A. (C) और (D) समान समुच्चय हैं/(C) and (D) are equal sets
Step 1
Concept
Repeated elements are not counted separately in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct elements of (C) are (1,2,3), and (D) has the same elements.
Step 3
Exam Tip
In exam questions on equality of sets, ignore order and repetition. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अवयवों को अलग-अलग नहीं गिना जाता। चरण 2: (C) के भिन्न अवयव (1,2,3) हैं और (D) के भी वही अवयव हैं। चरण 3: परीक्षा में समानता जाँचते समय क्रम और दोहराव को अनदेखा करें।
When both endpoints are included, count the starting and ending values also. चरण 1: दिए गए पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: इनकी संख्या (7) है, इसलिए यह सीमित समुच्चय है। चरण 3: जब दोनों सिरों को शामिल किया जाए, तो गिनती में आरंभ और अंत दोनों जोड़ें।
For \(n=1,2,3,\ldots\), we get \(x=2,4,6,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list of even numbers keeps continuing.
Step 3
Exam Tip
A set with no last element is infinite. चरण 1: \(n=1,2,3,\ldots\) रखने पर \(x=2,4,6,\ldots\) मिलता है। चरण 2: यह सम संख्याओं की सूची आगे चलती रहती है। चरण 3: जिसका अंतिम तत्व न मिले वह समुच्चय अनंत होता है।
C. ({0}) और \({\varnothing}\)/({0}) and \({\varnothing}\)
Step 1
Concept
({0}) contains (0) as one element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\varnothing}\) contains the empty set itself as one element.
Step 3
Exam Tip
(0) and \(\varnothing\) are different, so the two sets are not equal. चरण 1: ({0}) में (0) एक तत्व है। चरण 2: \({\varnothing}\) में रिक्त समुच्चय स्वयं एक तत्व है। चरण 3: (0) और \(\varnothing\) अलग हैं, इसलिए ये दोनों समुच्चय समान नहीं हैं।
The numerical values satisfying \(x^2=9\) can be (-3) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(x\in \mathbb{N}\), only (3) is allowed.
Step 3
Exam Tip
Read every condition together before forming the set. चरण 1: \(x^2=9\) के संख्यात्मक मान (-3) और (3) हो सकते हैं। चरण 2: \(x\in \mathbb{N}\) है, इसलिए केवल (3) लिया जाएगा। चरण 3: हर शर्त को साथ पढ़ें, तभी सही समुच्चय बनेगा।
While checking equality, compare elements, not the form of writing. चरण 1: (12) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: (A) में भी यही दोनों तत्व हैं। चरण 3: समानता जाँचते समय समुच्चय का रूप नहीं, तत्व देखें।
Odd natural numbers greater than (10) are \(11,13,15,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
This list keeps continuing.
Step 3
Exam Tip
A list with no last element represents an infinite set. चरण 1: (10) से बड़ी विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(11,13,15,\ldots\) हैं। चरण 2: यह सूची लगातार आगे बढ़ती रहती है। चरण 3: जिस सूची का अंतिम तत्व न हो उसे अनंत समुच्चय समझें।
For \(x\leq 5\), the natural numbers are (1,2,3,4,5).
Step 2
Why this answer is correct
Their number is limited and can be fully counted.
Step 3
Exam Tip
A bounded small list is a finite set. चरण 1: \(x\leq 5\) होने पर प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4,5) मिलती हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित है और गिनती पूरी हो जाती है। चरण 3: सीमा वाली छोटी सूची को परिमित समुच्चय मानें।
When no element satisfies the condition, the set is empty. चरण 1: (2) और (3) के बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त को पूरा करने वाला कोई तत्व नहीं है। चरण 3: जब कोई तत्व शर्त पूरी न करे तो समुच्चय रिक्त होता है।
The multiples of (4) up to (25) are (4,8,12,16,20,24).
Step 2
Why this answer is correct
Remove the values divisible by (8): (8,16,24).
Step 3
Exam Tip
The remaining elements (4,12,20) form the set. चरण 1: (25) तक (4) के गुणज (4,8,12,16,20,24) हैं। चरण 2: इनमें (8) से विभाज्य (8,16,24) को हटाएँ। चरण 3: बचे हुए (4,12,20) ही समुच्चय के अवयव हैं।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
Remove (2) and (3) because they are prime.
Step 3
Exam Tip
(1) is not prime, so it remains in the set. चरण 1: (36) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: (2) और (3) अभाज्य हैं, इसलिए उन्हें हटाएँ। चरण 3: (1) अभाज्य नहीं होता, इसलिए वह समुच्चय में रहेगा।
\(|x-2|\leq 1\) means (x) is at most (1) unit away from (2).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values (1,2,3) satisfy this condition.
Step 3
Exam Tip
Substitute the values and check the absolute value to avoid mistakes. चरण 1: \(|x-2|\leq 1\) का अर्थ है (x), संख्या (2) से अधिकतम (1) दूरी पर है। चरण 2: पूर्णांक मान (1,2,3) इस शर्त को पूरा करते हैं। चरण 3: मान रखने के बाद निरपेक्ष मान की जाँच करके गलती कम करें।
When two conditions are given, first list the larger set and then filter the correct elements. चरण 1: (36) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: इनमें पूर्ण वर्ग (1,4,9,36) हैं। चरण 3: दो शर्तें हों तो पहले बड़ी सूची बनाकर फिर सही सदस्यों को छाँटें।
From (x(x-1)=0), we get (x=0) or (x=1), and both are integers.
Step 3
Exam Tip
While writing a set, include each value only once. चरण 1: समीकरण \(x^2=x\) को \(x^2-x=0\) लिखें। चरण 2: (x(x-1)=0) से (x=0) या (x=1) मिलता है और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय लिखते समय सभी मानों को एक बार ही लिखें।
The squares of (-1,0,1) are (1,0,1), so these are included.
Step 3
Exam Tip
In integer square questions, do not forget (0). चरण 1: पूर्णांक (x) के लिए \(x^2\leq 1\) देखना है। चरण 2: (-1,0,1) के वर्ग क्रमशः (1,0,1) हैं, इसलिए ये शामिल हैं। चरण 3: पूर्णांक वाले वर्ग प्रश्न में (0) को भूलना नहीं चाहिए।
In (x>6), (6) is not included. चरण 1: (24) के गुणनखंड (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें (6) से बड़े सदस्य (8,12,24) हैं। चरण 3: (x>6) में (6) शामिल नहीं होता।
Therefore, the condition using \(x^3\) with \(1\leq x\leq 4\) is correct.
Step 3
Exam Tip
Clearly distinguish cube patterns from square patterns. चरण 1: (1,8,27,64) क्रमशः \(1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x^3\) और \(1\leq x\leq 4\) वाली शर्त सही है। चरण 3: घन और वर्ग के पैटर्न में अंतर स्पष्ट पहचानें।
Algebraic solutions are (-1) and (1), but only (1) is a natural number.
Step 3
Exam Tip
When writing solutions, always check the given set. चरण 1: \(x^2-1=0\) से \(x^2=1\) मिलता है। चरण 2: बीजगणितीय हल (-1) और (1) हैं, लेकिन प्राकृतिक संख्या में केवल (1) आता है। चरण 3: हल लिखते समय प्रश्न में दिया गया समुच्चय जरूर देखें।
(0) is not included because it is not odd. चरण 1: (-4) से (4) तक पूर्णांक देखें। चरण 2: विषम पूर्णांक (-3,-1,1,3) हैं। चरण 3: (0) न समुच्चय में आएगा क्योंकि वह विषम नहीं है।
Those divisible by (2) or (5) are (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18).
Step 3
Exam Tip
Or means satisfying at least one of the two conditions. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ लें। चरण 2: जो (2) या (5) से विभाज्य हैं वे (2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18) हैं। चरण 3: या का अर्थ दोनों में से कोई एक शर्त पूरी होना है।
B. यह (12) सदस्यों वाला सीमित समुच्चय है/It is a finite set with (12) elements
Step 1
Concept
The names of the months in a year are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
There are (12) such names, so it is a finite set.
Step 3
Exam Tip
Everyday lists can form sets if membership is clear. चरण 1: वर्ष में महीनों के नाम निश्चित होते हैं। चरण 2: ऐसे नामों की संख्या (12) है, इसलिए यह सीमित समुच्चय है। चरण 3: रोजमर्रा की सूचियाँ भी समुच्चय बन सकती हैं, यदि सदस्यता साफ हो।
Since the condition is \(\leq 11\), (11) is included.
Step 3
Exam Tip
When equality is included in the boundary, check the endpoint. चरण 1: (11) तक विषम प्राकृतिक संख्याएँ लिखें। चरण 2: \(\leq 11\) होने से (11) शामिल होगा। चरण 3: सीमा में बराबरी हो तो अंतिम मान को अवश्य जाँचें।
(23) and (29) are prime, while (21,25,27) are composite.
Step 3
Exam Tip
When testing primality, check divisibility by small factors. चरण 1: (20) और (30) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ जाँचें। चरण 2: (23) और (29) अभाज्य हैं, जबकि (21,25,27) भाज्य हैं। चरण 3: अभाज्य जाँचते समय छोटे गुणनखंडों से विभाज्यता देखें।
(0) is considered an even number, so do not omit it. चरण 1: (-5) और (5) के बीच के पूर्णांक लिखें। चरण 2: उनमें सम पूर्णांक (-4,-2,0,2,4) हैं। चरण 3: शून्य भी सम संख्या माना जाता है, इसे न छोड़ें।
Multiples of (5) are \(5,10,15,20,\ldots\) and continue.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last multiple, so the set is infinite.
Step 3
Exam Tip
If no upper limit is given, a set of multiples is usually infinite. चरण 1: (5) के गुणज \(5,10,15,20,\ldots\) चलते रहते हैं। चरण 2: कोई अंतिम गुणज नहीं है, इसलिए समुच्चय अनंत है। चरण 3: यदि कोई ऊपरी सीमा नहीं दी है तो गुणजों का समुच्चय अक्सर अनंत होगा।
Treating (1) as prime is a very common exam mistake. चरण 1: (9) के गुणनखंड (1,3,9) हैं। चरण 2: इनमें केवल (3) अभाज्य है। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती परीक्षा में बहुत सामान्य है।
A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6).
Step 2
Why this answer is correct
Multiples of (6) up to (18) are (6,12,18).
Step 3
Exam Tip
Divisible by both means both conditions together, not either one. चरण 1: (2) और (3) दोनों से विभाज्य संख्या (6) की गुणज होती है। चरण 2: (18) तक (6) के गुणज (6,12,18) हैं। चरण 3: दोनों से विभाज्य का अर्थ (2) या (3) से विभाज्य नहीं, बल्कि दोनों शर्तें एक साथ हैं।
A. \(({x \in \mathbb{N}:x\) अभाज्य है और \(x<12})\)/\(({x \in \mathbb{N}:x\) is prime and \(x<12})\)
Step 1
Concept
The given elements are prime numbers less than (12).
Step 2
Why this answer is correct
The condition prime and (x<12) matches exactly.
Step 3
Exam Tip
Do not add unnecessary or wrong conditions in set-builder form. चरण 1: दिए गए सदस्य (12) से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: विकल्प में (x<12) और अभाज्य दोनों शर्तें ठीक बैठती हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप में अनावश्यक या गलत शर्त न जोड़ें।
Write the solutions as separate elements of the set. चरण 1: बहुपद को ((x-2)(x-3)=0) के रूप में लिख सकते हैं। चरण 2: इससे (x=2) या (x=3) मिलता है। चरण 3: समुच्चय में हलों को अलग-अलग सदस्य के रूप में लिखें।
When the word positive is used, do not include negative factors. चरण 1: (15) के धनात्मक गुणनखंड (1,3,5,15) हैं। चरण 2: कुल (4) सदस्य हैं। चरण 3: धनात्मक शब्द हो तो ऋणात्मक गुणनखंड शामिल न करें।
