Every element is related to itself, and no distinct elements are related.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is the identity relation. चरण 1: संबंध में केवल विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: हर अवयव अपने-आप से संबंधित है और अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं है। चरण 3: इसलिए यह पहचान संबंध है।
An empty relation means it contains no ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
Whatever the set is, the empty relation remains empty.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of pairs is (0). चरण 1: रिक्त संबंध का अर्थ है कि उसमें कोई क्रमित युग्म नहीं है। चरण 2: समुच्चय में कितने भी अवयव हों, रिक्त संबंध खाली ही रहता है। चरण 3: इसलिए युग्मों की संख्या (0) है।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(3\in A\), ((3,3)) must be present.
Step 3
Exam Tip
Pairs with distinct elements are not part of the identity relation. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: \(3\in A\), इसलिए ((3,3)) पहचान संबंध में होगा। चरण 3: अलग-अलग अवयवों वाले युग्म पहचान संबंध में नहीं आते।
The universal relation contains every pair from \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
In ((2,3)), both elements belong to (A).
Step 3
Exam Tip
So this pair must be present in the universal relation. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। चरण 2: ((2,3)) में दोनों अवयव (A) के हैं। चरण 3: इसलिए यह युग्म सार्वत्रिक संबंध में अवश्य होगा।
Being related to itself means the pair ((a,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
If this happens for every element, the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
In such questions, check all diagonal pairs. चरण 1: अपने-आप से संबंधित होने का अर्थ ((a,a)) युग्म का होना है। चरण 2: यदि हर अवयव के लिए ऐसा हो, तो संबंध प्रतिवर्ती होता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सभी विकर्ण युग्म देखें।
Not being related to itself means diagonal pairs are absent.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) is absent for every (a), the relation is irreflexive.
Step 3
Exam Tip
Off-diagonal pairs can still be present in an irreflexive relation. चरण 1: अपने-आप से संबंधित न होना विकर्ण युग्मों की अनुपस्थिति बताता है। चरण 2: यदि किसी भी (a) के लिए ((a,a)) नहीं है, तो संबंध अप्रतिवर्ती है। चरण 3: केवल गैर-विकर्ण युग्म होने से अप्रतिवर्तिता बची रहती है।
Hence ((8,5)) must be in the relation. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म भी होना चाहिए। चरण 2: ((5,8)) का उल्टा ((8,5)) है। चरण 3: इसलिए ((8,5)) संबंध में अवश्य होगा।
Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the middle element is (4).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((3,6)) is necessary. चरण 1: संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: यहां बीच वाला अवयव (4) है। चरण 3: इसलिए ((3,6)) युग्म जरूरी है।
An equivalence relation needs reflexivity, symmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Antisymmetry is linked with partial order relations.
Step 3
Exam Tip
Therefore antisymmetry is not required for equivalence. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 2: प्रतिसममितता आंशिक क्रम संबंध से जुड़ा गुण है। चरण 3: इसलिए समतुल्यता के लिए प्रतिसममितता जरूरी नहीं है।
A partial order requires reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Symmetry is not a required condition for partial order.
Step 3
Exam Tip
Therefore symmetry is the wrongly added property here. चरण 1: आंशिक क्रम में प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 2: सममितता आंशिक क्रम की आवश्यक शर्त नहीं है। चरण 3: इसलिए सममितता को यहां गलत जोड़ा गया गुण माना जाएगा।
Hence the relation is reflexive, even with the extra pair ((2,1)). चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए सभी विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: ((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है, भले ही ((2,1)) अतिरिक्त युग्म हो।
Every pair has its reverse, so the relation is symmetric. चरण 1: ((1,2)) के साथ ((2,1)) मौजूद है। चरण 2: ((3,1)) के साथ ((1,3)) मौजूद है। चरण 3: हर युग्म का उल्टा युग्म है, इसलिए संबंध सममित है।
Therefore this relation is transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। चरण 2: ((1,4)) संबंध में मौजूद है। चरण 3: इसलिए यह संबंध संक्रामी है।
Hence the relation is irreflexive. चरण 1: अप्रतिवर्तिता के लिए कोई भी विकर्ण युग्म नहीं होना चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं। चरण 3: इसलिए संबंध अप्रतिवर्ती है।
A. क्योंकि ((2,2)) अनुपस्थित है/because ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
Reflexivity requires diagonal pairs for both (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) is present, but ((2,2)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Missing one diagonal pair makes reflexivity fail. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (1) और (2) दोनों के विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: ((1,1)) है, पर ((2,2)) नहीं है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म की कमी से प्रतिवर्तिता असफल हो जाती है।
A. क्योंकि ((3,2)) अनुपस्थित है/because ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) is present, but ((3,2)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is not symmetric. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: ((2,3)) संबंध में है, पर ((3,2)) नहीं है। चरण 3: इसलिए संबंध सममित नहीं है।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,3)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,3)) is absent, the relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) मौजूद हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए। चरण 3: ((1,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध संक्रामी नहीं है।
An equivalence relation needs all three properties.
Step 2
Why this answer is correct
Here transitivity is missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not an equivalence relation. चरण 1: समतुल्यता संबंध के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। चरण 2: यहां संक्रामकता नहीं है। चरण 3: इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं होगा।
A partial order requires reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
Here antisymmetry is missing.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not a partial order relation. चरण 1: आंशिक क्रम के लिए प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी गुण चाहिए। चरण 2: यहां प्रतिसममितता नहीं है। चरण 3: इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध नहीं होगा।
Since (A) has (3) elements, there are \(3\times3=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
This is the number of pairs in the universal relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: (A) में (3) अवयव हैं, इसलिए \(3\times3=9\) युग्म होंगे। चरण 3: यही सार्वत्रिक संबंध के युग्मों की संख्या है।
In the identity relation, each element contributes one diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
With (6) elements, there are (6) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the identity relation has (6) pairs. चरण 1: पहचान संबंध में हर अवयव का एक विकर्ण युग्म होता है। चरण 2: (6) अवयवों से (6) विकर्ण युग्म बनेंगे। चरण 3: इसलिए पहचान संबंध में (6) युग्म होंगे।
For (6) elements, \(A\times A\) has \(6^2=36\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the universal relation contains (36) pairs. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। चरण 2: (6) अवयवों पर \(A\times A\) में \(6^2=36\) युग्म होते हैं। चरण 3: इसलिए सार्वत्रिक संबंध में (36) युग्म होंगे।
To fail symmetry, a pair must exist without its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair at all.
Step 3
Exam Tip
Therefore the empty relation is considered symmetric. चरण 1: सममितता टूटने के लिए कोई युग्म और उसका अनुपस्थित उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है। चरण 3: इसलिए रिक्त संबंध सममित माना जाता है।
To fail transitivity, two connected pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pairs, so such a situation never occurs.
Step 3
Exam Tip
Hence the empty relation is considered transitive. चरण 1: संक्रामकता टूटने के लिए दो जुड़े युग्म चाहिए। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए ऐसी स्थिति बनती ही नहीं। चरण 3: इसलिए रिक्त संबंध संक्रामी माना जाता है।
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी/reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
The identity relation has all diagonal pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of a diagonal pair is itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
Transitivity is also satisfied by diagonal pairs. चरण 1: पहचान संबंध में सभी विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: विकर्ण युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: विकर्ण युग्मों से संक्रामकता भी पूरी होती है।
A. प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी/reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
The universal relation has all pairs, so it has all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of every pair is also present.
Step 3
Exam Tip
The pair needed for transitivity is also present. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में सभी युग्म होते हैं, इसलिए सभी विकर्ण युग्म भी हैं। चरण 2: हर युग्म का उल्टा युग्म भी उसमें होता है। चरण 3: संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म भी मौजूद होते हैं।
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/reflexive and transitive
Step 1
Concept
Since ((1,1)) and ((2,2)) are present, the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) does not create a missing transitivity requirement.
Step 3
Exam Tip
But ((2,1)) is absent, so it is not symmetric. चरण 1: ((1,1)) और ((2,2)) होने से संबंध प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) से कोई ऐसी कमी नहीं बनती जो संक्रामकता तोड़े। चरण 3: पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है।
A. क्योंकि ((1,1)) अनुपस्थित है/because ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,1)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,1)) is absent, the relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) मौजूद हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए ((1,1)) होना चाहिए। चरण 3: ((1,1)) नहीं है, इसलिए संबंध संक्रामी नहीं है।
Elements (1) and (2) are related in both directions, so they are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
Element (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore the classes are ({1,2}) and ({3}). चरण 1: (1) और (2) दोनों दिशाओं से जुड़े हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। चरण 2: (3) केवल अपने-आप से जुड़ा है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) हैं।
Every integer has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The same-parity condition remains true when reversed.
Step 3
Exam Tip
Same parity also passes through a middle element, so it is an equivalence relation. चरण 1: हर संख्या अपनी ही समता की होती है, इसलिए प्रतिवर्तिता है। चरण 2: समान समता की शर्त पलटने पर भी सही रहती है। चरण 3: समान समता आगे भी बनी रहती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है।
(a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
The sum of two such differences is also divisible by (5), so it is an equivalence relation. चरण 1: (a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। चरण 3: दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है।
A. क्योंकि \(1\le2\) है पर \(2\le1\) नहीं/because \(1\le2\) but \(2\le1\) is false
Step 1
Concept
Symmetry requires the reverse relation to also be true.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) is true, but \(2\le1\) is false.
Step 3
Exam Tip
Therefore the \(\le\) relation is not symmetric. चरण 1: सममितता के लिए उल्टा संबंध भी सही होना चाहिए। चरण 2: \(1\le2\) सही है, पर \(2\le1\) गलत है। चरण 3: इसलिए \(\le\) संबंध सममित नहीं है।
A. क्योंकि (a<a) कभी सही नहीं होता/because (a<a) is never true
Step 1
Concept
Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
Here (aRa) means (a<a).
Step 3
Exam Tip
Since (a<a) is never true, the relation is not reflexive. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए हर (a) पर (aRa) चाहिए। चरण 2: यहां (aRa) का अर्थ (a<a) होगा। चरण 3: (a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती नहीं है।
Hence the less-than relation is transitive. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) होता है। चरण 2: यही संक्रामकता की शर्त है। चरण 3: इसलिए छोटा संबंध संक्रामी है।
The condition (a=b) gives only pairs of equal elements.
Step 2
Why this answer is correct
Such pairs are of the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Therefore it is called the identity relation. चरण 1: (a=b) होने पर केवल समान अवयवों के युग्म मिलते हैं। चरण 2: ये युग्म ((a,a)) के रूप में होते हैं। चरण 3: इसलिए यह पहचान संबंध कहलाता है।
Thus the reverse of every related pair is also related.
Step 3
Exam Tip
Hence the relation is symmetric. चरण 1: यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\) भी सही है। चरण 2: इसलिए हर युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में आएगा। चरण 3: अतः संबंध सममित है।
Therefore the relation is not reflexive. चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (aRa) चाहिए। चरण 2: यहां (aRa) का अर्थ \(a\ne a\) होगा, जो गलत है। चरण 3: इसलिए यह संबंध प्रतिवर्ती नहीं है।
A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित है/because ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
The relation appears reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
But ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Since ((1,3)) is absent, transitivity fails and it is not an equivalence relation. चरण 1: संबंध प्रतिवर्ती और सममित दिखता है। चरण 2: पर ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 3: ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है और यह समतुल्यता संबंध नहीं है।
All diagonal pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so antisymmetry is not violated.
Step 3
Exam Tip
No required transitive pair is missing, so it is a partial order relation. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती। चरण 3: कोई जरूरी संक्रामी युग्म अनुपस्थित नहीं है, इसलिए यह आंशिक क्रम संबंध है।
The universal relation contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(1\ne2\), having both directions violates antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is not antisymmetric. चरण 1: सार्वत्रिक संबंध में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होते हैं। चरण 2: \(1\ne2\) होने पर दोनों दिशाएं साथ होना प्रतिसममितता को तोड़ता है। चरण 3: इसलिए यह प्रतिसममित नहीं है।
The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
It has no two-way pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore the identity relation is antisymmetric. चरण 1: पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। चरण 2: अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के युग्म नहीं होते। चरण 3: इसलिए पहचान संबंध प्रतिसममित होता है।
Thus ((2,1)) must be added; ((3,2)) would also be needed for complete symmetry. चरण 1: सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। चरण 2: ((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है। चरण 3: इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है; साथ में ((3,2)) भी पूरा करने के लिए लगेगा।
Therefore ((1,3)) must be added. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) एक शृंखला बनाते हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) चाहिए। चरण 3: इसलिए ((1,3)) जोड़ना जरूरी है।
To make the relation reflexive, all diagonal pairs are needed.
Step 2
Why this answer is correct
These are ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
Among the given options, ((1,1)) is a necessary diagonal pair. चरण 1: प्रतिवर्ती बनाने के लिए सभी विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: इनमें ((1,1)), ((2,2)) और ((3,3)) होंगे। चरण 3: दिए गए विकल्पों में ((1,1)) जरूरी विकर्ण युग्म है।
A reflexive relation must contain all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest such relation contains only these compulsory pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the smallest reflexive relation is the identity relation. चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: सबसे छोटा संबंध केवल ये अनिवार्य युग्म रखेगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा प्रतिवर्ती संबंध पहचान संबंध है।
The relation containing all these pairs is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Hence it is considered the largest relation. चरण 1: किसी समुच्चय पर सभी संभव युग्म \(A\times A\) में होते हैं। चरण 2: इन्हीं सभी युग्मों को रखने वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध है। चरण 3: इसलिए इसे सबसे बड़ा संबंध माना जाता है।
A relation with no pair is called the empty relation.
Step 2
Why this answer is correct
It contains no ordered pair at all.
Step 3
Exam Tip
Hence it is considered the smallest relation. चरण 1: बिना किसी युग्म वाला संबंध रिक्त संबंध कहलाता है। चरण 2: इसमें चुनने के लिए कोई क्रमित युग्म नहीं होता। चरण 3: इसलिए इसे सबसे छोटा संबंध माना जाता है।
A symmetric relation must contain the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present, but ((2,1)) is absent.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation definitely cannot be symmetric. चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) है, पर ((2,1)) नहीं है। चरण 3: इसलिए संबंध निश्चित रूप से सममित नहीं हो सकता।
To prove equivalence, transitivity still needs to be checked. चरण 1: सभी विकर्ण युग्म होने से प्रतिवर्तिता मिलती है। चरण 2: हर युग्म का उल्टा होने से सममितता मिलती है। चरण 3: समतुल्यता संबंध सिद्ध करने के लिए अब संक्रामकता जांचनी होगी।
