Level 56 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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What is the (n)th term of the sequence \(4,9,14,19,\ldots\)?
A. (5n-1)
यह समान अंतर (5) वाली श्रेढ़ी है, इसलिए (a_n=4+(n-1)5=5n-1)। पहले पद और अंतर से नियम बनाएं। / It has common difference (5), so (a_n=4+(n-1)5=5n-1). Use the first term and difference to form the rule.
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If \(a_n=3n+2\), what is the value of \(a_8\)?
B. \(26\)
आठवाँ पद ज्ञात करने के लिए नियम \(a_n=3n+2\) में \(n=8\) रखें: \(a_8=3\times8+2=24+2=26\)। इसलिए सही उत्तर \(26\) है। \(24\) केवल \(3\times8\) है; उसमें नियत पद \(+2\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(n\) के स्थान पर पद की संख्या रखने के बाद सभी स्थिर पदों और चिह्नों को ध्यान से शामिल करें। / To find the eighth term, substitute \(n=8\) in \(a_n=3n+2\): \(a_8=3\times8+2=24+2=26\). Hence, \(26\) is correct. \(24\) is only \(3\times8\); the constant term \(+2\) must also be added. Exam tip: After substituting the term number for \(n\), include every constant term and sign carefully.
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B. \(18-4(n-1)\)
यहाँ पहला पद \(a=18\) और समान अंतर \(d=-4\) है। सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) लगाने पर \(a_n=18-4(n-1)\) मिलता है। \(18-4n\) रखने पर पहला पद 14 आ जाता है। परीक्षा में \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / Here \(a=18\) and \(d=-4\). Using \(a_n=a+(n-1)d\) gives \(18-4(n-1)\). The expression \(18-4n\) gives 14 when \(n=1\), not the first term 18. Exam tip: always test a proposed nth-term rule with \(n=1\).
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What is the (6)th term of the geometric progression \(2,6,18,\ldots\)?
D. 486
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=6/2=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\)। 243, \(3^5\) है, लेकिन इसमें प्रथम पद 2 से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में घात \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In this geometric progression, the first term is \(a=2\) and the common ratio is \(r=6/2=3\). The \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_6=2\times 3^{6-1}=2\times 3^5=486\). Although 243 equals \(3^5\), it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: In a GP, the exponent is \(n-1\), not \(n\).
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What is the (n)th term of the sequence \(1,4,9,16,\ldots\)?
A. \(n^2\)
यह वर्ग संख्याओं का अनुक्रम है, इसलिए \(a_n=n^2\)। पैटर्न को पहले कुछ पदों से पहचानें। / This is the sequence of square numbers, so \(a_n=n^2\). Identify the pattern from the first few terms.
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If \(a_n=2n^2+1\), what is \(a_5\)?
B. 51
यहाँ n=5 रखने पर a_5=2(5)2+1 होता है। पहले 52=25, फिर 2×25=50 और 50+1=51। इसलिए सही उत्तर 51 है। 41 तब प्राप्त हो सकता है जब वर्ग या गुणा में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय n का मान पूरे सूत्र में रखकर पहले घात की गणना करें। / Substitute n=5 in the rule: a_5=2(5)2+1. First, 52=25; then 2×25=50, and 50+1=51. Hence, the correct answer is 51. A value such as 41 can result from an error in squaring or multiplication. Exam tip: substitute the value of n into the complete formula and evaluate powers first.
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In the sequence \(6,11,16,21,\ldots\), what is (n) when \(a_n=46\)?
C. 9
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 6 और सार्वांतर 5 है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=6+(n-1)\times5=5n+1\) होगा। \(a_n=46\) रखने पर \(5n+1=46\), इसलिए \(5n=45\) और \(n=9\)। इसलिए सही विकल्प 9 है। 8वाँ पद 41 होता है, 46 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए पद के लिए पहले सार्वांतर जाँचें, फिर \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 6 and common difference 5. Therefore, its nth term is \(a_n=6+(n-1)\times5=5n+1\). Substituting \(a_n=46\) gives \(5n+1=46\), so \(5n=45\) and \(n=9\). Hence, 9 is the correct option. The 8th term is 41, not 46. Exam tip: first identify the common difference, then use \(a_n=a+(n-1)d\).
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If \(a_n=4n-3\), which term will be equal to (45)?
C. 12वाँ12th
दिया है कि \(a_n=4n-3\)। 45वाँ मान पाने के लिए \(4n-3=45\) रखें। अतः \(4n=48\), इसलिए \(n=12\)। इसलिए 12वाँ पद 45 है। 11वें पद का मान \(4(11)-3=41\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान दिया हो, तो \(a_n\) में उसे रखकर \(n\) के लिए हल करें। / Given \(a_n=4n-3\), set the term equal to 45: \(4n-3=45\). Thus, \(4n=48\) and \(n=12\). Therefore, the 12th term is 45. The 11th term is \(4(11)-3=41\), so it is not correct. Exam tip: When a term value is given, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
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What is the (15)th term of the sequence \(3,7,11,15,\ldots\)?
C. 59
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=3\) और सार्वांतर \(d=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{15}=3+(15-1)\times4=3+56=59\)। इसलिए सही विकल्प 59 है। 57 लेने पर केवल 13 अंतर जुड़ते हैं, जबकि 15वें पद तक 14 अंतर होते हैं। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए हमेशा \((n-1)\) बार सार्वांतर जोड़ें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=3\) and common difference \(d=4\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{15}=3+(15-1)\times4=3+56=59\). Hence, 59 is the correct option. Choosing 57 would add the common difference only 13 times, whereas the 15th term requires 14 differences. Exam tip: for the \(n\)th term, use \((n-1)\) common differences.
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What is the (n)th term of the geometric progression \(5,10,20,\ldots\)?
D. \(5\cdot2^{n-1}\)
पहला पद (5) और अनुपात (2) है, इसलिए \(a_n=5\cdot2^{n-1}\)। गुणोत्तर नियम में घात (n-1) होती है। / The first term is (5) and the ratio is (2), so \(a_n=5\cdot2^{n-1}\). In the geometric rule, the exponent is (n-1).
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If \(a_n=n^2+n\), what is the value of \(a_7\)?
C. 56
दिया है \(a_n=n^2+n\)। इसलिए \(n=7\) रखने पर \(a_7=7^2+7=49+7=56\) प्राप्त होता है। 54 केवल \(49+5\) करने पर आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=n^2+n\), substitute \(n=7\): \(a_7=7^2+7=49+7=56\). The value 54 would result from adding 5 to 49, so it is not correct. In exams, substitute the term number first and then evaluate the exponent.
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What is the (n)th term of the sequence \(10,7,4,1,\ldots\)?
A. (13-3n)
पहला पद (10) और अंतर (-3) है, इसलिए (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n)। घटती श्रेढ़ी में अंतर ऋणात्मक होता है। / The first term is (10) and the difference is (-3), so (a_n=10+(n-1)(-3)=13-3n). In a decreasing progression the difference is negative.
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If \(a_n=25-2n\), what is \(a_{10}\)?
B. 5
दिया है कि \(a_n=25-2n\)। \(n=10\) रखने पर \(a_{10}=25-2(10)=25-20=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 5 है। 7 तब मिलता यदि \(n=9\) रखा जाता, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद संख्या को नियम में रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर घटाव करें। / Given \(a_n=25-2n\), substitute \(n=10\): \(a_{10}=25-2(10)=25-20=5\). Hence, 5 is the correct option. The value 7 would be obtained for \(n=9\), so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: after substituting the term number, multiply before subtracting.
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What is the (n)th term of the sequence \(2,5,10,17,\ldots\)?
A. \(n^2+1\)
पद \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,\ldots\) के रूप में हैं, इसलिए \(a_n=n^2+1\)। वर्ग वाले पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(1^2+1,2^2+1,3^2+1,\ldots\), so \(a_n=n^2+1\). Recognize the square pattern.
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If \(a_n=6n+1\), what is \(a_9-a_4\)?
C. 30
दिया है कि \(a_n=6n+1\)। अतः \(a_9=6(9)+1=55\) तथा \(a_4=6(4)+1=25\)। इसलिए \(a_9-a_4=55-25=30\)। विकल्प 24, \(a_4\) का मान 25 होने पर होने वाला सही अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालने के बजाय \(a_9-a_4=6(9-4)\) भी सीधे लिख सकते हैं। / Given \(a_n=6n+1\), \(a_9=6(9)+1=55\) and \(a_4=6(4)+1=25\). Therefore, \(a_9-a_4=55-25=30\). Option 24 is not the correct difference when \(a_4=25\). Exam tip: You can also calculate directly: \(a_9-a_4=6(9-4)\).
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What is the (5)th term of the geometric progression \(3,12,48,\ldots\)?
C. 768
इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{12}{3}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\)। 384 निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(3\times4^3\) है, अर्थात चौथा पद। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=\frac{12}{3}=4\). The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_5=3\times4^{5-1}=3\times4^4=768\). Option 384 is a close distractor, but it equals \(3\times4^3\), which is the fourth term. Exam tip: in the nth-term formula, the exponent is always \(n-1\).
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In the sequence \(8,13,18,23,\ldots\), which term is (58)?
C. 11वाँ पद11th term
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=8\) और सार्वांतर \(d=5\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=8+5(n-1)=5n+3\) होगा। \(5n+3=58\) रखने पर \(5n=55\), इसलिए \(n=11\)। अतः 58, 11वाँ पद है। 10वाँ पद \(53\) होता है, इसलिए वह निकट विकल्प होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को दिए गए पद के बराबर रखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=8\) and common difference \(d=5\). Therefore, its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d=8+5(n-1)=5n+3\). Putting \(5n+3=58\) gives \(5n=55\), so \(n=11\). Hence, 58 is the 11th term. The 10th term is \(53\), so it is not correct. Exam tip: To find a term’s position, equate \(a_n\) to the given term.
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If \(a_n=2^n\), what is \(a_6\)?
C. 64
दिया है \(a_n=2^n\)। इसलिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6=64\) प्राप्त होता है। 32, \(2^5\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में सूत्र में \(n\) के स्थान पर दिया गया पद-क्रमांक सीधे रखें। / Given \(a_n=2^n\), substitute \(n=6\): \(a_6=2^6=64\). The value 32 is \(2^5\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: For an nth-term question, directly substitute the given term number for \(n\) in the formula.
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Which is the correct (n)th term for the sequence \(5,8,13,20,\ldots\)?
A. \(n^2+4\)
पद \(1^2+4,2^2+4,3^2+4,\ldots\) हैं, इसलिए \(a_n=n^2+4\)। वर्ग के साथ स्थिर संख्या पहचानें। / The terms are \(1^2+4,2^2+4,3^2+4,\ldots\), so \(a_n=n^2+4\). Identify the square with the constant number.
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B. \(a_n=3n-2\)
\(a_n=3n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\) है, जो हर \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=3n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), which is constant for every \(n\). Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: compare consecutive terms’ difference.
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What is the (20)th term of the sequence \(12,18,24,30,\ldots\)?
B. 126
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 12 और सार्वांतर 6 है। अतः \(a_{20}=a+(20-1)d=12+19\times6=126\)। 132 प्राप्त करने के लिए 20 अंतर जोड़ने पड़ेंगे, जबकि 20वें पद तक केवल 19 अंतर होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लें। / This is an arithmetic progression with first term 12 and common difference 6. Therefore, \(a_{20}=a+(20-1)d=12+19\times6=126\). Getting 132 would mean adding 20 differences, but there are only 19 differences from the first term to the 20th term. Exam tip: in \(a_n=a+(n-1)d\), always use \(n-1\), not \(n\).
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If \(a_n=3^n\), what is \(a_4\)?
C. 81
दिया है कि \(a_n=3^n\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4=81\) प्राप्त होता है। \(27=3^3\) है, इसलिए वह तीसरा पद होगा, चौथा नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में उपस्क्रिप्ट का मान घात में रखकर पद निकालें। / Given \(a_n=3^n\), substitute \(n=4\) to get \(a_4=3^4=81\). Although 27 is a power of 3, it equals \(3^3\), so it is the third term, not the fourth. Exam tip: To find a specified term from \(a_n\), substitute the subscript value for \(n\).
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What is the (n)th term of the sequence \(1,3,5,7,\ldots\)?
C. \(2n-1\)
यह क्रमागत विषम संख्याओं का अनुक्रम है और यह एक समान्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद \(a=1\) तथा सार्वांतर \(d=2\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\) होगा। विकल्प \(2n+1\) रखने पर \(n=1\) के लिए 3 मिलता है, जो प्रथम पद 1 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n=1\) रखकर सूत्र से प्रथम पद अवश्य जाँचें। / This is the sequence of consecutive odd numbers and forms an arithmetic progression with first term \(a=1\) and common difference \(d=2\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\). For \(2n+1\), putting \(n=1\) gives 3, not the first term 1. Exam tip: always test an nth-term formula using \(n=1\).
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If \(a_n=4n^2-1\), what is \(a_4\)?
D. 63
चौथा पद ज्ञात करने के लिए नियम में \(n=4\) रखें: \(a_4=4(4)^2-1=4\times16-1=63\)। इसलिए सही उत्तर 63 है। 62 तब मिलता यदि अंतिम 1 घटाने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: घात वाले व्यंजक में पहले वर्ग ज्ञात करें, फिर गुणा और घटाव करें। / To find the fourth term, substitute \(n=4\) in the rule: \(a_4=4(4)^2-1=4\times16-1=63\). Therefore, the correct answer is 63. A result of 62 would come from an error while subtracting the final 1. Exam tip: in expressions with powers, evaluate the square first, then multiply and subtract.
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What is the (5)th term of the geometric progression \(81,27,9,\ldots\)?
A. (1)
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है और पद (81,27,9,3,1) हैं। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से गुणा करते जाएं। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), and the terms are (81,27,9,3,1). In a decreasing progression, keep multiplying by the ratio.
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What is the (n)th term of the sequence \(2,4,6,8,\ldots\)?
B. \(2n\)
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=2\) और सार्वांतर \(d=2\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=2+(n-1)\times2=2n\)। इसलिए सही उत्तर \(2n\) है। \(2n-1\) विषम संख्याओं का अनुक्रम देता है, जबकि यहाँ सभी पद सम हैं। परीक्षा टिप: \(n=1\) रखने पर सूत्र से पहला पद अवश्य जाँचें; \(2n\) से \(2\) मिलता है। / This is an arithmetic progression with first term \(a=2\) and common difference \(d=2\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=2+(n-1)\times2=2n\). Hence, the correct answer is \(2n\). The expression \(2n-1\) generates odd numbers, whereas every term in this sequence is even. Exam tip: always test a proposed nth-term formula at \(n=1\); \(2n\) gives the first term \(2\).
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If \(a_n=10n-4\), what is the value of \(a_{11}\)?
C. 106
दिया है कि \(a_n=10n-4\)। ग्यारहवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=11\) रखें: \(a_{11}=10(11)-4=110-4=106\)। इसलिए सही उत्तर 106 है। 110 घटाने से पहले का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय सूत्र में \(n\) के स्थान पर दिए गए पद की संख्या ही रखें। / Given \(a_n=10n-4\). To find the eleventh term, substitute \(n=11\): \(a_{11}=10(11)-4=110-4=106\). Therefore, 106 is correct. The value 110 is obtained before subtracting 4, so it is a close but incorrect option. Exam tip: for the \(n\)th term, replace \(n\) with the required term number before simplifying.
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What is the (n)th term of the sequence \(15,11,7,3,\ldots\)?
A. (19-4n)
पहला पद (15) और अंतर (-4) है, इसलिए (a_n=15+(n-1)(-4)=19-4n)। घटती श्रेढ़ी में चिह्न पर ध्यान दें। / The first term is (15) and the difference is (-4), so (a_n=15+(n-1)(-4)=19-4n). Pay attention to the sign in a decreasing sequence.
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If (a_n=n(n+1)), what is \(a_6\)?
C. 42
दिया है \(a_n=n(n+1)\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6(6+1)=6\times7=42\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 42 है। 48 तब मिलता यदि \(6\times8\) लिया जाए, जो दिए गए सूत्र के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय सूत्र में \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=n(n+1)\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=6(6+1)=6\times7=42\). Therefore, 42 is the correct option. 48 would result from using \(6\times8\), which does not follow the given formula. Exam tip: Substitute the value of \(n\) carefully before simplifying the expression.
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What is the (4)th term of the geometric progression \(4,20,100,\ldots\)?
B. (500)
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए \(a_4=4\cdot5^3=500\)। गुणोत्तर पद में अनुपात की घात (n-1) होती है। / The common ratio is (5), so \(a_4=4\cdot5^3=500\). In a geometric term, the exponent of the ratio is (n-1).
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If \(a_n=5n+6\), what is the difference between \(a_7\) and \(a_3\)?
B. \(20\)
दिया है \(a_n=5n+6\)। अतः \(a_7=5\times7+6=41\) और \(a_3=5\times3+6=21\)। इसलिए अंतर \(a_7-a_3=41-21=20\) है। \(25\) तब मिलता यदि पदों के सूचकांकों का अंतर 5 होता, जबकि यहाँ \(7-3=4\) है। परीक्षा टिप: रैखिक अनुक्रम \(a_n=dn+c\) में \(a_p-a_q=d(p-q)\) का उपयोग करके जल्दी अंतर निकाल सकते हैं। / Given \(a_n=5n+6\), \(a_7=5\times7+6=41\) and \(a_3=5\times3+6=21\). Therefore, \(a_7-a_3=41-21=20\). The value \(25\) would result if the difference between the term numbers were 5, but here \(7-3=4\). Exam tip: for a linear sequence \(a_n=dn+c\), use \(a_p-a_q=d(p-q)\) to find the difference quickly.
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What is the (n)th term of the sequence \(4,7,12,19,\ldots\)?
A. \(n^2+3\)
अनुक्रम के पदों को क्रमशः देखें: \(4=1^2+3\), \(7=2^2+3\), \(12=3^2+3\) और \(19=4^2+3\)। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=n^2+3\) होगा। विकल्प \(n^2+2\) निकट लगता है, पर उससे पहला पद \(3\) मिलता है, \(4\) नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले कुछ पदों को \(1^2,2^2,3^2,\ldots\) से मिलाकर स्थिर अंतर जाँचें। / Compare the terms in order: \(4=1^2+3\), \(7=2^2+3\), \(12=3^2+3\), and \(19=4^2+3\). Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=n^2+3\). The option \(n^2+2\) is close, but it gives \(3\) as the first term instead of \(4\). Exam tip: for such sequences, compare the first few terms with \(1^2,2^2,3^2,\ldots\) and check for a constant difference.
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B. \(20-3(n-1)\)
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=20\) और \(d=-3\) हैं, इसलिए \(a_n=20-3(n-1)\)। \(20-3n\) देने पर पहला पद 17 होगा। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=20\) and \(d=-3\), so \(a_n=20-3(n-1)\). Formula \(20-3n\) gives 17 as the first term. Exam tip: substitute \(n=1\) to check a proposed nth-term formula.
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In the sequence \(9,18,36,72,\ldots\), which term is (288)?
C. (6)वाँ(6)th
पद (9,18,36,72,144,288) हैं, इसलिए (288) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद क्रम से लिखना तेज है। / The terms are (9,18,36,72,144,288), so (288) is the sixth term. For small questions, listing terms is quick.
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If \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\), what is \(a_8\)?
C. 36
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=\frac{8(8+1)}{2}=\frac{8\times9}{2}=36\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(40\) तब मिल सकता है जब सूत्र में गलत मान रख दिया जाए। परीक्षा टिप: \(n\) के स्थान पर दिया गया पद क्रमांक रखकर गणना करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=8\), we get \(a_8=\frac{8(8+1)}{2}=\frac{8\times9}{2}=36\). Therefore, option C is correct. A value such as \(40\) can result from substituting incorrectly in the formula. Exam tip: replace \(n\) with the given term number before calculating.
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What is the (8)th term of the sequence \(20,17,14,11,\ldots\)?
A. -1
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=20\) और सार्वांतर \(d=17-20=-3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। इसलिए \(a_8=20+(8-1)(-3)=20-21=-1\)। अतः सही उत्तर -1 है। 0 तब मिलता यदि पदों की संख्या या \((n-1)\) का प्रयोग गलत किया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में हमेशा \((n-1)\) सार्वांतर जोड़ें, \(n\) नहीं। / This is an arithmetic progression with first term \(a=20\) and common difference \(d=17-20=-3\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Hence, \(a_8=20+(8-1)(-3)=20-21=-1\). Therefore, -1 is correct. The value 0 can result from incorrectly using the term number or forgetting the \((n-1)\) factor. Exam tip: In \(a_n\), add the common difference \((n-1)\) times, not \(n\) times.
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If \(a_n=3n^2-2n\), what is the value of \(a_4\)?
C. 40
दिया है, \(a_n=3n^2-2n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3(4)^2-2(4)=3\times16-8=48-8=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 36 प्राप्त होना \(2\times4\) या अन्य गणना में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान रखें, फिर घात, गुणा और घटाव का क्रम अपनाएँ। / Given \(a_n=3n^2-2n\), substitute \(n=4\): \(a_4=3(4)^2-2(4)=3\times16-8=48-8=40\). Therefore, 40 is correct. The value 36 can result from an error while evaluating \(2\times4\) or during subtraction. Exam tip: substitute the term number first, then follow the order of powers, multiplication, and subtraction.
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What is the (n)th term of the sequence \(2,6,12,20,\ldots\)?
A. \(n^2+n\)
पद \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\) हैं, इसलिए (a_n=n(n+1)=n-2+n)। गुणन पैटर्न पहचानें। / The terms are \(1\cdot2,2\cdot3,3\cdot4,\ldots\), so (a_n=n(n+1)=n-2+n). Identify the product pattern.
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If \(a_n=2n+9\), what is (n) for \(a_n=35\)?
C. 13
दिया है: \(a_n=2n+9\) और \(a_n=35\)। अतः \(2n+9=35\)। 9 घटाने पर \(2n=26\), इसलिए \(n=13\)। अतः 35 इस अनुक्रम का 13वाँ पद है। विकल्प 12 लेने पर \(a_{12}=2(12)+9=33\) होगा, 35 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के स्थान पर रखकर समीकरण हल करें। / Given \(a_n=2n+9\) and \(a_n=35\), we get \(2n+9=35\). Subtracting 9 gives \(2n=26\), so \(n=13\). Thus, 35 is the 13th term of the sequence. For the close distractor 12, \(a_{12}=2(12)+9=33\), not 35. Exam tip: To find a term’s position, substitute its value for \(a_n\) and solve the resulting equation.
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What is the (6)th term of the geometric progression \(64,32,16,\ldots\)?
B. (2)
पद (64,32,16,8,4,2) हैं, इसलिए (6)वाँ पद (2) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में आधा करते जाएं। / The terms are (64,32,16,8,4,2), so the (6)th term is (2). In a decreasing geometric progression, keep halving.
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What is the (n)th term of the sequence \(7,14,21,28,\ldots\)?
A. \(7n\)
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=7\) और सार्वांतर \(d=7\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=7+(n-1)\times7=7n\) होगा। \(n=1\) रखने पर \(7\) मिलता है और \(n=4\) रखने पर \(28\), इसलिए \(7n\) सही है। \(n+7\) में वृद्धि केवल 1 की होती है, इसलिए वह इस अनुक्रम के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=7\) and common difference \(d=7\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=7+(n-1)\times7=7n\). Substituting \(n=1\) gives \(7\), and substituting \(n=4\) gives \(28\), so \(7n\) is correct. The expression \(n+7\) increases by only 1 each time, so it does not represent this sequence. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for an arithmetic progression.
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If \(a_n=9-4n\), what is \(a_5\)?
B. -11
पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में n=5 रखें: \(a_5=9-4(5)=9-20=-11\)। इसलिए सही उत्तर -11 है। -9 तब मिलता यदि 9 में से 18 घटाया जाता, जो यहाँ 4×5 का गलत मान है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n का मान सूत्र में रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / To find the fifth term, substitute n=5 in the formula: \(a_5=9-4(5)=9-20=-11\). Therefore, the correct answer is -11. The value -9 would result from incorrectly subtracting 18 from 9 instead of calculating 4×5 correctly. Exam tip: For an nth-term formula, substitute the value of n first, multiply, and then perform addition or subtraction.
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What is the (n)th term of the sequence \(3,8,15,24,\ldots\)?
A. \(n^2+2n\)
दिए गए पदों के अंतर 5, 7, 9 हैं, जो क्रमागत विषम संख्याएँ हैं; इसलिए पदों में द्विघात पैटर्न है। \(n^2+2n\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 3, 8, 15, 24 प्राप्त होते हैं। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=2\) रखने पर 6 मिलता है, 8 नहीं। परीक्षा टिप: कुछ शुरुआती पदों में \(n=1,2,3\) रखकर सूत्र अवश्य जाँचें। / The successive differences are 5, 7, and 9, which are consecutive odd numbers, so the pattern is quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) into \(n^2+2n\) gives 3, 8, 15, and 24 respectively. Therefore, option A is correct. Option B gives 6 when \(n=2\), not 8. Exam tip: verify an nth-term formula by checking it against the first few terms.
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If \(a_n=2\cdot5^{n-1}\), what is \(a_4\)?
C. 250
\(n=4\) रखने पर \(a_4=2\cdot5^{4-1}=2\cdot5^3=2\cdot125=250\) मिलता है। अतः सही उत्तर 250 है। यहाँ घात में \(n-1\) है, इसलिए \(4-1=3\) लेना आवश्यक है; \(5^4\) लेने पर गलत मान प्राप्त होगा। परीक्षा टिप: पद निकालते समय पहले \(n\) का मान घात में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(n=4\), \(a_4=2\cdot5^{4-1}=2\cdot5^3=2\cdot125=250\). Therefore, the correct answer is 250. The exponent is \(n-1\), so it must be evaluated as \(4-1=3\); using \(5^4\) would give an incorrect value. Exam tip: substitute the term number into the exponent carefully before calculating.
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In the sequence \(11,15,19,23,\ldots\), what is (n) for \(a_n=63\)?
C. 14
यह एक समांतर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 11 और सार्वांतर 4 है। अतः \(a_n=11+(n-1)\times4=4n+7\)। \(a_n=63\) रखने पर \(4n+7=63\), इसलिए \(4n=56\) और \(n=14\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 14 है। 15वाँ पद 67 होगा, इसलिए 15 निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के सूत्र में दिया हुआ पद रखकर \(n\) हल करें। / This is an arithmetic sequence with first term 11 and common difference 4. Therefore, \(a_n=11+(n-1)\times4=4n+7\). Substituting \(a_n=63\) gives \(4n+7=63\), so \(4n=56\) and \(n=14\). Hence, 14 is the correct option. The 15th term is 67, so 15 is a close but incorrect distractor. Exam tip: To find a term position, substitute the given term in the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
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If \(a_n=n^2-1\), what is the value of \(a_9\)?
B. 80
दिया है कि \(a_n=n^2-1\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए n के स्थान पर 9 रखें: \(a_9=9^2-1=81-1=80\)। इसलिए सही उत्तर 80 है। 81 केवल 9 का वर्ग है; उसमें से 1 घटाना आवश्यक है। परीक्षा में n का मान रखने के बाद घात और घटाव का क्रम ध्यान से करें। / Given \(a_n=n^2-1\), substitute n=9 to find the ninth term: \(a_9=9^2-1=81-1=80\). Therefore, 80 is correct. The value 81 is only the square of 9; subtracting 1 is still required. In exams, substitute the term number first and then follow the order of operations carefully.
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In the geometric progression \(1,4,16,\ldots\), which term is (1024)?
B. 6वाँ पद6th term
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=1\) और सार्व अनुपात \(r=4\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\) होगा। \(1024=4^5\), इसलिए \(n-1=5\), अर्थात \(n=6\)। इसलिए 1024 छठा पद है। 5वाँ पद \(4^4=256\) होता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए घात को \(n-1\) से मिलाइए। / In this GP, the first term is \(a=1\) and the common ratio is \(r=4\). Therefore, the \(n\)th term is \(T_n=ar^{n-1}=4^{n-1}\). Since \(1024=4^5\), we get \(n-1=5\), so \(n=6\). Hence, 1024 is the sixth term. The fifth term is \(4^4=256\), not 1024. Exam tip: In a GP, compare the exponent with \(n-1\) to find the term position.
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What is the (n)th term of the sequence \(5,15,25,35,\ldots\)?
A. (10n-5)
पहला पद (5) और अंतर (10) है, इसलिए (a_n=5+(n-1)10=10n-5)। पहले पद पर (n=1) रखकर जांचें। / The first term is (5) and the difference is (10), so (a_n=5+(n-1)10=10n-5). Check by putting (n=1).
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If \(a_n=\frac{3n+1}{2}\), what is \(a_7\)?
B. 11
सातवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=7\) रखें: \(a_7=\frac{3(7)+1}{2}=\frac{22}{2}=11\)। इसलिए सही उत्तर 11 है। विकल्प 10 तब मिलता यदि अंश में 1 जोड़ने की क्रिया छोड़ दी जाती। परीक्षा टिप: \(n\) का मान रखने के बाद कोष्ठक और संक्रियाओं के क्रम का ध्यान रखें। / To find the seventh term, substitute \(n=7\): \(a_7=\frac{3(7)+1}{2}=\frac{22}{2}=11\). Therefore, the correct answer is 11. Option 10 could result from omitting the addition of 1 in the numerator. Exam tip: after substituting the value of \(n\), use brackets and follow the order of operations carefully.
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What is the (n)th term of the sequence \(2,8,18,32,\ldots\)?
A. \(2n^2\)
पद (2(1)2,2(2)2,2(3)2,\ldots) हैं, इसलिए \(a_n=2n^2\)। वर्ग और गुणक दोनों पहचानें। / The terms are (2(1)2,2(2)2,2(3)2,\ldots), so \(a_n=2n^2\). Identify both the square and the multiplier.
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