-3g=2\(x^2-2x\)-3(3x-1)=2x-2-13x+3). In scalar multiplication, multiply the whole function.
(\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। समान हर बनाते समय कोष्ठक सही रखें। / (\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{x[(x+1)-(x-1)]}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Keep brackets correct while taking a common denominator.
समीकरण \(x^2+\frac{1}{x}=2\) से (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)) मिलता है। \(x\neq0\) होने पर तीन में से दो वास्तविक हल अलग-अलग हैं? / The equation \(x^2+\frac{1}{x}=2\) gives (x-3-2x+1=0=(x-1)\(x^2+x-1\)). Since \(x\neq0\), count all valid real roots carefully.
((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), पर (x=0) डोमेन में नहीं है। अतः हर अशून्य वास्तविक संख्या हल है। / ((fg)(x)=x-2\cdot\frac{1}{x}=x), but (x=0) is not in the domain. Hence every non-zero real number is a solution.
\(\sqrt{x^2-4}\) के लिए \(x\le-2\) या \(x\ge2\), और (g) के लिए \(x\neq5\) है। दोनों शर्तें साथ लगेंगी। / For \(\sqrt{x^2-4}\), \(x\le-2\) or \(x\ge2\), and for (g), \(x\neq5\). Both conditions must be applied together.
(f(x)=x+3) केवल \(x\neq3\) पर है, इसलिए (f-g=0) उसी डोमेन पर है। बीजगणितीय समानता और फलन की समानता में डोमेन जरूरी है। / (f(x)=x+3) only for \(x\neq3\), so (f-g=0) on that domain. Domain is essential when comparing algebraic expressions as functions.
((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), जिसका न्यूनतम (0) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+1=(x-1)2), whose minimum is (0). Completing the square is useful in such questions.
((f-g)(x)=x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4})। इसलिए न्यूनतम \(\frac{3}{4}\) है। / ((f-g)(x)=x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4}). Therefore the minimum is \(\frac{3}{4}\).
हर \(x^2+1\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए कोई वास्तविक संख्या हटेगी नहीं। हर को शून्य बनाने वाली वास्तविक संख्या ही हटाई जाती है। / The denominator \(x^2+1\) is never (0), so no real number is excluded. Only real zeros of the denominator are removed.
क्योंकि \(x^2+1>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है, (f) और (g) दोनों पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित हैं। अतः (fg=1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। / Since \(x^2+1>0\) for every real (x), both (f) and (g) are defined on all \(\mathbb{R}\). Hence (fg=1) on all \(\mathbb{R}\).
(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1})। जोड़ में अंशों को सही तरह जोड़ें। / (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{x-2-1}=\frac{2x}{x-2-1}). Add the numerators correctly after taking the common denominator.
(f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), जहाँ \(x\neq0\)। पहचान का प्रयोग गणना को छोटा करता है। / (f-2-g-2=(f-g)(f+g)=\frac{2}{x}\cdot2x=4), where \(x\neq0\). Using an identity makes the calculation shorter.
(f(0)=5) और (g(0)=5), इसलिए ((fg)(0)=25)। (fg) में दोनों मानों का गुणन करें। / (f(0)=5) and (g(0)=5), so ((fg)(0)=25). In (fg), multiply the two function values.
(f=(x-2)(x-3)), पर (x=2) डोमेन में नहीं है। अतः केवल (x=3) पर भागफल शून्य होगा। / (f=(x-2)(x-3)), but (x=2) is not in the domain. Hence the quotient is zero only at (x=3).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x\ge2\) और हर \(x-5\neq0\) चाहिए। इसलिए \( [2,\infty\)-{5} ) सही है। / For \(\sqrt{x-2}\), \(x\ge2\), and the denominator needs \(x-5\neq0\). Hence \( [2,\infty\)-{5} ) is correct.
(f-g+h=x-2-2x+1=(x-1)2)। तीन फलनों के बीजगणित में चिन्हों का क्रम सावधानी से रखें। / (f-g+h=x-2-2x+1=(x-1)2). In algebra of three functions, keep the signs in order carefully.
\(f-g=\frac{4}{x}\) और (f+g=2), इसलिए \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\)। पहचान (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) बहुत उपयोगी है। / Here \(f-g=\frac{4}{x}\) and (f+g=2), so \(f^2-g^2=\frac{8}{x}\). The identity (a-2-b-2=(a-b)(a+b)) is very useful.
(f) के लिए (x>0) और (g) के लिए \(x\ge1\) चाहिए, अतः प्रतिच्छेद \( [1,\infty\) ) है। गुणन में भी दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / For (f), (x>0), and for (g), \(x\ge1\). Their intersection is \( [1,\infty\) ). For product also, take the common domain of both functions.
समीकरण (x-2-4-(|x|-2)=0) से \(x^2-|x|-2=0\) मिलता है। (t=|x|) रखने पर (t=2) नहीं, बल्कि सीधे केस से (x=-1,2) मिलते हैं। / The equation (x-2-4-(|x|-2)=0) gives \(x^2-|x|-2=0\). Solving by cases gives (x=-1,2).
\(f+g=2x^2+2q\), इसलिए (2q=10) और (q=5)। समान पदों के गुणांक मिलाना सबसे साफ तरीका है। / \(f+g=2x^2+2q\), so (2q=10) and (q=5). Comparing coefficients of like terms is the cleanest method.
A. समान नियम और समान डोमेन होने पर/when they have same rule and same domain
Explanation
Simple Explanation
(f(x)=x-1) केवल \(x\neq-1\) पर है, जबकि (g) पूरे \(\mathbb{R}\) पर है। समान फलन के लिए नियम के साथ डोमेन भी समान होना चाहिए। / (f(x)=x-1) only for \(x\neq-1\), while (g) is on all \(\mathbb{R}\). Equal functions must have both the same rule and the same domain.
दोनों फलनों में (x=-1) और (x=1) अनुमत नहीं हैं। इसलिए (f-g) का डोमेन \( \mathbb{R}-{-1,1} \) है। / In both functions, (x=-1) and (x=1) are not allowed. Hence the domain of (f-g) is \( \mathbb{R}-{-1,1} \).
(f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), जो (0) केवल (x=1) पर होता है। पूर्ण वर्ग देखकर शून्य जल्दी मिल जाता है। / (f-g=x-2-2x+1=(x-1)2), which is (0) only at (x=1). A perfect square helps identify the zero quickly.
