यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले प्रतिसममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (5) elements, how many antisymmetric relations can be formed on (A)?
#relations
#antisymmetric
#counting
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(2^5\cdot3^{10}\)
B \(2^{25}\)
C \(3^{25}\)
D \(2^{10}\cdot3^5\)
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Correct Answer
A. \(2^5\cdot3^{10}\)
Step 1
Concept
(5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (5) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements, each gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^5\cdot3^{10}\) होगी। / Hence the total number is \(2^5\cdot3^{10}\).
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यदि (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर सममित और अप्रतिवर्ती पर रिक्त नहीं होने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (4) elements, how many symmetric and irreflexive but non-empty relations are there on (A)?
#relations
#symmetric-irreflexive
#non-empty
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^6-1\)
B \(2^{10}-1\)
C \(3^6-1\)
D \(2^4-1\)
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Correct Answer
A. \(2^6-1\)
Step 1
Concept
अप्रतिवर्ती होने से कोई विकर्ण युग्म नहीं होगा। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र हैं। / Symmetry leaves (6) independent off-diagonal reverse-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^6\) में से रिक्त संबंध हटाने पर \(2^6-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing the empty relation from \(2^6\) gives \(2^6-1\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सममित और प्रतिसममित दोनों संबंधों की संख्या कितनी है?
How many relations on \(A=\{1,2,3,4\}\) are both symmetric and antisymmetric?
#relations
#symmetric-antisymmetric
#counting
#class12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^4\)
B \(2^6\)
C \(3^6\)
D \(2^{10}\)
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Correct Answer
A. \(2^4\)
Step 1
Concept
सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.
Step 2
Why this answer is correct
केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / Only diagonal pairs may be chosen freely.
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं। / With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\).
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो प्रतिवर्ती, सममित और प्रतिसममित तीनों गुण रखने वाले संबंधों की संख्या कितनी है?
If (A) has (5) elements, how many relations are reflexive, symmetric and antisymmetric all together?
#relations
#identity-relation
#combined-properties
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (1)
B \(2^5\)
C \(3^{10}\)
D \(2^{10}\)
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Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों को अनिवार्य बनाती है। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। / Symmetry together with antisymmetry allows no pair between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
केवल पहचान संबंध संभव है, इसलिए संख्या (1) है। / Only the identity relation is possible, so the number is (1).
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो (A) पर बनने वाले समतुल्यता संबंधों की कुल संख्या कितनी है?
If (A) has (5) elements, what is the total number of equivalence relations on (A)?
#relations
#equivalence-relations
#bell-number
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (25)
B (52)
C (15)
D (75)
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Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समुच्चय को असंयुक्त वर्गों में बांटता है। / An equivalence relation partitions a set into disjoint classes.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अवयवों के सभी संभावित विभाजनों की संख्या (52) होती है। / The number of partitions of a (5)-element set is (52).
Step 3
Exam Tip
इसलिए समतुल्यता संबंधों की संख्या भी (52) होगी। / Therefore the number of equivalence relations is (52).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक दो समतुल्यता वर्ग हों?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have exactly two equivalence classes?
#relations
#equivalence-classes
#partition
#counting
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (15)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
ठीक दो वर्ग बनाने का अर्थ है (5) अवयवों को दो अरिक्त भागों में बांटना। / Exactly two classes means splitting (5) elements into two non-empty parts.
Step 2
Why this answer is correct
अरिक्त उचित उपसमुच्चय \(2^5-2=30\) हैं, पर हर विभाजन दो बार गिना जाता है। / There are \(2^5-2=30\) non-empty proper subsets, but each partition is counted twice.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(\frac{30}{2}=15\) है। / Hence the number is \(\frac{30}{2}=15\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें दो वर्ग हों और दोनों का आकार (3) हो?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence relations have two classes both of size (3)?
#relations
#equivalence
#partition
#class-size
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (20)
C (30)
D (40)
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Step 1
Concept
एक तीन-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / A three-element class can be chosen in \(\binom{6}{3}=20\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरा वर्ग अपने आप बचा हुआ बन जाता है। / The remaining three elements automatically form the other class.
Step 3
Exam Tip
दोनों वर्गों की अदला-बदली से वही विभाजन मिलता है, इसलिए संख्या \(\frac{20}{2}=10\) है। / Since interchanging the two classes does not create a new partition, the count is \(\frac{20}{2}=10\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनके वर्गों के आकार (2,2,2) हों?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many equivalence relations have class sizes (2,2,2)?
#relations
#equivalence
#class-size
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (15)
C (20)
D (30)
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Step 1
Concept
छह अवयवों को तीन दो-अवयवी वर्गों में बांटना है। / We must split six elements into three two-element classes.
Step 2
Why this answer is correct
गिनती (\frac{6!}{(2!)3 \cdot3!}) होगी। / The count is (\frac{6!}{(2!)3 \cdot3!}).
Step 3
Exam Tip
इसका मान (15) है, इसलिए इतने समतुल्यता संबंध बनेंगे। / This equals (15), so there are (15) such equivalence relations.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1,2,3) एक ही वर्ग में हों?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have (1,2,3) in the same class?
#relations
#equivalence
#block-method
#partition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (5)
B (7)
C (10)
D (15)
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Step 1
Concept
(1,2,3) को एक संयुक्त समूह मान लें। / Treat (1,2,3) as one combined block.
Step 2
Why this answer is correct
अब तीन इकाइयां हैं: ({1,2,3},4,5)। / Now there are three units: ({1,2,3},4,5).
Step 3
Exam Tip
तीन इकाइयों के विभाजन (5) होते हैं, इसलिए उत्तर (5) है। / The number of partitions of three units is (5), so the answer is (5).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे समतुल्यता संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें (1) और (2) एक ही वर्ग में हों पर (3) उस वर्ग में न हो?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many equivalence relations have (1) and (2) in the same class but (3) not in that class?
#relations
#equivalence
#partition
#condition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (5)
B (10)
C (15)
D (20)
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Step 1
Concept
पहले (1) और (2) को साथ रखकर एक समूह मानें। / First treat (1) and (2) as one block.
Step 2
Why this answer is correct
(3) को उस समूह से अलग रहना है, जबकि (4) और (5) कहीं भी जुड़ सकते हैं। / Element (3) must not be in that block, while (4) and (5) may be placed freely.
Step 3
Exam Tip
कुल साथ वाले विभाजन (15) हैं और (1,2,3) साथ वाले (5) हैं, इसलिए (15-5=10) मिलते हैं। / Partitions with (1,2) together are (15), and those with (1,2,3) together are (5), so the answer is (15-5=10).
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a-b) संख्या (8) से विभाज्य हो। ( -3 ) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) iff (a-b) is divisible by (8). What is the equivalence class of (-3)?
#relations
#modulo
#equivalence-class
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \({8k:k\in\mathbb{Z}}\)
B \({8k+5:k\in\mathbb{Z}}\)
C \({8k+3:k\in\mathbb{Z}}\)
D \({-3k:k\in\mathbb{Z}}\)
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Correct Answer
B. \({8k+5:k\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
(-3) को (8) के शेषफल रूप में (8k+5) लिखा जा सकता है। / (-3) has the same remainder as (5) modulo (8).
Step 2
Why this answer is correct
उसी वर्ग में वे सभी पूर्णांक होंगे जिनका शेष (5) है। / Its class contains all integers of the form (8k+5).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक प्रतिनिधि को धनात्मक शेषफल में बदलना परीक्षा में गलती कम करता है। / Converting a negative representative to a positive remainder helps avoid mistakes.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (3a+4b), (7) से विभाज्य हो। यह संबंध किस प्रकार का है?
On integers, (aRb) iff (3a+4b) is divisible by (7). What type of relation is it?
#relations
#modular-relation
#equivalence
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A समतुल्यता संबंध / equivalence relation
B केवल प्रतिवर्ती / reflexive only
C केवल सममित / symmetric only
D प्रतिवर्ती नहीं / not reflexive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / equivalence relation
Step 1
Concept
(3a+4a=7a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (3a+4a=7a), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) से \(a\equiv b \pmod{7}\) मिलता है, इसलिए दिशा बदलने पर भी शर्त रहती है। / \(3a+4b\equiv 0 \pmod{7}\) gives \(a\equiv b \pmod{7}\), so reversing the order also works.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल का संबंध संक्रामी होता है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Same-remainder relations are transitive, so this is an equivalence relation.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (2a+2b), (4) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?
On integers, (aRb) iff (2a+2b) is divisible by (4). What type of relation is it?
#relations
#parity
#equivalence
#integers
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A समतुल्यता संबंध / equivalence relation
B सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / symmetric but not reflexive
C प्रतिवर्ती पर सममित नहीं / reflexive but not symmetric
D संक्रामी नहीं / not transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / equivalence relation
Step 1
Concept
(2a+2a=4a), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / (2a+2a=4a), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(2a+2b) में (a) और (b) की भूमिका समान है, इसलिए सममितता है। / (2a+2b) treats (a) and (b) equally, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
शर्त का अर्थ है (a+b) सम है, यानी दोनों की समता समान है; इसलिए संक्रामकता भी है। / The condition means (a+b) is even, so (a) and (b) have the same parity; hence transitivity holds.
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी जब (a+b) सम हो। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) iff (a+b) is even. What is the equivalence class of (1)?
#relations
#equivalence-class
#parity
#integers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A सभी सम पूर्णांक / all even integers
B सभी विषम पूर्णांक / all odd integers
C सभी पूर्णांक / all integers
D केवल ({1}) / only ({1})
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Correct Answer
B. सभी विषम पूर्णांक / all odd integers
Step 1
Concept
(1+b) सम तभी होगा जब (b) विषम हो। / (1+b) is even exactly when (b) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) का वर्ग सभी विषम पूर्णांकों का समुच्चय है। / Therefore the class of (1) is the set of all odd integers.
Step 3
Exam Tip
समता आधारित संबंधों में वर्गों को सम और विषम समूहों में पहचानें। / In parity-based relations, identify even and odd groups first.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Z}\)। \(\frac{1}{2}\) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?
On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Z}\). What is the equivalence class of \(\frac{1}{2}\)?
#relations
#equivalence-class
#integer-difference
#real-numbers
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\mathbb{Z}\)
B \({\frac{1}{2}+n:n\in\mathbb{Z}}\)
C \({\frac{n}{2}:n\in\mathbb{Z}}\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
B. \({\frac{1}{2}+n:n\in\mathbb{Z}}\)
Step 1
Concept
किसी (x) के लिए \(x-\frac{1}{2}\) पूर्णांक होना चाहिए। / A number (x) must satisfy \(x-\frac{1}{2}\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\frac{1}{2}+n\), जहां \(n\in\mathbb{Z}\)। / Hence \(x=\frac{1}{2}+n\), where \(n\in\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय प्रतिनिधि में अनुमत पूर्णांक अंतर जोड़ें। / To write the class, add all allowed integer differences to the representative.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a-b\in\mathbb{Q}\)। नीचे में कौन सा वर्ग \([\sqrt{2}]\) के बराबर है?
On real numbers, (aRb) iff \(a-b\in\mathbb{Q}\). Which class is equal to \([\sqrt{2}]\)?
#relations
#equivalence-class
#rational-difference
#expert
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A \([2\sqrt{2}]\)
B \([\sqrt{2}+3]\)
C \([\sqrt{3}]\)
D ([0])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \([\sqrt{2}+3]\)
Step 1
Concept
दो वर्ग समान होंगे जब उनके प्रतिनिधियों का अंतर परिमेय हो। / Two classes are equal when the difference of their representatives is rational.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), जो परिमेय है। / (\(\sqrt{2}+3\)-\sqrt{2}=3), which is rational.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\) है। / Therefore \([\sqrt{2}+3]=[\sqrt{2}]\).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2=b^2\)। (0) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?
On real numbers, (aRb) iff \(a^2=b^2\). What is the equivalence class of (0)?
#relations
#equivalence-class
#squares
#zero
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({0})
B ({-0,0})
C \(\mathbb{R}\)
D ({-1,0,1})
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(xR0) के लिए \(x^2=0^2\) होना चाहिए। / For (xR0), we need \(x^2=0^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x^2=0\), इसलिए केवल (x=0) मिलेगा। / This gives \(x^2=0\), so (x=0) only.
Step 3
Exam Tip
शून्य का ऋणात्मक और धनात्मक रूप अलग अवयव नहीं होते। / Negative zero and positive zero are not distinct elements.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) iff \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What type of relation is it?
#relations
#floor-function
#equivalence
#real-numbers
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A समतुल्यता संबंध / equivalence relation
B केवल प्रतिवर्ती / reflexive only
C केवल सममित / symmetric only
D संक्रामी नहीं / not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / equivalence relation
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए प्रतिवर्तिता है। / For every (a), \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी पलटने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान पूर्णांक भाग की शृंखला आगे भी समान पूर्णांक भाग देती है, इसलिए संक्रामकता है। / Having the same greatest-integer value passes through a middle element, so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। \(\frac{5}{2}\) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?
On real numbers, (aRb) iff \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What is the equivalence class of \(\frac{5}{2}\)?
#relations
#equivalence-class
#floor-function
#expert
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A ([2,3))
B ((2,3])
C ([1,2))
D ([3,4))
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Correct Answer
A. ([2,3))
Step 1
Concept
\(\frac{5}{2}=2.5\) का पूर्णांक भाग (2) है। / \(\frac{5}{2}=2.5\) has greatest-integer value (2).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। / Real numbers with greatest-integer value (2) lie in ([2,3)).
Step 3
Exam Tip
दाएं सिरे (3) को शामिल न करें क्योंकि उसका पूर्णांक भाग (3) है। / Do not include the right endpoint (3), because its greatest-integer value is (3).
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a-b|=0)। यह संबंध कैसा है?
On real numbers, (aRb) iff (|a-b|=0). What type of relation is it?
#relations
#identity-relation
#absolute-value
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
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A पहचान संबंध और समतुल्यता संबंध / identity relation and equivalence relation
B केवल सममित / symmetric only
C प्रतिवर्ती नहीं / not reflexive
D संक्रामी नहीं / not transitive
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Correct Answer
A. पहचान संबंध और समतुल्यता संबंध / identity relation and equivalence relation
Step 1
Concept
(|a-b|=0) तभी होता है जब (a=b)। / (|a-b|=0) holds exactly when (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म हैं। / Thus the relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
यह पहचान संबंध है और प्रतिवर्ती, सममित तथा संक्रामी भी है। / It is the identity relation and is reflexive, symmetric and transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब (|a|<|b|)। कौन सा कथन सही है?
On real numbers, (aRb) iff (|a|<|b|). Which statement is correct?
#relations
#absolute-value
#transitive
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी / neither reflexive nor symmetric but transitive
B प्रतिवर्ती और संक्रामी / reflexive and transitive
C सममित पर संक्रामी नहीं / symmetric but not transitive
D समतुल्यता संबंध / equivalence relation
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Correct Answer
A. न प्रतिवर्ती, न सममित, पर संक्रामी / neither reflexive nor symmetric but transitive
Step 1
Concept
(|a|<|a|) कभी सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
Step 2
Why this answer is correct
(|1|<|2|) सही है पर (|2|<|1|) गलत, इसलिए सममित नहीं है।
Step 3
Exam Tip
यदि (|a|<|b|) और (|b|<|c|), तो (|a|<|c|), इसलिए संक्रामी है। / If (|a|<|b|) and (|b|<|c|), then (|a|<|c|), so it is transitive.
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वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तभी जब \(a^2+b^2=1\)। यह संबंध किस गुण को पूरा करता है?
On real numbers, (aRb) iff \(a^2+b^2=1\). Which property does this relation satisfy?
#relations
#real-numbers
#symmetric
#not-transitive
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A केवल सममित / symmetric only
B प्रतिवर्ती और सममित / reflexive and symmetric
C समतुल्यता संबंध / equivalence relation
D संक्रामी संबंध / transitive relation
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Correct Answer
A. केवल सममित / symmetric only
Step 1
Concept
\(a^2+b^2=1\) में (a) और (b) की जगह बदलने से शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition \(a^2+b^2=1\) is unchanged when (a) and (b) are interchanged, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) पर \(2a^2=1\) सही नहीं, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / \(2a^2=1\) is not true for every (a), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,0)) और ((0,1)) हैं, पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / ((1,0)) and ((0,1)) belong, but ((1,1)) does not, so it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=6\}\). What type of relation is it?
#relations
#sum-condition
#symmetric
#not-transitive
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A सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी / symmetric but neither reflexive nor transitive
B समतुल्यता संबंध / equivalence relation
C प्रतिवर्ती और सममित / reflexive and symmetric
D केवल संक्रामी / transitive only
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Correct Answer
A. सममित पर न प्रतिवर्ती और न संक्रामी / symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+b=6) हो तो (b+a=6) भी होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
सभी ((a,a)) नहीं हैं, जैसे ((1,1)) नहीं है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Not all diagonal pairs are present, for example ((1,1)) is absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामी नहीं है। / From ((1,5)) and ((5,1)), transitivity would need ((1,1)), which is absent.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\) है। कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le6\}\). Which statement is correct?
#relations
#inequality
#symmetric
#not-reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं / symmetric but not reflexive
B प्रतिवर्ती है पर सममित नहीं / reflexive but not symmetric
C समतुल्यता संबंध है / it is an equivalence relation
D संक्रामी है / it is transitive
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Correct Answer
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं / symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
\(a+b\le6\) होने पर \(b+a\le6\) भी होगा, इसलिए सममितता है। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((5,5)) नहीं है क्योंकि \(10\le6\) गलत है, इसलिए प्रतिवर्तिता नहीं है। / ((5,5)) is absent because \(10\le6\) is false, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) और ((5,1)) हैं, पर ((1,1)) है; फिर भी ((2,4)) और ((4,2)) से समस्या नहीं; संक्रामकता को ((5,1)) और ((1,5)) से ((5,5)) चाहिए, जो नहीं है। / Since ((5,1)) and ((1,5)) are present but ((5,5)) is absent, it is not transitive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R={(a,b):a+b\) संख्या (4) से विभाज्य है(}) में कुल कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in \(R={(a,b):a+b\) is divisible by (4)(})?
#relations
#modulo
#counting-pairs
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (5)
B (6)
C (7)
D (8)
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर शेष (0) वाला (4), शेष (1) वाले (1,5), शेष (2) वाला (2), और शेष (3) वाला (3) है। / Modulo (4), the counts are remainder (0:1), remainder (1:2), remainder (2:1), and remainder (3:1).
Step 2
Why this answer is correct
योग विभाज्य होने के लिए शेष जोड़े ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)) चाहिए। / Sum divisible by (4) needs remainder pairs ((0,0),(1,3),(3,1),(2,2)).
Step 3
Exam Tip
गिनती \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\) होगी। / The count is \(1\cdot1+2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1=6\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R={(a,b):a-b\) संख्या (3) से विभाज्य है(}) में कुल कितने युग्म हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), how many pairs are in \(R={(a,b):a-b\) is divisible by (3)(})?
#relations
#modulo
#counting-pairs
#equivalence
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (10)
B (12)
C (14)
D (18)
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर तीनों शेष वर्गों में दो-दो अवयव हैं। / Each of the three remainder classes modulo (3) has two elements.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष वाले क्रमित युग्म ही संबंध में आएंगे। / Only ordered pairs with the same remainder belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(2^2+2^2+2^2=12\) होगी। / The total number is \(2^2+2^2+2^2=12\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) में ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) में से कौन से युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), for \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\), which of ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) belong to (R)?
#relations
#gcd
#ordered-pairs
#class12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल ((2,3)) / only ((2,3))
B केवल ((2,4)) / only ((2,4))
C ((2,3)) और ((5,6)) / ((2,3)) and ((5,6))
D तीनों / all three
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Correct Answer
C. ((2,3)) और ((5,6)) / ((2,3)) and ((5,6))
Step 1
Concept
(\gcd(2,3)=1), इसलिए ((2,3)) संबंध में है। / (\gcd(2,3)=1), so ((2,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(2,4)=2), इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। / (\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) does not belong.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(5,6)=1), इसलिए ((5,6)) भी संबंध में है। / (\gcd(5,6)=1), so ((5,6)) also belongs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\) पर विभाज्यता संबंध में (6) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), what is the least upper bound of (6) and (8)?
#relations
#partial-order
#lub
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (24)
C (8)
D (6)
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Step 1
Concept
ऊपरी बाध्य वह होगा जिसे (6) और (8) दोनों विभाजित करें। / An upper bound must be divisible by both (6) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (24) ऐसा अवयव है और (12) को (8) विभाजित नहीं करता। / In (A), (24) works, while (12) is not divisible by (8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (24) है। / Therefore the least upper bound is (24).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\) पर विभाज्यता संबंध में (8) और (12) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\), what is the greatest lower bound of (8) and (12)?
#relations
#partial-order
#glb
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (4)
D (6)
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Step 1
Concept
निचला बाध्य वह है जो (8) और (12) दोनों को विभाजित करे। / A lower bound must divide both (8) and (12).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,4) ऐसे अवयव हैं। / The elements (1,2,4) satisfy this.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है। / Under divisibility, the greatest among them is (4).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,12,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम अवयवों की संख्या कितनी है?
In the divisibility relation on \(A=\{2,4,6,12,18\}\), how many maximal elements are there?
#relations
#maximal-elements
#divisibility
#partial-order
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
अधिकतम अवयव वह है जिसके ऊपर समुच्चय में कोई अलग अवयव न हो। / A maximal element has no distinct element above it in the set.
Step 2
Why this answer is correct
(12) को (A) का कोई बड़ा अवयव विभाजित रूप में ऊपर नहीं ले जाता और (18) के लिए भी ऐसा ही है। / Neither (12) nor (18) divides another distinct element of (A).
Step 3
Exam Tip
(2,4,6) ऊपर किसी न किसी अवयव से जुड़े हैं, इसलिए अधिकतम अवयव (12) और (18) हैं। / Elements (2,4,6) have elements above them, so the maximal elements are (12) and (18).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,12,18\}\) पर विभाज्यता संबंध में न्यूनतम अवयवों की संख्या कितनी है?
In the divisibility relation on \(A=\{2,4,6,12,18\}\), how many minimal elements are there?
#relations
#minimal-elements
#divisibility
#expert
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? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
न्यूनतम अवयव के नीचे समुच्चय का कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। / A minimal element has no distinct element below it.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के नीचे कोई अलग अवयव नहीं है। / There is no distinct element of (A) below (2).
Step 3
Exam Tip
(4,6,12,18) सभी के नीचे (2) या कोई अन्य अवयव है, इसलिए केवल (1) न्यूनतम अवयव है। / Each of (4,6,12,18) has (2) or another element below it, so there is only (1) minimal element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में कुल कितने तुलनीय जोड़े ({a,b}) हैं, जहां \(a\ne b\)?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), how many comparable unordered pairs ({a,b}) with \(a\ne b\) are there?
#relations
#partial-order
#comparability
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (4)
B (5)
C (6)
D (3)
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Step 1
Concept
तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। / Two elements are comparable if one divides the other.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़े हैं ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6})। / The comparable pairs are ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6}).
Step 3
Exam Tip
({2,3}) तुलनीय नहीं है, इसलिए कुल (5) तुलनीय जोड़े हैं। / ({2,3}) is not comparable, so the count is (5).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम श्रृंखला में कितने अवयव होंगे?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), how many elements can a longest chain contain?
#relations
#chain
#partial-order
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
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A (2)
B (3)
C (4)
D (1)
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Step 1
Concept
एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a chain, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\mid6\) और \(1\mid3\mid6\) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। / \(1\mid2\mid6\) and \(1\mid3\mid6\) are chains of three elements.
Step 3
Exam Tip
(2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती। / Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible.
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (2) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the least upper bound of (2) and (8)?
#relations
#lub
#divisibility
#partial-order
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2)
B (4)
C (8)
D (16)
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Step 1
Concept
ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। / An upper bound must be divisible by both (2) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
(8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। / (8) and (16) are upper bounds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है। / Under divisibility, the least among them is (8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (4) और (16) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the greatest lower bound of (4) and (16)?
#relations
#glb
#divisibility
#partial-order
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (1)
B (2)
C (4)
D (8)
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Step 1
Concept
निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। / A lower bound must divide both (4) and (16).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। / (1,2,4) are lower bounds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है। / Under divisibility, the greatest among them is (4).
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यदि (R) किसी समुच्चय पर प्रतिवर्ती और संक्रामी है, तो \(R\circ R\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive and transitive on a set, which statement about \(R\circ R\) is always true?
#relations
#composition
#reflexive-transitive
#proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R\circ R=R\)
B \(R\circ R=\varnothing\)
C \(R\circ R=A\times A\)
D \(R\cap R\circ R=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(R\circ R=R\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता से \(R\subseteq R\circ R\) मिलता है। / Reflexivity gives \(R\subseteq R\circ R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। / Transitivity gives \(R\circ R\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
दोनों समावेशन मिलाकर \(R\circ R=R\) होता है। / Combining both inclusions gives \(R\circ R=R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\)?
#relations
#composition
#ordered-pairs
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,4)})
C ({(1,2),(2,3),(3,4)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(1,3),(2,4)})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलता है। / ((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4)).
Step 3
Exam Tip
दो चरणों की और कोई शृंखला नहीं है, इसलिए यही \(R\circ R\) है। / There is no other two-step chain, so this is \(R\circ R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\circ R\) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\circ R\)?
#relations
#composition
#powers-of-relation
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,4)})
C ({(1,2),(2,3),(3,4)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
B. ({(1,4)})
Step 1
Concept
तीन बार संयोजन का अर्थ तीन चरणों की शृंखला है। / A triple composition represents a three-step chain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\to2\to3\to4\) एकमात्र तीन-चरण शृंखला है। / Here \(1\to2\to3\to4\) is the only three-step chain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (R\circ R\circ R={(1,4)}) होगा। / Therefore (R\circ R\circ R={(1,4)}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) का \(R\circ R\) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), for \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair will not belong to \(R\circ R\)?
#relations
#composition
#ordered-pairs
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
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A ((1,1))
B ((1,3))
C ((3,1))
D ((1,2))
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Correct Answer
D. ((1,2))
Step 1
Concept
\(1\to2\to1\) से ((1,1)) और \(1\to2\to3\) से ((1,3)) मिलता है। / \(1\to2\to1\) gives ((1,1)), and \(1\to2\to3\) gives ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\to2\to1\) से ((3,1)) भी मिलता है। / \(3\to2\to1\) gives ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
(1) से (2) तक दो चरणों की शृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,2)) नहीं होगा। / There is no two-step chain from (1) to (2), so ((1,2)) is not in \(R\circ R\).
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यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\circ R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\circ R^{-1}\) is correct?
#relations
#composition
#inverse
#symmetric
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A यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
B यह हमेशा रिक्त होगा / it will always be empty
C यह हमेशा पहचान संबंध होगा / it will always be the identity relation
D यह कभी सममित नहीं होगा / it will never be symmetric
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Correct Answer
A. यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\circ R^{-1}\) में \(R^{-1}\) की जगह (R) रख सकते हैं। / So in \(R\circ R^{-1}\), we may replace \(R^{-1}\) by (R).
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\circ R^{-1}=R\circ R\)। / Hence \(R\circ R^{-1}=R\circ R\).
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किसी संबंध (R) के लिए (\(R^{-1}\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
For any relation (R), what is (\(R^{-1}\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse-relation
#basic-property
#class12
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A (R)
B \(R^{-1}\)
C \(\varnothing\)
D \(A\times A\)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। / Taking the inverse reverses every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। / Reversing twice brings each pair back to its original direction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(R^{-1}\)^{-1}=R) होता है। / Therefore (\(R^{-1}\)^{-1}=R).
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यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cup S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cup S\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse
#union
#sets
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A \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
B \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
C \(R\cup S^{-1}\)
D \(R^{-1}-S^{-1}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
Step 1
Concept
संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। / A pair in the union comes from (R) or from (S).
Step 2
Why this answer is correct
यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। / Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है। / Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).
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यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cap S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cap S\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse
#intersection
#sets
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A \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
B \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
C \(R\cap S^{-1}\)
D \(R^{-1}-S\)
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Correct Answer
B. \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
Step 1
Concept
प्रतिच्छेद में युग्म तभी होगा जब वह (R) और (S) दोनों में हो। / A pair is in the intersection only when it belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
उसका उल्टा तब \(R^{-1}\) और \(S^{-1}\) दोनों में होगा। / Its reverse then belongs to both \(R^{-1}\) and \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}) है। / Therefore (\(R\cap S\)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}).
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यदि \(R\subseteq S\), तो प्रतिलोम संबंधों के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(R\subseteq S\), which statement about inverse relations is correct?
#relations
#inverse
#subset
#proof
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A \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)
B \(S^{-1}\subseteq R^{-1}\)
C \(R^{-1}=S\)
D \(S^{-1}=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से \((b,a)\in S\) भी होगा। / Since \(R\subseteq S\), \((b,a)\in S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((a,b)\in S^{-1}\), अतः \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\)। / Therefore \((a,b)\in S^{-1}\), so \(R^{-1}\subseteq S^{-1}\).
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यदि (R) संक्रामी संबंध है, तो \(R^3\subseteq R\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is transitive, which statement about \(R^3\subseteq R\) is correct?
#relations
#transitive
#powers-of-relation
#expert
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? Hint Small clue
A यह हमेशा सत्य है / it is always true
B यह हमेशा असत्य है / it is always false
C यह केवल रिक्त संबंध के लिए सत्य है / it is true only for the empty relation
D इसका निर्णय नहीं हो सकता / it cannot be decided
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Correct Answer
A. यह हमेशा सत्य है / it is always true
Step 1
Concept
संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। / Transitivity gives \(R\circ R\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(R^3=R\circ R\circ R\) है। / \(R^3=R\circ R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
पहले दो चरणों को (R) में समेटने पर \(R^3\subseteq R\) मिलता है। / Combining the first two factors into (R) shows \(R^3\subseteq R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\) को संक्रामी बनाने के लिए नीचे में कौन सा युग्म अवश्य जोड़ना पड़ेगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\), which pair must be added to make it transitive?
#relations
#transitive-closure
#mandatory-pair
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,1))
B ((4,1))
C ((3,2))
D ((4,4))
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Correct Answer
A. ((1,1))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए इनसे ((1,1)) का होना आवश्यक है। / Transitivity requires ((1,1)) from these two pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,1)) उन युग्मों में से है जिसे अवश्य जोड़ना पड़ेगा। / Therefore ((1,1)) is a compulsory pair to add.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\) के संक्रामी आवरण में नीचे में कौन सा युग्म होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair will belong to the transitive closure of \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)\}\)?
#relations
#transitive-closure
#reachability
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,4))
B ((4,1))
C ((3,1))
D ((4,2))
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Correct Answer
A. ((1,4))
Step 1
Concept
\(1\to2\), \(2\to3\), और \(3\to4\) की शृंखला बनती है। / There is a chain \(1\to2\), \(2\to3\), and \(3\to4\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी आवरण सभी पहुंच योग्य युग्म जोड़ता है। / The transitive closure adds all reachable pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) से (4) तक पहुंच होने के कारण ((1,4)) शामिल होगा। / Since (4) is reachable from (1), ((1,4)) will be included.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(4,4)\}\)?
#relations
#equivalence-closure
#classes
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (9)
B (10)
C (12)
D (16)
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Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) के कारण (1,2,3) एक ही वर्ग में होंगे। / Because of ((1,2)) and ((2,3)), elements (1,2,3) must be in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / Element (4) remains a singleton class.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म मिलकर (10) युग्म देते हैं। / The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(4,5)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(4,5)\}\)?
#relations
#equivalence-closure
#counting
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (10)
B (12)
C (13)
D (25)
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Step 1
Concept
(1,2,3) एक वर्ग में जुड़ते हैं। / Elements (1,2,3) are connected into one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4,5) दूसरा वर्ग बनाते हैं। / Elements (4,5) form another class.
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग से \(3^2=9\) और दूसरे से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, कुल (13)। / The first class gives \(3^2=9\) pairs and the second gives \(2^2=4\), so the total is (13).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\)?
#relations
#equivalence-closure
#ordered-pairs
#expert
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (9)
B (10)
C (12)
D (16)
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Step 1
Concept
दिए गए युग्म (1,2,3) को एक ही वर्ग में जोड़ देते हैं। / The given pairs connect (1,2,3) into one equivalence class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) किसी से जुड़ा नहीं है, इसलिए वह अकेला वर्ग बनेगा। / Element (4) is not connected to them, so it forms a singleton class.
Step 3
Exam Tip
(3) अवयवों के वर्ग से (9) युग्म और अकेले वर्ग से (1) युग्म, कुल (10) होंगे। / The three-element class gives (9) pairs and the singleton class gives (1), totaling (10).
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