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दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए (4k=20) और (k=5)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (4) times the first, so (4k=20) and (k=5). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (3p=96) और (p=32)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (3) times the first. Therefore (3p=96) and (p=32).
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए (3k=12) और (k=4)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (3) times the first, so (3k=12) and (k=4). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=42) और (p=21)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=42) and (p=21).
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए (2k=6) और (k=3)। अनंत समाधान के लिए रेखाएं संपाती होनी चाहिए। / The second equation is (2) times the first, so (2k=6) and (k=3). For infinite solutions, the lines must be coincident.
अनंत समाधान के लिए दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (2p=20) और (p=10)। / For infinitely many solutions, the second equation must be (2) times the first. Therefore (2p=20) and (p=10).
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
अनंत हल के लिए (p/10=6/15=18/45) होना चाहिए। इसलिए (p=4) नहीं, (p=4) नहीं बल्कि (p=4) अनुपात बिगाड़ता है और सही (p=4) नहीं है। / For infinitely many solutions, (p/10=6/15=18/45) must hold. Since the common ratio is (2/5), (p=4) would be required.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना होना चाहिए इसलिए (k=48)। अनंत हल के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। / The second equation must be (3) times the first so (k=48). For infinitely many solutions all ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (3/12=m/28=24/96) होना चाहिए। इसलिए (m=7) सही है। / For infinitely many solutions, (3/12=m/28=24/96) must hold. Therefore, (m=7) is correct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=36)। अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर रखें। / The second equation must be (2) times the first, so (k=36). For infinitely many solutions, keep all three ratios equal.
अनंत हल के लिए (p/9=2/6=6/18), इसलिए (p=3)। तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। / For infinitely many solutions, (p/9=2/6=6/18), so (p=3). All three ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (3/6=a/8=12/24), इसलिए (a=4)। पहले गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात मिलाएं। / For infinitely many solutions, (3/6=a/8=12/24), so (a=4). Match the ratios of coefficients and constants first.
पहले विकल्प में दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / In the first option the second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण दूसरे का (7) गुना होना चाहिए इसलिए (a=14)। इससे दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। / The first equation must be (7) times the second so (a=14). Then both equations represent the same line.
अनंत हल के लिए (2/4=a/10=7/14) होना चाहिए इसलिए (a=5)। तीनों अनुपात बराबर करना जरूरी है। / For infinitely many solutions (2/4=a/10=7/14) must hold so (a=5). Making all three ratios equal is necessary.
अनंत सामान्य हल तभी मिलते हैं जब दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। परीक्षा में इसे coincident lines लिख सकते हैं। / Infinitely many common solutions occur only when both equations represent the same line. In exams this can be written as coincident lines.
अनंत हल के लिए (5/10=a/6=15/30), इसलिए (a=3)। तीनों अनुपात बराबर होने जरूरी हैं। / For infinitely many solutions, (5/10=a/6=15/30), so (a=3). All three ratios must be equal.
अनंत हल के लिए (1/2=k/6=2/4), इसलिए (k=3)। अनुपात बराबर रखने से equations dependent बनती हैं। / For infinitely many solutions, (1/2=k/6=2/4), so (k=3). Keeping ratios equal makes the equations dependent.
अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। इससे दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। / For infinitely many solutions, all three ratios must be equal. Then both equations form the same line.
अनंत हल के लिए (2/6=k/9=4/12), इसलिए (k=3)। तीनों अनुपात बराबर करना मुख्य तरीका है। / For infinitely many solutions, (2/6=k/9=4/12), so (k=3). Making all three ratios equal is the key method.
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना होना चाहिए। इसलिए (a=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (3) times the second. Therefore (a=6).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Hence (p=6).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (a=4)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Therefore (a=4).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=6)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Therefore (p=6).
अनंत हल के लिए गुणांक और स्थिरांक समान अनुपात में होने चाहिए। (4:6=10:15=2:3), इसलिए (a=2)। / For infinitely many solutions, coefficients and constants must be in the same ratio. Since (4:6=10:15=2:3), (a=2).
अनंत हल के लिए पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए। इसलिए (p=4)। / For infinitely many solutions, the first equation must be (2) times the second. Hence (p=4).
पहले समीकरण का (2) गुना दूसरा समीकरण बनना चाहिए। इसलिए (2p=6), अतः (p=3)। / Twice the first equation must become the second equation. Hence (2p=6), so (p=3).
अनंत हल के लिए दोनों समीकरण समानुपाती होने चाहिए। (4) और (2) का अनुपात (2) है, इसलिए (a=6) होना चाहिए। / For infinitely many solutions, both equations must be proportional. The ratio of (4) and (2) is (2), so (a=6).
तीनों अनुपात \(\frac{3}{5}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) से (t=12)। / All three ratios must be \(\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) gives (t=12).
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
तीनों अनुपात \(\frac{5}{7}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) से (j=10)। / All three ratios must be \(\frac{5}{7}\). Therefore, \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) gives (j=10).
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) होना चाहिए। इससे (t=9) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) must hold. This gives (t=9).
अनंत हलों के लिए \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) चाहिए। इससे (r=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) is needed. This gives (r=5).
यहाँ \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\) है। अतः \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) से (a=4) होगा। / Here \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\). Thus \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) gives (a=4).
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। \(\frac{p-2}{9}=\frac{7}{21}\) से (p=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios must be equal. From \(\frac{p-2}{9}=\frac{7}{21}\), (p=5).
अनंत हल के लिए (6/18=a/33=42/126) होना चाहिए। इसलिए (a=11) सही है। / For infinitely many solutions, (6/18=a/33=42/126) must hold. Therefore, (a=11) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), इसलिए \(\gamma=9\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\gamma}{36}=\frac{1}{4}\), so \(\gamma=9\).
अनंत हलों के लिए \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) is required. This gives (m=7).
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) होना चाहिए। इससे (h=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) must hold. This gives (h=7).
यहाँ \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) होना चाहिए। इससे (v=4) मिलता है। / Here \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) must hold. This gives (v=4).
अनंत हलों के लिए \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (s=6) आता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (s=6).
अनंत हलों में \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) होना चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{7}{14}=\frac{m-4}{6}=\frac{13}{26}\) must hold. This gives (m=7).
अनंत हलों के लिए सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\) से (s=9) है। / For infinitely many solutions, all ratios must be equal. From \(\frac{6}{s}=\frac{-8}{-12}=\frac{16}{24}\), (s=9).
अनंत हलों में \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\) होता है। इससे (r=8) प्राप्त होता है। / In infinitely many solutions, \(\frac{4}{10}=\frac{r-2}{15}=\frac{14}{35}\). This gives (r=8).
अनंत हलों के लिए तीनों अनुपात समान होते हैं। यहाँ \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\) से (m=3) मिलता है। / For infinitely many solutions, all three ratios are equal. From \(\frac{m-1}{3}=\frac{6}{9}=\frac{10}{15}\), (m=3).
अनंत हल के लिए (k/18=14/21=42/63) होना चाहिए। इसलिए (k=12) सही है। / For infinitely many solutions, (k/18=14/21=42/63) must hold. Therefore, (k=12) is correct.
अनंत हल के लिए (4/12=a/21=32/96) होना चाहिए। इसलिए (a=7) सही है। / For infinitely many solutions, (4/12=a/21=32/96) must hold. Therefore, (a=7) is correct.
अनंत हल के लिए (5/20=a/28=45/180) होना चाहिए। इसलिए (a=7) सही है। / For infinitely many solutions, (5/20=a/28=45/180) must hold. Therefore, (a=7) is correct.
अनंत हल के लिए (k/15=12/20=36/60) होना चाहिए। इसलिए (k=9) सही है। / For infinitely many solutions, (k/15=12/20=36/60) must hold. Therefore, (k=9) is correct.
अनंत हल के लिए (5/15=2/a=18/54) होना चाहिए। इसलिए (a=6) सही है। / For infinitely many solutions, (5/15=2/a=18/54) must hold. Therefore, (a=6) is correct.
अनंत हल के लिए (10/20=3/a=44/88) होना चाहिए। इसलिए (a=6) सही है। / For infinitely many solutions, (10/20=3/a=44/88) must hold. Therefore, (a=6) is correct.
अनंत हल के लिए (k/12=10/15=30/45) होना चाहिए। इसलिए (k=8) सही है। / For infinitely many solutions, (k/12=10/15=30/45) must hold. Therefore, (k=8) is correct.
अनंत हल के लिए (4/12=a/15=28/84) होना चाहिए। इसलिए (a=5) सही है। / For infinitely many solutions, (4/12=a/15=28/84) must hold. Therefore, (a=5) is correct.
अनंत हल के लिए (3/9=k/15=12/36) होना चाहिए। इसलिए (k=5) सही है। / For infinitely many solutions, (3/9=k/15=12/36) must hold. Therefore, (k=5) is correct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए (q/10=1/2) होना चाहिए। अतः (q=5)। / The second equation is (2) times the first so (q/10=1/2) must hold. Hence (q=5).
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=20)। समान गुणक से दोनों रेखाएं संपाती होती हैं। / The first equation must be (5) times the second, so (k=20). A common multiplier makes both lines coincident.
पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=12)। समान गुणक से रेखाएं संपाती बनती हैं। / The first equation must be (4) times the second, so (k=12). A common multiplier makes the lines coincident.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए, इसलिए (k=9)। परीक्षा में अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर रखें। / The first equation must be (2) times the second, so (k=9). For infinitely many solutions, keep all three ratios equal.
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना होना चाहिए इसलिए (m=10)। समान गुणक से दोनों रेखाएं संपाती हो जाती हैं। / The first equation must be (2) times the second so (m=10). A common multiplier makes both lines coincident.
