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(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\).
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। / Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। / Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे। / Therefore the required number is \(2^6-1\).
प्रतिवर्ती संबंध में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation must contain all (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध अप्रतिवर्ती नहीं हो सकता, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / On a non-empty set, a reflexive relation cannot be irreflexive, so the count is \(2^{12}\).
कुल संबंध \(2^9\) हैं और सममित संबंध \(2^6\) हैं। / Total relations are \(2^9\), and symmetric relations are \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध \(2^3\cdot3^3\) हैं। दोनों गुण साथ होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जाते हैं, इसलिए \(2^3\) संबंध हैं। / Antisymmetric relations are \(2^3\cdot3^3\), and relations having both properties are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण से उत्तर \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\) है। / By inclusion-exclusion, the answer is \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\).
(5) अवयवों को (4) वर्गों में बांटने के लिए एक वर्ग में (2) अवयव होंगे और बाकी अकेले होंगे। / To split (5) elements into (4) classes, one class must have (2) elements and the others must be singletons.
Step 2
Why this answer is correct
दो-अवयवी वर्ग चुनने के तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The two-element class can be chosen in \(\binom{5}{2}=10\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी अवयव अपने-अपने वर्ग बनाते हैं। / The remaining elements form singleton classes.
पांच अवयवों को तीन वर्गों में बांटने के आकार (3,1,1) या (2,2,1) हो सकते हैं। / Splitting five elements into three classes can have sizes (3,1,1) or (2,2,1).
Step 2
Why this answer is correct
(3,1,1) के लिए \(\binom{5}{3}=10\) और (2,2,1) के लिए \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) तरीके हैं। / For (3,1,1), there are \(\binom{5}{3}=10\) ways; for (2,2,1), there are \(\frac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{2}=15\) ways.
Step 3
Exam Tip
कुल (10+15=25) संबंध होंगे। / Total equivalence relations are (10+15=25).
(1) और (2) को एक साथ एक नए संयुक्त अवयव की तरह सोचें। / Treat (1) and (2) together as one combined block.
Step 2
Why this answer is correct
अब कुल तीन इकाइयां हैं: ({1,2},3,4)। / Now there are three units: ({1,2},3,4).
Step 3
Exam Tip
तीन इकाइयों के विभाजनों की संख्या (5) होती है, इसलिए इतने ही संबंध बनेंगे। / The number of partitions of three units is (5), so there are (5) relations.
प्रतिवर्तिता के लिए (a+2a=3a) हर पूर्णांक (a) पर (4) से विभाज्य होना चाहिए। / For reflexivity, (a+2a=3a) must be divisible by (4) for every integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) लेने पर (3) मिलता है, जो (4) से विभाज्य नहीं है। / For (a=1), this gives (3), which is not divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
एक ही विरोधी उदाहरण प्रतिवर्तिता को असफल दिखाने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to show that reflexivity fails.
यदि (aRb) है, तो (b-a) और (b+a) भी पूर्णांक होंगे, इसलिए सममितता है। / If (aRb), then (b-a) and (b+a) are also integers, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्तिता के लिए \(2a\in\mathbb{Z}\) हर वास्तविक (a) पर चाहिए, जो सही नहीं है। / Reflexivity would require \(2a\in\mathbb{Z}\) for every real (a), which is false.
Step 3
Exam Tip
\(0R\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}R1\) सही हैं, पर (0R1) गलत है क्योंकि (0-1) पूर्णांक है पर (0+1) पूर्णांक है; ध्यान से देखें, यह सही है; इसलिए बेहतर विरोधी \(\frac{1}{4}R\frac{3}{4}\) और \(\frac{3}{4}R\frac{5}{4}\) नहीं बनता। वास्तविक जांच में यह संबंध संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं, इसलिए केवल सममित कहना उचित है। / The condition is not reflexive on all real numbers, so it cannot be an equivalence relation.
\(\sqrt{2}\) से संबंधित संख्या (x) के लिए \(x-\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। / A number (x) related to \(\sqrt{2}\) must satisfy \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / Hence \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in\mathbb{Q}\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय शर्त को सीधे चल रूप में बदलें। / Convert the defining condition directly into set-builder form.
([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। / ([0]) contains all rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। / \(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो। / An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए प्रतिवर्तिता है।
Step 2
Why this answer is correct
दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममितता है। / Distance is the same in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) hold, but (0R1.2) fails; hence it is not transitive.
B. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(ab>0) का अर्थ है दोनों संख्याएं समान चिह्न की और शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means both numbers have the same non-zero sign.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त पलटने पर नहीं बदलती, इसलिए सममित है। / The condition is unchanged when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान चिह्न वाली शृंखला संक्रामी है, पर (0R0) गलत है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / Same sign passes through a middle element, but (0R0) is false; hence it is not reflexive.
समान शेष का अर्थ यहां समान समता है। / Same remainder here means same parity.
Step 2
Why this answer is correct
एक वर्ग विषम संख्याओं ({1,3,5}) का और दूसरा सम संख्याओं ({2,4,6}) का बनेगा। / One class is ({1,3,5}) and the other is ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
शेषफल की संख्या अक्सर वर्गों की संख्या बताती है, पर खाली वर्ग न गिनें। / The number of possible remainders often gives the number of classes, but do not count empty classes.
\(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) होने पर \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\), then \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) नहीं है क्योंकि \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / ((1,1)) is absent because \(1+1\equiv 2 \pmod{3}\), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R1) सही हैं, पर (1R1) गलत है, इसलिए संक्रामी नहीं। / (1R2) and (2R1) hold, but (1R1) fails, so it is not transitive.
(1) सभी (6) अवयवों को विभाजित करता है। / (1) divides all (6) elements.
Step 2
Why this answer is correct
(2) चार अवयवों (2,4,6,12) को, (3) तीन अवयवों (3,6,12) को, (4) दो अवयवों (4,12) को, (6) दो अवयवों (6,12) को और (12) केवल (12) को विभाजित करता है। / (2) divides (2,4,6,12); (3) divides (3,6,12); (4) divides (4,12); (6) divides (6,12); and (12) divides (12).
Step 3
Exam Tip
कुल (6+4+3+2+2+1=18) नहीं; सही जोड़ (18) है, इसलिए विकल्प (18) चुनें। / The total is (6+4+3+2+2+1=18), so the correct answer is (18).
निचला बाध्य वह है जो (4) और (6) दोनों को विभाजित करे। / A lower bound must divide both (4) and (6).
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) दोनों निचले बाध्य हैं। / Both (1) and (2) are lower bounds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें बड़ा (2) है, इसलिए महानतम निचला बाध्य (2) है। / Under divisibility, (2) is greater than (1), so the greatest lower bound is (2).
(1) और (2) एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) must be in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / (3) remains as a singleton class.
Step 3
Exam Tip
वर्ग ({1,2}) से \(2^2=4\) युग्म और ({3}) से (1) युग्म मिलेगा, कुल (5)। / The class ({1,2}) gives \(2^2=4\) pairs, and ({3}) gives (1) pair, making (5) pairs total.
(1,2,3) एक ही वर्ग में जुड़ जाते हैं। / (1,2,3) get connected into one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अलग अकेला वर्ग रहेगा। / (4) remains a singleton class.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) से \(3^2=9\) युग्म और ({4}) से (1) युग्म, कुल (10) युग्म होंगे। / The class ({1,2,3}) gives \(3^2=9\) pairs and ({4}) gives (1), so the total is (10).
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)).
Step 3
Exam Tip
(3) से जुड़ा कोई युग्म नहीं है, इसलिए ((3,3)) जोड़ना संक्रामकता के लिए जरूरी नहीं। / No pair involving (3) creates a chain, so ((3,3)) is not required for transitivity.
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित है, इसलिए \((b,a)\in R\); (S) सममित है, इसलिए यदि \((b,a)\in S\) होता तो \((a,b)\in S\) भी होता। / Since (R) is symmetric, \((b,a)\in R\); since (S) is symmetric, \((b,a)\in S\) would imply \((a,b)\in S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\notin S\) और \((b,a)\in R-S\)। / Hence \((b,a)\notin S\), so \((b,a)\in R-S\).
B. यह कभी प्रतिवर्ती नहीं होगा/it is never reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने से सभी विकर्ण युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / Since both relations are reflexive, all diagonal pairs lie in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) में वे युग्म हट जाते हैं जो (S) में भी हैं। / In (R-S), pairs that also lie in (S) are removed.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R-S) में नहीं रहेगा, अतः यह प्रतिवर्ती नहीं हो सकता। / Therefore no diagonal pair remains in (R-S), so it cannot be reflexive.
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), it lies in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे या उसी भाग से संघ में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) lies in the other or same part of the union.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) हमेशा सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
\((a,c)\in R\circ R\) का अर्थ है कि कोई (b) है जिसके लिए \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\)। / \((a,c)\in R\circ R\) means there is some (b) such that \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) संक्रामी है, इसलिए \((a,c)\in R\)। / Since (R) is transitive, \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\circ R\) हमेशा (R) का उपसमुच्चय होगा। / Hence \(R\circ R\subseteq R\).
