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A. क्योंकि (0) किसी भी (x) की छवि नहीं है/Because (0) is not the image of any (x)
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\), we get \(x^2+1\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
So (0) and all real numbers less than (1) are not in the range.
Step 3
Exam Tip
To disprove onto, it is enough to show one missed codomain element. चरण 1: \(x^2\ge0\) होने से \(x^2+1\ge1\) होता है। चरण 2: इसलिए (0) और सभी (1) से छोटी वास्तविक संख्याएँ परास में नहीं आतीं। चरण 3: सर्वाच्छादकता तोड़ने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है।
A. हाँ क्योंकि \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-5) लिया जा सकता है/Yes because for \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-5) can be taken
Step 1
Concept
Take any codomain element \(m\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=m-5) is also an integer and (f(n)=m).
Step 3
Exam Tip
For translation functions on integers, test onto by writing the preimage directly. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी अवयव \(m\in\mathbb{Z}\) मानें। चरण 2: (n=m-5) भी पूर्णांक है और (f(n)=m) हो जाता है। चरण 3: पूर्णांकों पर स्थानांतरण वाले फलन सामान्यतः सर्वाच्छादकता के लिए उल्टा मान देकर जाँचे जाते हैं।
A. क्योंकि (1) और (2) छूट जाते हैं/Because (1) and (2) are missed
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge3\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not images.
Step 3
Exam Tip
In functions on natural numbers, quickly check the first few codomain values. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge3\) होगा। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं पर वे छवि नहीं बनते। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं के फलन में आरंभिक छूटे हुए मान जल्दी पहचानें।
A. सर्वाच्छादक है क्योंकि हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) है/It is onto because for every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) exists
Step 1
Concept
Here the codomain is only \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
For every (y) in this codomain, \(\sqrt{y}\) lies in the domain and (f\(\sqrt{y}\)=y).
Step 3
Exam Tip
The same formula may give a different answer when the codomain changes. चरण 1: यहाँ सहप्रांत केवल \([0,\infty\)) है। चरण 2: इस सहप्रांत के हर (y) के लिए \(\sqrt{y}\) भी प्रांत में है और (f\(\sqrt{y}\)=y) है। चरण 3: वही सूत्र अलग सहप्रांत के साथ अलग उत्तर दे सकता है।
A. हाँ क्योंकि हर \(y\le3\) के लिए \(x=\sqrt{3-y}\) लिया जा सकता है/Yes because for every \(y\le3\), \(x=\sqrt{3-y}\) can be taken
Step 1
Concept
The maximum value of \(3-x^2\) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
If \(y\le3\), then \(x=\sqrt{3-y}\) is real and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A function is onto when its range equals its codomain. चरण 1: \(3-x^2\) का अधिकतम मान (3) है। चरण 2: यदि \(y\le3\), तो \(x=\sqrt{3-y}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: परास और सहप्रांत समान हों तो फलन सर्वाच्छादक होता है।
A. क्योंकि किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) मिल जाता है/Because for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+7}{2}\) exists
Step 1
Concept
Take any real number (y) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Solving (y=2x-7) gives \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real.
Step 3
Exam Tip
A non-constant linear function from real numbers to real numbers is onto. चरण 1: सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। चरण 2: समीकरण (y=2x-7) हल करने पर \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक मिलता है। चरण 3: रैखिक फलन में गुणांक शून्य न हो तो वास्तविक से वास्तविक पर सर्वाच्छादकता मिलती है।
A. शून्य और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Zero and negative real numbers are not images
Step 1
Concept
\(e^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, but they are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, compare the range carefully with the codomain. चरण 1: \(e^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं पर वे नहीं मिलतीं। चरण 3: घातीय फलन में परास को सहप्रांत से मिलाकर देखें।
For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
An exponential function can be onto when its codomain is chosen as its natural range. चरण 1: सहप्रांत (\(0,\infty\)) दिया गया है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) है। चरण 3: घातीय फलन को सही सहप्रांत देने पर वह सर्वाच्छादक हो सकता है।
A. हाँ क्योंकि ([-1,1]) का हर मान \(\sin x\) से मिल सकता है/Yes because every value in ([-1,1]) can be obtained by \(\sin x\)
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
In trigonometric functions, use the standard range directly. चरण 1: \(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) ही है, इसलिए कोई सहप्रांत अवयव नहीं छूटता। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में ज्ञात परास तुरंत उपयोग करें।
A. हाँ क्योंकि हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) can be taken
Step 1
Concept
The minimum value of \(x^2+1\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge1\), \(x=\sqrt{y-1}\) is real and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Use the minimum or maximum value to match the codomain. चरण 1: \(x^2+1\) का न्यूनतम मान (1) है। चरण 2: हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\sqrt{y-1}\) वास्तविक है और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: न्यूनतम या अधिकतम मान देखकर सहप्रांत मिलाएँ।
Simple odd-power polynomial functions often cover the whole real codomain. चरण 1: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक होता है। चरण 2: तब (f(x)=\left\(\sqrt[3]{y}\right\)3=y) मिल जाता है। चरण 3: विषम घात वाले सरल बहुपद अक्सर पूरे वास्तविक सहप्रांत को ढकते हैं।
A. (-1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(-1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
So a negative codomain element such as (-1) is not an image.
Step 3
Exam Tip
For even powers, check negative codomain values first. चरण 1: \(x^4\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। चरण 2: इसलिए (-1) जैसा ऋणात्मक सहप्रांत अवयव छवि नहीं बनता। चरण 3: सम घात वाले फलनों में ऋणात्मक मानों पर तुरंत ध्यान दें।
Put \(y=\frac{2x+1}{x-1}\), which gives \(x=\frac{y+1}{y-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Since the codomain has \(y\ne2\), this (x) is defined and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
For rational functions, solve for (x) in terms of (y) to test onto. चरण 1: \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) मानकर \(x=\frac{y+1}{y-2}\) मिलता है। चरण 2: सहप्रांत में \(y\ne2\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और \(x\ne1\) भी रहता है। चरण 3: भिन्नात्मक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है।
A. क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर छवि नहीं बनता/Because (0) is in the codomain but is not an image
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) can never be equal to (0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes (0), so one element is missed.
Step 3
Exam Tip
For reciprocal-type functions, always check whether (0) can be an output. चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी (0) के बराबर नहीं हो सकता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) शामिल है, इसलिए एक अवयव छूट गया। चरण 3: हर में चर वाले फलनों में शून्य छवि बन सकता है या नहीं, यह जरूर देखें।
Choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives \(x\ne0\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Removing (0) from the codomain makes this reciprocal function onto. चरण 1: सहप्रांत में कोई भी \(y\ne0\) लें। चरण 2: \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर \(x\ne0\) और (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: सहप्रांत से (0) हटाने पर यह फलन सर्वाच्छादक बन जाता है।
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
All three codomain elements (a,b,c) appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
But (2) and (3) both map to (b), so the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, listing images is the easiest test. चरण 1: सहप्रांत के (a,b,c) तीनों अवयव छवि के रूप में मिल रहे हैं। चरण 2: लेकिन (2) और (3) दोनों की छवि (b) है, इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाना सबसे आसान तरीका है।
A. नहीं क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every codomain element must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has only (3) elements, while (B) has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the domain size cannot be less than the codomain size for an onto function. चरण 1: सर्वाच्छादक फलन में सहप्रांत का हर अवयव कम से कम एक बार छवि बनना चाहिए। चरण 2: (A) में केवल (3) अवयव हैं पर (B) में (4) अवयव हैं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में सर्वाच्छादकता के लिए प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए।
Subtract functions missing at least one codomain element: \(\binom{3}{1}2^5\), then add those missing two: \(\binom{3}{2}1^5\).
Step 3
Exam Tip
Inclusion-exclusion is the key tool for counting onto functions. चरण 1: कुल फलन \(3^5\) हैं। चरण 2: कम से कम एक सहप्रांत अवयव छूटने वाले फलनों को घटाएँ: \(\binom{3}{1}2^5\), और दो छूटने पर \(\binom{3}{2}1^5\) जोड़ें। चरण 3: समावेशन-बहिष्करण विधि सर्वाच्छादक फलनों की गिनती में बहुत उपयोगी है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers, but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, quickly check negative codomain values. चरण 1: (|x|) हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ हैं, पर वे परास में नहीं आतीं। चरण 3: मापांक वाले फलनों में ऋणात्मक सहप्रांत मानों की जाँच जल्दी करें।
A. (f) सर्वाच्छादक है पर एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\ge0\), taking (x=y) gives (|x|=y).
Step 2
Why this answer is correct
But (|a|=|-a|), so different domain elements can have the same image.
Step 3
Exam Tip
Onto and one-one properties must be checked separately. चरण 1: हर \(y\ge0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिलता है। चरण 2: लेकिन (|a|=|-a|), इसलिए अलग प्रांत अवयव एक ही छवि दे सकते हैं। चरण 3: सर्वाच्छादक और एकैकी गुण अलग-अलग जाँचना चाहिए।
A. यह सतत है और \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty), \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)/It is continuous and (f(x)\to\infty) as \(x\to\infty\), (f(x)\to-\infty) as \(x\to-\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is a continuous polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
For very large positive (x), its value is very large positive, and for very large negative (x), its value is very large negative.
Step 3
Exam Tip
The end behavior of a continuous odd-degree polynomial supports onto over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+x\) सतत बहुपद है। चरण 2: बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। चरण 3: सतत बहुपद के अंत व्यवहार से पूरे वास्तविक परास का संकेत मिलता है।
A. इसका न्यूनतम मान (3) है और (2) छवि नहीं बनता/Its minimum value is (3) and (2) is not an image
Step 1
Concept
Write (x-2-4x+7=(x-2)2+3).
Step 2
Why this answer is correct
Its range is \([3,\infty\)), so (2) in the codomain is not an image.
Step 3
Exam Tip
Completing the square quickly gives the range of a quadratic function. चरण 1: (x-2-4x+7=(x-2)2+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसका परास \([3,\infty\)) है, इसलिए (2) सहप्रांत में होकर भी छवि नहीं बनता। चरण 3: वर्ग पूरा करने की विधि से द्विघात फलन का परास जल्दी मिलता है।
The codomain is also \([3,\infty\)), hence every codomain element is an image.
Step 3
Exam Tip
When the codomain equals the range, the function is onto. चरण 1: (f(x)=(x-2)2+3), इसलिए परास \([3,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([3,\infty\)) है, अतः हर सहप्रांत अवयव छवि है। चरण 3: सहप्रांत को परास के बराबर कर देने से सर्वाच्छादकता मिलती है।
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the range interval first. चरण 1: \(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। चरण 2: किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें।
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
(0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है। चरण 2: (x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। चरण 3: जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें।
A. \(\frac{1}{2}\) जैसे वास्तविक मान छवि नहीं बनते/Real values like \(\frac{1}{2}\) are not images
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains \(\frac{1}{2}\), but it is never an image.
Step 3
Exam Tip
The greatest integer function has range limited to integers. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक देता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) है, पर वह कभी छवि नहीं बनता। चरण 3: महत्तम पूर्णांक फलन में परास पूर्णांकों तक सीमित रहता है।
With codomain \(\mathbb{Z}\), the floor function becomes onto. चरण 1: सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। चरण 2: (x=k) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिल जाता है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) होने पर महत्तम पूर्णांक फलन सर्वाच्छादक हो जाता है।
A. हाँ क्योंकि हर \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\in[0,2]\) है/Yes because for every \(y\in[0,4]\), \(x=\sqrt{y}\in[0,2]\)
Step 1
Concept
On the domain ([0,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\in[0,4]\), \(\sqrt{y}\) lies in the given domain.
Step 3
Exam Tip
On closed intervals, always check endpoint values while finding the range. चरण 1: प्रांत ([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। चरण 2: हर \(y\in[0,4]\) के लिए \(\sqrt{y}\) इसी प्रांत में आता है। चरण 3: बंद अंतराल पर परास निकालते समय सिरों के मान जरूर देखें।
A. क्योंकि (5) छवि नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
If \(x\in[0,2]\), then \(x^2\in[0,4]\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain contains (5), but \(x^2=5\) gives \(x=\sqrt{5}\), which is not in the domain.
Step 3
Exam Tip
With restricted domains, check the maximum and minimum possible output values. चरण 1: \(x\in[0,2]\) होने पर \(x^2\in[0,4]\) होता है। चरण 2: सहप्रांत में (5) है पर \(x^2=5\) के लिए \(x=\sqrt{5}\), जो प्रांत में नहीं है। चरण 3: सीमित प्रांत में सबसे बड़े और सबसे छोटे संभव मान जाँचना जरूरी है।
A. हाँ क्योंकि यह विषम घात का सतत बहुपद है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/Yes because it is a continuous odd-degree polynomial and is unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Even with turning points, end behavior can show onto property. चरण 1: \(x^3-3x\) सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: स्थानीय मोड़ होने पर भी अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता दिखा सकता है।
For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type. चरण 1: (|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। चरण 3: मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है।
For every \(y\ge2\), choosing (x=y-2) gives the image (y).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a modulus function changes its minimum value. चरण 1: \(|x|\ge0\), इसलिए \(|x|+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए (x=y-2) लेने पर छवि (y) मिल जाती है। चरण 3: मापांक फलन में ऊर्ध्व स्थानांतरण से न्यूनतम मान बदलता है।
A. क्योंकि हर \(y\le0\) के लिए \(x=\sqrt{-y}\) लिया जा सकता है/Because for every \(y\le0\), \(x=\sqrt{-y}\) can be taken
Step 1
Concept
\(-x^2\le0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
If \(y\le0\), then \(x=\sqrt{-y}\) is real and \(-x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
A negative quadratic becomes onto when the codomain is chosen correctly. चरण 1: \(-x^2\le0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। चरण 2: यदि \(y\le0\), तो \(x=\sqrt{-y}\) वास्तविक है और \(-x^2=y\) मिल जाता है। चरण 3: ऋणात्मक द्विघात फलन का सहप्रांत सही चुनने पर सर्वाच्छादकता मिलती है।
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
Showing one missed codomain value is enough to prove not onto. चरण 1: \(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। चरण 3: सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है।
For every \(y\ge-2\), choosing \(x=\sqrt{y+2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For a downward or upward shift of a quadratic, identify the minimum value. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2-2\ge-2\) है। चरण 2: हर \(y\ge-2\) के लिए \(x=\sqrt{y+2}\) लेकर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: नीचे की ओर स्थानांतरित द्विघात में न्यूनतम मान पहचानें।
\(\tan x\) takes all real values on its defined domain.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if the codomain is \(\mathbb{R}\), no real value is missed.
Step 3
Exam Tip
Remembering standard trigonometric ranges is useful in onto questions. चरण 1: \(\tan x\) अपने परिभाषित प्रांत में सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: इसलिए सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो तो कोई वास्तविक मान छूटता नहीं। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों में मानक परास याद रखना उपयोगी है।
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है/Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
Inverse trigonometric values help prove onto property. चरण 1: \(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं।
A. (1) और (-1) जैसे मान छवि नहीं बनते/Values like (1) and (-1) are not images
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
It never equals (1) or (-1), though they are in the codomain.
Step 3
Exam Tip
For rational modulus functions, check limiting endpoint values. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: यह कभी (1) या (-1) के बराबर नहीं होता, जबकि वे सहप्रांत में हैं। चरण 3: भिन्नात्मक मापांक फलन में सीमा मानों की जाँच करें।
For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful. चरण 1: इस फलन का परास ((-1,1)) है। चरण 2: हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। चरण 3: खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है।
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)). चरण 1: \(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। चरण 2: इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। चरण 3: घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें।
Since (y>0), \(x=\log_2 y\) is real and gives \(2^x=y\).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, logarithms provide the required preimage. चरण 1: सर्वाच्छादकता दिखाने के लिए \(2^x=y\) हल करें। चरण 2: (y>0) होने पर \(x=\log_2 y\) वास्तविक है और \(2^x=y\) देता है। चरण 3: घातीय फलन के लिए लघुगणक पूर्वप्रतिबिंब देता है।
A. हाँ क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) है/Yes because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) exists
Step 1
Concept
Take any real number (y) in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\sqrt[3]{y-1}\) is real and gives \(x^3+1=y\).
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic function does not destroy onto property over \(\mathbb{R}\). चरण 1: सहप्रांत की कोई भी वास्तविक संख्या (y) लें। चरण 2: \(x=\sqrt[3]{y-1}\) वास्तविक है और \(x^3+1=y\) देता है। चरण 3: घन फलन में ऊर्ध्व स्थानांतरण सर्वाच्छादकता नहीं हटाता।
For every \(y\ge0\), taking \(x=1+\sqrt{y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
A horizontal shift of a square function does not change its range type. चरण 1: ((x-1)2) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=1+\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: क्षैतिज स्थानांतरण से वर्ग फलन का परास नहीं बदलता।
For \(y\ge4\), taking \(x=-3+\sqrt{y-4}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
The completed-square form makes the range clear immediately. चरण 1: ((x+3)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge4) है। चरण 2: \(y\ge4\) के लिए \(x=-3+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग रूप में परास तुरंत स्पष्ट हो जाता है।
A. क्योंकि (2) छवि नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
\(\cos x\) always lies in ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\cos x=2\) is impossible.
Step 3
Exam Tip
Match the standard trigonometric range with the codomain. चरण 1: \(\cos x\) का मान हमेशा ([-1,1]) में होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर \(\cos x=2\) संभव नहीं है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में ज्ञात परास को सहप्रांत से मिलाएँ।
A. हाँ क्योंकि ([-1,1]) का हर मान \(\cos x\) से मिल जाता है/Yes because every value in ([-1,1]) is obtained by \(\cos x\)
Step 1
Concept
The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is the same, so no element is missed.
Step 3
Exam Tip
If the codomain equals the actual range, the function is onto. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। चरण 2: सहप्रांत भी यही है, इसलिए कोई अवयव छूटता नहीं। चरण 3: यदि सहप्रांत वास्तविक परास के बराबर हो तो फलन सर्वाच्छादक होता है।
On \([0,\infty\)), \(t^2+t\) takes every value from (0) to \(\infty\), since \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) works.
Step 3
Exam Tip
For harder modulus questions, substitution is useful. चरण 1: (t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t)। चरण 2: \(t^2+t\) \([0,\infty\)) पर (0) से \(\infty\) तक सभी मान लेता है, क्योंकि \(t=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}\) मिल जाता है। चरण 3: मापांक वाले कठिन प्रश्नों में नया चर रखना उपयोगी है।
It gives (1) at (t=0) and increases continuously to \(\infty\) without missing values.
Step 3
Exam Tip
The codomain \([1,\infty\)) exactly matches this range. चरण 1: (t=|x|) रखने पर \(t\ge0\) और (f(x)=t-2+t+1) है। चरण 2: यह (t=0) पर (1) देता है और (t) बढ़ने पर बिना अंतराल छोड़े \(\infty\) तक जाता है। चरण 3: सहप्रांत \([1,\infty\)) बिल्कुल इसी परास के बराबर है।
When (x<0), (x+1) gives all values in (\(-\infty,1\)).
Step 2
Why this answer is correct
When \(x\ge0\), \(x^2\) gives all values in \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
The union of both ranges is \(\mathbb{R}\), so the function is onto. चरण 1: जब (x<0), तब (x+1) से (\(-\infty,1\)) के सभी मान मिलते हैं। चरण 2: जब \(x\ge0\), तब \(x^2\) से \([0,\infty\)) के सभी मान मिलते हैं। चरण 3: दोनों परासों का संघ \(\mathbb{R}\) है, इसलिए फलन सर्वाच्छादक है।
A. क्योंकि (0) और (1) कभी छवि नहीं बनते/Because (0) and (1) are never images
Step 1
Concept
\(e^{-x}\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
So \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) always lies between (0) and (1), but never equals (0) or (1).
Step 3
Exam Tip
When endpoints are in the codomain, check whether they are actually attained. चरण 1: \(e^{-x}\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक होता है। चरण 2: इसलिए \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) हमेशा (0) और (1) के बीच रहता है, पर (0) या (1) के बराबर नहीं होता। चरण 3: सहप्रांत में अंतिम बिंदु हों तो जाँचें कि वे वास्तव में छवि बनते हैं या नहीं।
