Level 45 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=2a_n+n\), what is \(a_4\)?
C. (43)
पद (4,9,20,43) हैं इसलिए \(a_4=43\) है। पहले पिछले पद को दोगुना करें फिर (n) जोड़ें। / The terms are (4,9,20,43), so \(a_4=43\). Exam tip: double the previous term first and then add (n).
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If \(a_1=50\) and (a_{n+1}=a_n-(2n+3)), what is \(a_5\)?
A. 18
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3,4 रखें: a_2=50-5=45, a_3=45-7=38, a_4=38-9=29 और a_5=29-11=18। इसलिए सही उत्तर 18 है। 20 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब घटाई जाने वाली राशि या n का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: a_5 तक पहुँचने के लिए नियम को चार बार लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1,2,3,4: a_2=50-5=45, a_3=45-7=38, a_4=38-9=29, and a_5=29-11=18. Therefore, 18 is correct. A value such as 20 can result from using an incorrect value of n or subtracting the wrong amount. Exam tip: to reach a_5 from a_1, apply the rule four times.
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A. \(a_{n+1}=a_n+3\)
समान्तर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर स्थिर होता है: \(a_{n+1}-a_n=d\)। यहाँ नियम से अंतर \(3\) मिलता है, इसलिए सार्वांतर 3 है। विकल्प C में अंतर \(3n\) बदलता है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में जो स्थिर संख्या जुड़ती है, वही सार्वांतर होती है। / In an arithmetic progression, the difference \(a_{n+1}-a_n\) is constant. Rule A gives this difference as \(3\), so its common difference is 3. In option C, the difference is \(3n\), which changes with \(n\). Exam tip: a fixed number added at each step is the common difference.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2+2n\), what is \(a_5\)?
D. (50)
जुड़ने वाले मान (3,8,15,24) हैं और योग के बाद \(a_5=50\) मिलता है। पहले \(n^2+2n\) के मान अलग लिखें। / The added values are (3,8,15,24), and after adding them \(a_5=50\). Exam tip: write values of \(n^2+2n\) separately.
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If \(a_1=120\) and (a_{n+1}=a_n-\(n^2+n\)), what is \(a_5\)?
B. (80)
घटने वाले मान (2,6,12,20) हैं इसलिए (120-40=80) है। बदलते घटावों को क्रम से लिखें। / The subtracted values are (2,6,12,20), so (120-40=80). Exam tip: list changing subtractions in order.
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If \(a_1=1\), \(a_2=4\), and \(a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}\), what is \(a_6\)?
B. (54)
पद (1,4,6,14,26,54) हैं इसलिए \(a_6=54\) है। दो-पद नियम में \(a_{n-2}\) को (2) से गुणा करें। / The terms are (1,4,6,14,26,54), so \(a_6=54\). Exam tip: multiply \(a_{n-2}\) by (2) in the two-term rule.
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If \(a_1=5\), \(a_2=8\), and \(a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}\), what is \(a_7\)?
D. (23)
पद (5,8,11,14,17,20,23) हैं इसलिए \(a_7=23\) है। यह नियम समान अंतर को बनाए रखता है। / The terms are (5,8,11,14,17,20,23), so \(a_7=23\). Exam tip: this rule keeps the difference constant.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=a_n+2^n+n\), what is \(a_4\)?
C. (24)
जुड़ने वाले मान (3,6,11) हैं इसलिए \(a_4=2+3+6+11=22\) नहीं बल्कि (22) है। सही विकल्प में (22) है। / The added values are (3,6,11), so \(a_4=2+3+6+11=22\). Exam tip: calculate both \(2^n\) and (n) before adding.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n+2^n-n\), what is \(a_5\)?
C. (22)
जुड़ने वाले मान (1,2,5,12) हैं इसलिए \(a_5=23\) नहीं बल्कि (23) है। \(2^n-n\) के मान पहले निकालें। / The added values are (1,2,5,12), so \(a_5=23\). Exam tip: find the values of \(2^n-n\) first.
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If \(a_1=6\) and (a_{n+1}=a_n+(-1)^n(2n)), what is \(a_5\)?
C. (6)
पद (6,4,8,2,10) नहीं बल्कि \(a_5=10\) है। चिह्न बदलने वाले पदों में सम-विषम (n) जाँचें। / The terms are (6,4,8,2,10), so \(a_5=10\). Exam tip: check even and odd (n) in sign-changing rules.
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If \(a_1=6\) and (a_{n+1}=a_n+(-1)^n(2n)), what is \(a_4\)?
A. 2
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1, 2, 3 रखें। a_2=6+(-1)1(2)=4, a_3=4+(-1)2(4)=8 और a_4=8+(-1)3(6)=2। अतः सही उत्तर 2 है। 4 केवल दूसरा पद है, इसलिए यह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: प्रत्येक चरण में n का मान अलग लिखें, क्योंकि (-1)^n का चिह्न विषम n पर ऋणात्मक और सम n पर धनात्मक होता है। / Substitute n=1, 2, and 3 successively in the recursive rule. a_2=6+(-1)1(2)=4, a_3=4+(-1)2(4)=8, and a_4=8+(-1)3(6)=2. Therefore, the correct answer is 2. Although 4 is a close distractor, it is only the second term. Exam tip: write the value of n at every step, since (-1)^n is negative for odd n and positive for even n.
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If \(a_1=4\) and (a_{n+1}=a_n+n(n+1)+2), what is \(a_4\)?
B. 30
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः n=1,2,3 रखने पर: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16 और a_4=16+3(4)+2=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 28 तब मिलता है जब अंतिम चरण में 2 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: a_4 निकालने के लिए a_1 से शुरू करके तीन बार नियम लागू करें। / Apply the recursive rule successively for n=1, 2, and 3: a_2=4+1(2)+2=8, a_3=8+2(3)+2=16, and a_4=16+3(4)+2=30. Therefore, the correct answer is 30. The value 28 results if the final +2 is omitted. Exam tip: to find a_4 from a_1, apply the rule three times.
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If \(a_1=90\) and (a_{n+1}=a_n-n(n+1)-2), what is \(a_4\)?
A. (64)
घटने वाले मान (4,8,14) हैं इसलिए (90-26=64) है। पहले पूरा घटाव लिखना गलती घटाता है। / The subtracted values are (4,8,14), so (90-26=64). Exam tip: write the full subtraction first to avoid mistakes.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=2a_n+2n+1\), what is \(a_4\)?
D. 53
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद और उसके क्रमांक से निकाला जाता है। \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), और \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। 49 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(2n+1\) वाले भाग में \(n\) का गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) निकालते समय वर्तमान चरण का \(n\) लिखकर गणना करें। / In a recursive rule, each next term is found using the previous term and its index. \(a_2=2(3)+2(1)+1=9\), \(a_3=2(9)+2(2)+1=23\), and \(a_4=2(23)+2(3)+1=53\). Therefore, the correct answer is 53. A value such as 49 can result from using an incorrect value of \(n\) in the term \(2n+1\). Exam tip: write the current value of \(n\) at every step while applying a recursive formula.
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A sequence is defined by \(a_1=1\) and \(a_{n+1}=a_n+2n\). Which statement about it is correct?
C. क्रमागत पदों के अंतर 2-2 से बढ़ते हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं हैThe differences between consecutive terms increase by 2, so it is not an AP
पुनरावर्ती नियम से \(a_{n+1}-a_n=2n\) मिलता है। अंतर 2, 4, 6, ... हैं; वे स्थिर नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में पहले क्रमागत अंतर लिखकर जाँचें। / From the rule, \(a_{n+1}-a_n=2n\). The differences are 2, 4, 6, ... and are not constant, so the sequence is not an AP. Exam tip: write consecutive differences first to test for an AP.
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If \(a_1=100\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+3n\), what is \(a_3\)?
C. (33)
\(a_2=50+3=53\) और \(a_3=\frac{53}{2}+6=32.5\) है। सही मान दशमलव में आता है। / \(a_2=50+3=53\) and \(a_3=\frac{53}{2}+6=32.5\). Exam tip: do not force fractional answers into integers.
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If \(a_1=20\) and \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+3n\), what is \(a_2\)?
B. 13
\(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) और \(a_1=20\) रखें: \(a_2=\frac{20}{2}+3(1)=10+3=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 11 पाने की गलती तब होती है जब \(3n\) के स्थान पर केवल 1 जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए अगला पद निकालते समय पहले \(n\) का सही मान रखें। / To find \(a_2\), substitute \(n=1\) and \(a_1=20\) into the recursive rule: \(a_2=\frac{20}{2}+3(1)=10+3=13\). Hence, 13 is correct. The value 11 would result from incorrectly adding 1 instead of \(3n\). Exam tip: when finding the next term from \(a_{n+1}\), substitute the correct value of \(n\) first.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=a_n+2a_1+n^2\), what is \(a_3\)?
C. 30
पुनरावर्ती नियम में पहले n=1 रखने पर a_2=5+2(5)+12=16 प्राप्त होता है। फिर n=2 रखने पर a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30। इसलिए सही उत्तर 30 है। 29 निकट का विकल्प है, लेकिन उसमें 22=4 को सही ढंग से जोड़ने पर प्राप्त होने वाली राशि से 1 कम है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय n का वर्तमान मान लें और a_1 का मान 5 ही रखें। / Using the recursive rule with n=1, a_2=5+2(5)+12=16. Then, with n=2, a_3=16+2(5)+22=16+10+4=30. Therefore, the correct answer is 30. Option 29 is a close distractor, but it is 1 less than the value obtained when 22=4 is added correctly. Exam tip: For each next term, substitute the current value of n and keep a_1 fixed as 5.
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Suppose a sequence is defined by \(u_1=1\) and \(u_{n+1}=u_n+2n+1\). What type of sequence is it?
A. पूर्ण वर्ग संख्याओं का अनुक्रमA sequence of perfect squares
यहाँ वृद्धि \(2n+1\) है, जो क्रमागत वर्गों का अंतर होता है: \((n+1)^2-n^2=2n+1\)। अतः पद \(1,4,9,16,\dots\) अर्थात पूर्ण वर्ग हैं। सार्वांतर स्थिर नहीं है, इसलिए यह समान्तर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में वर्गों के क्रमागत अंतर को पहचानें। / The added term \(2n+1\) is the difference between consecutive squares: \((n+1)^2-n^2=2n+1\). Hence the terms are \(1,4,9,16,\dots\), or perfect squares. The difference is not constant, so it is not an AP. Exam tip: remember that square differences are consecutive odd numbers.
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If \(a_1=2\), \(a_2=3\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+2n\), what is \(a_4\)?
C. 22
पुनरावर्ती नियम में पहले तीसरा पद निकालें: \(a_3=a_2+a_1+2(3)=3+2+6=11\)। फिर \(a_4=a_3+a_2+2(4)=11+3+8=22\)। इसलिए सही उत्तर 22 है। 21 तब मिल सकता है जब \(2n\) वाले पद की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: हर नए पद के लिए \(n\) का वर्तमान मान अलग से लिखकर प्रतिस्थापित करें। / Using the recursive rule, first find the third term: \(a_3=a_2+a_1+2(3)=3+2+6=11\). Then \(a_4=a_3+a_2+2(4)=11+3+8=22\). Therefore, the correct answer is 22. A value such as 21 can result from an error while evaluating the \(2n\) term. Exam tip: write the current value of \(n\) explicitly before substituting it into a recursive rule.
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Which of the following recursive rules generally requires two initial terms to determine a sequence?
A. \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)
नियम \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) में प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों पर निर्भर है, इसलिए \(a_1\) और \(a_2\) दोनों चाहिए। अन्य नियमों में केवल \(a_{n-1}\) आता है; वहाँ एक प्रारम्भिक पद पर्याप्त है। परीक्षा टिप: निर्भर पिछले पदों की संख्या गिनें। / In \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\), each new term depends on two preceding terms, so both \(a_1\) and \(a_2\) are needed. The other rules use only \(a_{n-1}\), so one initial term is enough. Exam tip: count the earlier terms used in the rule.
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n^2-3a_n\), what is \(a_3\)?
B. 4
पुनरावर्ती नियम में पहले \(a_1=4\) रखें: \(a_2=4^2-3(4)=16-12=4\)। अब \(a_2=4\) को फिर नियम में रखने पर \(a_3=4^2-3(4)=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 8 जैसा विकल्प गलत है, क्योंकि हर चरण में पिछले पद के वर्ग में से उसके तीन गुने को घटाना होता है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें। / Apply the recursive rule first to \(a_1=4\): \(a_2=4^2-3(4)=16-12=4\). Using \(a_2=4\) again, \(a_3=4^2-3(4)=4\). Hence, the correct answer is 4. The option 8 is incorrect because each term is obtained by subtracting three times the previous term from its square. Exam tip: To find \(a_3\), calculate \(a_2\) first.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n^2-a_n+2\), what is \(a_3\)?
B. 58
पुनरावर्ती नियम में पहले पिछले पद से अगला पद निकालते हैं। पहले, \(a_2=3^2-3+2=8\)। फिर \(a_3=8^2-8+2=64-8+2=58\)। इसलिए सही उत्तर 58 है। 64 केवल \(8^2\) है; इसमें नियम के \(-a_n+2\) भाग को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए \(a_1\) से सीधे नहीं, पहले \(a_2\) अवश्य ज्ञात करें। / Use the recursive rule step by step, finding each term from the preceding term. First, \(a_2=3^2-3+2=8\). Then \(a_3=8^2-8+2=64-8+2=58\). Therefore, the correct answer is 58. The value 64 is only \(8^2\); it ignores the \(-a_n+2\) part of the rule. Exam tip: To find \(a_3\), calculate \(a_2\) first rather than substituting \(a_1\) directly.
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If \(a_1=3\) and \(a_{n+1}=a_n^2-a_n+2\), what is \(a_2\)?
B. 8
पुनरावर्ती नियम में n=1 रखने पर \(a_2=a_1^2-a_1+2\) होगा। अतः \(a_2=3^2-3+2=9-3+2=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(3^2\) की गणना या अंतिम जोड़ में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: \(a_2\) ज्ञात करने के लिए नियम में हमेशा \(n=1\) रखें। / Put \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1^2-a_1+2\). Hence, \(a_2=3^2-3+2=9-3+2=8\). Therefore, 8 is correct. Option 6 can result from an error in calculating \(3^2\) or in the final addition. Exam tip: to find \(a_2\), always substitute \(n=1\) in the recurrence relation.
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If \(a_1=7\) and \(a_{n+1}=a_n+5\), what is \(a_{10}\)?
C. (52)
\(a_{10}\) के लिए (5) को (9) बार जोड़ा जाता है इसलिए (7+45=52) है। पद संख्या से एक कम बार नियम लगता है। / For \(a_{10}\), (5) is added (9) times, so (7+45=52). Exam tip: the rule is applied one less time than the term number.
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A. \(a_1=5,\ a_{n+1}=2a_n\)
गुणोत्तर अनुक्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को समान अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ अनुपात 2 है, इसलिए \(a_{n+1}=2a_n\)। जाँचें: दूसरा पद \(2\times5=10\) होगा। परीक्षा में ‘दोगुना’ को गुणा 2 मानें, जोड़ 2 नहीं। / In a geometric sequence, each term is obtained by multiplying the preceding term by a fixed ratio. Here the ratio is 2, so \(a_{n+1}=2a_n\). Check: the second term is \(2\times5=10\). In exams, “twice” means multiply by 2, not add 2.
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=2a_n+4\), what is the value of \(a_4-a_2\)?
D. 60
पुनरावर्ती नियम से पहले पद निकालें: \(a_2=2\times6+4=16\), \(a_3=2\times16+4=36\), तथा \(a_4=2\times36+4=76\)। अतः \(a_4-a_2=76-16=60\), इसलिए सही विकल्प D है। \(56\) तब मिलता यदि पदों की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पदों तक क्रमशः मान लिखकर ही अंतर निकालें। / Using the recursive rule, \(a_2=2\times6+4=16\), \(a_3=2\times16+4=36\), and \(a_4=2\times36+4=76\). Hence, \(a_4-a_2=76-16=60\), so option D is correct. \(56\) results from an incorrect calculation of the terms. Exam tip: List the required terms in order before finding their difference.
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If \(a_1=6\) and \(a_{n+1}=2a_n+4\), what is the value of \(a_3-a_2\)?
C. 20
दिया है कि \(a_1=6\)। पुनरावर्ती नियम से \(a_2=2\times6+4=16\) और \(a_3=2\times16+4=36\) होगा। अतः \(a_3-a_2=36-16=20\)। 16 केवल दूसरा पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम वाले प्रश्नों में आवश्यक पदों को क्रम से निकालकर ही अंतर ज्ञात करें। / Given \(a_1=6\), the recursive rule gives \(a_2=2\times6+4=16\) and \(a_3=2\times16+4=36\). Therefore, \(a_3-a_2=36-16=20\). Note that 16 is only the second term, not the required difference. Exam tip: in recursive-sequence questions, calculate the required terms in order before finding their difference.
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If \(a_1=5\), \(a_2=9\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+4\), what is \(a_5\)?
B. 53
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले दो पदों के योग में 4 जोड़कर मिलता है। इसलिए \(a_3=5+9+4=18\), \(a_4=9+18+4=31\) और \(a_5=18+31+4=53\)। अतः सही उत्तर 53 है। 49 जैसा विकल्प तब आ सकता है जब स्थिरांक 4 को किसी चरण में न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पदों को क्रम से लिखकर हर चरण में दिए गए स्थिरांक को जोड़ना न भूलें। / By the recursive rule, each new term is obtained by adding the previous two terms and 4. Thus, \(a_3=5+9+4=18\), \(a_4=9+18+4=31\), and \(a_5=18+31+4=53\). Therefore, the correct answer is 53. A value such as 49 can result from missing the constant 4 in a step. Exam tip: write each term in order and include the stated constant at every step.
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If \(a_1=5\), \(a_2=9\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+4\), what is \(a_4\)?
C. 31
पुनरावर्ती नियम में पिछले दो पदों का योग लेकर हर बार 4 जोड़ना है। पहले, \(a_3=9+5+4=18\)। फिर \(a_4=18+9+4=31\)। इसलिए सही उत्तर \(31\) है। \(29\) तब मिलता यदि अंतिम चरण में 4 के स्थान पर केवल 2 जोड़ा जाता, जो दिए गए नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में आवश्यक पद तक क्रमशः सभी मध्यवर्ती पद लिखें। / The recursive rule requires adding the previous two terms and then adding 4 each time. First, \(a_3=9+5+4=18\). Then, \(a_4=18+9+4=31\). Therefore, the correct answer is \(31\). The value \(29\) would result from adding only 2 instead of 4 in the final step, so it does not follow the given rule. Exam tip: write each intermediate term in order until you reach the required term.
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A. यह 4 सार्वांतर वाला समांतर श्रेणीक्रम हैIt is an arithmetic progression with common difference 4.
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 4 जोड़कर मिलता है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर स्थिर 4 है। अतः यह समांतर श्रेणीक्रम है। \(-4\) होता तो पद घटते। परीक्षा टिप: AP में स्थिर अंतर देखें। / The rule adds 4 to every preceding term, so the difference between consecutive terms is constantly 4. Hence it is an arithmetic progression. A difference of \(-4\) would make terms decrease. Exam tip: identify an AP by checking for a constant difference.
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Which of the following recursive rules guarantees an arithmetic progression for any initial term?
A. \(a_{n+1}=a_n+d\), जहाँ \(d\) नियत है
विकल्प A में लगातार पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=d\) हर बार नियत रहता है, इसलिए अनुक्रम समान्तर श्रेणी है। विकल्प C में अंतर \(n\) बदलता है। परीक्षा टिप: AP में अंतर स्थिर जाँचें। / In option A, the difference between consecutive terms is \(a_{n+1}-a_n=d\), which is constant; hence it is an arithmetic progression. In option C, the difference \(n\) changes. Exam tip: check for a constant difference in an AP.
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n+7n-2\), what is \(a_4\)?
C. (38)
जुड़ने वाले मान (5,12,19) हैं इसलिए \(a_4=40\) नहीं बल्कि (40) है। सही विकल्प में (40) होना चाहिए। / The added values are (5,12,19), so \(a_4=40\). The correct option should include (40).
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If \(a_1=4\) and \(a_{n+1}=a_n+7n-2\), what is \(a_3\)?
C. 21
पुनरावर्ती नियम में प्रत्येक चरण पर वर्तमान पद के लिए उचित मान का प्रयोग करें। जब \(n=1\), तब \(a_2=4+7(1)-2=9\)। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=9+7(2)-2=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 20 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब दूसरे चरण में \(7n-2\) का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_2\) निकालते समय \(n=1\) और \(a_3\) निकालते समय \(n=2\) रखें। / Apply the recursive rule using the correct value of \(n\) at each step. For \(n=1\), \(a_2=4+7(1)-2=9\). Then, with \(n=2\), \(a_3=9+7(2)-2=21\). Hence, 21 is correct. A value such as 20 can result from using an incorrect value for \(7n-2\) in the second step. Exam tip: use \(n=1\) to find \(a_2\), and \(n=2\) to find \(a_3\).
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If \(a_1=150\) and (a_{n+1}=a_n-(5n+4)), what is \(a_4\)?
B. (111)
घटने वाले मान (9,14,19) हैं इसलिए \(a_4=150-42=108\) है। सही विकल्प में (108) होना चाहिए। / The subtracted values are (9,14,19), so \(a_4=150-42=108\). The correct option should include (108).
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If \(a_1=150\) and (a_{n+1}=a_n-(5n+4)), what is \(a_3\)?
B. \(127\)
पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=150-(5\times1+4)=141\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=141-(5\times2+4)=141-14=127\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(127\) है। \(124\) जैसी निकटतम भ्रामक संख्या तब मिल सकती है जब दूसरे चरण में \(5n+4\) का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए \(n\) का अगला मान अवश्य लें। / Using the recursive rule with \(n=1\), \(a_2=150-(5\times1+4)=141\). Then, with \(n=2\), \(a_3=141-(5\times2+4)=141-14=127\). Therefore, \(127\) is correct. A close distractor such as \(124\) can result from calculating \(5n+4\) incorrectly in the second step. Exam tip: use the next value of \(n\) for each successive term.
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If \(a_1=1\), \(a_2=2\), and \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}+1\), what is \(a_4\)?
A. (7)
\(a_3=3\times2-2\times1+1=5\) और \(a_4=3\times5-2\times2+1=12\) है। सही विकल्प में (12) होना चाहिए। / \(a_3=3\times2-2\times1+1=5\) and \(a_4=3\times5-2\times2+1=12\). The correct option should include (12).
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A. \(a_n=a_{n-1}+3\), for \(n\geq2\)
समान्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक स्थिर अंतर जोड़कर मिलता है। यहाँ सार्वांतर 3 है, इसलिए \(a_n=a_{n-1}+3\) होगा। परीक्षा में स्थिर अंतर दिखे तो जोड़ वाला नियम चुनें। / In an arithmetic progression, each term is obtained by adding a fixed common difference to the previous term. Since the difference is 3, \(a_n=a_{n-1}+3\). Exam tip: look for constant addition in a recursive AP rule.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=a_n+\frac{3n}{2}\), what is \(a_5\)?
C. (20)
कुल जोड़ (\frac{3(1+2+3+4)}{2}=15) है इसलिए \(a_5=20\) है। भिन्न जोड़ में पहले कुल जोड़ निकालें। / The total addition is (\frac{3(1+2+3+4)}{2}=15), so \(a_5=20\). Exam tip: find the total fractional addition first.
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If \(a_1=40\) and \(a_{n+1}=a_n-\frac{3n}{2}\), what is \(a_5\)?
B. (25)
कुल घटाव (\frac{3(1+2+3+4)}{2}=15) है इसलिए \(a_5=25\) है। भिन्न घटाव में कुल घटाव पहले निकालें। / The total subtraction is (\frac{3(1+2+3+4)}{2}=15), so \(a_5=25\). Exam tip: calculate total fractional subtraction first.
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If \(a_1=2\) and \(a_{n+1}=n a_n+3\), what is \(a_4\)?
C. \(42\)
पुनरावर्ती नियम में हर अगले पद के लिए वर्तमान सूचकांक का प्रयोग किया जाता है। इसलिए \(a_2=1\times2+3=5\), \(a_3=2\times5+3=13\), और \(a_4=3\times13+3=42\)। अतः सही उत्तर \(42\) है। \(39\) जैसे विकल्प में \(a_4\) निकालते समय गुणक 3 या जोड़ 3 का गलत प्रयोग हुआ होगा। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए पहले \(n=1\), फिर \(n=2\), फिर \(n=3\) क्रम से रखें। / In the recursive rule, use the current index to find the next term. Thus, \(a_2=1\times2+3=5\), \(a_3=2\times5+3=13\), and \(a_4=3\times13+3=42\). Therefore, the correct answer is \(42\). An option such as \(39\) results from using the multiplier 3 or the added 3 incorrectly while finding \(a_4\). Exam tip: for \(a_{n+1}\), substitute \(n=1\), then \(n=2\), and then \(n=3\) in order.
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A. \(a_{n+1}=r a_n\)
नियम \(a_{n+1}=r a_n\) में हर क्रमागत पद का अनुपात \(a_{n+1}/a_n=r\) समान रहता है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर नियत है, अतः वह समान्तर श्रेणी बनाता है। परीक्षा में अनुपात स्थिर है या अंतर, यह जाँचें। / Under \(a_{n+1}=r a_n\), the ratio \(a_{n+1}/a_n=r\) remains constant, so the sequence is geometric. In option B, the difference is constant, which defines an arithmetic progression. Exam tip: check whether a rule fixes a ratio or a difference.
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Which recursive rule is correct for the sequence \(3,8,18,38,\ldots\)?
A. \(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+2\)
सही नियम \(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+2\) है। इससे \(2\times3+2=8\), फिर \(2\times8+2=18\), और \(2\times18+2=38\) प्राप्त होता है; अतः सभी दिए गए पद मिलते हैं। विकल्प B से दूसरा पद \(7\) मिलता है, जबकि विकल्प C का प्रथम पद ही गलत है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचते समय कम-से-कम लगातार तीन पद बनाकर देखें। / The correct rule is \(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+2\). It gives \(2\times3+2=8\), then \(2\times8+2=18\), and \(2\times18+2=38\), matching every listed term. Option B gives \(7\) as the second term, while option C has the wrong first term. Exam tip: test a recursive rule by generating at least three consecutive terms.
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Which recursive rule is correct for the sequence \(10,17,31,59,\ldots\)?
B. \(a_1=10,\ a_{n+1}=2a_n-3\)
विकल्प B में \(a_1=10\) है। नियम लगाने पर \(2(10)-3=17\), \(2(17)-3=31\) और \(2(31)-3=59\) मिलता है; अतः यह अनुक्रम के सभी दिए गए पदों से मेल खाता है। विकल्प A में अगला पद 24 होगा, जबकि विकल्प D में प्रथम पद ही गलत है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम जाँचते समय प्रारम्भिक पद और कम-से-कम दो अगले पदों की जाँच करें। / In option B, \(a_1=10\). Applying the rule gives \(2(10)-3=17\), \(2(17)-3=31\), and \(2(31)-3=59\), so it matches every given term. In option A, the next term would be 24, while option D has the wrong first term. Exam tip: when checking a recursive rule, verify the initial term and at least two subsequent terms.
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If \(a_1=5\) and \(a_{n+1}=a_n+n^2\), which term is (35)?
B. (5)वाँ(5)th
पद (5,6,10,19,35) हैं इसलिए (35) पाँचवाँ पद है। वर्ग जोड़ते समय क्रमांक साथ लिखें। / The terms are (5,6,10,19,35), so (35) is the fifth term. Exam tip: write positions while adding squares.
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If \(a_1=100\) and \(a_{n+1}=a_n-n^2\), which term is (70)?
B. पाँचवाँ पद5th term
पुनरावर्ती नियम में क्रमशः 1², 2², 3², ... घटाए जाते हैं। इसलिए a₁=100, a₂=100−1=99, a₃=99−4=95, a₄=95−9=86 और a₅=86−16=70। अतः 70 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 86 है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में n का मान पिछले पद से अगले पद पर जाते समय लें। / The recursive rule subtracts 1², 2², 3², and so on. Thus, a₁=100, a₂=100−1=99, a₃=99−4=95, a₄=95−9=86, and a₅=86−16=70. Therefore, 70 is the fifth term. The fourth term is 86, so it is a close but incorrect option. Exam tip: in a recursive rule, use the value of n while moving from one term to the next.
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If \(a_1=2\), \(a_2=7\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+n\), what is \(a_5\)?
C. 40
पुनरावर्ती नियम से क्रमशः निकालें: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), और \(a_5=12+23+5=40\)। इसलिए सही उत्तर 40 है। 38 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब \(a_5\) निकालते समय 5 जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए पद के लिए पिछले दो पदों के साथ उसी पद का अनुक्रमांक भी अवश्य जोड़ें। / Apply the recursive rule step by step: \(a_3=2+7+3=12\), \(a_4=7+12+4=23\), and \(a_5=12+23+5=40\). Therefore, the correct answer is 40. A value such as 38 can result from forgetting to add 5 while finding \(a_5\). Exam tip: for every new term, add both preceding terms and the index of the term being found.
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If \(a_1=2\), \(a_2=7\), and \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+n\), what is \(a_4\)?
C. 23
पुनरावर्ती नियम से पहले तीसरा पद ज्ञात करें: \(a_3=7+2+3=12\)। अब \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 प्राप्त हो सकता है यदि अंतिम चरण में 4 जोड़ना भूल जाएँ, पर नियम में वर्तमान सूचकांक n भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: आवश्यक पद तक पहुँचने के लिए पुनरावर्ती नियम को क्रमशः प्रत्येक अगले पद पर लागू करें। / First find the third term using the recursive rule: \(a_3=7+2+3=12\). Then, \(a_4=a_3+a_2+4=12+7+4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value 21 may result from forgetting to add 4 in the final step, but the rule requires adding the current index n. Exam tip: apply a recursive rule step by step until you reach the required term.
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If \(a_1=9\) and \(a_{n+1}=a_n+a_1+n^2\), what is \(a_3\)?
B. \(32\)
दिया है \(a_1=9\)। पुनरावर्ती नियम में पहले \(n=1\) रखने पर \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\) मिलता है। फिर \(n=2\) रखने पर \(a_3=a_2+a_1+2^2=19+9+4=32\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(32\) है। \(34\) जैसा विकल्प वर्ग पद या पिछले पद के प्रयोग में गलती से आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक नया पद निकालते समय नियम में \(n\) का सही मान रखें। / Given \(a_1=9\), first use \(n=1\) in the recursive rule: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\). Next, use \(n=2\): \(a_3=a_2+a_1+2^2=19+9+4=32\). Hence, the correct answer is \(32\). A choice such as \(34\) can result from an error in using the square term or the previous term. Exam tip: substitute the correct value of \(n\) at every step of a recurrence relation.
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If \(a_1=9\) and \(a_{n+1}=a_n+a_1+n^2\), what is \(a_2\)?
B. 19
दिया है कि \(a_1=9\)। \(a_2\) ज्ञात करने के लिए पुनरावर्ती नियम में \(n=1\) रखें: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\)। इसलिए सही उत्तर 19 है। 17 प्राप्त होता यदि \(n^2\) वाला पद छोड़ दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: \(a_{n+1}\) के लिए हमेशा पहले \(n\) का सही मान रखकर अगला पद निकालें। / Given \(a_1=9\), substitute \(n=1\) in the recursive rule to find the second term: \(a_2=a_1+a_1+1^2=9+9+1=19\). Hence, 19 is correct. The value 17 would result from incorrectly omitting the \(n^2\) term. Exam tip: To find \(a_{n+1}\), first substitute the appropriate value of \(n\) into the recursive rule.
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