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B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / Every needed forward-chain result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। / The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1\) परिमेय है, इसलिए परावर्तन है। / \(\frac{a}{a}=1\) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational, then \(\frac{b}{a}\) is rational, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}\) और \(\frac{b}{c}\) परिमेय हों तो \(\frac{a}{c}\) भी परिमेय होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If \(\frac{a}{b}\) and \(\frac{b}{c}\) are rational, then \(\frac{a}{c}\) is rational, so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) अभाज्य है, पर ((2,2)) में योग (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum (2) is prime, but for ((2,2)), the sum (4) is not, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) भी है; संक्रामकता की टूटन के लिए ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) hold, but ((2,4)) does not, so transitivity fails.
(a-b) का (4) से विभाज्य होना समान शेषफल दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (4) means the same remainder modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) का शेषफल (3) है, इसलिए उसके वर्ग में (4k+3) रूप वाले सभी पूर्णांक होंगे। / The remainder of (3) is (3), so its class contains all integers of the form (4k+3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय केवल समान शेषफल वाले तत्व ही शामिल करें। / Include only elements with the same remainder in the class.
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(1) न (2) से और न (3) से विभाज्य है, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा और परावर्तन नहीं है। / (1) is divisible by neither (2) nor (3), so ((1,1)) is not in the relation and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं, इसलिए सममितता है। / Both conditions are unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails.
स्वयुग्मों से (5) युग्म मिलते हैं। / Self-pairs give (5) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) से ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)) अतिरिक्त युग्म मिलते हैं; ((3,3)) पहले से गिना जा चुका है। / The condition (a+b=6) adds ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)); ((3,3)) is already counted.
Step 3
Exam Tip
कुल (5+4=9) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4=9).
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं/It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। / Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। / Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है। / Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation.
परावर्ती होने से (R) में हर स्वयुग्म है। / Since (R) is reflexive, it contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में भी हर स्वयुग्म है। / (S) also contains every self-pair.
Step 3
Exam Tip
संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आते हैं, इसलिए सभी स्वयुग्म भी रहेंगे और संघ परावर्ती होगा। / The union contains all pairs from both relations, so all self-pairs remain and the union is reflexive.
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R\cap S\) में हैं, तो दोनों युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), both pairs are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((a,c)) (R) में और (S) की संक्रामकता से (S) में होगा। / Transitivity of (R) puts ((a,c)) in (R), and transitivity of (S) puts it in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) प्रतिच्छेद में होगा। / Hence ((a,c)) is in the intersection.
C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,3)) is forced by ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
नई शृंखलाओं और दिए युग्मों से ((1,4)) तथा उल्टी दिशा में ((4,1)) भी आएंगे। / New chains and given pairs also force ((1,4)) and, in the reverse direction, ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामक आवरण बनाते समय नए युग्मों से बनने वाली आगे की शृंखलाएं भी जांचनी होती हैं। / While forming transitive closure, chains created by newly added pairs must also be checked.
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। / Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। / Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं। / Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse.
(a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (2), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्य अंतरों का योग भी (2) से विभाज्य है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of divisible differences is again divisible by (2), so transitivity holds.
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a-a=0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=2) होने पर (b-a=-2), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=2), then (b-a=-2), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(4R2) और (2R0) सही हैं, पर (4R0) के लिए अंतर (4) है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (4R2) and (2R0) hold, but (4R0) has difference (4), so transitivity fails.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
संबंध पहले से परावर्ती और सममित है। / The relation is already reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। / ((2,1)) and ((1,3)) force ((2,3)), while ((3,1)) and ((1,2)) force ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
ये दो युग्म जोड़ने पर ({1,2,3}) बंद वर्ग बन जाएगा और (4) अकेला रहेगा। / Adding these two pairs makes ({1,2,3}) a closed class and leaves (4) alone.
तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
तीन तत्वों के विभाजन हैं: एक-एक अलग, तीनों साथ, और किसी दो का जोड़ा तथा एक अकेला। / For three elements, partitions are all singletons, all together, and one pair with one singleton.
Step 3
Exam Tip
कुल (1+1+3=5) तुल्यता संबंध बनते हैं। / The total is (1+1+3=5).
A. वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध/Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में वर्ग समुच्चय का पूरा विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a complete partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) और ({3,4}) दो बंद वर्ग हैं और पूरा समुच्चय ढकते हैं। / ({1,2}) and ({3,4}) are two closed classes covering the whole set.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध परावर्ती नहीं और सार्वत्रिक संबंध में केवल एक वर्ग होगा। / The empty relation is not reflexive, and the universal relation has only one class.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने ही सम-विषम प्रकार का है, इसलिए परावर्तन है। / Every element has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान सम-विषम प्रकार क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same parity is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की शृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of the same parity remains in the same parity, so transitivity also holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई तत्व अपने ही शेषफल से अलग शेषफल नहीं रख सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No element can have a different remainder from itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही है, इसलिए सममितता है। / The different-remainder condition remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) does not, so transitivity fails.
तुल्यता संबंध में दो तत्व एक ही वर्ग में तभी होते हैं जब वे संबंधित हों। / In an equivalence relation, two elements lie in the same class exactly when they are related.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) असत्य है, इसलिए (a) और (b) एक वर्ग में नहीं हैं। / Since (aRb) is false, (a) and (b) are not in the same class.
Step 3
Exam Tip
अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / Distinct equivalence classes are disjoint.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने का अर्थ है समान सम-विषम प्रकार, जो क्रम बदलने पर भी सही रहता है। / (a+b) being even means same parity, which is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
समान सम-विषम प्रकार की शृंखला संक्रामक होती है, इसलिए संबंध तुल्यता है। / A chain of same parity is transitive, so the relation is an equivalence relation.
(a=b) से सभी स्वयुग्म शामिल हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) includes all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both numbers are prime is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य तत्व ({2,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और बाकी अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / Prime elements ({2,3,5}) form one closed class and the others stay single, so transitivity holds.
(S) में (a-b) का (4) से विभाज्य होना इस समुच्चय में केवल समान तत्वों के लिए संभव है। / In this set, (a-b) being divisible by (4) occurs only for equal elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (S) पहचान संबंध जैसा है और उसके सभी (4) स्वयुग्म (R) में भी होंगे। / So (S) acts like the identity relation, and all its (4) self-pairs also lie in (R).
