Odd natural numbers less than (30) are \(1,3,5,\ldots,29\).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
A list may be long, but if it ends, it is finite. चरण 1: (30) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(1,3,5,\ldots,29\) हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: संख्या-सूची लंबी हो सकती है, फिर भी यदि समाप्त होती है तो परिमित है।
B. दो अवयवों वाला परिमित समुच्चय/Two-element finite set
Step 1
Concept
In real numbers, \(x^2=2\) has solutions \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
There are two elements, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
The same equation can give a different type of set when the domain changes. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(x^2=2\) के हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: कुल दो अवयव हैं, इसलिए यह परिमित समुच्चय है। चरण 3: वही समीकरण अलग क्षेत्र में अलग प्रकार का समुच्चय दे सकता है।
The solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
These are not integers, so there is no integer solution.
Step 3
Exam Tip
When the domain is \(\mathbb{Z}\), only integer answers are allowed. चरण 1: \(x^2=2\) के हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। चरण 2: ये पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए कोई पूर्णांक हल नहीं मिलता। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{Z}\) हो तो केवल पूर्णांक उत्तर ही मान्य होंगे।
B. \( \varnothing \) में (0) अवयव हैं और ({0}) में एक अवयव है/\( \varnothing \) has (0) elements and ({0}) has one element
Step 1
Concept
\( \varnothing \) has no element.
Step 2
Why this answer is correct
({0}) has one element, namely (0).
Step 3
Exam Tip
Never treat the empty set and the set containing zero as the same. चरण 1: \( \varnothing \) में कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: ({0}) में (0) नाम का एक अवयव होता है। चरण 3: खाली समुच्चय और शून्य वाले समुच्चय को कभी समान न मानें।
B. ऐसा समुच्चय जिसमें कोई अवयव न हो/A set with no element
Step 1
Concept
\( \varnothing \) denotes the empty set.
Step 2
Why this answer is correct
An empty set has no element.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse \( \varnothing \) with ({0}). चरण 1: \( \varnothing \) रिक्त समुच्चय का चिह्न है। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता। चरण 3: \( \varnothing \) और ({0}) को अलग-अलग समझें।
Below (20), these are (6,12,18), so the count is limited.
Step 3
Exam Tip
Adding an upper bound often makes an otherwise infinite-looking set finite. चरण 1: दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज हैं। चरण 2: (20) से छोटी ऐसी संख्याएँ (6,12,18) हैं, इसलिए संख्या सीमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा जोड़ने से कई अपरिमित दिखने वाले समुच्चय परिमित हो जाते हैं।
Numbers divisible by both (2) and (3) are multiples of (6).
Step 2
Why this answer is correct
The list \(6,12,18,\ldots\) is endless.
Step 3
Exam Tip
Even with two conditions, if there is no upper bound on multiples, the set is infinite. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्याएँ (6) के गुणज होती हैं। चरण 2: \(6,12,18,\ldots\) की सूची अनंत है। चरण 3: दो शर्तें होने पर भी यदि गुणजों की कोई ऊपरी सीमा नहीं है, तो समुच्चय अपरिमित रहेगा।
This sequence continues forever, so (X) is infinite.
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between factors and multiples clear. चरण 1: (12) के गुणज \(12,24,36,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम हमेशा आगे चलता है, इसलिए (X) अपरिमित है। चरण 3: गुणनखंड और गुणज में अंतर साफ रखें।
The factors of (12) are limited, such as (1,2,3,4,6,12).
Step 2
Why this answer is correct
So (W) has a finite number of elements.
Step 3
Exam Tip
Factors of a fixed number always form a finite set. चरण 1: (12) के गुणनखंड सीमित हैं, जैसे (1,2,3,4,6,12)। चरण 2: इसलिए (W) में सीमित संख्या में अवयव हैं। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के गुणनखंड हमेशा परिमित होते हैं।
Positive integers divisible by (7) are \(7,14,21,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The list continues without an end, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
If no upper bound is given for multiples, treat the set as infinite. चरण 1: (7) से विभाज्य धनात्मक पूर्णांक \(7,14,21,\ldots\) हैं। चरण 2: ये बिना अंत के आगे बढ़ते हैं, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: गुणजों की सूची पर ऊपरी सीमा न हो तो उसे अपरिमित मानें।
In inclusive inequalities, both boundary values are included. चरण 1: (-2) से (2) तक पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 2: कुल (5) अवयव मिलते हैं। चरण 3: बंद असमानता में दोनों किनारे शामिल होते हैं।
The inequality is strict, so (3) and (4) are not included.
Step 3
Exam Tip
In strict inequalities, do not count boundary values. चरण 1: (3) और (4) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं होती। चरण 2: असमानता सख्त है, इसलिए (3) और (4) शामिल नहीं हैं। चरण 3: सख्त असमानता में किनारे के मान न गिनें।
When the number of digits is fixed, the related number set is usually finite. चरण 1: दो अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: यह संख्या सीमित है, इसलिए (S) परिमित है। चरण 3: अंकों की संख्या तय हो तो उस तरह की संख्याएँ प्रायः परिमित होती हैं।
The equation \(x^2=16\) has two integer solutions, (x=4) and (x=-4).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both belong to (R).
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative roots. चरण 1: \(x^2=16\) के दो पूर्णांक हल (x=4) और (x=-4) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों (R) में आएँगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हल देखना न भूलें।
The square of a natural number cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
Hence no natural number satisfies \(x^2<0\).
Step 3
Exam Tip
In square-based questions, remember that squares are non-negative. चरण 1: किसी भी प्राकृतिक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(x^2<0\) को कोई प्राकृतिक संख्या पूरा नहीं करती। चरण 3: वर्ग से जुड़े प्रश्नों में धनात्मक या शून्य मान की बात याद रखें।
The primes less than (10) are (2,3,5,7); (1) is not prime.
Step 3
Exam Tip
Do not include (1) in prime-number sets. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं, (1) अभाज्य नहीं है। चरण 3: अभाज्य संख्या के प्रश्नों में (1) को शामिल न करें।
Learn to compare roster form and set-builder form. चरण 1: (N) में (5) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: वे (1,2,3,4) हैं, जो (M) के अवयवों के समान हैं। चरण 3: सूची रूप और नियम रूप को मिलाकर देखना सीखें।
Remember that a square of a real number cannot be negative. चरण 1: वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1=0\) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं वाले प्रश्नों में वर्ग का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता।
Natural numbers greater than or equal to (50) are \(50,51,52,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list never ends, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
With only a lower bound, a natural-number set is usually infinite. चरण 1: (50) से बड़ी या बराबर प्राकृतिक संख्याएँ \(50,51,52,\ldots\) हैं। चरण 2: यह क्रम कभी समाप्त नहीं होता, इसलिए समुच्चय अपरिमित है। चरण 3: केवल निचली सीमा होने से प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रायः अपरिमित होता है।
When an upper limit is given, the set is often finite. चरण 1: (J) में (1) से (50) तक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: इनकी संख्या निश्चित है, इसलिए (J) परिमित है। चरण 3: ऊपरी सीमा दी हो तो अक्सर समुच्चय परिमित होता है।
C. रिक्त समुच्चय में (0) अवयव होते हैं/An empty set has (0) elements
Step 1
Concept
By definition, an empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, read every word carefully. चरण 1: रिक्त समुच्चय की परिभाषा है कि उसमें कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसके अवयवों की संख्या (0) होती है। चरण 3: परिभाषाओं पर आधारित प्रश्नों में शब्दों को बहुत सावधानी से पढ़ें।
In strict inequalities, the end numbers are not included. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त को कोई (x) पूरा नहीं करता। चरण 3: खुली असमानताओं में अंतिम संख्याएँ शामिल नहीं होतीं।
(a) is written twice in (H), but repetition is ignored in sets.
Step 2
Why this answer is correct
Both sets have the distinct elements (a,b,c).
Step 3
Exam Tip
To test equality, remove repeated elements first. चरण 1: (H) में (a) दो बार लिखा है, पर समुच्चय में दोहराव नहीं गिना जाता। चरण 2: दोनों में अलग-अलग अवयव (a,b,c) ही हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय पहले दोहराए हुए अवयव हटा दें।
A set with a fixed countable number of elements is finite. चरण 1: एक वर्ष में महीनों की संख्या निश्चित होती है। चरण 2: संख्या (12) है, इसलिए अवयवों की गिनती समाप्त हो जाती है। चरण 3: निश्चित और गिनने योग्य अवयवों वाला समुच्चय परिमित होता है।
When dots \( \ldots \) show an endless pattern, look for an infinite set. चरण 1: (5) के धनात्मक गुणज \(5,10,15,\ldots\) चलते रहते हैं। चरण 2: इन्हें गिनना समाप्त नहीं किया जा सकता, इसलिए यह अपरिमित समुच्चय है। चरण 3: जहाँ बिंदु \( \ldots \) आगे अनंत क्रम दिखाते हैं, वहाँ अपरिमितता पहचानें।
While counting elements, remove repetitions first. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को बार-बार नहीं गिना जाता। चरण 2: (E) में अलग-अलग अवयव (1,2,3) हैं। चरण 3: अवयव गिनते समय पुनरावृत्ति को हटाना न भूलें।
B. (C=D) क्योंकि अवयव समान हैं/(C=D) because elements are the same
Step 1
Concept
Equal sets must have exactly the same elements.
Step 2
Why this answer is correct
The order of elements in a set does not matter, so the two sets are equal.
Step 3
Exam Tip
A common exam mistake is to treat changed order as a different set. चरण 1: समान समुच्चयों में अवयव समान होने चाहिए। चरण 2: समुच्चय में अवयवों का क्रम महत्व नहीं रखता, इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। चरण 3: क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता, यह परीक्षा में बहुत सामान्य भूल है।
After finding solutions, always apply the condition given in the set. चरण 1: समीकरण \(x^2=4\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्या में केवल (2) आता है, (-2) नहीं। चरण 3: हल निकालने के बाद दिए गए समुच्चय की शर्त जरूर लगाएँ।
They can be counted completely, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
The set of factors of a fixed number is always limited. चरण 1: (18) के प्राकृतिक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: ये सभी गिने जा सकते हैं, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के भाजकों का समुच्चय हमेशा सीमित होता है।
A. जिसमें कोई तत्व नहीं होता/A set with no element
Step 1
Concept
An empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
So its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that \(\varnothing\) and ({}) both denote the empty set. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई भी तत्व नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसका तत्वों की संख्या (0) होती है। चरण 3: परीक्षा में \(\varnothing\) और ({}) दोनों संकेत पहचानना जरूरी है।
