Multiples of (4) less than (30) are (4,8,12,16,20,24,28).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) such elements.
Step 3
Exam Tip
While listing multiples, do not go beyond the given limit. चरण 1: (30) से छोटे (4) के गुणज (4,8,12,16,20,24,28) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (7) है। चरण 3: गुणजों की सूची बनाते समय अंतिम सीमा से आगे न जाएँ।
When two conditions are given, apply both together. चरण 1: (25) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,5,25) हैं। चरण 2: इनमें कोई सम संख्या नहीं है, इसलिए कोई अवयव नहीं मिलेगा। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को एक साथ लागू करें।
The prime numbers among them are only (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
Do not count (1) as a prime number; this is a common exam mistake. चरण 1: (18) के गुणनखंड (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ केवल (2) और (3) हैं। चरण 3: (1) को अभाज्य संख्या न मानें, यह सामान्य परीक्षा-भूल है।
Thus \(-3\leq x\leq 1\), so the integers are (-3,-2,-1,0,1).
Step 3
Exam Tip
Inclusive boundaries must be counted. चरण 1: \(|x+1|\leq 2\) से \(-2\leq x+1\leq 2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(-3\leq x\leq 1\), और पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1) हैं। चरण 3: बंद सीमा में दोनों किनारे गिने जाते हैं।
For absolute value inequalities, first convert them into ordinary bounds. चरण 1: (|x-2|<1) से (1<x<3) मिलता है। चरण 2: इस बीच केवल पूर्णांक (2) है। चरण 3: परिमाण वाली असमानता को पहले साधारण सीमा में बदलना बेहतर रहता है।
(-1) is not a natural number, so no value is accepted.
Step 3
Exam Tip
A solution must belong to the given number set. चरण 1: \(x^2+2x+1=0\) से ((x+1)2=0) और (x=-1) मिलता है। चरण 2: (-1) प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए कोई मान स्वीकार नहीं होगा। चरण 3: हल मिलने पर भी वह दिए गए संख्या-समुच्चय में होना चाहिए।
The solutions are (3) and (4), and both are natural numbers.
Step 3
Exam Tip
After solving an equation, always check the given domain condition. चरण 1: \(x^2-7x+12=0\) को ((x-3)(x-4)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (3) और (4) हैं, दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: समीकरण हल करने के बाद क्षेत्र की शर्त जरूर जाँचें।
Both are integers, so the elements of (A) match those of (B).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not the form of writing. चरण 1: समीकरण \(x^2-1=0\) से (x=-1) और (x=1) मिलते हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए (A) के अवयव (B) जैसे ही हैं। चरण 3: समान समुच्चय में लिखने का तरीका नहीं, अवयवों की समानता देखी जाती है।
B. समान समुच्चयों में वही-वही अवयव होने चाहिए, क्रम महत्व नहीं रखता/Equal sets must have exactly the same elements, and order does not matter
Step 1
Concept
Equal sets are identified by their elements.
Step 2
Why this answer is correct
If every element in both sets is the same, the sets remain equal even when the order changes.
Step 3
Exam Tip
Do not decide equality only by counting the number of elements. चरण 1: समान समुच्चय की पहचान केवल अवयवों से होती है। चरण 2: यदि दोनों समुच्चयों में हर अवयव समान है, तो क्रम बदलने पर भी वे समान रहेंगे। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या देखकर समानता का निर्णय न करें।
The solutions are (x=2) and (x=3), so (D) has the same elements as (E).
Step 3
Exam Tip
Equal sets need the same elements, even if they are written in different forms. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए (D) के अवयव (E) जैसे ही हैं। चरण 3: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए, लिखने का तरीका अलग हो सकता है।
(x=2n) gives even natural numbers such as \(2,4,6,8,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (n) runs through natural numbers, the list does not end.
Step 3
Exam Tip
When a variable has no upper bound, the set is often infinite. चरण 1: (x=2n) से \(2,4,6,8,\ldots\) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ मिलती हैं। चरण 2: (n) प्राकृतिक संख्याओं में चलता रहता है, इसलिए (C) की सूची समाप्त नहीं होती। चरण 3: जब चल राशि पर ऊपरी सीमा न हो, तो अपरिमित समुच्चय की संभावना अधिक होती है।
In \(-4<x\leq 1\), (-4) is not included, but (1) is included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-3,-2,-1,0,1), giving (5) elements.
Step 3
Exam Tip
Carefully notice the difference between open and closed boundaries. चरण 1: शर्त \(-4<x\leq 1\) में (-4) शामिल नहीं है, पर (1) शामिल है। चरण 2: पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1) मिलते हैं, कुल (5) अवयव हैं। चरण 3: खुली और बंद सीमा का अंतर ध्यान से पहचानें।
None of these is greater than (8), so no element remains in the set.
Step 3
Exam Tip
In factor-based questions, check both the number and the extra condition together. चरण 1: (8) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,2,4,8) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी अवयव (8) से बड़ा नहीं है, इसलिए समुच्चय में कोई अवयव नहीं बचेगा। चरण 3: गुणनखंड वाले प्रश्न में संख्या की सीमा और अतिरिक्त शर्त दोनों साथ देखें।
A. \(P_1=Q_1\) लेकिन \(P_1\ne R_1\)/\(P_1=Q_1\) but \(P_1\ne R_1\)
Step 1
Concept
\(P_1\) and \(Q_1\) have the same elements, only the order is changed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R_1\) has (4) instead of (3), so it is not equal to \(P_1\).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements, not order. चरण 1: \(P_1\) और \(Q_1\) में वही अवयव हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 2: \(R_1\) में (3) के स्थान पर (4) है, इसलिए वह समान नहीं है। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम नहीं, अवयवों की समानता देखी जाती है।
When an even prime is mentioned, identify (2) quickly. चरण 1: केवल (2) ही ऐसी प्राकृतिक संख्या है जो अभाज्य भी है और सम भी। चरण 2: इसलिए \(O_1={2}\) है, जिसमें एक अवयव है। चरण 3: सम अभाज्य संख्या पूछे जाने पर (2) को तुरंत पहचानें।
Perfect-square natural numbers are \(1,4,9,16,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Such squares continue indefinitely, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
Without a bound, even special kinds of numbers may form infinite sets. चरण 1: पूर्ण वर्ग प्राकृतिक संख्याएँ \(1,4,9,16,\ldots\) हैं। चरण 2: ऐसे वर्ग अनंत तक बनते रहते हैं, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: यदि सीमा नहीं दी गई है, तो विशेष प्रकार की संख्याएँ भी अपरिमित हो सकती हैं।
Perfect squares less than (20) come from \(1^2,2^2,3^2,4^2\).
Step 2
Why this answer is correct
So the elements are (1,4,9,16).
Step 3
Exam Tip
Do not include values outside the given limit, such as (25). चरण 1: (20) से छोटे पूर्ण वर्ग \(1^2,2^2,3^2,4^2\) से मिलते हैं। चरण 2: इसलिए अवयव (1,4,9,16) हैं। चरण 3: सीमा से बाहर (25) जैसे मान को शामिल न करें।
The absolute value of any number cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence no integer satisfies (|x|=-2).
Step 3
Exam Tip
If the right side of an absolute value equation is negative, think of an empty set. चरण 1: किसी भी संख्या का परिमाण ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (|x|=-2) को कोई पूर्णांक पूरा नहीं करता। चरण 3: परिमाण की शर्त में ऋणात्मक दाएँ पक्ष दिखे तो रिक्त समुच्चय सोचें।
When (|x|=a) and (a=0), there is one solution, not two. चरण 1: (|x|=0) केवल (x=0) पर सत्य होता है। चरण 2: (0) पूर्णांक है, इसलिए समुच्चय में एक अवयव है। चरण 3: (|x|=a) में (a=0) हो तो दो नहीं, केवल एक हल मिलता है।
The integers are (-2,-1,0,1,2), giving (5) elements.
Step 3
Exam Tip
In absolute value questions, first convert the condition into an ordinary inequality. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (-3<x<3)। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं, कुल (5)। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में पहले सीमा को साधारण असमानता में बदलें।
Here natural numbers are taken as \(1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
No natural number is less than or equal to (0).
Step 3
Exam Tip
Keep the definition of natural numbers clear before choosing the answer. चरण 1: यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) मानी जाती हैं। चरण 2: कोई प्राकृतिक संख्या (0) से छोटी या बराबर नहीं है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा स्पष्ट रखकर ही उत्तर चुनें।
Infinitely many lines can be drawn parallel to the (x)-axis at different heights.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the number of such lines does not end.
Step 3
Exam Tip
In geometry-based set questions, focus on the number of possible objects. चरण 1: (x)-अक्ष के समानांतर अलग-अलग ऊँचाई पर अनगिनत रेखाएँ खींची जा सकती हैं। चरण 2: इसलिए ऐसी रेखाओं की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 3: ज्यामितीय स्थितियों में संभावनाओं की संख्या पर ध्यान दें।
These points cannot be counted to an end, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
In geometry, sets of points on a line or curve are usually infinite. चरण 1: वृत्त पर बहुत सारे नहीं, बल्कि अनगिनत बिंदु होते हैं। चरण 2: बिंदुओं को गिनकर समाप्त नहीं किया जा सकता, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: ज्यामिति में रेखा या वक्र पर बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः अपरिमित माना जाता है।
Real-life countable limited collections form finite sets. चरण 1: किसी कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या सीमित होती है। चरण 2: इसलिए रोल नंबरों की संख्या भी सीमित होती है। चरण 3: वास्तविक जीवन के गिनने योग्य सीमित समूह परिमित समुच्चय बनाते हैं।
Selected factors of a fixed number are also finite. चरण 1: (16) के सम गुणनखंड (2,4,8,16) हैं। चरण 2: ये चार अवयव हैं, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के चुने हुए गुणनखंड भी परिमित ही होते हैं।
In a set with two conditions, apply both conditions together. चरण 1: (9) के प्राकृतिक गुणनखंड (1,3,9) हैं। चरण 2: इनमें कोई भी सम संख्या नहीं है। चरण 3: दो शर्तों वाले समुच्चय में दोनों शर्तों को साथ-साथ लागू करें।
No number can be both less than (15) and greater than (15) at the same time.
Step 2
Why this answer is correct
So no natural number satisfies both conditions.
Step 3
Exam Tip
When conditions contradict each other, check for an empty set. चरण 1: कोई संख्या एक साथ (15) से छोटी और (15) से बड़ी नहीं हो सकती। चरण 2: इसलिए कोई प्राकृतिक संख्या दोनों शर्तें पूरी नहीं करती। चरण 3: विरोधी शर्तें दिखें तो रिक्त समुच्चय की संभावना जाँचें।
C. ( {0,2,4} ) और ( {2,4,6} )/( {0,2,4} ) and ( {2,4,6} )
Step 1
Concept
Equal sets must have every element common in both sets.
Step 2
Why this answer is correct
( {0,2,4} ) contains (0), while the other set contains (6).
Step 3
Exam Tip
Having the same number of elements is not enough; the elements must also match. चरण 1: समान समुच्चयों में हर अवयव दोनों में होना चाहिए। चरण 2: ( {0,2,4} ) में (0) है, पर दूसरे में (6) है। चरण 3: केवल अवयवों की संख्या समान होना काफी नहीं, अवयव भी वही होने चाहिए।
The set has only one element, (5), so it is a singleton and also finite.
Step 3
Exam Tip
Inclusive equal bounds often give a single element. चरण 1: \(5\leq x\leq 5\) का अर्थ है (x=5)। चरण 2: समुच्चय में केवल एक अवयव (5) है, इसलिए यह एकल समुच्चय है और परिमित भी है। चरण 3: बराबर सीमाओं वाली बंद असमानता अक्सर एक ही अवयव देती है।
Odd natural numbers greater than (30) are \(31,33,35,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list never ends, so \(D_1\) is infinite.
Step 3
Exam Tip
Even if a set starts after a large number, it is infinite when there is no upper end. चरण 1: (30) से बड़ी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(31,33,35,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची समाप्त नहीं होती, इसलिए \(D_1\) अपरिमित है। चरण 3: बड़ी संख्या से शुरू होने पर भी यदि आगे कोई अंत नहीं है, तो समुच्चय अपरिमित है।
