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पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। अतः \(a_2=2\times6+1=13\), \(a_3=2\times13+2=28\), और \(a_4=2\times28+3=59\)। इसलिए सही उत्तर 59 है। 57 जैसा उत्तर तब आ सकता है जब अंतिम चरण में \(n=3\) जोड़ने के बजाय गलती से 1 जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय पहले उसके अनुरूप \(n\) का मान लिखें। / The recursive rule generates each new term from the preceding term. Thus, \(a_2=2\times6+1=13\), \(a_3=2\times13+2=28\), and \(a_4=2\times28+3=59\). Hence, the correct answer is 59. An answer such as 57 can result from incorrectly adding 1 instead of using \(n=3\) in the final step. Exam tip: write the value of \(n\) for each transition before substituting it into the rule.
घटने वाले मान (5,8,11,14) हैं इसलिए \(a_5=42\) है। घटावों को क्रम से लिखना सुरक्षित रहता है। / The subtracted values are (5,8,11,14), so \(a_5=42\). Exam tip: list the subtractions in order.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3,4\) रखने पर प्राप्त वृद्धियाँ \(4,10,18,28\) हैं। अतः \(a_2=1+4=5\), \(a_3=5+10=15\), \(a_4=15+18=33\) और \(a_5=33+28=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 63 तब मिलता यदि किसी चरण में वृद्धि गलत जोड़ी जाए। परीक्षा टिप: \(a_5\) निकालने के लिए नियम को \(n=1\) से \(n=4\) तक लागू करें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) into the recursive rule gives successive increments of \(4,10,18,28\). Thus, \(a_2=1+4=5\), \(a_3=5+10=15\), \(a_4=15+18=33\), and \(a_5=33+28=61\). Therefore, 61 is correct. A value such as 63 would result from an incorrect addition at one of the steps. Exam tip: to find \(a_5\), apply the rule from \(n=1\) through \(n=4\).
समान्तर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर स्थिर होता है। नियम \(a_{n+1}=a_n+7\) हर चरण में ठीक 7 जोड़ता है, इसलिए सार्वांतर 7 है। \(a_n+n\) में अंतर \(n\) के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: पहले \(a_{n+1}-a_n\) निकालकर जाँचें कि वह नियतांक है या नहीं। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms is constant. The rule \(a_{n+1}=a_n+7\) adds exactly 7 at every step, so its common difference is 7. In \(a_n+n\), the difference changes with \(n\). Exam tip: compute \(a_{n+1}-a_n\); it must be a constant for an AP.
पद (2,5,12,29,70) हैं इसलिए \(a_5=70\) है। दो-पद नियम में दोनों पिछले पदों का उपयोग करें। / The terms are (2,5,12,29,70), so \(a_5=70\). Exam tip: use both previous terms in a two-term rule.
पद (3,7,15,31,63) हैं इसलिए \(a_5=63\) है। गुणा और घटाव का क्रम न बदलें। / The terms are (3,7,15,31,63), so \(a_5=63\). Exam tip: do not change the order of multiplication and subtraction.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक पद के लिए क्रमशः उस n का मान रखें। \(a_2=4+2^1+1^2=7\), \(a_3=7+2^2+2^2=15\) और \(a_4=15+2^3+3^2=15+8+9=32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। 29 तब मिल सकता है जब \(3^2\) को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम में \(n=1,2,3\) क्रम से लगाएँ। / Apply the recursive rule successively for each value of n. \(a_2=4+2^1+1^2=7\), \(a_3=7+2^2+2^2=15\), and \(a_4=15+2^3+3^2=15+8+9=32\). Therefore, the correct answer is 32. A value such as 29 can result from adding \(3^2\) incorrectly. Exam tip: to find \(a_4\), substitute \(n=1,2,3\) in order.
पुनरावर्ती नियम में n=1,2,3,4 रखने पर क्रमशः 3, 6, 11 और 20 घटते हैं। अतः a_5=120-(3+6+11+20)=120-40=80। 82 केवल पहले तीन घटावों के बाद प्राप्त मान है, इसलिए वह a_4 होगा, a_5 नहीं। परीक्षा टिप: a_5 ज्ञात करने के लिए नियम को a_1 से a_4 तक चार बार लागू करें। / Using n=1,2,3,4 in the recursive rule, the values subtracted are 3, 6, 11, and 20. Hence, a_5=120-(3+6+11+20)=120-40=80. The value 82 is obtained after only the first three subtractions, so it is a_4, not a_5. Exam tip: to find a_5 from a_1, apply the rule four times.
पद (10,13,9,14,8) हैं इसलिए \(a_5=8\) है। चिह्न बदलने वाले नियम में हर चरण का संकेत देखें। / The terms are (10,13,9,14,8), so \(a_5=8\). Exam tip: check the sign at each step in alternating rules.
जुड़ने वाले मान (4,9,16) हैं इसलिए \(a_4=34\) है। पहले गुणनफल निकालें फिर (1) जोड़ें। / The added values are (4,9,16), so \(a_4=34\). Exam tip: calculate the product first and then add (1).
घटने वाले मान (4,9,16) हैं इसलिए \(a_4=121\) है। पूरा घटाव निकालकर ही घटाएँ। / The subtracted values are (4,9,16), so \(a_4=121\). Exam tip: calculate the full subtraction before subtracting.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगले पद के लिए वर्तमान n का मान लें। a_2=2(2)+3(1)-1=6, a_3=2(6)+3(2)-1=17 और a_4=2(17)+3(3)-1=42। अतः सही उत्तर 42 है। 39 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 2a_3 का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: a_2, a_3 और a_4 निकालते समय n=1, 2, 3 क्रमशः लिखें। / Use the current value of n at each step of the recursive rule. a_2=2(2)+3(1)-1=6, a_3=2(6)+3(2)-1=17, and a_4=2(17)+3(3)-1=42. Therefore, 42 is correct. A value such as 39 can result from an error while calculating 2a_3 in the final step. Exam tip: explicitly write n=1, 2, and 3 while finding a_2, a_3, and a_4 respectively.
\(a_2=32+1=33\) और \(a_3=\frac{33}{2}+4=\frac{41}{2}\) है। भिन्न को अंत तक सही रखें। / \(a_2=32+1=33\) and \(a_3=\frac{33}{2}+4=\frac{41}{2}\). Exam tip: keep fractions exact until the end.
\(a_2=\frac{12}{3}+2=6\) और \(a_3=\frac{6}{3}+4=6\) है। पहले भाग करें फिर (2n) जोड़ें। / \(a_2=\frac{12}{3}+2=6\) and \(a_3=\frac{6}{3}+4=6\). Exam tip: divide first and then add (2n).
पद (1,4,8,16,29) हैं इसलिए \(a_5=29\) है। पिछले दो पदों के साथ वर्तमान (n) जोड़ें। / The terms are (1,4,8,16,29), so \(a_5=29\). Exam tip: add the current (n) with the previous two terms.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(a_2=2^2+2+1=7\)। फिर \(a_3=7^2+7+1=49+7+1=57\)। इसलिए सही उत्तर 57 है। 59 प्राप्त करने में सामान्य गलती वर्ग करने या जोड़ने में त्रुटि करना है। परीक्षा टिप: हर चरण में पिछले पद का मान अलग से लिखकर ही अगला पद ज्ञात करें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. First, \(a_2=2^2+2+1=7\). Then \(a_3=7^2+7+1=49+7+1=57\). Therefore, the correct answer is 57. A value such as 59 usually results from an error while squaring or adding. Exam tip: write the previous term separately before calculating the next term.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद पिछले पद से निकाला जाता है। पहले, \(a_2=6^2-4(6)=36-24=12\)। फिर \(a_3=12^2-4(12)=144-48=96\)। इसलिए सही उत्तर 96 है। 84 जैसा विकल्प दूसरे चरण में गलत गणना करने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने से पहले \(a_2\) अवश्य निकालें। / In a recursive rule, each new term is calculated from the preceding term. First, \(a_2=6^2-4(6)=36-24=12\). Then \(a_3=12^2-4(12)=144-48=96\). Therefore, the correct answer is 96. A value such as 84 can result from an error in the second calculation. Exam tip: always find \(a_2\) before calculating \(a_3\).
(53-9=44) और \(44\div4=11\) चरण हैं इसलिए पद संख्या (12) है। चरणों में (1) जोड़कर पद संख्या मिलती है। / (53-9=44), and \(44\div4=11\) steps, so the term number is (12). Exam tip: add (1) to the number of steps.
\(a_{10}\) के लिए (6) को (9) बार जोड़ा जाता है इसलिए (7+54=61) है। पद संख्या से एक कम बार नियम लगता है। / For \(a_{10}\), (6) is added (9) times, so (7+54=61). Exam tip: the rule is applied one less time than the term number.
पुनरावर्ती नियम से \(a_2=2(3)+5=11\), \(a_3=2(11)+5=27\) और \(a_4=2(27)+5=59\) मिलता है। अतः \(a_4-a_2=59-11=48\) है, इसलिए विकल्प C सही है। \(45\) जैसे विकल्प मध्यवर्ती पदों या घटाव में गलती से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: आवश्यक पदों को क्रम से लिखें और फिर दिए गए पदों का अंतर निकालें। / Using the recursive rule, \(a_2=2(3)+5=11\), \(a_3=2(11)+5=27\), and \(a_4=2(27)+5=59\). Therefore, \(a_4-a_2=59-11=48\), so option C is correct. A value such as \(45\) can result from an error in finding an intermediate term or subtracting. Exam tip: write the required terms in order before taking their difference.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक नया पद, उससे पहले के दो पदों का योग लेकर उसमें 5 जोड़ने से मिलता है। इसलिए \(a_3=6+2+5=13\), \(a_4=13+6+5=24\), और \(a_5=24+13+5=42\)। अतः सही उत्तर 42 है। 46 तब मिलता यदि पिछले पदों का योग या स्थिरांक गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: हर नया पद निकालते समय पिछले ठीक दो पदों और +5 को अवश्य शामिल करें। / The recursive rule says that each new term is the sum of the previous two terms plus 5. Thus, \(a_3=6+2+5=13\), \(a_4=13+6+5=24\), and \(a_5=24+13+5=42\). Therefore, 42 is correct. A value such as 46 results from using the preceding terms or the added constant incorrectly. Exam tip: at every step, include exactly the previous two terms and the +5.
नियम \(a_{n+1}=-2a_n\) में 2 परिमाण को दोगुना करता है और ऋण चिह्न संकेत बदल देता है। \(2a_n\) में संकेत नहीं बदलता। परीक्षा में गुणक का चिह्न और परिमाण अलग-अलग जाँचें। / In \(a_{n+1}=-2a_n\), the factor 2 doubles the magnitude and the minus sign reverses the sign. \(2a_n\) does not reverse it. Exam tip: check a multiplier’s sign and magnitude separately.
\(2\times2+1^2=5\) और \(2\times5+2^2=14\) मिलता है। नियम चुनते समय शुरुआती दो चरण जाँचें। / \(2\times2+1^2=5\) and \(2\times5+2^2=14\). Exam tip: check the first two steps when choosing a rule.
यहाँ जोड़ (3,5,7) हैं इसलिए नियम \(a_{n+1}=a_n+2n+1\) है। पहले पद और बदलते जोड़ दोनों देखें। / The additions are (3,5,7), so the rule is \(a_{n+1}=a_n+2n+1\). Exam tip: check both first term and changing addition.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान सूचकांक n का प्रयोग होता है। इसलिए a_2=1×3+2=5, फिर a_3=2×5+4=14 और a_4=3×14+6=48। अतः सही उत्तर 48 है। 45 प्राप्त हो सकता है यदि अगले चरण में n=3 के बजाय गलत सूचकांक लिया जाए। परीक्षा टिप: a_4 ज्ञात करने के लिए नियम को क्रमशः n=1, 2 और 3 पर लागू करें। / The recursive rule uses the current index n at each step. Thus, a_2=1×3+2=5, then a_3=2×5+4=14, and a_4=3×14+6=48. Therefore, the correct answer is 48. A value such as 45 may result from using an incorrect index in the final step. Exam tip: to find a_4, apply the rule successively for n=1, 2, and 3.
पुनरावृत्ति नियम में प्रत्येक चरण पर n का मान बदलता है। n=1 रखने पर a_2=2a_1-1=2×2-1=3। फिर n=2 पर a_3=3a_2-1=3×3-1=8 और n=3 पर a_4=4a_3-1=4×8-1=31। अतः सही उत्तर 31 है। 33 तब मिलता यदि अंतिम चरण में घटाने वाले 1 को भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_{n+1} ज्ञात करने से पहले वर्तमान सूचकांक n लिखकर गुणक जाँचें। / In the recursive rule, the value of n changes at every step. For n=1, a_2=2a_1-1=2×2-1=3. Then, for n=2, a_3=3a_2-1=3×3-1=8, and for n=3, a_4=4a_3-1=4×8-1=31. Therefore, the correct answer is 31. The value 33 would result from forgetting to subtract 1 in the final step. Exam tip: write the current index n before applying a recursive rule to check the multiplier.
घटने वाले मान (3,8,17) हैं इसलिए \(a_4=172\) है। घात और वर्ग दोनों निकालकर घटाएँ। / The subtracted values are (3,8,17), so \(a_4=172\). Exam tip: calculate both the power and square before subtracting.
पुनरावृत्ति नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखने पर: \(a_2=1+3^1+1=5\), \(a_3=5+3^2+2=16\), और \(a_4=16+3^3+3=46\)। इसलिए सही उत्तर 46 है। 49 तब मिलता यदि अंतिम जोड़ में \(3^3+3\) के स्थान पर कोई अतिरिक्त मान जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम को n=1 से n=3 तक लगातार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: \(a_2=1+3^1+1=5\), \(a_3=5+3^2+2=16\), and \(a_4=16+3^3+3=46\). Hence, 46 is correct. The value 49 would result from incorrectly adding an extra amount in the final step. Exam tip: to find \(a_4\), use the recurrence consecutively from n=1 through n=3.
\(a_3=2\times3+3\times2=12\) और \(a_4=2\times12+3\times3=33\) है। गुणांकों को सही पदों पर लगाएँ। / \(a_3=2\times3+3\times2=12\) and \(a_4=2\times12+3\times3=33\). Exam tip: apply coefficients to the correct terms.
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः \(a_3=2(5)-1+2=11\), \(a_4=2(11)-5+2=19\) और \(a_5=2(19)-11+2=29\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 29 है। 26 जैसे विकल्प तक पहुँचने में अक्सर पिछले दो पदों में से गलत पद घटा दिया जाता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय \(a_{n-1}\) और \(a_{n-2}\) को अलग-अलग लिखकर पहले गुणा और घटाव करें, फिर 2 जोड़ें। / Using the recursive rule, \(a_3=2(5)-1+2=11\), \(a_4=2(11)-5+2=19\), and \(a_5=2(19)-11+2=29\). Therefore, 29 is the correct answer. A value such as 26 can result from subtracting the wrong preceding term. Exam tip: write \(a_{n-1}\) and \(a_{n-2}\) separately, then multiply, subtract, and finally add 2.
जुड़ने वाले मान (2,5,9,14) हैं इसलिए \(a_5=34\) है। भिन्न वाले जोड़ को पहले सरल करें। / The added values are (2,5,9,14), so \(a_5=34\). Exam tip: simplify the fractional increment first.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। \(a_2=90-\frac{1(1+3)}{2}=88\), \(a_3=88-\frac{2(2+3)}{2}=83\), और \(a_4=83-\frac{3(3+3)}{2}=83-9=74\)। इसलिए सही उत्तर \(74\) है। \(76\) जैसा विकल्प तब आ सकता है जब घटाने वाले पदों में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: \(a_4\) निकालने के लिए नियम को तीन बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for \(n=1,2,3\). \(a_2=90-\frac{1(1+3)}{2}=88\), \(a_3=88-\frac{2(2+3)}{2}=83\), and \(a_4=83-\frac{3(3+3)}{2}=83-9=74\). Hence, the correct answer is \(74\). A value such as \(76\) can result from calculating a subtracted term incorrectly. Exam tip: to find \(a_4\), apply the rule three times starting from \(a_1\).
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखकर \(a_2\) ज्ञात करें: \(a_2=6+\frac{6}{2}+1=10\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=10+\frac{10}{2}+2=17\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 17 है। 15 तब मिलता है जब \(n\) वाला पद छोड़ दिया जाए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय क्रमशः \(n=1,2,\ldots\) का मान अवश्य बदलें। / Use the recursive rule first with \(n=1\): \(a_2=6+\frac{6}{2}+1=10\). Then use \(n=2\): \(a_3=10+\frac{10}{2}+2=17\). Hence, 17 is correct. The value 15 would result from omitting the \(n\) term, so it is not correct. Exam tip: while finding successive terms from \(a_{n+1}\), update the value of \(n\) as \(1,2,\ldots\).
\(a_2=4+1+1=6\) और \(a_3=6+\frac{6}{4}+2=\frac{19}{2}\) है। भिन्नों को अंत तक ठीक रखें। / \(a_2=4+1+1=6\) and \(a_3=6+\frac{6}{4}+2=\frac{19}{2}\). Exam tip: keep fractions exact until the end.
दिया है कि \(a_1=2\)। पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=a_1^2+1=2^2+1=5\) मिलता है। अब \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2^2+2=5^2+2=27\) होगा। इसलिए सही उत्तर 27 है। 25 केवल \(5^2\) है; इसमें नियम के अनुसार 2 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें और हर चरण में \(n\) का सही मान रखें। / Given \(a_1=2\), first use \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1^2+1=2^2+1=5\). Next, with \(n=2\), \(a_3=a_2^2+2=5^2+2=27\). Therefore, 27 is correct. The value 25 is only \(5^2\); the required addition of 2 has been omitted. Exam tip: to find \(a_3\), calculate \(a_2\) first and use the correct value of \(n\) at each step.
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a₂=a₁²−1=3²−1=8 मिलता है। फिर n=2 रखने पर a₃=a₂²−2=8²−2=64−2=62 होगा। इसलिए सही विकल्प 62 है। 64 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें 2 घटाना भूल जाते हैं। परीक्षा टिप: हर अगला पद निकालते समय n का मान पद के सूचकांक से एक कम लें। / Using the recursive rule with n=1, a₂=a₁²−1=3²−1=8. Then, with n=2, a₃=a₂²−2=8²−2=64−2=62. Therefore, 62 is the correct answer. 64 is a close distractor because it results from forgetting to subtract 2. Exam tip: while finding the next term, use n equal to one less than that term’s index.
विकल्प C में \(a_n\) ज्ञात करने के लिए \(a_{n-1}\) तथा \(n\), दोनों प्रयुक्त हैं; जैसे \(a_3=a_2+3\)। A और B केवल पिछले पद पर निर्भर हैं। परीक्षा में \(n\) की उपस्थिति जाँचें। / In C, \(a_n\) uses both \(a_{n-1}\) and \(n\); for example, \(a_3=a_2+3\). A and B use only the preceding term. Exam tip: check whether \(n\) appears in the recurrence.
\(a_3=3\times4-3+3=12\) और \(a_4=3\times12-4+4=36\) है। दोनों पिछले पदों और वर्तमान (n) का उपयोग करें। / \(a_3=3\times4-3+3=12\) and \(a_4=3\times12-4+4=36\). Exam tip: use both previous terms and current (n).
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें: a_2=2(5)+(-1)1=9, a_3=2(9)+(-1)2=19 और a_4=2(19)+(-1)3=37। अतः सही उत्तर 37 है। 39 निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह अंतिम चरण में (-1)3=-1 के स्थान पर +1 लेने से मिलता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का मान अलग से रखकर (-1)^n का चिह्न जाँचें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=2(5)+(-1)1=9, a_3=2(9)+(-1)2=19, and a_4=2(19)+(-1)3=37. Therefore, 37 is correct. The nearby option 39 results from incorrectly using +1 instead of (-1)3=-1 in the last step. Exam tip: substitute the value of n at every step to check the sign of (-1)^n.
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखें। a_2=30-(-1)1(3)=33, a_3=33-(-1)2(5)=28 और a_4=28-(-1)3(7)=35। अतः सही उत्तर 35 है। 33 केवल दूसरा पद है, चौथा पद नहीं। परीक्षा टिप: पहले (-1)^n का चिन्ह निर्धारित करें, फिर बाहरी ऋण चिह्न लगाएँ। / Substitute n=1,2,3 in the recursive rule. We get a_2=30-(-1)1(3)=33, a_3=33-(-1)2(5)=28, and a_4=28-(-1)3(7)=35. Therefore, the correct answer is 35. The value 33 is only the second term, not the fourth term. Exam tip: determine the sign of (-1)^n first, then apply the outer minus sign.
जुड़ने वाले मान (1!,2!,3!,4!) अर्थात (1,2,6,24) हैं इसलिए \(a_5=36\) है। फैक्टोरियल मान क्रम से जोड़ें। / The added values (1!,2!,3!,4!) are (1,2,6,24), so \(a_5=36\). Exam tip: add factorial values in order.
घटने वाले मान (1,2,6,24) हैं इसलिए \(a_5=67\) है। फैक्टोरियल घटावों को क्रम से लिखें। / The subtracted values are (1,2,6,24), so \(a_5=67\). Exam tip: write factorial subtractions in order.
पुनरावर्ती नियम में हर बार वर्तमान पद के लिए उसी n का मान लें। a_1=1 से, n=1 पर a_2=2(1)+12=3। फिर n=2 पर a_3=2(3)+22=10 और n=3 पर a_4=2(10)+32=29। अतः सही उत्तर 29 है। 31 तब मिल सकता है जब अंतिम चरण में 32 के स्थान पर गलत मान जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: a_{n+1} निकालते समय n का मान एक-एक करके बढ़ाएँ। / Use the value of n for each step in the recursive rule. Starting with a_1=1, for n=1, a_2=2(1)+12=3. Then, for n=2, a_3=2(3)+22=10, and for n=3, a_4=2(10)+32=29. Therefore, 29 is correct. A value such as 31 can result from using an incorrect square in the final step. Exam tip: increase n one step at a time while finding a_{n+1}.
C. इसके क्रमागत अंतर 2-2 से बढ़ते हैं/Its consecutive differences increase by 2
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_{n+1}-a_n=2n\) है। अगले पद पर अंतर \(2(n+1)\) होगा, जो पिछले अंतर से 2 अधिक है। इसलिए अंतर स्थिर नहीं हैं और यह समानांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत अंतर लिखें। / Here, \(a_{n+1}-a_n=2n\). At the next step the difference is \(2(n+1)\), which is 2 greater. Thus the differences are not constant, so it is not an arithmetic progression. Exam tip: write consecutive differences first.
सही नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 3 गुना लेकर उसमें 1 जोड़ने से मिलता है: \(3\times4+1=13\), \(3\times13+1=40\), और \(3\times40+1=121\)। इसलिए \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+1\) सही है। विकल्प B में 1 घटाया गया है, इसलिए वह 4 के बाद 11 देगा। विकल्प D का नियम तो समान है, लेकिन उसका प्रथम पद 13 दिया है, जो अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचते समय प्रथम पद और कम-से-कम दो क्रमिक पदों की जाँच करें। / In the correct rule, each new term is obtained by multiplying the previous term by 3 and adding 1: \(3\times4+1=13\), \(3\times13+1=40\), and \(3\times40+1=121\). Hence, \(a_1=4,\ a_{n+1}=3a_n+1\) is correct. Option B subtracts 1 and gives 11 after 4. Option D has the same recurrence but an incorrect first term, 13. Exam tip: verify both the initial term and at least two successive transitions in a recursive sequence.
सही नियम में पहला पद \(a_1=9\) है। \(n=1\) रखने पर \((-1)^1(2)=-2\) मिलता है, अतः \(9-2=7\)। \(n=2\) पर \(+3\) जुड़ने से 10 और \(n=3\) पर \(-4\) जुड़ने से 6 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में पहला अंतर \(-2\) तो मिलता है, लेकिन अगला अंतर \(-4\) होगा, जबकि अनुक्रम में अगला अंतर \(+3\) है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचने के लिए दिए गए शुरुआती पदों पर क्रमशः \(n=1,2,3\) रखें। / The correct rule starts with \(a_1=9\). For \(n=1\), \((-1)^1(2)=-2\), so \(9-2=7\). For \(n=2\), adding \(+3\) gives 10, and for \(n=3\), adding \(-4\) gives 6. Hence, option A is correct. Option D gives the first change of \(-2\), but its next change would be \(-4\), whereas the sequence next changes by \(+3\). Exam tip: test a recursive rule by substituting \(n=1,2,3\) to generate the initial terms.
पद (8,12,14,15) हैं इसलिए \(a_4=15\) है। \(a_1\) स्थिर रहता है और पिछले पद का आधा लिया जाता है। / The terms are (8,12,14,15), so \(a_4=15\). Exam tip: \(a_1\) stays fixed and half of the previous term is used.
पुनरावर्ती नियम में हर बार पिछले पद में \(na_1\) जोड़ा जाता है और \(a_1=7\) स्थिर रहता है। अतः \(a_2=7+1\times7=14\), \(a_3=14+2\times7=28\), और \(a_4=28+3\times7=49\)। इसलिए सही उत्तर 49 है। 56 तब मिलता यदि अंतिम चरण में गलती से \(4\times7\) जोड़ा जाए; \(a_4\) निकालते समय यहाँ \(n=3\) होता है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए दिए गए सूचकांक से एक कम मान \(n\) में रखें। / In the recursive rule, add \(na_1\) to the previous term, while \(a_1=7\) remains fixed. Thus, \(a_2=7+1\times7=14\), \(a_3=14+2\times7=28\), and \(a_4=28+3\times7=49\). Therefore, 49 is the correct answer. One may incorrectly get 56 by adding \(4\times7\) in the last step, but for finding \(a_4\), the rule uses \(n=3\). Exam tip: in \(a_{n+1}\), substitute a value of \(n\) that is one less than the required subscript.
\(a_3=2\times5+2+3=15\) और \(a_4=2\times15+5+4=39\) है। दो-पद नियम में वर्तमान (n) भी जोड़ें। / \(a_3=2\times5+2+3=15\) and \(a_4=2\times15+5+4=39\). Exam tip: add the current (n) also in a two-term rule.
घटने वाले मान (4,10,20) हैं इसलिए \(a_4=100-34=66\) है। घात, वर्ग और (n) तीनों को पहले जोड़ें। / The subtracted values are (4,10,20), so \(a_4=100-34=66\). Exam tip: add the power, square, and (n) before subtracting.
