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क्योंकि \(2^{n(A)}=64\), इसलिए (n(A)=6) और (n(A')=10-6=4)। परीक्षा में पहले आधार समुच्चय को पहचानें। / Since \(2^{n(A)}=64\), (n(A)=6), so (n(A')=10-6=4). In exams, identify the universal set first.
(16) के भाजक (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (A') में (11) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048)। / The divisors of (16) are (1,2,4,8,16), so (A') has (11) elements. Hence (n(\mathcal{P}(B))=2^{11}=2048).
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({1,{2}}) में केवल (A) के तत्व हैं। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({1,{2}}) contains only elements of (A).
({1,2}) में (1) है, लेकिन (1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय होते हैं। / ({1,2}) contains (1), but (1) itself is not an element of (A). Elements of a power set are always subsets of the original set.
(12) के भाजक (1,2,3,4,6,12) हैं, इसलिए बाकी तत्व पूरक में आएंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के संदर्भ में लें। / The divisors of (12) are (1,2,3,4,6,12), so the remaining elements form the complement. Always take complement with respect to (U).
\(2^{n(A)}=32\), इसलिए (n(A)=5) और (n(A')=8)। (A') के (2)-तत्वीय उपसमुच्चय \(\binom{8}{2}=28\) होंगे। / Since \(2^{n(A)}=32\), (n(A)=5) and (n(A')=8). The number of (2)-element subsets of (A') is \(\binom{8}{2}=28\).
यदि दो समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय समान हैं, तो मूल समुच्चय भी समान होंगे। यह घात समुच्चय की एक महत्वपूर्ण परीक्षा-युक्ति है। / If two sets have exactly the same subsets, the original sets must be equal. This is an important power set result for exams.
(4) के (5) और (6) के (3) गुणज हैं, जबकि (12) का केवल (1) साझा गुणज है। इसलिए संघ में (7) तत्व और पूरक में (20-7=13) तत्व होंगे। / There are (5) multiples of (4) and (3) multiples of (6), with (1) common multiple of (12). So the union has (7) elements and the complement has (20-7=13) elements.
यहां \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), इसलिए \(2^{n(A)}=4\) और (n(A)=2)। घात समुच्चय पर घात समुच्चय में दो बार सूत्र लगाएं। / Here \(2^{2^{n(A)}}=16=2^4\), so \(2^{n(A)}=4\) and (n(A)=2). Apply the power set formula twice.
(a) निश्चित है और (b,c) बाहर हैं, इसलिए केवल (d,e) स्वतंत्र हैं। कुल \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनेंगे। / (a) is fixed and (b,c) are excluded, so only (d,e) are free. Therefore \(2^2=4\) subsets are possible.
\(A\cup B={a,b,c,e}\), इसलिए (U) में बचा तत्व (d) है। पूरक निकालने से पहले संघ पूरा करें। / \(A\cup B={a,b,c,e}\), so the only remaining element in (U) is (d). Find the union before taking complement.
उचित उपसमुच्चय की संख्या \(2^{n(A)}-1\) होती है, इसलिए \(2^{n(A)}=6\)। घात समुच्चय में मूल समुच्चय भी शामिल होता है। / The number of proper subsets is \(2^{n(A)}-1\), so \(2^{n(A)}=6\). The power set also includes the original set itself.
A. ऐसा कोई सीमित समुच्चय नहीं है/No such finite set exists
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(2^n-1=5\) से \(2^n=6\) मिलता है, जो (2) की घात नहीं है। ऐसे प्रश्न में संख्या की सम्भवता भी जांचें। / Because \(2^n-1=5\) gives \(2^n=6\), which is not a power of (2). In such questions, also check whether the number is possible.
(1) से (20) तक (8) अभाज्य संख्याएं हैं, इसलिए (A') में (12) तत्व हैं। अतः (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096)। / There are (8) primes from (1) to (20), so (A') has (12) elements. Hence (n(\mathcal{P}(A'))=2^{12}=4096).
(\mathcal{P}(A)) के तत्व उपसमुच्चय होते हैं, सामान्य तत्व नहीं। इसलिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) गलत है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets, not ordinary elements. Therefore \(1\in\mathcal{P}(A)\) is false.
(A'={2,4,6,8}) और (B'={1,4,6,7}), अतः प्रतिच्छेद ({4,6}) है। ऐसे प्रश्न में दोनों पूरक अलग निकालें। / (A'={2,4,6,8}) and (B'={1,4,6,7}), so the intersection is ({4,6}). Find both complements separately.
समीकरण \(2^m=m+12\) है और (m=4) रखने पर (16=16) मिलता है। छोटी पूर्ण संख्याएं जांचना तेज तरीका है। / The equation is \(2^m=m+12\), and (m=4) gives (16=16). Testing small integers is a quick method.
A. सभी विषम प्राकृतिक संख्याएं/All odd natural numbers
Explanation
Simple Explanation
जब \(U=\mathbb{N}\) है, तो पूरक केवल प्राकृतिक संख्याओं के अंदर लिया जाएगा। इसलिए सम प्राकृतिक संख्याओं का पूरक विषम प्राकृतिक संख्याएं हैं। / When \(U=\mathbb{N}\), complement is taken only within natural numbers. Thus the complement of even natural numbers is odd natural numbers.
तीन तत्वों वाले समुच्चय के एक-तत्वीय उपसमुच्चय (3) होते हैं। ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / A set with (3) elements has (3) singleton subsets. All of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
ठीक (2) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}=6\) हैं। घात समुच्चय में सभी आकारों के उपसमुच्चय होते हैं। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). The power set contains subsets of every size.
\(U={1,\ldots,9}\) और \(x^2<20\) के लिए \(A=\{1,2,3,4\}\) है। बाकी ({5,6,7,8,9}) पूरक है। / \(U={1,\ldots,9}\), and \(x^2<20\) gives \(A=\{1,2,3,4\}\). The remaining set ({5,6,7,8,9}) is the complement.
(1) को निश्चित रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। निश्चित तत्व वाले प्रश्न में बाकी तत्वों पर घात लगाएं। / Fix (1), then each of the remaining (2) elements may be chosen or not, giving \(2^2=4\) subsets. For a fixed element, take powers over the remaining elements.
(p) को बाहर रखकर केवल (q,r,s) से उपसमुच्चय बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\)। किसी तत्व को हटाने पर शेष तत्वों की शक्ति लें। / Excluding (p), subsets are formed only from (q,r,s), so \(2^3=8\). When one element is forbidden, take the power of the remaining elements.
(A) में (5) तत्व हैं और (U) में (15), इसलिए (A') में (10) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^{10}=1024\) तत्व हैं। / (A) has (5) elements and (U) has (15), so (A') has (10) elements. Therefore its power set has \(2^{10}=1024\) elements.
A. \({1,2}\in A\) और \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1,2}\in A\) and \({1,2}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1,2}) (A) का एक तत्व है और साथ ही (A) का उपसमुच्चय भी है। इसलिए यह (A) में भी है और (\mathcal{P}(A)) में भी है। / ({1,2}) is an element of (A) and also a subset of (A). Hence it belongs to both (A) and (\mathcal{P}(A)).
परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है \(A\) का पूरक (relative to \(U\)) — अर्थात वे तत्व जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसलिए \(A\) निकालने के लिए हम \(U\setminus A'\) लेते हैं: \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A'\) दे रहा है, न कि \(A\)। विकल्प C तब सही होता अगर \(A'\) खाली सेट होता और विकल्प D तब सही होता अगर \(A'=U\) होता — न तो यहाँ लागू है। परीक्षा टिप: हमेशा \(A=U\setminus A'\) लिखिए और हर तत्व की सदस्यता एक‑एक जाँचीए। / By definition \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). So \(A\) is \(U\setminus A'\): \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\). Option B is the given complement \(A'\), not \(A\). Option C would be correct only when \(A'=\varnothing\), and option D only when \(A'=U\); neither holds here. Exam tip: compute \(U\setminus A'\) explicitly and verify membership for each element to avoid sign errors.
कम से कम (4) तत्वों वाले उपसमुच्चय (4)-तत्वीय और (5)-तत्वीय होंगे। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / Subsets with at least (4) elements are (4)-element and (5)-element subsets. The count is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
विषम आकार (1) और (3) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\) है। आकार के आधार पर उपसमुच्चय गिनें। / The odd sizes are (1) and (3), so the count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=3+1=4\). Count subsets by their sizes.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय का संबंध भी उसी दिशा में रहता है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). Therefore the power set relation remains in the same direction.
(2) के (15), (5) के (6), और (10) के (3) गुणज हैं, इसलिए संघ में (18) तत्व हैं। पूरक में (30-18=12) तत्व होंगे। / There are (15) multiples of (2), (6) multiples of (5), and (3) multiples of (10), so the union has (18) elements. The complement has (30-18=12) elements.
पावर सेट में किसी भी उपसमुच्चय के लिए हर तत्व के दो स्थिति हो सकती हैं: शामिल या शामिल नहीं। प्रश्न में 1 अवश्यक है और 4 निष्कासित है, इसलिए 2 और 3 के बारे में कोई बाधा नहीं — वे स्वतंत्र हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। निकटभ्रमित विकल्प C (8) तब आता है जब तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (\(2^{3}\)), और विकल्प B (6) किसी नियमित पावर-ऑफ-2 गणना का परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले सुनिश्चित और निष्कासित तत्व हाथ से अलग कर लें, फिर बचे हुए तत्वों पर \(2^{n}\) लागू करें। / In a power set each element is either present or absent. Here 1 must be present and 4 must be absent, so only elements 2 and 3 are free to be chosen or not. That gives \(2\) choices for each of the 2 free elements, so total subsets = \(2^{2}=4\). The closest distractor C (8) would correspond to mistakenly treating three elements as free (\(2^{3}\)), while B (6) is not a valid power-of-2 count for independent inclusion/exclusion. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count the remaining free elements and use \(2^{n}\).
पूरक एक-तत्वीय होने के लिए मूल उपसमुच्चय में (3) तत्व होने चाहिए। ऐसे उपसमुच्चय \(\binom{4}{3}=4\) हैं। / For the complement to be singleton, the original subset must have (3) elements. There are \(\binom{4}{3}=4\) such subsets.
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\varnothing}\) है। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore its power set is \({\varnothing}\).
पहला कदम यह है कि A में कौन‑कौन से तत्व हैं। 2 के गुणज (2,4,6,8,10) और 3 के गुणज (3,6,9) का संघ लें तो \(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\) मिलता है। A का पूरक \(A'\) वह सेट है जो यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्व देता है जो A में नहीं हैं, इसलिए \(A'=\{1,5,7\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A ही है, विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 9 शामिल है जो A में आता है, और विकल्प C गलत है क्योंकि वह 1 को छोड़ा हुआ है। परीक्षा की टिप: 1 से 10 तक की संख्या लिखकर हर संख्या पर 2 और 3 से विभाज्य होने का निशान लगाएँ — जो निशान नहीं हैं वे पूरक में होंगे। / First find A: multiples of 2 are {2,4,6,8,10} and multiples of 3 are {3,6,9}; their union gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\). The complement \(A'\) (relative to \(U\)) consists of elements of \(U\) not in A, so \(A'=\{1,5,7\}\). Option B is just A, not the complement; option D is incorrect because it includes 9 (a multiple of 3); option C misses 1. Exam tip: list elements of the universal set and cross out those divisible by 2 or 3 — remaining numbers form the complement.
संख्या \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\) है। ऐसे प्रश्नों में आकारों को अलग-अलग जोड़ें। / The count is \(\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=10+10=20\). In such questions, add the required sizes separately.
शब्द sets में अलग-अलग अक्षर (s,e,t) हैं, इसलिए (A) में (3) तत्व हैं। घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The word sets has distinct letters (s,e,t), so (A) has (3) elements. The power set has \(2^3=8\) elements.
समीकरण \(x^2=x\) को \(x(x-1)=0\) के रूप में लिखें — अतः \(x=0\) या \(x=1\)। इसलिए \(A=\{0,1\}\)। पूरक \(A'=U\setminus A=\{2,3,4,5\}\) में 4 तत्व हैं। किसी सेट के पावर सेट का आकार \(2^{\text{(तत्वों की संख्या)}}\) होता है, अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^4=16\)। निकटवर्ती विकर्षक गलत हैं क्योंकि वे या तो सिर्फ \(|A'|\) को (4) पका रहे हैं, या गलत आधार वाला घात (\(2^3=8\), \(2^5=32\)) ले रहे हैं। परीक्षा टिप: पहले पूरक का आकार गिनें, फिर तुरंत \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) लागू करें। / Solve \(x^2=x\) as \(x(x-1)=0\), so \(x=0\) or \(x=1\). Thus \(A=\{0,1\}\). The complement \(A'=U\setminus A=\{2,3,4,5\}\) has 4 elements. The power set of a set with \(k\) elements has size \(2^k\), so \(n(\mathcal{P}(A'))=2^4=16\). Closest distractors are incorrect: 4 is just \(|A'|\), 8 equals \(2^3\) and 32 equals \(2^5\), both wrong exponents. Exam tip: count elements of the (complement) set first, then use \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) to avoid mistakes.
(a) और (b) निश्चित हैं, बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (3) elements are free. Therefore there are \(2^3=8\) subsets.
(1) से (25) तक पूर्ण वर्ग (1,4,9,16,25) हैं, यानी (5) तत्व। इसलिए (n(A')=25-5=20)। / The perfect squares from (1) to (25) are (1,4,9,16,25), giving (5) elements. Thus (n(A')=25-5=20).
(3) तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए (7) हैं। / A set with (3) elements has \(2^3=8\) subsets. A proper subset excludes (A) itself, so there are (7).
(2) को निश्चित रखने पर बाकी (3) से विषम संख्या तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\) है। / After fixing (2), choose an odd number of elements from the remaining (3). The count is \(\binom{3}{1}+\binom{3}{3}=4\).
\(A\cap B={3,4}\), इसलिए इसका पूरक (U) में बाकी सभी तत्व हैं। प्रतिच्छेद का पूरक लेते समय पहले साझा तत्व निकालें। / \(A\cap B={3,4}\), so its complement is all other elements in (U). For complement of an intersection, first find the common elements.
(U) में (-3) से (3) तक पूर्णांक हैं और (A) में (0,1,2,3) हैं। इसलिए पूरक ({-3,-2,-1}) है। / (U) has integers from (-3) to (3), and (A) has (0,1,2,3). Thus the complement is ({-3,-2,-1}).
(A) के उपसमुच्चयों में केवल \(\varnothing\) ही (A) से असंयुक्त है। असंयुक्त का अर्थ साझा तत्व न होना है। / Among subsets of (A), only \(\varnothing\) is disjoint from (A). Disjoint means having no common element.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं और जिनमें (1,2) दोनों नहीं हैं वे \(2^4=16\) हैं। इसलिए उत्तर (64-16=48) है। / There are (64) total subsets, and those containing neither (1) nor (2) are \(2^4=16\). Hence the answer is (64-16=48).
A. क्योंकि \(A'\subseteq U\)/Because \(A'\subseteq U\)
Explanation
Simple Explanation
किसी भी पूरक (A') के सभी तत्व (U) के अंदर ही होते हैं। इसलिए \(A'\subseteq U\) से \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\) मिलता है। / Every complement (A') contains elements only from (U). Thus \(A'\subseteq U\) gives \(\mathcal{P}(A')\subseteq\mathcal{P}(U)\).
कोई समुच्चय अपने पूरक के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि तब वह अपने ही प्रत्येक तत्व को रखेगा और नहीं भी रखेगा। इसलिए संख्या (0) है। / No set can be equal to its complement because each element would have to be both included and not included. Therefore the count is (0).
(18) के अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं, इसलिए (A) में (2) तत्व हैं। (A') में (16) तत्व होंगे और \(2^{16}=65536\)। / The prime factors of (18) are (2) and (3), so (A) has (2) elements. (A') has (16) elements and \(2^{16}=65536\).
पूरक स्थिति है कि (1) नहीं है और (5) है, जिसके \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। कुल (32) में से (8) घटाने पर (24) मिलते हैं। / The opposite condition is not containing (1) and containing (5), which gives \(2^3=8\) subsets. Subtracting from (32) gives (24).
A. यह सत्य है क्योंकि (A'=B)/It is true because (A'=B)
Explanation
Simple Explanation
(A) सम संख्याओं का समुच्चय है, इसलिए (A') (U) में विषम संख्याएं हैं, जो (B) है। समान मूल समुच्चय के घात समुच्चय भी समान होते हैं। / (A) is the set of even numbers, so (A') in (U) is the set of odd numbers, which is (B). Equal original sets have equal power sets.
