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वियत के सूत्र के अनुसार, जड़ों का योग \\(-p\\) के बराबर होता है और उनका गुणनफल \\(q\\) के बराबर होता है। इसलिए \\((-4)+9=5=-p\\), अतः \\(p=-5\\)। साथ ही, \\((-4)(9)=-36\\), इसलिए \\(q=-36\\)। अतः \\(p-q=-5-(-36)=31\\)। परीक्षा में याद रखें: \\(x^2+px+q=0\\) में जड़ों का योग \\(-p\\) और गुणनफल \\(q\\) होता है। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots equals \\(-p\\), while their product equals \\(q\\). Thus, \\((-4)+9=5=-p\\), so \\(p=-5\\). Also, \\((-4)(9)=-36\\), giving \\(q=-36\\). Therefore, \\(p-q=-5-(-36)=31\\). Exam tip: For \\(x^2+px+q=0\\), the sum of the roots is \\(-p\\) and the product is \\(q\\).
मूलों को \(5r\) और \(3r\) मानते हैं। मूलों का योग \(5r+3r=16\) है, इसलिए \(r=2\)। अतः मूलों का गुणनफल \((5r)(3r)=15r^2=15\times4=60\) होगा। द्विघात समीकरण \(x^2-16x+q=0\) में मूलों का गुणनफल \(q\) होता है, इसलिए \(q=60\)। परीक्षा-युक्ति: एकात्मक द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Let the roots be \(5r\) and \(3r\). Their sum is \(5r+3r=16\), so \(r=2\). Hence, their product is \((5r)(3r)=15r^2=15\times4=60\). In the monic quadratic equation \(x^2-16x+q=0\), the product of the roots equals the constant term \(q\). Therefore, \(q=60\). Exam tip: For \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
वियत के सूत्र के अनुसार, �\(\alpha+\beta=9\)� और �\alpha\beta=n�। अतः �\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=81-2n�। दिए गए मान से �(81-2n=45)�, इसलिए �(n=18)�। परीक्षा-युक्ति: �\(x^2+bx+c=0\)� में जड़ों का योग �(-b)� और गुणनफल �(c)� होता है। / By Vieta’s formulas, �\(\alpha+\beta=9\)� and �\alpha\beta=n�. Therefore, �\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=81-2n�। Using the given condition, �(81-2n=45)�, which gives �(n=18)�. Exam tip: For �\(x^2+bx+c=0\)�, the sum of roots is �(-b)� and their product is �(c)�.
जड़ों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार \(\alpha+\beta=-p\) और \(\alpha\beta=q\)। यहाँ \((-3)+7=4\), इसलिए \(p=-4\), तथा \((-3)(7)=-21\), इसलिए \(q=-21\)। अतः \(p-q=-4-(-21)=17\)। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+px+q\) में जड़ों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, \((-3)+7=4\), so \(p=-4\), while \((-3)(7)=-21\), so \(q=-21\). Therefore, \(p-q=-4-(-21)=17\). Exam tip: in a monic quadratic \(x^2+px+q\), the sum of the roots is \(-p\), not \(p\).
विएटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-8\) और \(\alpha\beta=12\)। अब \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\)। अतः \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल वाले प्रश्नों में विएटा के सूत्र सीधे लागू करें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर सही उत्तर नहीं मिलेगा। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-8\) and \(\alpha\beta=12\). Therefore, \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(-8)^2-4(12)=64-48=16\). Hence, \((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta=16+3(12)=52\). Exam tip: For expressions involving the sum and product of roots, apply Vieta’s formulas directly; using only \((\alpha+\beta)^2\) leads to an incorrect result.
दिए गए बहुपद को \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, क्योंकि इसका विस्तार \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\) देता है। अतः मूल \(a+3\) और \(a+4\) हैं, जिनका अंतर 1 है; इसलिए वे क्रमागत पूर्णांक हैं। विकल्प A का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूल पहचानने के लिए पहले गुणनखंडन करें और फिर योग तथा गुणनफल से जाँच करें। / The polynomial factors as \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\), since its expansion is \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\). Therefore, the roots are \(a+3\) and \(a+4\), whose difference is 1, so they are consecutive integers. Option A has the correct sum of roots but not the correct product. Exam tip: Factor the quadratic first, then verify the roots using their sum and product.
मूलों को 3r और 4r मानें। मूलों का योग 14 है, इसलिए 3r + 4r = 14, अर्थात् r = 2। अतः मूल 6 और 8 हैं। द्विघात समीकरण x² − 14x + q में मूलों का गुणनफल q के बराबर होता है, इसलिए q = 6 × 8 = 48। परीक्षा में याद रखें: x² + bx + c के लिए मूलों का योग −b और गुणनफल c होता है। / Let the roots be 3r and 4r. Their sum is 14, so 3r + 4r = 14, giving r = 2. Thus, the roots are 6 and 8. In the quadratic equation x² − 14x + q, the product of the roots equals q; hence q = 6 × 8 = 48. Exam tip: For x² + bx + c, the sum of the roots is −b and their product is c.
वीयटा के सूत्रों से \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=n\)। अब \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का उपयोग करने पर \(40=8^2-2n=64-2n\)। अतः \(2n=24\), इसलिए \(n=12\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के वर्गों का योग दिखे तो पहले \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) पहचानें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=n\). Using \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\), we get \(40=8^2-2n=64-2n\). Thus, \(2n=24\) and \(n=12\). Exam tip: when the sum of the squares of the roots is given, use \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) directly.
वियत के सूत्र के अनुसार, मूलों का योग \(-a\) और मूलों का गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), इसलिए \(a=-6\)। इसी प्रकार, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), इसलिए \(b=7\)। अतः \(a+b=-6+7=1\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, इसलिए चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / By Vieta’s formulas, the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\), so \(a=-6\). Also, \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\), so \(b=7\). Therefore, \(a+b=-6+7=1\). Exam tip: In \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\), not \(a\); check this sign carefully.
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=12\)। भिन्नों को एक हर में लेने पर \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\)। अतः मान \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\) है। इसलिए विकल्प C सही है; \(\frac{10}{3}\) जैसे विकल्प में अंश या हर के सरलीकरण में त्रुटि होती है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनका योग और गुणनफल प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=12\). Combining the fractions gives \(\frac{(\alpha+1)(\beta-1)+(\beta+1)(\alpha-1)}{(\alpha-1)(\beta-1)}=\frac{2\alpha\beta-2}{\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1}\). Therefore, the value is \(\frac{2(12)-2}{12-7+1}=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}\). Hence, option C is correct; an answer such as \(\frac{10}{3}\) results from an error while simplifying the numerator or denominator. Exam tip: In such problems, use the sum and product of the roots instead of finding the roots individually.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=n\)। अब (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होने से \(20=6^2-2n=36-2n\)। अतः (2n=16) और (n=8)। परीक्षा-युक्ति: \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए सीधे (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=n\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get \(20=6^2-2n=36-2n\). Hence, (2n=16) and (n=8). Exam tip: For the sum of squares of roots, use (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) rather than finding the roots individually.
क्योंकि \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), इसलिए दिए गए व्युत्क्रम क्रमशः \(2-\sqrt{3}\) और \(2+\sqrt{3}\) हैं। इनके योग का मान \(4\) है। द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) में मूलों का योग \(-a\) होता है, अतः \(-a=4\), इसलिए \(a=-4\)। परीक्षा-टिप: एकात्मक द्विघात समीकरण में मूलों का योग हमेशा \(-\frac{\text{गुणांक of }x}{\text{गुणांक of }x^2}\) होता है। / Since \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1\), the given reciprocals are \(2-\sqrt{3}\) and \(2+\sqrt{3}\). Their sum is \(4\). For \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\). Thus, \(-a=4\), giving \(a=-4\). Exam tip: For a quadratic equation, use the sum-of-roots relation \(-\frac{\text{coefficient of }x}{\text{coefficient of }x^2}\).
द्विघात समीकरण \(x^2+ax+b=0\) के मूलों का योग \(-a\) और गुणनफल \(b\) होता है। यहाँ मूलों का योग \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), इसलिए \(a=-4\)। उनका गुणनफल \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), इसलिए \(b=1\)। अतः \(a+b=-4+1=-3\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल सीधे विएटा के सूत्रों से ज्ञात करें। / For a quadratic equation \(x^2+ax+b=0\), the sum of the roots is \(-a\) and their product is \(b\). Here, the sum is \((2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4\), so \(a=-4\). Their product is \((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\), so \(b=1\). Therefore, \(a+b=-4+1=-3\). Exam tip: Use Vieta’s formulas directly to find the sum and product of the roots.
वियत के अनुसार जड़ों का गुणनफल 12 होगा, इसलिए (r(r+1)=12), अर्थात \(r^2+r-12=0\)। इससे (r=3) या (r=-4) मिलता है। अतः जड़ों का योग क्रमशः 7 या -7 है। फिर (r+(r+1)=-p) से (p=-7) या (p=7), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: x-2+px+q=0 में जड़ों का योग -p और गुणनफल q होता है। / By Vieta’s formulas, the product of the roots is 12, so (r(r+1)=12), or \(r^2+r-12=0\). Thus, r=3 or r=-4. The sum of the roots is therefore 7 or -7. Since r+(r+1)=-p, we obtain p=-7 or p=7; hence, option A is correct. Exam tip: for x-2+px+q=0, the sum of the roots is -p and their product is q.
मान लें कि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हैं। तब \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=r\)। सूत्र \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) से \(20=36-4r\) प्राप्त होता है, इसलिए \(r=4\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के अंतर का वर्ग निकालकर हमेशा इसे जड़ों के योग और गुणनफल से जोड़ें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(\beta\). Then \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=r\). Using \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\), we get \(20=36-4r\), so \(r=4\). Exam tip: Square the difference of the roots and relate it to their sum and product; the sign of the sum does not affect its square.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=1\)। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\)। अतः सही उत्तर 23 है। परीक्षा में \(\alpha^2+\beta^2\) के लिए \((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) का सूत्र याद रखें; केवल \((\alpha+\beta)^2\) लेने पर 25 मिलेगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=1\). Hence, \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5^2-2(1)=25-2=23\). Therefore, the correct answer is 23. In the exam, remember the identity \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\); using only \((\alpha+\beta)^2\) gives 25, which is incorrect.
मूलों का योग �(-2)+(-3)=-5� है। द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� में मूलों का योग �-��\frac{b}{a}� होता है। इसलिए �-\frac{p}{3}=-5�, जिससे �p=15� प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न की गलती है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग के लिए �-\frac{b}{a}� और गुणनफल के लिए �\frac{c}{a}� याद रखें। / The sum of the roots is �(-2)+(-3)=-5�. For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the sum of the roots is �-\frac{b}{a}�. Hence, �-\frac{p}{3}=-5�, giving �p=15�. Option B results from an incorrect sign. Exam tip: use �-\frac{b}{a}� for the sum of roots and �\frac{c}{a}� for their product.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। इसलिए यहाँ \(\alpha+\beta=4\) तथा \(\alpha\beta=-5\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग हल करने के बजाय योग और गुणनफल के सूत्रों का प्रयोग करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) and their product is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Thus, here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=-5\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=-5+2(4)+4=7\). Hence, option A is correct. Exam tip: Use the sum and product of roots directly instead of solving for the roots individually.
वियता के सूत्र से \(\alpha+\beta=10\) और \(\alpha\beta=24\) प्राप्त होते हैं। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में से 2 घटाने पर गुणनफल निकालते समय \(-2(\alpha+\beta)\) पद अवश्य शामिल करें; केवल \(\alpha\beta\) लेने पर 24 प्राप्त होगा, जो गलत है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=10\) and \(\alpha\beta=24\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=24-20+4=8\). Hence, option A is correct. Exam tip: when subtracting the same number from both roots, expand the product carefully; using only \(\alpha\beta\) would incorrectly give 24.
द्विघात समीकरण c\(x^2-6x+2=0c\) के लिए मूलों का योग c\(\alpha+\beta=6c\) और मूलों का गुणनफल c\(\alpha\beta=2c\) है। पहचान c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) से c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मूलों के वर्गों का योग निकालते समय c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac) का प्रयोग करें; 36 केवल c(\(\alpha+\beta\)2c) है, पूरा उत्तर नहीं। / For the quadratic equation c\(x^2-6x+2=0c\), the sum of the roots is c\(\alpha+\beta=6c\) and their product is c\(\alpha\beta=2c\). Using the identity c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac), we get c(\alpha-2+\beta-2=62-2(2)=36-4=32c). Therefore, option A is correct. Exam tip: use c(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\betac); 36 is only c(\(\alpha+\beta\)2c), not the required value.
विएटा के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=18\)। अतः \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि केवल \(\alpha\beta\) पूछे जाने पर उत्तर 18 होता, लेकिन यहाँ दोनों मूलों में से 2 घटाकर गुणनफल निकालना है। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=18\). Therefore, \((\alpha-2)(\beta-2)=\alpha\beta-2(\alpha+\beta)+4=18-18+4=4\). Hence, option A is correct. Exam tip: 18 is only the product \(\alpha\beta\); the required expression also involves the sum of the roots.
मान लें कि दोनों समान मूल \(r\) हैं। मूलों का गुणनफल \(r^2=16\) है, इसलिए धनात्मक मूल \(r=4\) होगा। मूलों का योग \(2r=8=-b\) से \(b=-8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में सही परिमाण है, लेकिन चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के लिए विविक्तकर \(b^2-64=0\) से \(b=\pm 8\) मिलते हैं; धनात्मक मूल की शर्त \(b=-8\) चुनती है। / Let the two equal roots be \(r\). Their product is \(r^2=16\), so the positive root is \(r=4\). By the sum-of-roots relation, \(2r=8=-b\), giving \(b=-8\). Option B has the correct magnitude but the wrong sign. Exam tip: the equal-root condition gives \(b^2-64=0\), or \(b=\pm8\); the positive-root condition selects \(b=-8\).
मूलों को \(t\) और \(2t\) मानें। मूलों का योग \(9\) है, इसलिए \(t+2t=9\), अर्थात \(t=3\)। अतः मूल \(3\) और \(6\) हैं। मूलों का गुणनफल \(c\) के बराबर होता है, इसलिए \(c=3\times6=18\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b\) और गुणनफल \(c\) होता है। / Let the roots be \(t\) and \(2t\). Their sum is \(9\), so \(t+2t=9\), giving \(t=3\). Hence, the roots are \(3\) and \(6\). The product of the roots equals \(c\), so \(c=3\times6=18\). Exam tip: In \(x^2+bx+c=0\), the sum of the roots is \(-b\) and their product is \(c\).
दिए गए समीकरण के मूल 8 और −2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 1 जोड़ने पर नए मूल 9 और −1 मिलते हैं। अतः नए मूलों का योग 8 और गुणनफल −9 है, इसलिए मोनिक समीकरण \(x^2-8x-9=0\) होगा। विकल्प B पुराने मूलों का समीकरण है, जबकि विकल्प C में नए मूलों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों में समान संख्या जोड़ने पर पहले नए मूलों का योग और गुणनफल निकालकर समीकरण \(x^2-(योग)x+(गुणनफल)=0\) बनाइए। / The given equation factors as \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\), so its roots are 8 and −2. Adding 1 to each root gives 9 and −1. Their sum is 8 and their product is −9; therefore, the required monic equation is \(x^2-8x-9=0\). Option B retains the old roots, while option C uses an incorrect sum of the new roots. Exam tip: for roots \(\alpha\) and \(\beta\), form the monic equation as \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\).
वियत के सूत्र के अनुसार, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) और \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\)। अब \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। ध्यान रखें कि \((\alpha+2)(\beta+2)\) को विस्तार देते समय दोनों मूलों के योग वाला पद \(2(\alpha+\beta)\) अवश्य शामिल करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=\frac{8}{1}=8\) and \(\alpha\beta=\frac{12}{1}=12\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=12+2(8)+4=32\). Hence, the correct answer is 32. In the exam, remember to include the middle term \(2(\alpha+\beta)\) when expanding the product.
वियत के सूत्र के अनुसार, \\(\alpha+\beta=2\\) और \\(\alpha\beta=-8\\)। इसलिए \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\)। अतः सही उत्तर 7 है। ध्यान रखें: मूलों में समान संख्या जोड़कर बने गुणनफल को सीधे विस्तार करके वियत के सूत्रों से हल किया जा सकता है; केवल \\(\alpha+\beta\\) का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। / By Vieta’s formulas, \\(\alpha+\beta=2\\) and \\(\alpha\beta=-8\\). Hence, \\(\left(\alpha+3\right)\left(\beta+3\right)=\alpha\beta+3(\alpha+\beta)+9=-8+3(2)+9=7\\). Therefore, the correct answer is 7. Exam tip: when the same number is added to both roots, expand the product and use the sum and product of roots; using only \\(\alpha+\beta\\) would be incomplete.
दिए गए बहुपद को \(x^2-(2m+1)x+m(m+1)=(x-m)(x-(m+1))\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसलिए \(x=m\) या \(x=m+1\), अतः मूल \(m\) और \(m+1\) हैं। जाँच के लिए मूलों का योग \(2m+1\) और गुणनफल \(m(m+1)\) होना चाहिए; विकल्प A दोनों शर्तें पूरा करता है। / The polynomial factors as \(x^2-(2m+1)x+m(m+1)=(x-m)(x-(m+1))\). Hence, \(x=m\) or \(x=m+1\), so the roots are \(m\) and \(m+1\). As a quick check, the sum of the roots must be \(2m+1\) and their product must be \(m(m+1)\); option A satisfies both conditions. Exam tip: compare the sum and product of the proposed roots with the coefficients.
वियत के सूत्रों के अनुसार, alpha+beta=4 और alpha beta=1। इसलिए alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta=42-2(1)=14। अतः सही उत्तर 14 है। 16 चुनना केवल (alpha+beta)2 लेने की भूल है और उसमें -2alpha beta पद छूट जाता है। परीक्षा-टिप: मूलों के वर्गों का योग निकालने के लिए alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta पहचान का प्रयोग करें। / By Vieta’s formulas, alpha+beta=4 and alpha beta=1. Therefore, alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta=42-2(1)=14. Hence, the correct answer is 14. Choosing 16 results from using only (alpha+beta)2 and missing the term -2alpha beta. Exam tip: For the sum of the squares of roots, use alpha-2+beta-2=(alpha+beta)2-2alpha beta.
द्विघात समीकरण cx-2+bx+c=0c के लिए मूलों का योग calpha+beta=-b/ac और गुणनफल calphabeta=c/ac होता है। इसलिए यहाँ calpha+beta=7c तथा calphabeta=10c। अतः c(alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c। परीक्षा-युक्ति: मूलों से बने व्यंजकों के लिए पहले मूलों का योग और गुणनफल निकालना प्रायः सबसे तेज़ तरीका होता है। / For a quadratic equation cax-2+bx+c=0c, the sum of the roots is alpha+beta=-b/ac and their product is alphabeta=c/ac. Hence, here alpha+beta=7c and alphabeta=10c. Therefore, (alpha-1)(beta-1)=alphabeta-alpha-beta+1=10-7+1=4c. Exam tip: For expressions involving roots, first find their sum and product instead of solving for the roots individually.
मान लीजिए दोनों समान मूल \(r\) हैं। मूलों का गुणनफल \(r^2=9\) है। चूँकि मूल धनात्मक हैं, इसलिए \(r=3\)। अतः मूलों का योग \(3+3=6\) होगा। द्विघात समीकरण में मूलों का योग \(-b\) होता है, इसलिए \(-b=6\), अर्थात \(b=-6\)। परीक्षा में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(0\) भी जाँचा जा सकता है, लेकिन धनात्मकता के लिए गुणनफल और मूलों का संकेत अवश्य देखें। / Let both equal roots be \(r\). Their product is \(r^2=9\). Since the roots are positive, \(r=3\). Therefore, their sum is \(3+3=6\). For \(x^2+bx+9=0\), the sum of the roots is \(-b\), so \(-b=6\), giving \(b=-6\). In an exam, equal roots can also be checked using discriminant \(0\), but the positivity condition must still be verified.
