Even with \(\leq\), the square boundary must be checked correctly. चरण 1: \(1^2,2^2,3^2\) के मान (10) से कम या बराबर हैं। चरण 2: \(4^2=16\) है, इसलिए (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: \(\leq\) चिह्न होने पर भी सही वर्ग-सीमा जाँचनी पड़ती है।
A. हाँ, क्योंकि दोनों में वही अवयव हैं/Yes, because both have the same elements
Step 1
Concept
In natural numbers, \(x^2<10\) allows (x=1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(4^2=16\), (4) is not included.
Step 3
Exam Tip
In square inequalities, count values carefully up to the boundary. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं में \(x^2<10\) के लिए (x=1,2,3) संभव हैं। चरण 2: \(4^2=16\) होने से (4) शामिल नहीं होगा। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में सीमा से पहले तक के मान सावधानी से गिनें।
Since (n) has no final limit, the list of cubes does not end.
Step 3
Exam Tip
Numbers of a special form can also form an infinite set when unbounded. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(1,8,27,\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: (n) की कोई अंतिम सीमा नहीं है, इसलिए पूर्ण घनों की सूची भी समाप्त नहीं होती। चरण 3: विशेष रूप वाली संख्याएँ भी बिना सीमा के अपरिमित हो सकती हैं।
Perfect cubes less than (100) come from \(1^3,2^3,3^3,4^3\).
Step 2
Why this answer is correct
Their values are (1,8,27,64).
Step 3
Exam Tip
\(5^3=125\) is outside the limit, so do not include it. चरण 1: (100) से छोटे पूर्ण घन \(1^3,2^3,3^3,4^3\) से मिलते हैं। चरण 2: इनके मान (1,8,27,64) हैं। चरण 3: \(5^3=125\) सीमा से बाहर है, इसलिए उसे शामिल न करें।
This list is infinite, but it does not include negative integers.
Step 3
Exam Tip
Being infinite is not the same as being the set of all integers. चरण 1: (x>0) वाले पूर्णांक \(1,2,3,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची अपरिमित है, पर इसमें ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं। चरण 3: अपरिमित होना और सभी पूर्णांक होना एक ही बात नहीं है।
Natural factors of (24) exist and are limited, so the set is finite and non-empty.
Step 3
Exam Tip
The set of factors of a fixed number is always finite. चरण 1: \(x\mid 24\) का अर्थ है (x), (24) का गुणनखंड है। चरण 2: (24) के प्राकृतिक गुणनखंड सीमित और उपस्थित हैं, इसलिए समुच्चय परिमित और रिक्त नहीं है। चरण 3: निश्चित संख्या के गुणनखंडों का समुच्चय हमेशा सीमित होता है।
In real numbers, \(x^2=2\) has two solutions, \(-\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of \(I_1\).
Step 3
Exam Tip
Elements involving radicals can also be valid set elements. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2=2\) के दो हल \(-\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: यही दोनों अवयव \(I_1\) में हैं। चरण 3: मूल चिह्न वाले अवयव भी समुच्चय के वैध अवयव हो सकते हैं।
The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are not rational numbers, so \(G_1\) has no element.
Step 3
Exam Tip
When the domain is \(\mathbb{Q}\), do not accept irrational solutions. चरण 1: \(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए \(G_1\) में कोई अवयव नहीं होगा। चरण 3: \(\mathbb{Q}\) की शर्त हो तो अपरिमेय हल स्वीकार नहीं करें।
Therefore, \(x^2+4=0\) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
A real square is never negative, which helps identify an empty set. चरण 1: वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+4=0\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। चरण 3: वास्तविक वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, यह रिक्त समुच्चय पहचानने में मदद करता है।
For \(x^2=0\), there are not two different positive and negative roots. चरण 1: \(x^2+4=4\) से \(x^2=0\) मिलता है। चरण 2: इसका एकमात्र पूर्णांक हल (x=0) है। चरण 3: \(x^2=0\) में धनात्मक और ऋणात्मक दो अलग हल नहीं होते।
The common factors of (12) and (18) are (1,2,3,6).
Step 2
Why this answer is correct
None of these is greater than (6).
Step 3
Exam Tip
After finding common factors, apply the extra inequality condition. चरण 1: (12) और (18) के साझा गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी (6) से बड़ा नहीं है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलने के बाद अतिरिक्त असमानता जरूर लगाएँ।
Factors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so common factors are (1,2,3,6).
Step 3
Exam Tip
Common factors are always finite in number. चरण 1: (12) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। चरण 2: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए साझा गुणनखंड (1,2,3,6) हैं। चरण 3: संयुक्त गुणनखंड हमेशा सीमित संख्या में होते हैं।
Common multiples of (10) and (15) are multiples of (30).
Step 2
Why this answer is correct
Below (100), these are (30,60,90).
Step 3
Exam Tip
With an upper bound, the counting of common multiples ends. चरण 1: (10) और (15) के संयुक्त गुणज (30) के गुणज हैं। चरण 2: (100) से छोटे ऐसे गुणज (30,60,90) हैं। चरण 3: ऊपरी सीमा लगने पर संयुक्त गुणजों की गिनती समाप्त हो जाती है।
Multiples common to (10) and (15) are multiples of (30).
Step 2
Why this answer is correct
The list \(30,60,90,\ldots\) is endless.
Step 3
Exam Tip
Without an upper bound, the set of common multiples is also infinite. चरण 1: (10) और (15) दोनों के गुणज (30) के गुणज होंगे। चरण 2: \(30,60,90,\ldots\) की सूची अनंत है। चरण 3: बिना ऊपरी सीमा के संयुक्त गुणजों का समुच्चय भी अपरिमित होता है।
B. ( {0} ) रिक्त समुच्चय है/( {0} ) is an empty set
Step 1
Concept
( {0} ) has one element, namely (0).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, it is not an empty set.
Step 3
Exam Tip
It is important to distinguish \( \varnothing \) from ({0}). चरण 1: ( {0} ) में (0) नाम का एक अवयव है। चरण 2: इसलिए यह रिक्त समुच्चय नहीं है। चरण 3: \( \varnothing \) और ({0}) को अलग-अलग लिखना और समझना जरूरी है।
A. दो समान समुच्चयों में अवयवों की संख्या समान होती है/Two equal sets have the same number of elements
Step 1
Concept
If two sets are equal, all their elements are the same.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, their number of elements is also the same.
Step 3
Exam Tip
The converse is not always true; equal size does not mean equal elements. चरण 1: यदि दो समुच्चय समान हैं, तो उनके सभी अवयव समान होंगे। चरण 2: इसलिए उनकी अवयव-संख्या भी समान होगी। चरण 3: उल्टा कथन हमेशा सही नहीं होता, समान संख्या का अर्थ समान अवयव नहीं है।
When the sign is \(\leq\), count the boundary values too. चरण 1: \(x^2\leq 4\) से \(-2\leq x\leq 2\) मिलता है। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं, कुल (5)। चरण 3: \(\leq\) होने पर किनारे के मान भी गिनें।
The possible integers are (-1,0,1), so there are (3).
Step 3
Exam Tip
In a strict inequality, (-2) and (2) are not included. चरण 1: \(x^2<4\) का अर्थ पूर्णांकों के लिए (-2<x<2) है। चरण 2: संभव पूर्णांक (-1,0,1) हैं, कुल (3)। चरण 3: सख्त असमानता में (-2) और (2) शामिल नहीं होंगे।
The real solutions are only (0) and (1), which are in (X).
Step 3
Exam Tip
To identify equal sets, make the complete solution list. चरण 1: \(x^2=x\) से (x(x-1)=0) मिलता है। चरण 2: वास्तविक हल (0) और (1) ही हैं, जो (X) में हैं। चरण 3: समान समुच्चय पहचानने के लिए हलों की पूरी सूची बनाएँ।
Taking natural numbers as \(1,2,3,\ldots\), only (1) is accepted.
Step 3
Exam Tip
The answer to the same equation can change when the domain changes. चरण 1: समीकरण \(x^2=x\) के हल (0) और (1) हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) मानने पर केवल (1) स्वीकार होगा। चरण 3: एक ही समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने से बदल सकता है।
After factorising, check every possible solution. चरण 1: \(x^2=x\) से \(x^2-x=0\) और (x(x-1)=0) मिलता है। चरण 2: इसलिए (x=0) या (x=1), दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: गुणनखंडन के बाद हर संभव हल जाँचें।
Only (1) has exactly one positive factor, but the condition says (x>1).
Step 2
Why this answer is correct
Every natural number greater than (1) has at least two positive factors.
Step 3
Exam Tip
Carefully identify hidden contradictions in the conditions. चरण 1: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड होता है, पर शर्त (x>1) है। चरण 2: (1) से बड़ी हर प्राकृतिक संख्या के कम से कम दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 3: शर्तों में छिपे विरोध को ध्यान से पहचानें।
In questions about even primes, check (2) immediately. चरण 1: एकमात्र सम अभाज्य संख्या (2) है। चरण 2: (2), (50) से छोटी भी है, इसलिए \(S=\{2\}\) होगा। चरण 3: सम अभाज्य से जुड़े प्रश्न में तुरंत (2) की जाँच करें।
B. (R) अपरिमित है और (Q) परिमित है/(R) is infinite and (Q) is finite
Step 1
Concept
(R) contains \(36,72,108,\ldots\), so it is infinite.
Step 2
Why this answer is correct
(Q) has a fixed listed number of elements, so it is finite.
Step 3
Exam Tip
The difference between factors and multiples is very important in exams. चरण 1: (R) में \(36,72,108,\ldots\) आते हैं, इसलिए यह अपरिमित है। चरण 2: (Q) में लिखे हुए सीमित अवयव हैं, इसलिए यह परिमित है। चरण 3: गुणनखंड और गुणज का अंतर परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है।
The natural factors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
Exactly these elements are written in (Q).
Step 3
Exam Tip
In factor lists, include only numbers that divide the given number completely. चरण 1: (36) के सभी प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: यही सभी अवयव (Q) में लिखे हैं। चरण 3: गुणनखंडों की सूची में जो संख्या भाग न दे, उसे शामिल न करें।
In \(-2\leq x<3\), (-2) is included and (3) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers obtained are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
Compare with roster form only after checking boundary signs. चरण 1: \(-2\leq x<3\) में (-2) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। चरण 2: मिलने वाले पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: सीमा-चिह्न देखकर ही सूची रूप से तुलना करें।
Natural numbers not divisible by (2) are odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The list \(1,3,5,7,\ldots\) continues forever.
Step 3
Exam Tip
Even after selecting a special type of numbers, the set can be infinite if there is no bound. चरण 1: (2) से विभाज्य नहीं प्राकृतिक संख्याएँ विषम संख्याएँ हैं। चरण 2: \(1,3,5,7,\ldots\) की सूची अनंत तक चलती है। चरण 3: केवल एक प्रकार की संख्याएँ चुनने पर भी यदि सीमा नहीं है, तो समुच्चय अपरिमित हो सकता है।
The condition \(x\leq 20\) limits the possible natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Removing numbers divisible by (3) still leaves a limited list.
Step 3
Exam Tip
Removing elements from a finite set keeps it finite. चरण 1: \(x\leq 20\) से संभावित प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हो जाती हैं। चरण 2: उनमें से (3) से विभाज्य संख्याएँ हटाने पर भी संख्या सीमित ही रहेगी। चरण 3: किसी परिमित समुच्चय से कुछ अवयव हटाने पर समुच्चय परिमित रहता है।
So (K) has limited elements such as (4,7,10,13,16).
Step 3
Exam Tip
When the variable has an upper bound, the set becomes finite. चरण 1: (n) केवल (1) से (5) तक मान ले सकता है। चरण 2: इसलिए (K) में (4,7,10,13,16) जैसे सीमित अवयव होंगे। चरण 3: चल राशि पर ऊपरी सीमा हो तो समुच्चय परिमित हो जाता है।
There is no upper limit on (n), so the list does not end.
Step 3
Exam Tip
In rule-based sets, carefully check the range of the variable. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(4,7,10,\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: (n) पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इसलिए सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: नियम से बने समुच्चय में चल राशि की सीमा ध्यान से देखें।
