A. अभाज्य आधार और उनकी घातें क्रम को छोड़कर निश्चित रहती हैं/Prime bases and their powers remain fixed except for order
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
Keep only prime factors in the final answer. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन को निश्चित बताता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य गुणनखंड रखें।
A. केवल गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर/Except only for the order of factors
Step 1
Concept
The theorem gives certainty of prime factorisation for numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Prime factors and their powers remain fixed; only their order may change.
Step 3
Exam Tip
In the final answer, do not leave composite factors. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें निश्चित रहती हैं, केवल क्रम बदल सकता है। चरण 3: उत्तर लिखते समय संयुक्त गुणनखंडों को अंतिम रूप में न छोड़ें।
A. क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड और उनकी घातें वही रहती हैं/The order may change, but the prime factors and their powers remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime bases and their powers do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, लेकिन अभाज्य आधार और उनकी घातें नहीं बदलतीं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. अभाज्य गुणनखंडों का समूह क्रम को छोड़कर निश्चित रहता है/The set of prime factors remains fixed except for order
Step 1
Concept
This theorem says that the prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime factors do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते/The order may change but the prime factors do not change
Step 1
Concept
Uniqueness means the set of prime factors remains fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, so \(2\times3\times5\) and \(5\times3\times2\) are the same prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat order change as a different answer. चरण 1: अद्वितीयता का अर्थ है कि अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित रहता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए \(2\times3\times5\) और \(5\times3\times2\) एक ही अभाज्य गुणनखंडन माने जाते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग उत्तर मानने की गलती न करें।
A. वे केवल क्रम में अलग होंगे/They will differ only in order
Step 1
Concept
The Fundamental Theorem of Arithmetic states uniqueness of prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The order of prime factors may change, but the prime factors themselves do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a different factorisation. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता बताता है। चरण 2: एक ही संख्या के अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलकर लिखे जा सकते हैं, पर अभाज्य गुणनखंड बदलते नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग गुणनखंडन मानकर गलती न करें।
A. 1 से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every number greater than 1 has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
The theorem is about prime factorisation of numbers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
This factorisation is unique except for order.
Step 3
Exam Tip
Do not mix it with separate rules of HCF or co-primality. चरण 1: मूल प्रमेय 1 से बड़ी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: यह गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 3: इसे महत्तम समापवर्तक या सह-अभाज्यता के अलग नियमों से न मिलाएं।
A. अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Prime factorisation is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem tells us that prime factorisation is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की निश्चितता बताता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. हर संयुक्त संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/Every composite number has a unique prime factorisation except for order
Step 1
Concept
The main idea of the theorem is prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number greater than 1 can be written in a fixed way as prime factors.
Step 3
Exam Tip
The order may change, but the prime factors do not change. चरण 1: प्रमेय का मुख्य विचार अभाज्य गुणनखंडन है। चरण 2: 1 से बड़ी हर संयुक्त संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में निश्चित रूप से लिखा जा सकता है। चरण 3: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते।
A. गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं/The order of factors may change but the prime factors remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, such as \(2\times3\times5\) and \(5\times2\times3\).
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a different factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times2\times3\)। चरण 3: परीक्षा में क्रम देखकर अलग गुणनखंडन न मानें।
A. यह क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है/It is unique except for order
Step 1
Concept
The theorem says prime factorisation is unique.
Step 2
Why this answer is correct
The order of factors may change, but the prime factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Understand uniqueness separately from order. चरण 1: प्रमेय बताता है कि अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है। चरण 2: गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: अद्वितीयता को क्रम से अलग समझें।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is connected with prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember it through prime factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन से जुड़ा है। चरण 2: 1 से बड़ी हर धनात्मक पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 3: परीक्षा में इस विचार को अभाज्य गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
A. 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याएं/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is stated for positive integers greater than 1.
Step 2
Why this answer is correct
Every such number can be prime factorised.
Step 3
Exam Tip
1 is not included in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए कहा जाता है। चरण 2: ऐसी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है। चरण 3: 1 को सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल नहीं किया जाता।
This theorem is related to writing numbers as products of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Every positive integer greater than 1 can be written as a product of primes.
Step 3
Exam Tip
In this chapter, connect it with factorisation and HCF. चरण 1: यह प्रमेय संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: हर 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: इस अध्याय में इसे गुणनखंडन और महत्तम समापवर्तक से जोड़कर पढ़ें।
A. धनात्मक पूर्णांक जो 1 से बड़े हों/Positive integers greater than 1
Step 1
Concept
This theorem is about writing positive integers greater than 1 as products of primes.
Step 2
Why this answer is correct
So it discusses numbers greater than 1.
Step 3
Exam Tip
Do not include 1 in the usual prime factorisation statement. चरण 1: यह प्रमेय 1 से बड़ी धनात्मक पूर्ण संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखने से जुड़ा है। चरण 2: इसलिए सही चर्चा ऐसी संख्याओं की है जो 1 से बड़ी हों। चरण 3: 1 को इस प्रमेय के सामान्य अभाज्य गुणनखंडन में शामिल न करें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The smaller power of (2) is 1 and of (3) is 1, so \(2\times3=6\).
Step 3
Exam Tip
Use smaller powers for HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लें। चरण 2: (2) की छोटी घात 1 और (3) की छोटी घात 1 है, इसलिए \(2\times3=6\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातों का प्रयोग करें।
Write 60 as \(2\times30\), then \(30=2\times3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
So \(60=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times15\) gives the product, but it is not prime factorisation. चरण 1: 60 को \(2\times30\) और फिर \(30=2\times3\times5\) लिखें। चरण 2: इसलिए \(60=2^2\times3\times5\)। चरण 3: \(4\times15\) सही गुणनफल है, पर यह अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
A. अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में/As a product of prime numbers
Step 1
Concept
This theorem is about prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
Every composite number can be written as a product of prime numbers.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember this theorem through factorisation. चरण 1: यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों के बारे में है। चरण 2: हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: परीक्षा में इस प्रमेय को गुणनखंडन से जोड़कर याद रखें।
