In (6a+5b), the remainder part is \(6\times14+5\times19=179\).
Step 2
Why this answer is correct
\(179=23\times7+18\), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (6a+5b) में शेषफल \(6\times14+5\times19=179\) होगा। चरण 2: \(179=23\times7+18\), इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (10-23=-13) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 41 जोड़ें, जिससे 28 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (5a+4b), the remainder part is \(5\times11+4\times16=119\).
Step 2
Why this answer is correct
\(119=19\times6+5\), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (5a+4b) में शेषफल \(5\times11+4\times16=119\) होगा। चरण 2: \(119=19\times6+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (8-19=-11) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 35 जोड़ें, जिससे 24 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (4a+3b), the remainder part is \(4\times9+3\times13=75\).
Step 2
Why this answer is correct
\(75=17\times4+7\), so the remainder is 7.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle each term’s remainder separately. चरण 1: (4a+3b) में शेषफल \(4\times9+3\times13=75\) होगा। चरण 2: \(75=17\times4+7\), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (5-14=-9) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 27 जोड़ें, जिससे 18 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़ना चाहिए।
In (3a+b), the remainder part is \(3\times6+8=26\).
Step 2
Why this answer is correct
\(26=11\times2+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (3a+b) में शेषफल \(3\times6+8=26\) होगा। चरण 2: \(26=11\times2+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (3-9=-6) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 16 जोड़ें, जिससे 10 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ें।
In (2a+b), the remainder part is \(2\times4+7=15\).
Step 2
Why this answer is correct
(15=9+6), so the remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
In such questions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (2a+b) में शेषफल \(2\times4+7=15\) होगा। चरण 2: (15=9+6), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (9-10=-1) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 14 जोड़ें, जिससे 13 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ना चाहिए।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor enough times to make it valid. चरण 1: (m=12q+5) लिखें। चरण 2: (m-19=12q-14=12(q-2)+10), इसलिए शेषफल 10 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को उचित बार जोड़कर वैध शेषफल बनाएं।
(10) cannot be the remainder because it is greater than (6). चरण 1: (a=6q+5) मानें। चरण 2: (2a=12q+10=6(2q+1)+4), इसलिए शेषफल (4) है। चरण 3: (10) शेषफल नहीं हो सकता क्योंकि यह (6) से बड़ा है।
The next number is (16q+1), so the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
In consecutive numbers, remainders move in order like (0,1,2). चरण 1: संख्या (16q) के रूप में है। चरण 2: अगली संख्या (16q+1) होगी, इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल क्रम से (0,1,2) की तरह आगे बढ़ते हैं।
After the greatest remainder, the next number has remainder (0) again. चरण 1: संख्या को (4q+3) लिखें। चरण 2: अगली संख्या (4q+4=4(q+1)+0) होगी। चरण 3: सबसे बड़े शेषफल के बाद अगली संख्या पर शेषफल फिर (0) हो जाता है।
(n+3=9q+7), so the remainder on division by (9) is (7).
Step 3
Exam Tip
Adding the increase to the old remainder is a quick method. चरण 1: (n=9q+4) मानें। चरण 2: (n+3=9q+7), इसलिए (9) से भाग देने पर शेषफल (7) होगा। चरण 3: पुराने शेषफल में जोड़ी गई संख्या जोड़कर जाँच करना तेज तरीका है।
If the old remainder is one less than the divisor and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=7q+6) लिखें। चरण 2: (n+1=7q+7=7(q+1)+0), इसलिए नया शेषफल (0) होगा। चरण 3: यदि पुराना शेषफल भाजक से एक कम हो और (1) जोड़ा जाए, तो शेषफल (0) हो जाता है।
When the old remainder is one less than the divisor and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=5q+4) लिखें। चरण 2: (n+1=5q+5=5(q+1)+0)। चरण 3: जब पुराना शेषफल भाजक से एक कम हो और (1) जोड़ा जाए तो शेषफल (0) हो जाता है।
For a small increase, first add it to the old remainder. चरण 1: (n=5q+3) लिखें। चरण 2: (n+1=5q+4), इसलिए नया शेषफल (4) होगा। चरण 3: छोटी वृद्धि होने पर पहले पुराने शेषफल में वृद्धि जोड़कर देखें।
If the remainder is (b-1) and (1) is added, the new remainder becomes (0). चरण 1: (n=6q+5) लिखें। चरण 2: (n+1=6q+6=6(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल (b-1) हो और (1) जोड़ा जाए, तो नया शेषफल (0) बन जाता है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(6^2+6+1=43\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 43 by 7 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 6 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(6^2+6+1=43\) से मिलेगा। चरण 3: 43 को 7 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(93+1=94), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 93 है। चरण 2: 283 को 94 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (93+1=94), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
For fifteen times the number, the remainder part is \(15\times14=210\).
Step 2
Why this answer is correct
\(210=57\times3+39\), so the final remainder is 39.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: पंद्रह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(15\times14=210\) होगा। चरण 2: \(210=57\times3+39\), इसलिए अंतिम शेषफल 39 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(12^2=144\), and 144 leaves remainder 11 when divided by 19.
Step 2
Why this answer is correct
For \(12^4\), check \(11^2=121\).
Step 3
Exam Tip
\(121=19\times6+7\), so the remainder is 7. चरण 1: \(12^2=144\), और 144 को 19 से भाग देने पर शेषफल 11 है। चरण 2: \(12^4\) के लिए \(11^2=121\) देखें। चरण 3: \(121=19\times6+7\), इसलिए शेषफल 7 है।
The total remainder is (85+1=86), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 85 है। चरण 2: 259 को 86 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (85+1=86) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The final answer must always be less than 34. चरण 1: वर्ग के लिए \(27^2=729\) लें। चरण 2: \(729=34\times21+15\), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 34 से छोटा होना चाहिए।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times15=195\).
Step 2
Why this answer is correct
\(195=73\times2+49\), so the final remainder is 49.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times15=195\) होगा। चरण 2: \(195=73\times2+49\), इसलिए अंतिम शेषफल 49 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The total remainder is (39+8=47), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 39 है। चरण 2: 102 को 47 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (39+8=47) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(6^3=216\) देखें। चरण 2: \(216=13\times16+8\), इसलिए शेषफल 8 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders repeatedly to keep the calculation simple. चरण 1: घन के लिए \(11^3=1331\) देखें। चरण 2: \(1331=18\times73+17\), इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को बार-बार छोटा करके गणना सरल रखें।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times58=522\).
Step 2
Why this answer is correct
\(522=59\times8+50\), so the remainder is 50.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times58=522\) होगा। चरण 2: \(522=59\times8+50\), इसलिए शेषफल 50 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
It is exactly divisible by 53, so the remainder is 0. चरण 1: (m=53q+12) लिखें। चरण 2: (m-118=53q+12-118=53q-106=53(q-2))। चरण 3: यह 53 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The square remainder comes from dividing \(16^2=256\) by 19.
Step 2
Why this answer is correct
\(256=19\times13+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square only the remainder instead of the full number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(16^2=256\) को 19 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(256=19\times13+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लें।
The remainder of (9n+22) comes from \(9\times31+22=301\).
Step 3
Exam Tip
Since \(301=43\times7+0\), the remainder is 0. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 31 रखें। चरण 2: (9n+22) का शेषफल \(9\times31+22=301\) से मिलेगा। चरण 3: \(301=43\times7+0\), इसलिए शेषफल 0 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(5^2+5+1=31\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 31 by 6 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 5 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(5^2+5+1=31\) से मिलेगा। चरण 3: 31 को 6 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(73+1=74), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 73 है। चरण 2: 223 को 74 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (73+1=74), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
For thirteen times the number, the remainder part is \(13\times11=143\).
Step 2
Why this answer is correct
\(143=45\times3+8\), so the final remainder is 8.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: तेरह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(13\times11=143\) होगा। चरण 2: \(143=45\times3+8\), इसलिए अंतिम शेषफल 8 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(10^2=100\), and 100 leaves remainder 15 when divided by 17.
Step 2
Why this answer is correct
For \(10^4\), check \(15^2=225\).
Step 3
Exam Tip
\(225=17\times13+4\), so the remainder is 4. चरण 1: \(10^2=100\), और 100 को 17 से भाग देने पर शेषफल 15 है। चरण 2: \(10^4\) के लिए \(15^2=225\) देखें। चरण 3: \(225=17\times13+4\), इसलिए शेषफल 4 है।
The total remainder is (61+1=62), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 61 है। चरण 2: 187 को 62 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (61+1=62) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
\(441=26\times16+25\), so the remainder should be 25.
Step 3
Exam Tip
The final answer must always be less than 26. चरण 1: वर्ग के लिए \(21^2=441\) लें। चरण 2: \(441=26\times16+25\), इसलिए शेषफल 25 होना चाहिए। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 26 से छोटा होना चाहिए।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times12=132\).
Step 2
Why this answer is correct
\(132=61\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times12=132\) होगा। चरण 2: \(132=61\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The total remainder is (33+8=41), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 33 है। चरण 2: 90 को 41 से भाग देने पर शेषफल 8 है। चरण 3: कुल शेषफल (33+8=41) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 है।
In powers, working with small remainders avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=11\times11+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculations short. चरण 1: घन के लिए \(7^3=343\) देखें। चरण 2: \(343=15\times22+13\), इसलिए शेषफल 13 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना छोटी रखें।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times46=322\).
Step 2
Why this answer is correct
\(322=47\times6+40\), so the remainder should be 40.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times46=322\) होगा। चरण 2: \(322=47\times6+40\), इसलिए शेषफल 40 होना चाहिए। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
It is exactly divisible by 43, so the remainder is 0. चरण 1: (m=43q+9) लिखें। चरण 2: (m-95=43q+9-95=43q-86=43(q-2))। चरण 3: यह 43 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है।
The square remainder comes from dividing \(14^2=196\) by 17.
Step 2
Why this answer is correct
\(196=17\times11+9\), so the remainder is 9.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(14^2=196\) को 17 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(196=17\times11+9\), इसलिए शेषफल 9 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
The remainder of (8n+17) comes from \(8\times23+17=201\).
Step 3
Exam Tip
\(201=31\times6+15\), so the final remainder is 15. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 23 रखें। चरण 2: (8n+17) का शेषफल \(8\times23+17=201\) से मिलेगा। चरण 3: \(201=31\times6+15\), इसलिए अंतिम शेषफल 15 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(4^2+4+1=21\).
Step 3
Exam Tip
Dividing 21 by 5 gives remainder 1. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 4 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(4^2+4+1=21\) से मिलेगा। चरण 3: 21 को 5 से भाग देने पर शेषफल 1 है।
(57+1=58), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 57 है। चरण 2: 175 को 58 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: (57+1=58), इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
For eleven times the number, the remainder part is \(11\times8=88\).
Step 2
Why this answer is correct
\(88=39\times2+10\), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, divide the result again by the divisor. चरण 1: ग्यारह गुनी संख्या के लिए शेषफल \(11\times8=88\) होगा। चरण 2: \(88=39\times2+10\), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणन के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से भाग दें।
\(7^2=49\), and 49 leaves remainder 10 when divided by 13.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), check \(10^2=100\).
Step 3
Exam Tip
\(100=13\times7+9\), so the remainder is 9. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 13 से भाग देने पर शेषफल 10 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(10^2=100\) देखें। चरण 3: \(100=13\times7+9\), इसलिए शेषफल 9 है।
The total remainder is (43+1=44), so the final remainder is 0. चरण 1: मूल शेषफल 43 है। चरण 2: 133 को 44 से भाग देने पर शेषफल 1 है। चरण 3: कुल शेषफल (43+1=44) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
The final answer must be smaller than 21, so 289 cannot be the answer. चरण 1: वर्ग के लिए \(17^2=289\) लें। चरण 2: \(289=21\times13+16\), इसलिए शेषफल 16 है। चरण 3: अंतिम उत्तर हमेशा 21 से छोटा होना चाहिए, इसलिए 289 उत्तर नहीं हो सकता।
For nine times the number, the remainder part is \(9\times9=81\).
Step 2
Why this answer is correct
(81=52+29), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result by the divisor to make a valid remainder. चरण 1: नौ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(9\times9=81\) होगा। चरण 2: (81=52+29), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को फिर भाजक से घटाकर वैध शेषफल बनाएं।
The total remainder is (30+7=37), so the final remainder is 0. चरण 1: (N) का शेषफल 30 है। चरण 2: 81 को 37 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: कुल शेषफल (30+7=37) है, इसलिए अंतिम शेषफल 0 होगा।
In powers, working with the small remainder avoids large calculations. चरण 1: घन के लिए \(4^3=64\) देखें। चरण 2: \(64=9\times7+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: घातों में छोटे शेषफल पर काम करने से बड़ी गणना से बचते हैं।
In power questions, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=12\times10+5\), इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
For five times the number, the remainder part is \(5\times33=165\).
Step 2
Why this answer is correct
\(165=34\times4+29\), so the final remainder is 29.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, always reduce the result below the divisor. चरण 1: पांच गुनी संख्या के लिए शेषफल \(5\times33=165\) होगा। चरण 2: \(165=34\times4+29\), इसलिए अंतिम शेषफल 29 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को हमेशा भाजक से छोटा करें।
In subtraction, check the final form as divisor times quotient plus remainder. चरण 1: (m=31q+6) लिखें। चरण 2: (m-68=31q-62=31(q-2)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: घटाव में अंतिम रूप को \(भाजक\timesभागफल+शेषफल\) की तरह जांचें।
The square remainder comes from dividing \(11^2=121\) by 13.
Step 2
Why this answer is correct
\(121=13\times9+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(11^2=121\) को 13 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(121=13\times9+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
The remainder of (7n+13) comes from \(7\times17+13=132\).
Step 3
Exam Tip
\(132=29\times4+16\), so the correct remainder is 16. चरण 1: (n) की जगह उसका शेषफल 17 रखें। चरण 2: (7n+13) का शेषफल \(7\times17+13=132\) से मिलेगा। चरण 3: \(132=29\times4+16\); अतः सही शेषफल 16 है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(3^2+3+1=13\), and 13 leaves remainder 1 when divided by 4.
Step 3
Exam Tip
In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution direct. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 3 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(3^2+3+1=13\) से मिलेगा, और 13 का 4 से शेषफल 1 है। चरण 3: बहुपद जैसे व्यंजकों में शेषफल रखने से हल सीधा हो जाता है।
(85) leaves remainder 1 on division by 42, so total remainder (41+1=42), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
When adding a large number, first find its smaller remainder. चरण 1: मूल शेषफल 41 है। चरण 2: 85 को 42 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (41+1=42), जो 0 बनता है। चरण 3: बड़ी संख्या जोड़ने पर पहले उसका छोटा शेषफल निकालें।
For eight times the number, the remainder part is \(8\times5=40\).
Step 2
Why this answer is correct
(40=27+13), so the final remainder is 13.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result below the divisor. चरण 1: आठ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(8\times5=40\) होगा। चरण 2: (40=27+13), इसलिए अंतिम शेषफल 13 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को भाजक से छोटा करें।
\(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.
Step 3
Exam Tip
Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8. चरण 1: ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। चरण 2: \(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें।
Adding 6 gives (18q+18=18(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
When the remainder and the added number make the divisor, the new remainder becomes zero. चरण 1: संख्या (18q+12) है। चरण 2: 6 जोड़ने पर (18q+18=18(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो नया शेषफल शून्य होता है।
\(7^2=49\), which leaves remainder 4 on division by 9.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), use \(4^2=16\), and 16 leaves remainder 7 on division by 9.
Step 3
Exam Tip
In higher powers, reduce the remainder after each step. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(4^2=16\), और 16 का 9 से शेषफल 7 नहीं, बल्कि 7 है; इसलिए सही शेषफल 7 होगा। चरण 3: बड़ी घातों में हर चरण के बाद शेषफल घटाना जरूरी है।
(71) leaves remainder 1 on division by 35, so total remainder (34+1=35), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
First reduce the large added number to a small remainder. चरण 1: मूल शेषफल 34 है। चरण 2: 71 को 35 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (34+1=35), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलें।
Do not write 121 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(11^2=121\) लें। चरण 2: \(121=15\times8+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 121 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).
Step 2
Why this answer is correct
(42=32+10), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result again by the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। चरण 2: (42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं।
(49) leaves remainder 5 on division by 22, so (17+5=22), which gives remainder 0.
Step 3
Exam Tip
After reducing the added number, reduce the final sum again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 17 है। चरण 2: 49 को 22 से भाग देने पर शेषफल 5 है, इसलिए कुल शेषफल (17+5=22), जो 0 होना चाहिए; पर सीधे (17+49=66), और 66 भी 22 से विभाज्य है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को छोटे शेषफल में बदलने के बाद अंतिम घटाव जरूर करें।
In higher powers, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=7\times17+6\), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: बड़ी घात में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
In power questions, use the smaller remainder instead of the full number. चरण 1: घन के लिए \(3^3=27\) लें। चरण 2: 27 को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में संख्या की जगह उसके छोटे शेषफल का उपयोग करें।
For three times the number, the remainder part is \(3\times27=81\).
Step 2
Why this answer is correct
\(81=28\times2+25\), so the final remainder is 25.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: तिगुनी संख्या के लिए शेषफल \(3\times27=81\) होगा। चरण 2: \(81=28\times2+25\), इसलिए अंतिम शेषफल 25 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले शेषफल को भाजक से छोटा करना जरूरी है।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor as needed. चरण 1: (m=17q+4) लिखें। चरण 2: (m-23=17q-19=17(q-2)+15), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को जरूरत के अनुसार जोड़ें।
The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square the remainder instead of the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें।
The remainder of (5n+7) comes from \(5\times8+7=47\), and \(47=19\times2+9\).
Step 3
Exam Tip
In a linear expression, using the remainder keeps the calculation short. चरण 1: (n=19q+8) मानें। चरण 2: (5n+7) का शेषफल \(5\times8+7=47\) से मिलेगा, और \(47=19\times2+9\)। चरण 3: रैखिक व्यंजक में शेषफल रखकर गणना छोटी हो जाती है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(2^2+2+1=7\), and 7 leaves remainder 1 when divided by 3.
Step 3
Exam Tip
In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution simple. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 2 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(2^2+2+1=7\) से मिलेगा, और 7 का 3 से शेषफल 1 है। चरण 3: बहुपद जैसे व्यंजकों में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल सरल हो जाता है।
61 leaves remainder 1 when divided by 30, so total remainder (29+1=30), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
It is useful to reduce a large added number to a smaller remainder first. चरण 1: मूल शेषफल 29 है। चरण 2: 61 का 30 से शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (29+1=30), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलना उपयोगी है।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times4=28\).
Step 2
Why this answer is correct
(28=22+6), so the final remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
If the result after multiplication is greater than the divisor, reduce it. चरण 1: सात गुना संख्या के लिए शेषफल \(7\times4=28\) होगा। चरण 2: (28=22+6), इसलिए अंतिम शेषफल 6 है। चरण 3: गुणा के बाद मिला परिणाम भाजक से बड़ा हो तो उसे घटाएं।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
Squares of many numbers coprime to 6 show remainder 1, but checking is always better. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों में शेषफल 1 है। चरण 3: 6 से सहअभाज्य कई संख्याओं के वर्गों में शेषफल 1 दिखता है, पर हमेशा जांच करना अच्छा है।
Adding 5 gives (15q+15=15(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
When the remainder and added number together make the divisor, the new remainder becomes 0. चरण 1: संख्या (15q+10) है। चरण 2: 5 जोड़ने पर (15q+15=15(q+1)), इसलिए शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो शेषफल 0 हो जाता है।
For the fourth power, look at the remainder of \(4^4\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), which leaves remainder 2 when divided by 7; then \(4^4\) leaves the same remainder as \(2^2=4\).
Step 3
Exam Tip
For higher powers, reduce remainders step by step. चरण 1: चौथे घात के लिए \(4^4\) का शेषफल देखें। चरण 2: \(4^2=16\), जिसका 7 से शेषफल 2 है; फिर \(4^4\) का शेषफल \(2^2=4\) होगा। चरण 3: बड़ी घातों में छोटे-छोटे चरणों में शेषफल निकालें।
Adding 28 gives total remainder (26+28=54), which is exactly divisible by 27.
Step 3
Exam Tip
It is easier to reduce the added number by the divisor and combine remainders. चरण 1: मूल शेषफल 26 है। चरण 2: 28 जोड़ने पर कुल शेषफल (26+28=54), जो 27 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को भी शेषफल के रूप में घटाकर देखना आसान रहता है।
Do not write 64 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(8^2=64\) लें। चरण 2: \(64=13\times4+12\), इसलिए शेषफल 12 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 64 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
For five times the number, the remainder is \(5\times3=15\), which is less than 20.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the remainder and check the limit. चरण 1: संख्या को (20q+3) मानें। चरण 2: पांच गुनी संख्या में शेषफल \(5\times3=15\) होगा, जो 20 से छोटा है। चरण 3: गुणा में शेषफल को ही गुणा करें और सीमा जांचें।
Adding 25 gives total remainder (11+25=36), and 36 is exactly divisible by 18.
Step 3
Exam Tip
After addition, divide the total remainder again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 11 है। चरण 2: 25 जोड़ने पर कुल शेषफल (11+25=36), और 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ के बाद कुल शेषफल को भाजक से फिर भाग दें।
In powers, first raise the small remainder to the power. चरण 1: घन के लिए \(2^3=8\) देखें। चरण 2: \(8=5\times1+3\), इसलिए घन का शेषफल 3 है। चरण 3: घातों में पहले छोटे शेषफल की घात निकालें।
In power questions, keep the calculation small by using the remainder. चरण 1: घन का शेषफल \(3^3=27\) से मिलेगा। चरण 2: \(27=8\times3+3\), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें।
For twice the number, the remainder part is \(2\times24=48\), and (48=25+23).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below 25. चरण 1: संख्या (25q+24) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या में शेषफल \(2\times24=48\) होगा, और (48=25+23)। चरण 3: गुणा के बाद शेषफल को 25 से छोटा करना जरूरी है।
The square remainder comes from dividing \(7^2=49\) by 9.
Step 2
Why this answer is correct
\(49=9\times5+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(7^2=49\) को 9 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(49=9\times5+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग में पूरी संख्या की जगह केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
In a linear expression, first multiply the remainder and then reduce by the divisor. चरण 1: (n=17q+6) मानें। चरण 2: (4n+5=68q+24+5=68q+29=17(4q+1)+12)। चरण 3: रैखिक रूप में पहले शेषफल को गुणा करें और फिर भाजक से घटाएं।
Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
You may add the given number directly, then find the final remainder. चरण 1: संख्या (12q+7) है। चरण 2: 29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
Adding 4 gives (9q+12=9(q+1)+3), so the remainder is 3.
Step 3
Exam Tip
Reduce the new remainder below the divisor by subtracting 9. चरण 1: संख्या (9q+8) है। चरण 2: 4 जोड़ने पर (9q+12=9(q+1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: नया शेषफल भाजक से छोटा करने के लिए 9 घटाएं।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor to make it valid. चरण 1: (a=7q+5) लिखें। चरण 2: (a-9=7q-4=7(q-1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़कर वैध शेषफल बनाएं।
The square remainder comes from dividing \(4^2=16\) by 5.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=5\times3+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
A remainder one less than the divisor often gives square remainder 1. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(4^2=16\) को 5 से भाग देने पर मिलेगा। चरण 2: \(16=5\times3+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल का वर्ग अक्सर 1 देता है।
\(1^2=1\) and \(3^2=9=4\times2+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 4. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 3 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(3^2=9=4\times2+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 4 से शेषफल 1 होता है।
