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((0,14)) में (y=14) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,14)) has (y=14), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
((0,12)) में (y=12) है, इसलिए यह (x)-अक्ष पर नहीं है। टिप: शून्यक बिंदु में दूसरा निर्देशांक (0) होना चाहिए। / ((0,12)) has (y=12), so it is not on the (x)-axis. Tip: a zero point must have second coordinate (0).
किसी बहुपद का शून्यक a होने पर ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस x‑मान पर y = 0 होता है। इसलिए शून्यक −2, 3, 7 के लिए कटान बिंदु क्रमशः (−2,0), (3,0), (7,0) होंगे — यह विकल्प B है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें y-अक्ष के इंटरसेप्ट (0,a) दिये गये हैं, न कि x-अक्ष के। विकल्प D केवल चिन्हों में उलटफेर दिखाता है और विकल्प C बिनाहयान रूप से संख्याओं को जोड़ता है; दोनों अमान्य जोड़ हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक (x‑मान) में लिखें और y को शून्य रखें — यानी हर शून्यक के लिए (a,0)। / If a polynomial has a zero a, the graph meets the x-axis at (a,0) because y = 0 at that x-value. Thus for zeros −2, 3 and 7 the intersection points are (−2,0), (3,0), (7,0), which is option B. Option A lists points on the y-axis (0,a), not x-axis points. Option D shows sign errors and option C mismatches x and y values, so both are incorrect. Exam tip: convert each root a directly to (a,0) — first coordinate equals the root, second coordinate is 0.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
A. जो (x)-अक्ष को ((1,0)) और ((-6,0)) पर काटे/One that cuts the (x)-axis at ((1,0)) and ((-6,0))
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (1) और (-6) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को इन्हीं (x)-मानों पर काटेगा। इसलिए बिंदु ((1,0)) और ((-6,0)) होंगे। / If the zeroes are (1) and (-6), the graph cuts the (x)-axis at those (x)-values. So the points are ((1,0)) and ((-6,0)).
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/12 \ne 17/41\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(5/12 \ne 17/41\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (6) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (6) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (22/2=33/3) लेकिन (99/12) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (22/2=33/3) but (99/12) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/9 \ne 15/31\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(4/9 \ne 15/31\) so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (20/2=30/3) लेकिन (90/11) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (20/2=30/3) but (90/11) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(3/8 \ne 13/29\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(3/8 \ne 13/29\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (18/3=24/4) लेकिन (54/11) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (18/3=24/4) but (54/11) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण ग्राफ में एक ही रेखा दिखाते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both equations show the same line in the graph.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 11/19\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 11/19\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (14/2=21/3) लेकिन (49/8) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (14/2=21/3) but (49/8) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / If the first two ratios are equal and the third differs, the lines are parallel and distinct. Therefore, there is no common solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both equations show the same line in the graph.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 11/19\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 11/19\) so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (5) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (5) times the second. Therefore both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (14/2=21/3) लेकिन (49/8) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (14/2=21/3) but (49/8) is different. Therefore the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं मिलता। / If the first two ratios are equal and the third differs the lines are parallel and distinct. Therefore no common solution is obtained.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(3/7 \ne 8/13\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(3/7 \ne 8/13\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (4) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (4) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (10/2=15/3) लेकिन (35/9) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (10/2=15/3) but (35/9) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
पहले दो अनुपात बराबर होने से ढाल समान होती है और तीसरा अलग होने से रेखाएं अलग रहती हैं। इसलिए वे अलग समानांतर होती हैं। / Equal first two ratios give the same slope and a different third ratio keeps the lines separate. Hence, they are distinct parallel.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(2/5 \ne 9/11\), इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(2/5 \ne 9/11\), so the lines will intersect at one point. This gives one unique solution.
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दिखाते हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore, both equations show the same line.
C. रेखाएं अलग समानांतर हैं/Lines are distinct parallel
Explanation
Simple Explanation
यहां (8/2=12/3) लेकिन (20/6) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं बनेंगी। / Here (8/2=12/3) but (20/6) is different. Therefore, the graph will show distinct parallel lines.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(5/3 \ne 8/4\) इसलिए रेखाएं समानांतर नहीं होंगी। वे एक बिंदु पर कटेंगी। / Here \(5/3 \ne 8/4\) so the lines will not be parallel. They will intersect at one point.
यहां (2/1=4/2) लेकिन (10/7) अलग है। इसलिए ग्राफ में अलग समानांतर रेखाएं मिलेंगी। / Here (2/1=4/2) but (10/7) is different. Therefore the graph will show distinct parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों रेखाएं एक ही दिखाई देंगी। / The second equation is (3) times the first. Therefore both lines will appear as the same line in the graph.
कटने का एक बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। इसलिए केवल एक अद्वितीय हल मिलता है। / One intersection point is the common solution of both equations. Therefore exactly one unique solution is obtained.
अलग समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए युग्म असंगत कहलाता है। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore the pair is called inconsistent.
तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / When all three ratios are equal both equations make the same line. This situation has infinitely many solutions.
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/8 \ne 7/13\) इसलिए ढालें अलग हैं। अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / Here \(4/8 \ne 7/13\) so the slopes are different. Lines with different slopes intersect at one point.
यहां (2/6=1/3) लेकिन (4/10) अलग है इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। ऐसी रेखाएं कभी नहीं मिलतीं। / Here (2/6=1/3) but (4/10) is different so the lines are parallel. Such lines never meet.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों एक ही रेखा होंगे। / The second equation is (3) times the first. Therefore both will be the same line in the graph.
एक सामान्य बिंदु होने से एक अद्वितीय हल मिलता है। इसलिए यह संगत और स्वतंत्र युग्म है। / One common point gives one unique solution. Therefore it is a consistent and independent pair.
पूरी तरह मिलने वाली रेखाएं संपाती होती हैं। उनके प्रत्येक बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident. Every point on them satisfies both equations.
न मिलने वाली रेखाएं समानांतर होती हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। सामान्य बिंदु न होने का अर्थ कोई हल नहीं है। / Lines that never meet are parallel so there is no common point. No common point means no solution.
(2/4=3/6) लेकिन (6/15) अलग है, इसलिए रेखाएं समानांतर हैं। ऐसे ग्राफ में कोई intersection नहीं होता। / (2/4=3/6) but (6/15) is different, so the lines are parallel. Such a graph has no intersection.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए ग्राफ में दोनों एक ही रेखा दिखेंगी। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both will appear as the same line in the graph.
यहाँ \(x-y=-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=-3\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x-y=-\frac{7}{3}-\frac{2}{3}=-3\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
यहाँ \(x+y=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x+y=\frac{7}{2}+\frac{9}{2}=\frac{16}{2}=8\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
A. बिंदु (\left\(0,-5\right\))/Point (\left\(0,-5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(0,-5\right\)) रखने पर (5\left\(0\right\)-6\left\(-5\right\)=30)। ऋण (y)-अवरोध ग्राफ में नीचे की ओर लगाया जाता है। / Substituting (\left\(0,-5\right\)) gives (5\left\(0\right\)-6\left\(-5\right\)=30). A negative (y)-intercept is plotted downward on the graph.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(7,-3\right\)) में (x=7) और (y=-3) है। निर्देशांक उलटने और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(7,-3\right\)), (x=7) and (y=-3). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (2x+3y=15). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(3.75=\frac{15}{4}\) और \(-2.5=-\frac{5}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है। / \(3.75=\frac{15}{4}\) and \(-2.5=-\frac{5}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.
बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.
यहाँ \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
A. बिंदु (\left\(0,-3\right\))/Point (\left\(0,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(0,-3\right\)) रखने पर (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12)। ऋण (y)-अवरोध ग्राफ में नीचे की ओर लगाया जाता है। / Substituting (\left\(0,-3\right\)) gives (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12). A negative (y)-intercept is plotted downward on the graph.
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(6,-2\right\)) में (x=6) और (y=-2) है। निर्देशांक उलटने से और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(6,-2\right\)), (x=6) and (y=-2). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
\(2.25=\frac{9}{4}\) और \(-1.5=-\frac{3}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है। / \(2.25=\frac{9}{4}\) and \(-1.5=-\frac{3}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.
बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.
A. बिंदु (\left\(3.5,2.5\right\))/Point (\left\(3.5,2.5\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{7}{2}=3.5\) और \(\frac{5}{2}=2.5\)। ग्राफ पढ़ते समय भिन्न और दशमलव रूप का संबंध समझें। / \(\frac{7}{2}=3.5\) and \(\frac{5}{2}=2.5\). While reading a graph, understand the relation between fraction and decimal forms.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
(\left\(0,0\right\)) दोनों समीकरणों (2x-y=0) और (x+3y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच में (x=0,\ y=0) रखें। / (\left\(0,0\right\)) satisfies both (2x-y=0) and (x+3y=0). To check origin, put (x=0,\ y=0).
\(4.5=\frac{9}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(4.5=\frac{9}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
बिंदु (\left\(-4,3\right\)) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण निर्देशांक में क्रम न बदलें। / In the point (\left\(-4,3\right\)), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change order with negative coordinates.
C. उनके अनंत हल हैं/They have infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पूरी तरह चढ़ी हुई रेखाएँ संपाती रेखाएँ होती हैं। उनके हर बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident lines. At every point on them, both equations are true.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (3x+y=0) और (x-2y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (3x+y=0) and (x-2y=0). For origin, put (x=0,\ y=0).
\(3.5=\frac{7}{2}\) और \(2.5=\frac{5}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(3.5=\frac{7}{2}\) and \(2.5=\frac{5}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
बिंदु ( \left\(-2,5\right\) ) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) है। ऋण निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / In the point ( \left\(-2,5\right\) ), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change the order while reading negative coordinates.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (2x+y=0) और (x-y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (2x+y=0) and (x-y=0). To check the origin, put (x=0,\ y=0).
\(2.5=\frac{5}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से दशमलव बिंदु पढ़ने पर सरल भिन्न में लिखें। / \(2.5=\frac{5}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). When reading decimals from a graph, write them as simplified fractions.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is consistent and independent.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए (2) सही बिंदु पर्याप्त होते हैं। तीसरा बिंदु केवल जाँच के लिए लिया जा सकता है। / Two correct points are sufficient to draw a straight line. A third point may be used only for checking.
एक प्रतिच्छेद बिंदु एक अद्वितीय हल देता है। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point gives a unique solution. Hence, the pair is called consistent and independent.
A. दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद के निर्देशांक से/From the coordinates of intersection
Explanation
Simple Explanation
हल प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांकों से मिलता है। केवल अवरोध तब पर्याप्त नहीं जब दूसरी रेखा भी दी गई हो। / The solution is obtained from the coordinates of the intersection point. Intercepts alone are not enough when a second line is given.
एक सीधी रेखा खींचने के लिए कम से कम (2) बिंदु पर्याप्त होते हैं। परीक्षा में तीसरा बिंदु जाँच के लिए लिया जा सकता है। / At least (2) points are enough to draw a straight line. In exams, a third point may be used for checking.
A. (x)-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा/Horizontal line parallel to (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(y=2) में (y) स्थिर रहता है और (x) बदल सकता है। इसलिए यह (x)-अक्ष के समांतर रेखा है। / In (y=2), (y) is fixed and (x) can change. Hence, it is parallel to the (x)-axis.
A. (y)-अक्ष के समांतर ऊर्ध्वाधर रेखा/Vertical line parallel to (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x=3) में (x) स्थिर रहता है और (y) बदल सकता है। ऐसी रेखा (y)-अक्ष के समांतर होती है। / In (x=3), (x) is fixed and (y) can change. Such a line is parallel to the (y)-axis.
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
शून्यक (-2,0,3) हैं, इसलिए बहुपद (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x) है। (x)-अक्ष काटने के बिंदु शून्यक बताते हैं। / The zeroes are (-2,0,3), so the polynomial is (x(x+2)(x-3)=x-3-x-2-6x). Intersections with the (x)-axis give zeroes.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-6)2-4(3)(11)=36-132=-96). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-4)2-4(2)(7)=-40) है। (D<0) होने पर ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। / Here (D=(-4)2-4(2)(7)=-40). When (D<0), the graph does not cut the (x)-axis.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both assertion and reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=22-4(1)(5)=-16) है। ऋणात्मक (D) का ग्राफीय अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / Here (D=22-4(1)(5)=-16). Graphically, a negative (D) means no intersection with the (x)-axis.
A. यह \(x\)-अक्ष को नहीं मालेगा/It will not meet the x-axis
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\) है, जो हर वास्तविक \(x\) के लिये धनात्मक है (न्यूनतम मान \(1\) पर होता है)। द्विघात का डिस्क्रिमिनेंट \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\) है, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है और ग्राफ \(x\)-अक्ष को नहीं काटेगा। नज़दीकी भ्रामक विकल्प “एक बार छुएगा” तब सही होता जब \(\Delta=0\) (एक द्विगुण मूल) — यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा संकेत: ग्राफ के x-अक्ष से सम्बन्ध जानने के लिए या तो \(\Delta\) निकालें या वर्टेक्स का y-मान देखें; यदि वर्टेक्स का y-मान >0 और परबोला ऊपर खुलती है तो कोई वास्तविक शून्य नहीं होगा। / Write \(p(x)=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\), which is always positive with minimum value 1 at the vertex \((-3,1)\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0\), so there are no real zeros and the parabola does not meet the x-axis. The closest distractor “touch once” would mean \(\Delta=0\) (a repeated root), which is not the case here. Exam tip: compute \(\Delta\) or check the vertex's y-coordinate — either quickly tells you whether real x-intercepts exist.
तीन अलग (x)-प्रतिच्छेद तीन शून्यक देते हैं। संख्या के प्रकार से नहीं बल्कि प्रतिच्छेदों से गिनें। / Three distinct (x)-intercepts give three zeroes. Count by intersections not by the type of numbers.
बिंदु \((r,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=r\) पर है तो \(y=0\)। किसी बहुपद के लिए \(y=p(x)\) होता है, इसलिए \(p(r)=0\) होना चाहिए। विकल्प \(p(0)=r\) गलत है क्योंकि वह \(x=0\) पर बहुपद का मान देता है और \(r\) से जुड़ा नहीं है। \(r=0\) तभी सत्य होगा जब विशेष रूप से शून्यक 0 हो; सामान्य रूप से यह आवश्यक नहीं है। \(p(r)=r\) भी गलत है — यह कहता है कि बहुपद का मान उसी x के बराबर है, जो x-अक्ष पर होने का आवश्यक परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु \((a,0)\) का मतलब सीधे f(a)=0 होता है, इसलिए पहले उसी पर ध्यान दें। / The point \((r,0)\) means that when \(x=r\), the function value \(y=0\). For a polynomial function \(y=p(x)\), this implies \(p(r)=0\). Option \(p(0)=r\) refers to the value at \(x=0\) and is unrelated to the intercept at \(x=r\). \(r=0\) need not hold unless the specific root equals zero. \(p(r)=r\) is incorrect because it equates the function value to the x-coordinate, which is not required for an x-intercept. Exam tip: whenever a graph meets the x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(f(a)=0\).
यदि किसी फलन का ग्राफ केवल बिंदु जहाँ \(x=-6\) पर ही x-अक्ष को काटता है (यानी वहीं \(y=0\) होता है) और अन्य किसी भी बिंदु पर x-अक्ष से दूर रहता है, तो उस फलन का शून्यक (zero) क्या है?
शून्यक वह x–मान है जहाँ फलन का मान \(y=0\) होता है. प्रश्न में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि केवल \(x=-6\) पर ही \(y=0\) है और किसी अन्य बिंदु पर नहीं, अत: शून्यक \(-6\) है. विकल्प B (6) और C (0) गलत हैं क्योंकि उन बिंदुओं पर \(y\) का शून्य होने का संकेत नहीं दिया गया है. परीक्षा टिप: ग्राफ पर जहाँ x-अक्ष को काटा गया हो वही x-निर्देशक शून्यक होता है; काटना (cross) और छूना (touch) अलग-अलग गुणसूत्र (multiplicity) दिखाते हैं। / A zero is an x-value where the function value is \(y=0\). The problem states that \(y=0\) occurs only at \(x=-6\) and nowhere else, so the zero is \(-6\). Options 6 and 0 are incorrect because the graph is not said to meet the x-axis at those x-values. Exam tip: read the x-coordinate of points where the graph intersects the x-axis; note also that whether the graph crosses or merely touches the axis indicates multiplicity but does not change the x-value of the zero.
शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का अर्थ है कि प्रत्येक वास्तविक x के लिए y का मान 0 होगा। इसलिए ग्राफ उन सभी बिंदुओं का समूह है जो रूप में हैं \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) — अर्थात् पूरा x-अक्ष। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष के बिंदु \((0,y)\) का सामान्य रूप y=0 नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि अनगिनत बिंदु मौजूद हैं (हर x पर y=0)। विकल्प D गलत है क्योंकि केवल मूल बिंदु नहीं बल्कि हर x पर बिंदु मौजूद हैं। परीक्षा टिप: जब किसी बहुपद को शून्य बताया जाए तो याद रखें वह "पहचान के बराबर शून्य" है यानी हर x पर y=0। / The zero polynomial \(p(x)=0\) yields y=0 for every real x, so its graph is the set \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\), i.e. the entire x-axis. Option B is incorrect because the y-axis consists of points \((0,y)\), not points with y=0. Option C is wrong because there are infinitely many points (one for each x). Option D is wrong because the graph is not just the origin but all points with y=0. Exam tip: For an identically zero polynomial check values for all x — the graph will be the horizontal line y=0 (the x-axis).
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं किया जा सकता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
y‑प्रतिच्छेद बताता है कि x = 0 पर बहुपद का मान क्या है; यहाँ यह दर्शाता है कि \(p(0) = -8\)। शून्यक वे x‑मूल्य होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) अर्थात् ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए केवल y‑प्रतिच्छेद से शून्यक निर्धारित नहीं किए जा सकते। विकल्प B यह भूल है कि y‑मान (-8) को शून्यक समझ लिया गया; विकल्प C तब भी गलत है क्योंकि p(0) = -8 ≠ 0; विकल्प D कोई तर्कसंगत संबंध नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए ग्राफ के x‑अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (x‑intercepts) देखें, y‑प्रतिच्छेद केवल \(p(0)\) देता है। / The y‑intercept gives the value of the polynomial at x = 0; here it shows \(p(0) = -8\). Zeros (roots) are x values for which \(p(x)=0\), i.e. where the graph intersects the x‑axis. Thus a y‑intercept alone does not determine the zeros. Option B mistakes the y‑value (-8) for a root; option C is wrong because p(0) = -8 ≠ 0; option D is unrelated. Exam tip: to find zeros look for x‑intercepts (points where y=0); y‑intercept only gives \(p(0)\).
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
x-अक्ष को काटना दर्शाता है कि x = -5 पर एक वास्तविक शून्यक मौजूद है। x = 2 पर 'स्पर्श' होने का अर्थ है कि x = 2 भी शून्यक है (आमतौर पर सम बहुलकता — multiplicity ≥ 2), पर यह भी एक ही भिन्न वास्तविक शून्यक गिना जाता है। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक x = -5 और x = 2 — कुल 2। विकल्प C (तीन) केवल तब सही होता अगर प्रश्न में शून्यकों को उनकी बहुलकता सहित गिनने को कहा गया हो (उदाहरण: multiplicity 1 at -5 और multiplicity 2 at 2 → कुल गणनात्मक शून्य 3), पर यहाँ भिन्न शून्यकों की संख्या माँगी गई है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में देखें कि ‘भिन्न’ (distinct) माँगा है या 'बहुलकता सहित' (counting multiplicity)। / A crossing at x = -5 gives a real root at -5. A touch (tangent) at x = 2 also gives a real root at 2 (typically with even multiplicity), but it still counts as one distinct real zero. Therefore the distinct real zeros are x = -5 and x = 2 — two in total. Option C (three) would be correct only if you were asked to count zeros with multiplicity (for example multiplicity 1 at -5 and multiplicity 2 at 2 would total 3). Exam tip: check whether the question asks for distinct zeros or asks to count multiplicities.
A. दो भिन्न वास्तविक शून्यक/Two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। ग्राफ में अलग (x)-प्रतिच्छेद अलग शून्यक होते हैं। / Two separate intersections give two distinct real zeroes. Different (x)-intercepts mean different zeroes.
A. \(x=0\) बहुपद का शून्यक है/\(x=0\) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ बिंदु (0,0) पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद p(x) के लिए p(0)=0 होगा, अतः \(x=0\) निश्चित रूप से एक शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि डिग्री \(0\) होने का मतलब स्थिर (constant) बहुपद p(x)=c (जहाँ c≠0) है जो x-अक्ष को नहीं काटेगा; शून्य बहुपद p(x)=0 की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती। विकल्प C गलत है क्योंकि केवल यह सुनिश्चित होता है कि 0 एक शून्यक है, पर यह नहीं बताता कि अन्य सभी शून्यक भी 0 हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि किसी बहुपद का ग्राफ फ़ंक्शन होता है और यह y-अक्ष के समानांतर (vertical line) नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु \((a,0)\) पर x-अक्ष को काटना हमेशा दर्शाता है कि \(p(a)=0\)। / If the graph meets the x-axis at (0,0) then for the polynomial p(x) we have p(0)=0, so \(x=0\) is certainly a root. Option B is false because degree 0 means a nonzero constant p(x)=c (c≠0), which cannot cross the x-axis; the zero polynomial is a special case whose degree is not regarded as 0. Option C is false because only one root (0) is guaranteed, not that every root equals 0. Option D is false because a graph parallel to the y-axis would not represent a function of x (and cannot be the graph of a polynomial). Exam tip: whenever the graph crosses x-axis at \((a,0)\), immediately conclude \(p(a)=0\).
किसी बहुपद के वास्तविक शून्यकों की संख्या उसकी डिग्री से अधिक नहीं हो सकती। तीन कटान के लिए न्यूनतम डिग्री (3) है। / The number of real zeroes cannot exceed the degree of the polynomial. Three crossings need minimum degree (3).
x-प्रतिच्छेद वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ y=0 होता है; इसलिए शून्यक उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं। दिए गए बिंदु (-4,0), (1,0) और (6,0) के x-निर्देशांक क्रमशः -4, 1 और 6 हैं, अतः शून्यकों का समुच्चय {-4, 1, 6} है। विकल्प B, C और D में 0 शामिल है जो y-निर्देशांक है, न कि x-शून्यक; इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: शून्यकों को समुच्चय के रूप में लिखें और द्विघात/बहुपद में समान शून्यक की बारम्बारता (multiplicity) पर ध्यान दें। / The x-intercepts occur where y=0, so the zeroes are the x-coordinates of those intercepts. From (-4,0), (1,0) and (6,0) the x-values are -4, 1 and 6, hence the zero set is {-4, 1, 6}. Options B, C and D wrongly include 0 (a y-coordinate) instead of the x-value -4, so they are incorrect. Exam tip: list roots as a set (order doesn't matter) and check for repeated roots (multiplicity) if a point repeats or the graph merely touches the x-axis.
