समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(1,4)\}\) दिया है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(1,3),(3,4),(1,4)\}\) is given. Choose the correct classification.
#types-of-relations
#reflexive
#not-symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
B परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
A. परावर्ती है पर न सममित न संक्रामक / Reflexive but neither symmetric nor transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) are present but ((2,4)) is missing, so transitivity also fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\mid b\)। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,6\}\), (aRb) if and only if \(a\mid b\). What type of relation is it?
#divisibility
#reflexive
#transitive
#not-symmetric
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D केवल सममित है / Only symmetric
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Correct Answer
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is not, so it is not symmetric.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब (a-b) (7) से विभाज्य हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (7). Choose the correct conclusion.
#modular-relation
#equivalence-relation
#integers
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A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह केवल परावर्ती है / It is only reflexive
C यह सममित है पर संक्रामक नहीं / It is symmetric but not transitive
D यह संक्रामक है पर सममित नहीं / It is transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (7) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। / (a-a=0) is divisible by (7), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (7) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (7) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (7), then (b-a) is also divisible by (7), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो (7) से विभाज्य अंतरों का योग भी (7) से विभाज्य होता है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of two differences divisible by (7) is also divisible by (7), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब \(|a-b|\le2\)। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if \(|a-b|\le2\). Choose the correct statement.
#absolute-difference
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D परावर्ती नहीं है / Not reflexive
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Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(|a-a|=0\le2\), इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / \(|a-a|=0\le2\), so every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), इसलिए संबंध सममित है। / (|a-b|=|b-a|), so the relation is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((1,3)) and ((3,5)) exist but ((1,5)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध किस प्रकार का है?
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^2=b^2\). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#square-relation
#real-numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^2=a^2\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^2=a^2\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग का संबंध तीसरे तत्व तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है। / Equality of squares passes through a third element, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b) परिमेय संख्या हो। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is rational. Choose the correct classification.
#equivalence-relation
#rational-difference
#real-numbers
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is rational, then (b-a) is rational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतरों का योग परिमेय रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / The sum of rational differences is rational, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (a-b) अपरिमेय संख्या हो। सही निष्कर्ष क्या है?
On real numbers, (aRb) if and only if (a-b) is irrational. What is the correct conclusion?
#irrational-difference
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / (a-a=0) is rational, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) अपरिमेय है तो (b-a) भी अपरिमेय है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is irrational, then (b-a) is irrational, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(0R\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}R0\) सही हैं पर (0R0) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / \(0R\sqrt{2}\) and \(\sqrt{2}R0\) hold but (0R0) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b=5)। संबंध का सही प्रकार चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a+b=5). Choose the correct type of the relation.
#sum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
C तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
हर (a) के लिए (a+a=5) नहीं होता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a+a=5) is not true for every (a), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) होने पर (b+a=5) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If (a+b=5), then (b+a=5), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,4)) और ((4,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,4)) and ((4,1)) exist but ((1,1)) does not, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b=5)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#partition
#sum-relation
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) gives all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition (a+b=5) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,4}) और ({2,3}) जैसे बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है। / The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so it is also transitive.
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यदि (A) में (5) तत्व हैं, तो (A) पर परावर्ती और सममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (5) elements, how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?
#counting-relations
#reflexive-symmetric
#expert
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A \(2^{10}\)
B \(2^{15}\)
C \(2^{20}\)
D \(2^{25}\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
परावर्तन के कारण (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity forces the (5) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े बचते हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
सममितता में हर ऐसा जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / For symmetry, each such pair is either included in both directions or excluded, so the number is \(2^{10}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कौन सी है?
If (A) has (n) elements, which is the number of symmetric relations on (A)?
#counting-relations
#symmetric-relation
#general-formula
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A \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
A. \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
(n) स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) self-pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के (\frac{n(n-1)}{2}) अनियोजित जोड़े हैं। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो (A) पर कुल परावर्ती संबंधों की संख्या और कुल संबंधों की संख्या का अनुपात क्या होगा?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the ratio of the number of reflexive relations to the number of all relations on (A)?
#counting-relations
#reflexive-relation
#ratio
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A \(1:2^4\)
B \(2^4:1\)
C \(1:2^{12}\)
D \(2^{12}:1\)
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Correct Answer
A. \(1:2^4\)
Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{16}\) है। / The total number of relations is \(2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों में (4) स्वयुग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / Reflexive relations have (4) compulsory self-pairs, so their number is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\) होगा। / The ratio is \(2^{12}:2^{16}=1:2^4\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{3}\). What is the equivalence class of (1)?
#equivalence-class
#modulo
#relations
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A ({1,4})
B ({1,3,6})
C ({1,2,4})
D ({1,5})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि दोनों का (3) से भाग देने पर शेषफल समान हो। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means both have the same remainder on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (4) दोनों का शेषफल (1) है। / (1) and (4) both leave remainder (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) का तुल्यता वर्ग ({1,4}) है। / Hence the equivalence class of (1) is ({1,4}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) के तुल्यता वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) हैं। (R) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the equivalence classes of (R) are ({1,2}) and ({3,4}). How many ordered pairs are in (R)?
#equivalence-relation
#equivalence-classes
#counting
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A (8)
B (4)
C (10)
D (16)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) से \(2^2=4\) और ({3,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs and ({3,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+4=8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R) के वर्ग ({1,3,5}) और ({2,4}) हैं। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the classes of (R) are ({1,3,5}) and ({2,4}). How many pairs will be in (R)?
#equivalence-classes
#counting
#expert
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A (13)
B (10)
C (25)
D (7)
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Step 1
Concept
प्रत्येक तुल्यता वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म बनते हैं। / All ordered pairs are formed inside each equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे वर्ग से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या (9+4=13) होगी। / The total number is (9+4=13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) का सबसे छोटा संक्रामक विस्तार कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), what is the smallest transitive extension of \(R=\{(1,2),(2,3)\}\)?
#transitive-closure
#minimal-extension
#relations
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ({(1,2),(2,3),(1,3)})
B ({(1,2),(2,3),(2,1)})
C ({(1,2),(2,3),(3,2)})
D ({(1,2),(2,3),(1,1)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((1,3)) जोड़ने पर कोई नई जरूरी शृंखला नहीं टूटती। / Adding only ((1,3)) creates no further missing forced chain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सबसे छोटा संक्रामक विस्तार यही है। / Hence this is the smallest transitive extension.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) को संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), which minimum pairs must be added to make \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) transitive?
#transitive-closure
#minimal-addition
#hard
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A ((1,3),(2,4),(1,4))
B ((2,1),(3,2),(4,3))
C ((1,1),(2,2),(3,3))
D ((1,4)) मात्र / Only ((1,4))
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Correct Answer
A. ((1,3),(2,4),(1,4))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,3)) is required from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / ((2,4)) is required from ((2,3)) and ((3,4)).
Step 3
Exam Tip
फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी अनिवार्य हो जाता है। / Then ((1,4)) is also forced by ((1,3)) and ((3,4)).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) को संक्रामक बनाने के लिए न्यूनतम क्या जोड़ना होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), what must be minimally added to make \(R=\{(1,2),(2,1)\}\) transitive?
#transitive-relation
#minimal-addition
#closure
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A ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
B ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1))
C ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
D ((3,3)) मात्र / Only ((3,3))
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Correct Answer
A. ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required.
Step 3
Exam Tip
(3) से कोई शृंखला नहीं बनती, इसलिए यही न्यूनतम जोड़ हैं। / No chain involves (3), so these are the minimum additions.
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यदि (R) और (S) उसी समुच्चय पर परावर्ती संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सत्य है?
If (R) and (S) are reflexive relations on the same set, which statement is always true about \(R\cap S\)?
#intersection
#reflexive-relation
#conceptual
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A \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
B \(R\cap S\) कभी परावर्ती नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be reflexive
C \(R\cap S\) सदैव रिक्त होगा / \(R\cap S\) will always be empty
D \(R\cap S\) सदैव सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) परावर्ती होगा / \(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती होने से (R) में हर ((a,a)) है। / Since (R) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (R).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती होने से (S) में भी हर ((a,a)) है। / Since (S) is reflexive, every ((a,a)) belongs to (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर स्वयुग्म दोनों में साझा होगा और \(R\cap S\) परावर्ती रहेगा। / Therefore all self-pairs belong to \(R\cap S\), so it is reflexive.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are transitive relations, choose the correct statement about \(R\cap S\).
#intersection
#transitive-relation
#conceptual
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A \(R\cap S\) संक्रामक होगा / \(R\cap S\) will be transitive
B \(R\cap S\) कभी संक्रामक नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be transitive
C \(R\cap S\) सदैव सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
D \(R\cap S\) केवल सममित होगा / \(R\cap S\) will only be symmetric
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा / \(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों की संक्रामकता से ((a,c)) दोनों में होगा। / Transitivity of both (R) and (S) gives ((a,c)) in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में भी होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(R\cap S\).
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यदि (R) और (S) सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If (R) and (S) are symmetric relations, which statement about \(R\cup S\) is correct?
#union
#symmetric-relation
#properties
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
B \(R\cup S\) कभी सममित नहीं होगा / \(R\cup S\) will never be symmetric
C \(R\cup S\) सदैव तुल्यता संबंध होगा / \(R\cup S\) will always be an equivalence relation
D \(R\cup S\) सदैव परावर्ती होगा / \(R\cup S\) will always be reflexive
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में युग्म है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी में होगा। / In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और संघ सममित रहेगा। / Therefore the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union is symmetric.
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यदि (R) और (S) संक्रामक संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के लिए सही कथन चुनिए।
If (R) and (S) are transitive relations, choose the correct statement about \(R\cup S\).
#union
#transitive-relation
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
B यह हमेशा संक्रामक होता है / It is always transitive
C यह हमेशा परावर्ती होता है / It is always reflexive
D यह हमेशा रिक्त होता है / It is always empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता / It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / The required third pair may be missing, so the union need not be transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है। \(R^{-1}\) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\). What type of relation is \(R^{-1}\)?
#inverse-relation
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
B परावर्ती और संक्रामक / Reflexive and transitive
C सममित और संक्रामक / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}) होगा। / (R^{-1}={(2,1),(3,2),(3,1)}).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें कोई स्वयुग्म नहीं है और उल्टे युग्म भी पूरे नहीं हैं। / It has no self-pair and does not contain all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) मौजूद है, इसलिए यह संक्रामक है। / From ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is present, so it is transitive.
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यदि कोई संबंध (R) सममित है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन क्या है?
If a relation (R) is symmetric, what is the correct statement about \(R^{-1}\)?
#inverse-relation
#symmetric-relation
#conceptual
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) हमेशा रिक्त होगा / \(R^{-1}\) will always be empty
C \(R^{-1}\) कभी सममित नहीं होगा / \(R^{-1}\) will never be symmetric
D \(R^{-1}\) हमेशा सार्वत्रिक होगा / \(R^{-1}\) will always be universal
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Correct Answer
A. \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध में ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। / In a symmetric relation, ((b,a)) is present whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विलोम संबंध सभी युग्मों को उलटता है। / The inverse relation reverses all pairs.
Step 3
Exam Tip
पहले से उल्टे युग्म मौजूद होने के कारण \(R^{-1}=R\) होता है। / Since the reversed pairs are already present, \(R^{-1}=R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are prime. Choose the correct statement.
#prime-relation
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D केवल संक्रामक है / Only transitive
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(1) और (4) अभाज्य नहीं हैं, इसलिए उनके स्वयुग्म नहीं आएंगे। / (1) and (4) are not prime, so their self-pairs are absent.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are prime is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध केवल ({2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता बनी रहती है। / The relation is complete inside ({2,3}), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) से छोटे हों। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are less than (3). Choose the correct classification.
#subset-relation
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
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A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(3,4,5) के स्वयुग्म संबंध में नहीं होंगे, इसलिए परावर्तन नहीं है। / Self-pairs of (3,4,5) are not in the relation, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (3) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर सही रहती है, इसलिए सममितता है। / The condition that both elements are less than (3) is unchanged by reversal, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2}), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का अधिकतम मान (5) हो। संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the maximum of (a) and (b) is (5). What type of relation is it?
#maximum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में अधिकतम मान (1) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the maximum is (1), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The maximum value does not change on reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,2)) हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,5)) and ((5,2)) exist but ((1,2)) does not, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) का न्यूनतम मान (2) हो। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the minimum of (a) and (b) is (2). Choose the correct conclusion.
#minimum-relation
#symmetric
#not-transitive
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में न्यूनतम मान (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते। / For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान क्रम बदलने से समान रहता है, इसलिए सममितता है। / The minimum value remains the same when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / ((3,2)) and ((2,4)) exist but ((3,4)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(ab\ge0\)। सही वर्गीकरण चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(ab\ge0\). Choose the correct classification.
#real-numbers
#product-relation
#not-transitive
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
D केवल परावर्ती है / Only reflexive
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Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
\(a\cdot a=a^2\ge0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a\cdot a=a^2\ge0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(ab=ba), इसलिए सममितता है। / Since (ab=ba), it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(1R0) और (0R(-1)) सही हैं पर (1R(-1)) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (1R0) and (0R(-1)) hold but (1R(-1)) does not, so transitivity fails.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (ab>0)। संबंध का सही प्रकार क्या है?
On real numbers, (aRb) if and only if (ab>0). What is the correct type of the relation?
#real-numbers
#product-relation
#symmetric
#transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
D केवल परावर्ती है / Only reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
\(0\cdot0=0\), इसलिए (0) अपने आप से संबंधित नहीं है और परावर्तन नहीं है। / \(0\cdot0=0\), so (0) is not related to itself and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(ab>0) होने पर (ba>0), इसलिए सममितता है। / If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध धनात्मकों और ऋणात्मकों के अलग-अलग समूहों में बंद रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation stays within positive and negative groups separately, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a<b)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a<b). Choose the correct conclusion.
#strict-order
#transitive
#not-reflexive
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A संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित / Transitive but neither reflexive nor symmetric
B परावर्ती और संक्रामक है / Reflexive and transitive
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
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Correct Answer
A. संक्रामक है पर न परावर्ती न सममित / Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
कोई संख्या स्वयं से छोटी नहीं होती, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No number is less than itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(a<b) होने पर (b<a) नहीं हो सकता, इसलिए सममितता नहीं है। / If (a<b), then (b<a) cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(a<b) और (b<c) से (a<c), इसलिए संक्रामकता है। / From (a<b) and (b<c), we get (a<c), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\le b\)। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if \(a\le b\). What type of relation is it?
#order-relation
#reflexive
#transitive
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A परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित और संक्रामक है / Symmetric and transitive
D केवल सममित है / Only symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(1\le2\) is true but \(2\le1\) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a\le b\) and \(b\le c\) imply \(a\le c\), so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) सम हो। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is even. What type of relation is it?
#parity
#equivalence-relation
#types-of-relations
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं / Not reflexive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) सम है, इसलिए परावर्तन है। / (a+a=2a) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यह समान सम-विषम प्रकार का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है। / This is the same-parity relation, so it is transitive too.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a+b) विषम हो। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b) is odd. Choose the correct statement.
#parity
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=2a) सम होता है, इसलिए कोई तत्व स्वयं से संबंधित नहीं है। / (a+a=2a) is even, so no element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) विषम होने पर (b+a) भी विषम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). What are the equivalence classes?
#equivalence-classes
#divisibility
#partition
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A ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
B ({1,3,5}) और ({2,4,6}) / ({1,3,5}) and ({2,4,6})
C ({1,2,3}) और ({4,5,6}) / ({1,2,3}) and ({4,5,6})
D ({1,6}) और ({2,3,4,5}) / ({1,6}) and ({2,3,4,5})
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Correct Answer
A. ({3,6}) और ({1,2,4,5}) / ({3,6}) and ({1,2,4,5})
Step 1
Concept
(3) के गुणज एक वर्ग में रखे जाएंगे। / Multiples of (3) form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। / (3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) होंगे। / Hence the classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)\}\). Choose the correct statement.
#reflexive
#symmetric
#not-transitive
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+10 Time+ 10 sec extra
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A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Transitive but not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म दिए गए हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are given, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#types-of-relations
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((2,4)) के उल्टे भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। / Reverse pairs of ((1,3)) and ((2,4)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,3}) और ({2,4}) बंद समूह हैं, इसलिए संक्रामकता भी पूरी है। / ({1,3}) and ({2,4}) are closed blocks, so transitivity holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a,b) दोनों (2) से बड़े हों। संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both (a,b) are greater than (2). What type of relation is it?
#equivalence-relation
#partition
#conceptual
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
C परावर्ती नहीं है / Not reflexive
D सममित नहीं है / Not symmetric
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) के कारण हर स्वयुग्म संबंध में है। / Because of (a=b), every self-pair is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (2) से बड़े होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती। / The condition that both elements are greater than (2) is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1},{2},{3,4}) बनते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता है। / The classes are ({1},{2},{3,4}), so it is an equivalence relation.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब \(a^3=b^3\)। सही निष्कर्ष चुनिए।
On real numbers, (aRb) if and only if \(a^3=b^3\). Choose the correct conclusion.
#equivalence-relation
#cube-relation
#real-numbers
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल परावर्ती / Only reflexive
C सममित है पर संक्रामक नहीं / Symmetric but not transitive
D परावर्ती नहीं है / Not reflexive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए परावर्तन है। / For every (a), \(a^3=a^3\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान घन होने की शर्त दोनों दिशाओं में समान रहती है, इसलिए सममितता है। / Equality of cubes works in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रामकता है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी है जब (|a|=|b|)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) if and only if (|a|=|b|). What type of relation is it?
#absolute-value
#equivalence-relation
#real-numbers
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? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित / Only symmetric
C परावर्ती नहीं / Not reflexive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(|a|=|a|), इसलिए संबंध परावर्ती है। / (|a|=|a|), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान निरपेक्ष मान तीसरे तत्व तक भी समान रहता है, इसलिए संक्रामकता है। / Equality of absolute values passes through a third element, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर कौन सा संबंध सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं है?
Which relation on \(A=\{1,2,3\}\) is symmetric and transitive but not reflexive?
#symmetric
#transitive
#not-reflexive
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
B \(R=A\times A\)
C \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}\)
D \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं है। / Option A misses ((3,3)), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / All required pairs inside ({1,2}) are present, so it is transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर कौन सा संबंध केवल परावर्ती है, पर सममित और संक्रामक नहीं?
Which relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is reflexive only, but neither symmetric nor transitive?
#reflexive-only
#mcq
#types-of-relations
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? Hint Small clue
A \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)\}\)
B \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)
C \(R=A\times A\)
D \(R=\{(1,2),(2,1)\}\)
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Correct Answer
A. \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)\}\)
Step 1
Concept
विकल्प A में सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन है। / Option A contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is missing, so it is not transitive.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb), (bRc), (cRd) हैं, तो कौन सा निष्कर्ष अनिवार्य है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), (bRc), (cRd), which conclusion is necessary?
#equivalence-relation
#transitivity
#logical-conclusion
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? Hint Small clue
A (aRd)
B \(a\neq d\)
C (dRa) असंभव है / (dRa) is impossible
D (b) किसी से संबंधित नहीं होगा / (b) will not be related to anyone
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) और (bRc) से (aRc) मिलेगा, फिर (aRc) और (cRd) से (aRd) मिलेगा। / From (aRb) and (bRc), we get (aRc); then from (aRc) and (cRd), we get (aRd).
Step 3
Exam Tip
लंबी शृंखला में मध्य तत्वों को क्रम से हटाते चलें। / In a long chain, remove middle elements step by step.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो कौन सा कथन अनिवार्य है?
If (R) is an equivalence relation on a set and (aRb), which statement is necessary?
#equivalence-relation
#symmetry
#necessary-condition
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? Hint Small clue
A (bRa)
B हर (c) के लिए (aRc) / (aRc) for every (c)
C हर (c) के लिए (bRc) / (bRc) for every (c)
D (a) और (b) अलग होने ही चाहिए / (a) and (b) must be distinct
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में सममितता अनिवार्य होती है। / Symmetry is compulsory in an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
(aRb) होने पर सममितता से (bRa) मिलेगा। / If (aRb), symmetry gives (bRa).
Step 3
Exam Tip
किसी तीसरे तत्व से संबंध बिना अतिरिक्त सूचना के निश्चित नहीं होता। / Relation with any third element is not guaranteed without more information.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) तुल्यता संबंध है। यदि (1R2) और (2R4), तो कौन सा कथन अनिवार्य है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is an equivalence relation. If (1R2) and (2R4), which statement is necessary?
#equivalence-relation
#transitivity
#necessary-conclusion
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? Hint Small clue
A (1R4)
B (3R4)
C (1R3)
D (2R3)
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Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(1R2) और (2R4) से (1R4) मिलता है। / From (1R2) and (2R4), we get (1R4).
Step 3
Exam Tip
(3) से जुड़ा कोई निष्कर्ष बिना जानकारी के नहीं निकाला जा सकता। / No conclusion involving (3) can be drawn without more information.
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन चुनिए।
For the empty relation on a non-empty set (A), choose the correct statement.
#empty-relation
#vacuous-truth
#types-of-relations
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? Hint Small clue
A सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
B तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
C परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
D सार्वत्रिक संबंध है / It is the universal relation
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Correct Answer
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं / Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
अरिक्त समुच्चय पर परावर्तन के लिए स्वयुग्म चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / On a non-empty set, reflexivity needs self-pairs, but the empty relation has no pair.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म भी नहीं है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सममित और संक्रामक माना जाता है, पर परावर्ती नहीं। / Hence it is symmetric and transitive, but not reflexive.
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किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के लिए सही कथन कौन सा है?
For a non-empty set (A), which statement is correct for the universal relation \(A\times A\)?
#universal-relation
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह कभी परावर्ती नहीं होता / It is never reflexive
C यह सममित नहीं होता / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं होता / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह तुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में हर ((a,a)) होता है, इसलिए परावर्तन है। / The universal relation contains every ((a,a)), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है, इसलिए सममितता है। / For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सभी संभावित युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी होती है। / Since all possible pairs are present, transitivity also holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\) है। सही वर्गीकरण चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\). Choose the correct classification.
#identity-relation
#equivalence-relation
#types-of-relations
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल परावर्ती / Only reflexive
C परावर्ती नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
पहचान संबंध में सभी स्वयुग्म होते हैं, इसलिए परावर्तन है। / The identity relation has all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का उल्टा वही ((a,a)) है, इसलिए सममितता है। / The reverse of ((a,a)) is itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
स्वयुग्मों की शृंखला फिर स्वयुग्म ही देती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of self-pairs again gives a self-pair, so it is transitive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो परावर्ती संबंध में न्यूनतम कितने युग्म होने चाहिए?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what is the minimum number of pairs in a reflexive relation?
#reflexive-relation
#min-pairs
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (10)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयुग्म होना जरूरी है। / A reflexive relation must contain the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (5) तत्व हैं, इसलिए (5) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। / There are (5) elements, so (5) self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम स्थिति में केवल यही (5) युग्म होंगे। / In the minimum case, only these (5) pairs are present.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\) है। सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)\}\). Choose the correct statement.
#symmetric
#not-reflexive
#not-transitive
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C परावर्ती और सममित है / Reflexive and symmetric
D संक्रामक है पर सममित नहीं / Transitive but not symmetric
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Correct Answer
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं / Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई भी स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No self-pair is present, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर दिए गए युग्म का उल्टा भी मौजूद है, इसलिए सममितता है। / Every listed pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required but missing, so it is not transitive.
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