Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गाउस नियम में कुल फ्लक्स केवल बंद कुल आवेश पर निर्भर करता है। / In Gauss's law, total flux depends only on enclosed net charge.
Step 2
Why this answer is correct
आवेश अंदर ही है इसलिए बंद आवेश नहीं बदला। / The charge is still inside, so enclosed charge is unchanged.
Step 3
Exam Tip
वितरण बदल सकता है पर कुल फ्लक्स नहीं बदलता, इसलिए स्थिति देखकर जल्दबाजी न करें। / Distribution may change but total flux does not, so do not judge only from position.
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
A. (NFIA) और शुद्ध अप्रत्यक्ष कर/(NFIA) and net indirect taxes
Explanation
Simple Explanation
(GDPMP) से (GNPFC) जाने में (NFIA) जोड़ा और (NIT) घटाया जाता है। परीक्षा में आधार और कीमत स्तर दोनों साथ देखें। / From (GDPMP) to (GNPFC), (NFIA) is added and (NIT) is deducted. In exams, check both scope and price basis together.
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
A. राष्ट्रीय उत्पाद निवासी स्वामित्व और कारक आय पर आधारित है/National product is based on resident ownership and factor income
Explanation
Simple Explanation
(GNP) राष्ट्रीय या निवासी आधार पर मापा जाता है। इसलिए निवासी की विदेश कारक आय (NFIA) से जुड़ती है। / (GNP) is measured on national or resident basis. Therefore, resident foreign factor income is added through (NFIA).
पहले (GNPMP=₹70000-₹1800=₹68200) करोड़। फिर (GNPFC=₹68200-₹3200=₹65000) करोड़। / First (GNPMP=₹70000-₹1800=₹68200) crore. Then (GNPFC=₹68200-₹3200=₹65000) crore.
ऐसे आठ समान घन जोड़ने पर आवेश बड़े घन के केंद्र पर आ जाएगा। / Eight such identical cubes can be joined so that the charge becomes the centre of a larger cube.
Step 2
Why this answer is correct
बड़े घन में कुल फ्लक्स आठ छोटे घनों में बराबर बंटेगा। / The full flux is shared equally among the eight small cubes.
Step 3
Exam Tip
इसलिए एक छोटे घन से पूर्ण फ्लक्स का एक आठवां भाग जाएगा। / Therefore one small cube gets one eighth of the full flux.
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है। / Remember that order matters in function assignment.
(NNPFC=GNPMP-Depreciation-NIT) है। इसलिए मूल्यह्रास (=₹90000-₹82000-₹3000=₹5000) करोड़। / (NNPFC=GNPMP-Depreciation-NIT). So depreciation (=₹90000-₹82000-₹3000=₹5000) crore.
A. फ्लक्स समान और क्षेत्र एक चौथाई/Flux same and field one fourth
Step 1
Concept
कुल फ्लक्स बंद आवेश पर निर्भर करता है, इसलिए त्रिज्या बदलने से नहीं बदलता। / Total flux depends on enclosed charge, so changing radius does not change it.
Step 2
Why this answer is correct
बिंदु आवेश का क्षेत्र दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। / Field of a point charge varies inversely as square of distance.
Step 3
Exam Tip
दूरी दोगुनी होने पर क्षेत्र एक चौथाई हो जाता है। / Doubling distance makes the field one fourth.
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
A. घरेलू उत्पादन को (GDP) में रखें और अनिवासी को भुगतान (NFIA) में घटाएं/Keep domestic production in (GDP) and deduct payment to non-resident in (NFIA)
Explanation
Simple Explanation
विदेशी कंपनी का देश में उत्पादन घरेलू उत्पाद का भाग है। पर उसका लाभ अनिवासी को जाने पर (NFIA) में घटाव बनता है। / Production of a foreign company in the country is part of domestic product. But its profit going to non-residents becomes a deduction in (NFIA).
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
(NFIA=GNP-GDP) होता है। (GNP) कम है, इसलिए (NFIA) ऋणात्मक (₹2500) करोड़ होगा। / (NFIA=GNP-GDP). Since (GNP) is lower, (NFIA) will be negative (₹2500) crore.
\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.
A. (GNPMP) में शुद्ध अप्रत्यक्ष करों का प्रभाव शामिल होता है/(GNPMP) includes the effect of net indirect taxes
Explanation
Simple Explanation
बाजार मूल्य में कर और सब्सिडी का प्रभाव होता है। (GNPMP=GNPFC+NIT) संबंध याद रखें। / Market price includes the effect of taxes and subsidies. Remember the relation (GNPMP=GNPFC+NIT).
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
(NIT=GNPMP-GNPFC=₹79200-₹76000=₹3200) करोड़ है। बाजार मूल्य और कारक लागत का अंतर यही है। / (NIT=GNPMP-GNPFC=₹79200-₹76000=₹3200) crore. This is the difference between market price and factor cost.
(|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। / The graph of (|x-2|) turns at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
\([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। / On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें। / To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point.
A. जब निवासियों की विदेश आय और अनिवासियों की घरेलू आय महत्वपूर्ण हो/When residents' foreign income and non-residents' domestic income are significant
Explanation
Simple Explanation
ऐसी स्थिति में (NFIA) का समायोजन महत्वपूर्ण बनता है। यही (GNP) को (GDP) से अलग करता है। / In such a situation, adjustment of (NFIA) becomes important. This separates (GNP) from (GDP).
A. पुराने शेयर की बिक्री स्वामित्व हस्तांतरण है, दलाल की आय वर्तमान सेवा आय है/Sale of old shares is transfer of ownership, broker's income is current service income
Explanation
Simple Explanation
पुराने शेयर की बिक्री नया उत्पादन नहीं है। दलाल का कमीशन वर्तमान वित्तीय सेवा का प्रतिफल है। / Sale of old shares is not new production. Broker's commission is reward for current financial service.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
A. ऋण देयता है, कारक आय उत्पादन सेवा का प्रतिफल है/Loan is liability, factor income is reward for production service
Explanation
Simple Explanation
विदेशी ऋण उत्पादन आय नहीं है। (GNP) में विदेश से प्राप्त कारक आय (NFIA) के तहत देखी जाती है। / Foreign loan is not production income. Factor income from abroad is considered under (NFIA) in (GNP).
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। / To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है। / In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives.
A. विदेशी सहायता स्थानांतरण है, निवासी की विदेश मजदूरी कारक आय है/Foreign aid is transfer, foreign wage of resident is factor income
Explanation
Simple Explanation
विदेशी सहायता उत्पादन सेवा का प्रतिफल नहीं है। निवासी की विदेश मजदूरी (NFIA) के माध्यम से (GNP) में आ सकती है। / Foreign aid is not a reward for production service. Foreign wage of a resident can enter (GNP) through (NFIA).
चालक के मुक्त आवेश बाहरी क्षेत्र के प्रभाव में पुनर्व्यवस्थित होते हैं। / Free charges in the conductor rearrange under the influence of external field.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर अवस्था में चालक पदार्थ के भीतर क्षेत्र शून्य होना चाहिए। / In equilibrium, field inside conducting material must be zero.
Step 3
Exam Tip
खाली बंद गुहा भी विद्युत परिरक्षण के कारण क्षेत्र रहित रहती है। / The empty closed cavity remains field-free due to electrostatic shielding.
सकल से शुद्ध में जाने पर मूल्यह्रास घटता है। इसलिए मूल्यह्रास (=₹100000-₹94000=₹6000) करोड़। / Depreciation is deducted when moving from gross to net. Therefore depreciation (=₹100000-₹94000=₹6000) crore.
गुहा में रखा आवेश सतहों पर प्रेरित आवेश बनाता है। / Charge inside the cavity induces charges on the surfaces.
Step 2
Why this answer is correct
फिर भी स्थिर अवस्था में चालक पदार्थ के भीतर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए। / Still, in electrostatic equilibrium, net field inside conducting material must be zero.
Step 3
Exam Tip
चालक पदार्थ और गुहा के खाली भाग को अलग-अलग सोचें। / Think separately about conducting material and the cavity region.
दो अलग मानों पर फलन का मान जांचें। / Test the function at two different values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), जबकि \(0\ne -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), while \(0\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली जोड़ी मिलते ही पूरे प्रांत पर एकैकीपन टूट जाता है। / One pair of distinct inputs with the same image breaks one-one nature on the whole domain.
A. उत्पादन का अधिक अनुमान हो सकता है/Output may be overestimated
Explanation
Simple Explanation
मध्यवर्ती वस्तुओं का मूल्य अंतिम वस्तुओं में शामिल होता है। उन्हें अलग जोड़ने से दोहरी गणना और अधिक अनुमान होगा। / Value of intermediate goods is included in final goods. Adding them separately causes double counting and overestimation.
फलन में प्रत्येक प्रांत अवयव का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (3) have image (5), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय समान प्रतिबिंबों पर विशेष ध्यान दें। / While checking one-one nature, focus on repeated images.
(NNPFC=GNPFC-Depreciation=₹85000-₹4500=₹80500) करोड़। (NNPFC) राष्ट्रीय आय है। / (NNPFC=GNPFC-Depreciation=₹85000-₹4500=₹80500) crore. (NNPFC) is national income.
A. गोल सममिति के कारण बाहर की गाउस सतह पर क्षेत्र समान और त्रिज्यीय होता है/Due to spherical symmetry, field on outside Gaussian surface is uniform and radial
Step 1
Concept
बाहर की गोलीय गाउस सतह पूरा आवेश बंद करती है। / An outside spherical Gaussian surface encloses the full charge.
Step 2
Why this answer is correct
गोल सममिति से सतह पर क्षेत्र समान परिमाण का और त्रिज्यीय होता है। / Spherical symmetry makes the field equal in magnitude and radial on the surface.
Step 3
Exam Tip
परिणाम केंद्र पर रखे बिंदु आवेश जैसा मिलता है। / The result is like a point charge at the centre.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
