What is the nth term of the sequence (2, 6, 12, 20, ...)?अनुक्रम (2, 6, 12, 20, ...) का nवाँ पद कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: n(n+1) = n² + nn(n+1) = n² + n
Direct answer: the nth term is n(n + 1) = n² + n, so A is correct. Look at the terms as products of consecutive integers: 2 = 1×2, 6 = 2×3, 12 = 3×4, and 20 = 4×5. The position number n is the first factor, and the next integer n + 1 is the second factor. Therefore aₙ = n(n + 1) = n² + n. Check each given position: n = 1 gives 1×2 = 2, n = 2 gives 2×3 = 6, n = 3 gives 3×4 = 12, and n = 4 gives 4×5 = 20. B produces 4, 6, 8, so it fails at the first term and does not reproduce the pattern. C produces 3, 6, 11, and D produces 2, 5, 8; neither matches all terms. A useful observation is that the differences are 4, 6, 8, which increase, so this is not a simple arithmetic sequence.सीधा उत्तर: nवाँ पद n(n + 1) = n² + n है, इसलिए विकल्प A सही है। पदों को क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिखें: 2 = 1×2, 6 = 2×3, 12 = 3×4 और 20 = 4×5। यहाँ पद संख्या n पहला गुणक है और उसके बाद वाला पूर्णांक n + 1 दूसरा गुणक है। इसलिए aₙ = n(n + 1) = n² + n। जाँच करें: n = 1 पर 1×2 = 2, n = 2 पर 2×3 = 6, n = 3 पर 3×4 = 12 और n = 4 पर 4×5 = 20 मिलता है। विकल्प B से 4, 6, 8 मिलते हैं, इसलिए वह पहले पद से ही गलत है। विकल्प C से 3, 6, 11 और विकल्प D से 2, 5, 8 मिलते हैं; वे पूरे अनुक्रम से मेल नहीं खाते। यहाँ अंतर 4, 6, 8 हैं और वे बढ़ रहे हैं, इसलिए इसे स्थिर अंतर वाली समांतर श्रेढ़ी समझना भी सही नहीं होगा।
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