Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_{10}=10^2+2\times10=120\) इसलिए सही उत्तर (120) है। परीक्षा में (n) की जगह सीधे दिया गया क्रमांक रखें। / \(a_{10}=10^2+2\times10=120\), so the correct answer is (120). Exam tip: substitute the given position directly for (n).
(n(n+1)=72) में \(8\times9=72\) मिलता है। ऐसी स्थिति में आस-पास के गुणनखंड जल्दी जाँचें। / For (n(n+1)=72), \(8\times9=72\). Exam tip: check nearby factor pairs quickly.
वर्गों के अंतर में (152-142=(15-14)(15+14)=29) होता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) का सूत्र याद रखें। / The difference is (152-142=(15-14)(15+14)=29). Exam tip: use the identity \(a^2-b^2\).
अंतर (6,8,10,12) हैं इसलिए अगला अंतर (14) होगा। (41+14=55) मिलता है। / The differences are (6,8,10,12), so the next difference is (14). Thus (41+14=55).
अंतर (4) से बढ़ रहे हैं इसलिए अगला अंतर (21) होगा। (48+21=69) सही है। / The differences increase by (4), so the next difference is (21). Therefore (48+21=69).
\(a_{12}=145\) और \(a_{10}=101\) इसलिए अंतर (44) है। पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{12}=145\) and \(a_{10}=101\), so the difference is (44). Exam tip: find both terms separately first.
अगला अंतर (15) होगा इसलिए छठा पद (47+15=62) है। बदलते अंतरों को अलग पंक्ति में लिखना उपयोगी रहता है। / The next difference is (15), so the sixth term is (47+15=62). Exam tip: write changing differences separately.
यह त्रिभुजीय अनुक्रम है और (T_n=\frac{n(n+1)}{2}) होता है। \(\frac{9\times10}{2}=45\) इसलिए यह (9)वाँ पद है। / This is a triangular sequence with (T_n=\frac{n(n+1)}{2}). Since \(\frac{9\times10}{2}=45\), it is the (9)th term.
पद हैं \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\)। क्रम से घटाते समय हर पद को \(\frac{3}{1}\) से न बाँटें बल्कि (3) से बाँटें। / The terms are \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\). Exam tip: divide each term by (3) step by step.
\(n^2+3=84\) से \(n^2=81\) और (n=9) मिलता है। वर्ग संख्या पहचानना समय बचाता है। / From \(n^2+3=84\), \(n^2=81\) and (n=9). Exam tip: recognizing perfect squares saves time.
अंतर (7,11,15,19) हैं इसलिए अगला अंतर (23) होगा। (58+23=81) मिलता है। / The differences are (7,11,15,19), so the next difference is (23). Thus (58+23=81).
\(6^3-5^3=216-125=91\) है। घन अनुक्रम में सीधे घन निकालकर घटाएँ। / \(6^3-5^3=216-125=91\). Exam tip: in cube sequences, calculate the two cubes and subtract.
विषम स्थानों पर \(10,11,12,\ldots\) है इसलिए अगला विषम स्थान (13) होगा। वैकल्पिक अनुक्रम में स्थानों को अलग करें। / Odd positions are \(10,11,12,\ldots\), so the next odd-position term is (13). Exam tip: separate positions in alternating sequences.
विषम स्थानों पर \(2,4,6,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (8) है। वैकल्पिक पैटर्न में दोनों धाराएँ अलग देखें। / Odd positions are \(2,4,6,\ldots\), so the next odd-position term is (8). Exam tip: split the two patterns in alternating sequences.
यहाँ (a_n=12+5(n-1)) और (12+5(n-1)<60) से (n<10.6) मिलता है। इसलिए (10) पद छोटे हैं। / Here (a_n=12+5(n-1)), and (12+5(n-1)<60) gives (n<10.6). So (10) terms are less than (60).
(a_n=100-7(n-1)>0) से (n<15.28) मिलता है। अतः धनात्मक पदों की संख्या (15) है। / (a_n=100-7(n-1)>0) gives (n<15.28). Therefore the number of positive terms is (15).
पद \(5\times2^{n-1}\) हैं और \(5\times2^6=320\) है। इसलिए यह (7)वाँ पद है। / The terms are \(5\times2^{n-1}\), and \(5\times2^6=320\). Hence it is the (7)th term.
आगे के पद (21,34) हैं इसलिए आठवाँ पद (34) है। पुनरावर्ती अनुक्रम में पद छोड़ना नहीं चाहिए। / The next terms are (21,34), so the eighth term is (34). Exam tip: do not skip steps in recursive sequences.
छठा पद (16+26=42) और सातवाँ पद (26+42=68) नहीं है क्योंकि पाँचवाँ (26) है। ध्यान से गिनने पर छठा (42) और सातवाँ (68) होगा। / The sixth term is (16+26=42) and the seventh is (26+42=68). Exam tip: count positions carefully in recursive sequences.
अगला अंतर (15) है इसलिए छठा पद (31+15=46) होगा। अंतरों के अनुक्रम को पहचानना मुख्य कदम है। / The next difference is (15), so the sixth term is (31+15=46). Exam tip: identifying the sequence of differences is the key step.
अगला अंतर (-17) होगा इसलिए (12-17=-5) है। ऋणात्मक अंतरों में संकेत का विशेष ध्यान रखें। / The next difference is (-17), so (12-17=-5). Exam tip: be careful with signs in negative differences.
(n=1,2,3) रखने पर \(n^2+2n-1\) से (2,7,14) मिलते हैं। विकल्प जाँचते समय शुरुआती तीन पदों परखें। / Substituting (n=1,2,3) in \(n^2+2n-1\) gives (2,7,14). Exam tip: test options using the first three terms.
यह पद \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\) के रूप में हैं। वर्गों के पास वाले अनुक्रम को तुरंत पहचानें। / The terms are \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\). Exam tip: quickly recognize sequences near perfect squares.
\(n^2+n+1\) से (3,7,13,21) मिलते हैं। सूत्र चुनते समय पहले चार पदों से मिलान करें। / \(n^2+n+1\) gives (3,7,13,21). Exam tip: match the first four terms before choosing a formula.
अंतर (7,9,11,13) हैं इसलिए अगला अंतर (15) होगा। (51+15=66) सही है। / The differences are (7,9,11,13), so the next difference is (15). Therefore (51+15=66).
\(n^3+n\) से (2,10) नहीं बल्कि (n=2) पर (10) आता है इसलिए यह गलत है। सही मिलान \(a_n=2n^2+?\) जैसा चाहिए था। / This question has inconsistent options because \(n^3+n\) gives (10) at (n=2), not (12). Exam tip: verify every option before accepting a pattern.
(n(n+1)2) से (2,12,36) नहीं मिलता इसलिए सावधानी जरूरी है। दिए गए विकल्पों में कोई भी पूरा मेल नहीं खाता। / (n(n+1)2) does not give the full sequence, so care is needed. None of the given options matches all terms.
यह \(3^2,4^2,5^2,\ldots\) है इसलिए (20)वाँ पद \(22^2=484\) होगा। शुरुआती संख्या से सूचकांक का संबंध ध्यान रखें। / This is \(3^2,4^2,5^2,\ldots\), so the (20)th term is \(22^2=484\). Exam tip: track how the index shifts.
यह \(2^3,3^3,4^3,\ldots\) है इसलिए (10)वाँ पद \(11^3=1331\) है। शिफ्ट वाले घन अनुक्रमों में क्रमांक ध्यान से बदलें। / This is \(2^3,3^3,4^3,\ldots\), so the (10)th term is \(11^3=1331\). Exam tip: handle shifted cube sequences carefully.
आगे (16,22,29) मिलते हैं इसलिए आठवाँ पद (29) है। क्रमागत जोड़ को पूरा लिखना गलती घटाता है। / Continuing gives (16,22,29), so the eighth term is (29). Exam tip: write each successive addition to avoid mistakes.
\(2\times33-1=65\) है। पुनरावर्ती नियम में पहले दिए गए नियम को ठीक से लागू करें। / \(2\times33-1=65\). Exam tip: apply the given recurrence rule exactly.
\(2\times47+1=95\) है। ऐसे प्रश्नों में गुणा और जोड़ का क्रम न बदलें। / \(2\times47+1=95\). Exam tip: do not change the order of multiplication and addition.
(10.5) के बाद आधा करने पर (5.25) मिलता है। वैकल्पिक क्रिया वाले अनुक्रम में अगली क्रिया पहचानें। / After (10.5), dividing by (2) gives (5.25). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
\(3\times121+1=364\) है। दिए गए नियम को अंतिम पद पर लगाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / \(3\times121+1=364\). Exam tip: apply the given rule to the last term directly.
\(a_6=2\times3^5=486\) है। पहले पद से गिनते समय घात (n-1) होती है। / \(a_6=2\times3^5=486\). Exam tip: when starting from the first term, the exponent is (n-1).
अंतर (3,6,12,24) हैं इसलिए अगला अंतर (48) होगा। (52+48=100) मिलता है। / The differences are (3,6,12,24), so the next difference is (48). Thus (52+48=100).
यह (1) से शुरू होकर क्रमागत संख्याएँ जोड़ता है और (a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}) है। \(a_{20}=1+\frac{20\times21}{2}=211\) है। / It adds consecutive numbers starting from (1), so (a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}). Thus \(a_{20}=1+\frac{20\times21}{2}=211\).
(a_n=13+5(n-1)) और (13+5(n-1)=98) से (n=18) मिलता है। पद संख्या निकालते समय (n-1) न भूलें। / (a_n=13+5(n-1)), and (13+5(n-1)=98) gives (n=18). Exam tip: do not forget (n-1) when finding position.
(6+7(n-1)=83) से (7(n-1)=77) और (n=12) मिलता है। समान अंतर वाले अनुक्रम में सूत्र सीधे लगाएँ। / (6+7(n-1)=83) gives (7(n-1)=77) and (n=12). Exam tip: use the arithmetic sequence formula directly.
(a_n=-5+4(n-1)) है इसलिए \(a_{25}=-5+96=91\) है। ऋणात्मक पहले पद में संकेत सावधानी से रखें। / (a_n=-5+4(n-1)), so \(a_{25}=-5+96=91\). Exam tip: handle the sign of a negative first term carefully.
हर बार (-2) से गुणा हो रहा है इसलिए आठवाँ पद ((-2)7=-128) है। संकेत और घात दोनों साथ देखें। / Each term is multiplied by (-2), so the eighth term is ((-2)7=-128). Exam tip: track both sign and power.
सामान्य पद (a_n=5(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_7=5(-2)6=320) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (a_n=5(-2)^{n-1}), so (a_7=5(-2)6=320). Exam tip: an even power gives a positive sign.
पद आगे (13,21,34,55) हैं इसलिए (10)वाँ पद (55) है। फिबोनाची जैसे अनुक्रम में क्रमांक लिखकर बढ़ें। / The next terms are (13,21,34,55), so the (10)th term is (55). Exam tip: write positions when extending Fibonacci-type sequences.
\(a_{15}=15\times14=210\) है। सूत्र में (n) की जगह पद संख्या रखें। / \(a_{15}=15\times14=210\). Exam tip: substitute the term number for (n) in the formula.
\(a_8=192\) और \(a_6=108\) इसलिए अंतर (84) है। दोनों पद निकालकर घटाएँ। / \(a_8=192\) and \(a_6=108\), so the difference is (84). Exam tip: find both terms and then subtract.
अंतर (6,8,10,12) हैं इसलिए अगला अंतर (14) होगा। (40+14=54) सही है। / The differences are (6,8,10,12), so the next difference is (14). Therefore (40+14=54).
अगला अंतर (-11) होगा इसलिए (-9-11=-20) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न की जाँच जरूर करें। / The next difference is (-11), so (-9-11=-20). Exam tip: always check the negative sign in decreasing sequences.
अगला अंतर (23) होगा इसलिए (56+23=79) है। अंतर के अंतर को पहचानना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज तरीका है। / The next difference is (23), so (56+23=79). Exam tip: identifying the difference of differences is the fastest method here.
