A proper subset has all its elements in the given set but is not equal to it.
Step 2
Why this answer is correct
Both (2) and (4) are in (A), and ({2,4}) is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: the whole set is a subset, but not a proper subset of itself. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी अवयव मूल समुच्चय में होते हैं, पर वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({2,4}) के दोनों अवयव (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। चरण 3: परीक्षा संकेत: बराबर समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें।
B. हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है/every integer is a real number
Step 1
Concept
In the given chain, \(\mathbb{Z}\) lies inside the set of real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every integer is a real number.
Step 3
Exam Tip
Do not reverse the hierarchy while drawing conclusions. चरण 1: दिए गए क्रम में \(\mathbb{Z}\) वास्तविक संख्याओं के अंदर आता है। चरण 2: इसलिए हर पूर्णांक वास्तविक संख्या होता है। चरण 3: संख्या-समुच्चयों के क्रम को उल्टा पढ़कर निष्कर्ष न निकालें।
Use a square bracket at an endpoint when \(\leq\) is used. चरण 1: दोनों ओर बराबर का चिह्न है। चरण 2: इसलिए (1) और (5) दोनों शामिल होंगे और अंतराल ([1,5]) होगा। चरण 3: \(\leq\) दिखे तो उस सीमा पर वर्ग कोष्ठक लगाएँ।
In a closed interval, both endpoints are included.
Step 2
Why this answer is correct
([4,9]) includes both (4) and (9).
Step 3
Exam Tip
Look for square brackets on both sides to identify a closed interval. चरण 1: बंद अंतराल में दोनों सीमा बिंदु शामिल होते हैं। चरण 2: ([4,9]) में (4) और (9) दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल के लिए दोनों ओर वर्ग कोष्ठक देखें।
Use element notation for numbers and subset notation for sets. चरण 1: (B) के सदस्य (2) और (4) हैं। चरण 2: ये दोनों (A) में हैं, इसलिए \(B \subseteq A\)। चरण 3: संख्या के लिए सदस्य चिह्न और समुच्चय के लिए उपसमुच्चय चिह्न प्रयोग करें।
A proper subset has all elements from the original set but is not equal to the original set.
Step 2
Why this answer is correct
({2,4}) is contained in (A) and is smaller than (A).
Step 3
Exam Tip
Do not treat an equal set as a proper subset. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में सभी सदस्य मूल समुच्चय से होते हैं और वह मूल समुच्चय के बराबर नहीं होता। चरण 2: ({2,4}) के सभी सदस्य (A) में हैं और यह (A) से छोटा है। चरण 3: समान समुच्चय को उचित उपसमुच्चय न मानें।
In a closed interval, count both endpoints. चरण 1: वर्ग कोष्ठक सीमा बिंदुओं को शामिल करते हैं। चरण 2: ([1,4]) में (1) और (4) दोनों शामिल हैं। चरण 3: बंद अंतराल में दोनों सिरों को सही मानें।
C. यह प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाता है/It is considered a subset of every set
Step 1
Concept
The empty set has no elements.
Step 2
Why this answer is correct
There is no element in it that can fail to belong to another set, so it is a subset of every set.
Step 3
Exam Tip
Never treat \(\varnothing\) and ({0}) as the same. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता। चरण 2: ऐसा कोई सदस्य नहीं है जो किसी दिए हुए समुच्चय में न मिले, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाता है। चरण 3: \(\varnothing\) और ({0}) को कभी समान न मानें।
Both are also present in (B), so \(A \subseteq B\).
Step 3
Exam Tip
Check whether all elements of the smaller set are in the larger set. चरण 1: (A) के सदस्य (2) और (4) हैं। चरण 2: ये दोनों (B) में भी हैं, इसलिए \(A \subseteq B\) सही है। चरण 3: छोटे समुच्चय के सभी सदस्य बड़े समुच्चय में जाँचें।
A subset means every element of the first set is found in the second set.
Step 2
Why this answer is correct
So if every element of (A) is in (B), we write \(A \subseteq B\).
Step 3
Exam Tip
In exams, carefully separate element notation from subset notation. चरण 1: उपसमुच्चय का अर्थ है कि पहले समुच्चय का हर सदस्य दूसरे समुच्चय में मिले। चरण 2: इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में है तो \(A \subseteq B\) लिखेंगे। चरण 3: परीक्षा में सदस्य और उपसमुच्चय के चिह्नों को अलग-अलग पहचानें।
A set with no element is an empty set. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में सामान्यतः \(1,2,3,\ldots\) आते हैं। चरण 2: इनमें कोई भी संख्या (1) से छोटी नहीं है। चरण 3: जब कोई तत्व न मिले तो समुच्चय रिक्त होता है।
So \(A=\{2,3\}\), which has a limited number of elements.
Step 3
Exam Tip
Factors of a fixed number always form a finite set. चरण 1: (12) के अभाज्य गुणनखंड केवल (2) और (3) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{2,3\}\), जिसमें सीमित अवयव हैं। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड हमेशा परिमित होते हैं।
The natural factors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
Among these, the multiples of (4) are (4,8,12,24), and all are also factors of (24).
Step 3
Exam Tip
Apply both factor and multiple conditions together to get the correct list. चरण 1: (24) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें (4) के गुणज (4,8,12,24) हैं, और सभी (24) के गुणनखंड भी हैं। चरण 3: गुणनखंड और गुणज दोनों शर्तें साथ लगाने पर ही सही सूची मिलती है।
None of them satisfies \(x^2>9\), because ((-3)2=9) and \(3^2=9\).
Step 3
Exam Tip
In a strict inequality, do not include equal boundary values. चरण 1: (-5<x<5) में विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 2: इनमें \(x^2>9\) किसी के लिए सत्य नहीं है, क्योंकि ((-3)2=9) और \(3^2=9\) है। चरण 3: सख्त असमानता में बराबर मान को शामिल न करें।
Repeated elements are not counted separately in a set, so the distinct elements of (B) are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
While checking equality, first find the solutions and then remove repetitions. चरण 1: गुणनफल शून्य होने पर (x=1), (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 2: समुच्चय में दोहराए गए अवयव अलग से नहीं गिने जाते, इसलिए (B) के अलग अवयव (1,2,3) हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय पहले हलों और फिर दोहराव को ध्यान से देखें।
\(10\leq x<100\) gives all two-digit natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
This list is limited from (10) to (99), so it is finite.
Step 3
Exam Tip
Even a long list is finite if its first and last values are fixed. चरण 1: \(10\leq x<100\) सभी दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ देता है। चरण 2: यह सूची (10) से (99) तक सीमित है, इसलिए परिमित है। चरण 3: बड़ी सूची भी परिमित होती है यदि उसका पहला और अंतिम मान तय हो।
Two-digit natural numbers range from (10) to (99).
Step 2
Why this answer is correct
No two-digit number is greater than (99).
Step 3
Exam Tip
Treat word-based limits like number-line limits. चरण 1: दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: (99) से बड़ी कोई दो अंकों की संख्या नहीं होती। चरण 3: शब्दों में दी गई सीमा को संख्या-रेखा की तरह सोचें।
The integer solutions of \(x^2=25\) are (-5) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
In \(Y_1\), (5) is written twice, but repetition is ignored in a set.
Step 3
Exam Tip
Before checking equality, remove repeated elements. चरण 1: \(x^2=25\) के पूर्णांक हल (-5) और (5) हैं। चरण 2: \(Y_1\) में (5) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 3: समानता जाँचने से पहले दोहराए हुए अवयव हटाएँ।
When a number is divided by (6), the remainder can be from (0) to (5).
Step 2
Why this answer is correct
Remainder (6) is impossible, so no element exists.
Step 3
Exam Tip
A remainder is always smaller than the divisor. चरण 1: किसी संख्या को (6) से भाग देने पर शेष (0) से (5) तक हो सकता है। चरण 2: शेष (6) संभव नहीं है, इसलिए कोई अवयव नहीं मिलेगा। चरण 3: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
(42) is beyond the limit (40), so there are (8) elements.
Step 3
Exam Tip
In an arithmetic pattern, the last term must stay within the given bound. चरण 1: ऐसी संख्याएँ (2,7,12,17,22,27,32,37) हैं। चरण 2: (42) सीमा (40) से बाहर है, इसलिए कुल (8) अवयव हैं। चरण 3: समान अंतर वाली सूची में अंतिम मान सीमा के अंदर होना चाहिए।
A remainder-based set can be infinite when there is no upper limit. चरण 1: ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ \(2,7,12,17,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम लगातार आगे बढ़ता है और समाप्त नहीं होता। चरण 3: शेषफल पर आधारित समुच्चय बिना ऊपरी सीमा के अपरिमित हो सकता है।
This is a rational number, so the set has exactly one element.
Step 3
Exam Tip
When the domain is \(\mathbb{Q}\), fractional solutions may be accepted. चरण 1: (2x+1=0) से \(x=-\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: यह परिमेय संख्या है, इसलिए समुच्चय में एक ही अवयव होगा। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{Q}\) हो तो भिन्न रूप के हल स्वीकार हो सकते हैं।
\(-\frac{1}{2}\) is not an integer, so there is no acceptable element.
Step 3
Exam Tip
A linear equation solution must also satisfy the domain condition. चरण 1: (2x+1=0) से \(x=-\frac{1}{2}\) मिलता है। चरण 2: \(-\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए कोई स्वीकार्य अवयव नहीं है। चरण 3: रैखिक समीकरण का हल भी क्षेत्र की शर्त पूरी करे, तभी समुच्चय में आएगा।
For \(x^2<10\), the possible integers are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) elements in total.
Step 3
Exam Tip
For integer sets, count negative values, zero, and positive values. चरण 1: \(x^2<10\) के लिए पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) संभव हैं। चरण 2: कुल (7) अवयव मिलते हैं। चरण 3: पूर्णांकों में ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक तीनों भागों को गिनें।
