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यह समीकरण \((3x+2k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(3x+2k=0\), जिससे दोनों मूल \(x=-\frac{2k}{3}\) प्राप्त होते हैं और समान हैं। इसी प्रकार विविक्तकर \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\) है, इसलिए मूल दो समान वास्तविक होंगे। परीक्षा में विविक्तकर \(D=0\) होने पर ‘दो समान वास्तविक मूल’ चुनें। / The equation can be rewritten as \((3x+2k)^2=0\). Thus \(3x+2k=0\), giving the repeated root \(x=-\frac{2k}{3}\). Equivalently, the discriminant is \(D=(12k)^2-4(9)(4k^2)=0\), so the roots are equal and real. Exam tip: for a quadratic equation, \(D=0\) indicates two equal real roots.
विकल्प A में \(x^2+16x+64=(x+8)^2\), इसलिए \((x+8)^2=0\) से दोनों मूल \(x=-8\) प्राप्त होते हैं। अतः मूल बराबर भी हैं और ऋणात्मक भी। विकल्प B में \((x-8)^2=0\) होने के कारण दोनों मूल बराबर लेकिन धनात्मक हैं। परीक्षा-युक्ति: बराबर मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) जाँचें और मूल का चिह्न देखें। / For option A, \(x^2+16x+64=(x+8)^2\). Thus, \((x+8)^2=0\) gives both roots as \(x=-8\), so they are equal and negative. In option B, \((x-8)^2=0\), giving equal but positive roots. Exam tip: For equal roots, first check that the discriminant is zero, then determine the sign of the root.
पूर्ण वर्ग बनने के लिए बहुपद को \(x^2-14x+c=(x-7)^2\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। विस्तार करने पर \((x-7)^2=x^2-14x+49\), इसलिए \(c=49\)। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के पूर्ण वर्ग होने पर \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\) होता है; यहाँ \(b=-14\) है। / For the quadratic to be a perfect square, its left-hand polynomial must be expressible as \(x^2-14x+c=(x-7)^2\). Since \((x-7)^2=x^2-14x+49\), we get \(c=49\). Exam tip: for \(x^2+bx+c\) to be a perfect square, \(c=\left(\frac{b}{2}\right)^2\); here, \(b=-14\).
यह समीकरण \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः \(2x-k=0\), इसलिए दोनों मूल \(x=\frac{k}{2}\) हैं और समान वास्तविक मूल हैं। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जाँचने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) देखें; यहाँ \(D=0\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि मूल भिन्न नहीं हैं। / The equation can be written as \(4x^2-4kx+k^2=(2x-k)^2=0\). Hence \(2x-k=0\), giving the repeated root \(x=\frac{k}{2}\). Therefore, the roots are equal and real. Exam tip: use the discriminant \(D=b^2-4ac\); here \(D=0\), so the roots are equal. Thus option B is incorrect because the roots are not distinct.
विकल्प A में x² − 12x + 36 = (x − 6)² है। अतः इसका एक ही दोहराया हुआ मूल x = 6 है, जो धनात्मक है। विकल्प B के समान मूल −6 हैं, विकल्प C के मूल 6 और −6 अलग-अलग हैं, जबकि विकल्प D के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के लिए विविक्तकर शून्य और धनात्मक मूल के लिए मूल का मान धनात्मक होना चाहिए। / In option A, x² − 12x + 36 = (x − 6)², so the repeated root is x = 6, which is positive. Option B has equal roots of −6, option C has two distinct roots, 6 and −6, and option D has no real roots. Exam tip: equal roots require a discriminant of zero, and the repeated root must be positive.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \(x^2+6x+c\) को \((x+3)^2\) के रूप में लिखा जाना चाहिए। विस्तार करने पर \((x+3)^2=x^2+6x+9\), इसलिए \(c=9\) है और समीकरण \((x+3)^2=0\) बन जाता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) का पैटर्न पहचानें। / For the quadratic expression to be a perfect square, \(x^2+6x+c\) must equal \((x+3)^2\). Since \((x+3)^2=x^2+6x+9\), we get \(c=9\), and the equation becomes \((x+3)^2=0\). In the exam, identify the pattern \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\).
\((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\)। इसलिए दिया गया समीकरण \((x-9)^2=0\) के बराबर है। \((x+9)^2\) में मध्य पद \(+18x\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\) पहचान का उपयोग करें। / \((x-9)^2=x^2-2\times9\times x+9^2=x^2-18x+81\). Hence, the given equation is equivalent to \((x-9)^2=0\). In contrast, \((x+9)^2\) has the middle term \(+18x\), so it is not correct. Exam tip: use the identity \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\).
सामान्य पूर्ण वर्ग पहचान है \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\)। यहाँ मध्य पद 12 होने से \(2a=12\) हो जाता है और इसलिए \(a=6\)। साथ में \(a^2=36\) भी मिलता है, अतः \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। विकल्प B, यानी \((x-6)^2\), का विस्तार करने पर \(x^2-12x+36\) मिलता है — मध्य पद का संकेत उल्टा है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी त्रिपद को पूर्ण वर्ग होने के लिए मध्य पद का मान आधे का दुगना और स्थायी पद उसी आधे के वर्ग के बराबर होना चाहिए। / Use the identity \((x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2\). Here the middle coefficient 12 gives \(2a=12\) so \(a=6\), and \(a^2=36\), hence \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Option B, \((x-6)^2\), expands to \(x^2-12x+36\) so its middle term has the opposite sign and is incorrect. Exam tip: half the middle coefficient and square it — if that equals the constant term and signs match, it's a perfect square trinomial.
पहला नियम: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)। यहाँ यदि हम \(a=x\) और \(b=2\) लें तो \((x-2)^2=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=x^2-4x+4\) मिलता है, अतः समीकरण का बाएं पक्ष पूर्ण वर्ग \((x-2)^2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((x+2)^2\) गलत है क्योंकि उसका मध्य पद \(+4x\) होगा (यहाँ मध्य पद हमारे समीकरण में \(-4x\) है)। अन्य विकल्पों में स्थायी पद या मध्य पद का मान मेल नहीं खाता। परीक्षा युक्ति: पूर्ण वर्ग पहचानते समय मध्य पद के संकेत पर ध्यान दें — \((a\pm b)^2\) में मध्य पद \(\pm2ab\) देता है। / Use the identity \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). With \(a=x, b=2\) we get \((x-2)^2=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=x^2-4x+4\), so the left-hand side is the perfect square \((x-2)^2\). The closest distractor, \((x+2)^2\), expands to \(x^2+4x+4\) and therefore has the wrong sign on the middle term. The other options also do not match both the middle and constant terms. Exam tip: match the middle term as \(\pm2ab\) to decide the sign in \((a\pm b)^2\).
यहाँ
\((x+3)^2 = x^2+6x+9\)। अब दोनों ओर से 25 घटाने पर स्थायी पद बनता है \(9-25=-16\)। इसलिए मानक रूप होगा \(x^2+6x-16=0\)। विकल्प B में नियत पद का संकेत उल्टा है (यह +16 देता है), जबकि विकल्प C और D में x के गुणांक या स्थायी पद गलत हैं। परीक्षा-टिप: परिपूर्ण वर्ग को पहले विस्तार करें, फिर दाएँ पक्ष को बाएँ पक्ष पर लाकर सदिश पदों को समेकित करें। / Expand the perfect square: \((x+3)^2 = x^2+6x+9\). Subtract 25 from both sides: \(9-25=-16\), giving \(x^2+6x-16=0\). Thus option A is correct. Option B has the wrong sign on the constant (+16 instead of -16). Options C and D have incorrect coefficients for x or the constant term. Exam tip: always expand the square first, move all terms to one side and then combine like terms to reach the standard form.
\((x-3)^2\,=\,x^2-6x+9\) होने के कारण \((x-3)^2=0\) मूल समीकरण का समतुल्य रूप है। इसका एक द्विगुणमूल (double root) \(x=3\) है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प \((x+3)^2=0\) का विस्तार \(x^2+6x+9\) देता है — यहाँ मध्य पद का संकेत विपरीत है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग की पहचान के लिए मध्य पद के दो गुना और स्थायी पद को मिलाकर देखें; इससे त्वरित फैक्टरिंग हो जाती है। / Since \((x-3)^2 = x^2-6x+9\), the equation \((x-3)^2=0\) is equivalent to the given quadratic. It has a repeated root \(x=3\). The closest distractor \((x+3)^2=0\) expands to \(x^2+6x+9\), so the sign of the linear term is wrong and that option is incorrect. Exam tip: Recognise perfect-square trinomials by checking if the constant equals the square of half the linear coefficient (here \((-6/2)^2=9\)).
\(x^2+10x+25\) एक पूर्ण वर्ग त्रिघात है क्योंकि यह सूत्र \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का रूप है। यदि हम \(a=x\) और \(b=5\) लें तो \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\) मिलता है, अतः सही गुणनखंड रूप \((x+5)^2=0\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \((x-5)^2\) गलत है क्योंकि \((x-5)^2=x^2-10x+25\) में मध्य पद \(-10x\) होगा, न कि \(+10x\)। परीक्षा टिप: मध्य पद की संख्या को \(2ab\) के बराबर परखें — साइन (±) पर ध्यान दें। / \(x^2+10x+25\) is a perfect square trinomial of the form \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Taking \(a=x\) and \(b=5\) gives \((x+5)^2=x^2+2\cdot x\cdot5+5^2=x^2+10x+25\), so the factorised form is \((x+5)^2=0\). The closest distractor \((x-5)^2\) is incorrect because \((x-5)^2=x^2-10x+25\), which has \(-10x\) instead of \(+10x\). Exam tip: compare the middle term with \(2ab\) and check the sign to identify the correct binomial square.
यदि \(x=4\) रखा जाए तो बाएँ पक्ष \(4^2-8\cdot4+16=16-32+16=0\) बनता है, अतः समीकरण का रूप \(0=0\) होता है और \(x=4\) इस समीकरण को संतुष्ट करता है। विकल्प B (4=0) भ्रमित करने योग्य है पर गलत है क्योंकि बाएँ पक्ष का मान 4 नहीं बल्कि 0 आता है। परीक्षा टिप: जड़ जाँचते समय चरण-दर-चरण पहले वर्ग और गुणन फिर जोड़/घटाना करें ताकि अंकगणितीय त्रुटियाँ न हों। / Substituting \(x=4\) gives the left-hand side \(4^2-8\cdot4+16=16-32+16=0\), so the equation becomes \(0=0\); therefore \(x=4\) satisfies the equation. Option B (4=0) is a tempting distractor but incorrect because the left-hand side evaluates to 0, not 4. Exam tip: when checking roots, simplify squares and products first, then perform addition/subtraction to avoid arithmetic mistakes.
\((x+1)^2\) का विस्तार करने पर \((x+1)^2 = x^2+2x+1\) मिलता है, इसलिए समीकरण \((x+1)^2=0\) मूल समीकरण के समान है। सबसे नज़दीकी भ्रांत विकल्प \((x-1)^2=0\) है, पर उसका विस्तार \(x^2-2x+1\) देता है — मध्य पद का चिन्ह उल्टा है, इसलिए वह समान नहीं। परीक्षा सुझाव: पूर्ण-वर्ग पहचानने के लिए मध्य गुणांक का आधा लें; यदि वह पूर्णांक है और वर्ग का रूप दे तो शीघ्र फैक्टर कर लें। / Expanding \((x+1)^2\) gives \((x+1)^2 = x^2+2x+1\), so \((x+1)^2=0\) is equivalent to the given equation. The closest distractor \((x-1)^2=0\) expands to \(x^2-2x+1\), which differs in the sign of the linear term. Exam tip: check if the quadratic is a perfect square by seeing if the middle coefficient equals twice some number (here 2 = 2·1), then write it as \((x±1)^2\) to solve quickly.
\(x^2+6x+9\) एक पूर्ण वर्ग त्रिनोम है। सामान्य रूप \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) से तुलना करने पर \(2a=6\) मिलता है, अतः \(a=3\) और त्रिनोम \((x+3)^2\) के बराबर है। इसलिए समीकरण का गुणनखंड रूप \((x+3)^2=0\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((x-3)^2\) का मध्यम पद \(-6x\) होगा, और C तथा D में आवर्ती स्थिर पद मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: गुणनखंड की पहचान के लिए मध्यम पद को \(2a\) के रूप में देखें या प्रत्याशित पूर्ण वर्ग को खोलकर जाँच लें। / \(x^2+6x+9\) is a perfect-square trinomial. Comparing with \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\) gives \(2a=6\), so \(a=3\) and the trinomial equals \((x+3)^2\). Hence the equation factors as \((x+3)^2=0\). Option B is incorrect because \((x-3)^2\) would produce a middle term of \(-6x\); options C and D have wrong constant terms. Exam tip: identify perfect squares by checking if the constant equals the square of half the middle coefficient (i.e., check if constant = (middle/2)2).
\(x=2\) रखने पर मिलने वाला मान है \(2^2-4\cdot2+4=4-8+4=0\)। अतः समीकरण बनता है \(0=0\), इसलिए \(x=2\) समीकरण का सही (मूल) हल है। अतिरिक्त तौर पर यह बहुपद \((x-2)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह दोहराया (विवर्तित) जड़ है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या को स्थानापन्न करते समय गुणा व घटाव के क्रम पर ध्यान दें और यदि परिणाम शून्य है तो वह जड़ है; अगर द्विघात का रूप पूर्ण वर्ग है तो जड़ दोहराई हुई होती है। / Substituting \(x=2\) gives \(2^2-4\cdot2+4=4-8+4=0\). So the equation becomes \(0=0\), which means \(x=2\) is a correct solution (root). Also note the polynomial is \((x-2)^2\), so this is a repeated root (discriminant zero). Exam tip: always compute each term carefully when substituting; recognizing a perfect square trinomial saves time.
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
A. (m) पूर्ण वर्ग नहीं है/(m) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, इसलिए अपरिमेय वर्गमूल के लिए (m) पूर्ण वर्ग नहीं होगा। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The square root of a perfect square is an integer, so for an irrational square root (m) is not a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
(98) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / (98) is not a perfect square, so \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) is irrational. In exams extract perfect-square factors.
धनात्मक पूर्णांक (m) के लिए \(\sqrt{m}\) परिमेय तभी होगा जब (m) पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / For a positive integer (m), \(\sqrt{m}\) is rational only when (m) is a perfect square. Identifying perfect squares is important in exams.
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{10}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=\(x-\sqrt{10}\)2), इसलिए शून्यक दो बार \(\sqrt{10}\) है। पूर्ण वर्ग रूप से समान शून्यक तुरंत मिलते हैं। / (p(x)=\(x-\sqrt{10}\)2), so the zero \(\sqrt{10}\) occurs twice. A perfect-square form quickly gives equal zeroes.
A. वे \(a+\sqrt{7}\) और \(a-\sqrt{7}\) हैं/They are \(a+\sqrt{7}\) and \(a-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=(x-a)2-7), इसलिए \(x=a\pm\sqrt{7}\) है। पूर्ण वर्ग रूप पहचानना कठिन प्रश्नों में समय बचाता है। / (p(x)=(x-a)2-7), so \(x=a\pm\sqrt{7}\). Recognizing a perfect-square form saves time in hard questions.
(p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), इसलिए शून्यक \(-\sqrt{5}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप से दोहराया शून्यक मिलता है। / (p(x)=\(x+\sqrt{5}\)2), so the zero is \(-\sqrt{5}\) twice. A perfect-square form gives a repeated zero.
(x-2-2\sqrt{2}x+2=\(x-\sqrt{2}\)2) है। पूर्ण वर्ग पहचानने से समान अपरिमेय शून्यक मिलते हैं। / (x-2-2\sqrt{2}x+2=\(x-\sqrt{2}\)2). Recognizing a perfect square gives equal irrational zeroes.
B. दो समान अपरिमेय शून्यक हैं/It has two equal irrational zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), इसलिए दोनों शून्यक \(\sqrt{3}\) हैं। समान शून्यक के लिए पूर्ण वर्ग रूप पहचानें। / Since (p(x)=\(x-\sqrt{3}\)2), both zeroes are \(\sqrt{3}\). Recognize perfect-square form for equal zeroes.
यह द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\)। अल्जेब्रिक रूप से विवरण के द्वारा: गुणनफल कराने पर \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\) मिलता है, इसलिए केवल शून्यक \(x=-\sqrt{3}\) है और वह द्वैत्य (दोहराया) है। डिस्क्रिमिनेंट से भी पुष्टि होती है: \(\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), अतः एक पुनरावृत्त वास्तविक शून्यक। सबसे नज़दीकी विकल्प \(\sqrt{3}\) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा होना चाहिए। परीक्षा-सुझाव: डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=0\) होने पर तुरंत समझें कि बहुपद का शून्यक पुनरावृत्त होगा। / The quadratic is a perfect square: \(p(x)=(x+\sqrt{3})^2\). Expanding gives \((x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3\), so the only root is \(x=-\sqrt{3}\) with multiplicity two. Using the discriminant: \(\Delta=(2\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot3=12-12=0\), confirming a repeated real root. The closest distractor \(\sqrt{3}\) is wrong due to the sign. Exam tip: if \(\Delta=0\) or you can complete the square, expect a double root and compute \(-b/2a\).
A. एक ही अपरिमेय शून्यक पुनरावृत्त दो बार/One irrational zero repeated twice
Explanation
Simple Explanation
पहला तरीका: पूर्ण वर्ग बनाएं—\(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\)। इसलिए शून्यक \(x=\sqrt{7}\) है और यह दोहराया हुआ (double) है। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट से जाँच करें: \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात का एक वास्तविक सम-दोहराया शून्यक होता है। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (दो अलग शून्यक नहीं), C गलत है क्योंकि शून्यक \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, और D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: पहले डिस्क्रिमिनेंट देखें—\(\Delta=0\) होने पर तुरंत पता चल जाता है कि शून्यक दोहराया हुआ है। / Complete the square: \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\). Hence the root is \(x=\sqrt{7}\), occurring twice (a double root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac =(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\). \(\Delta=0\) implies one real repeated root. Thus B is wrong because \(\Delta\neq>0\) so roots are not distinct; C is wrong because the root is irrational (\(\sqrt{7}\)), and D is wrong because a real root does exist. Exam tip: compute \(\Delta\) first—\(\Delta=0\) immediately indicates a repeated real root; factorization gives the exact value.
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
\(\sqrt{289}=17\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए/(m) must be a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
