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मानक कोण के लिए \(\sin 0^\circ=0\) होता है। इकाई वृत्त पर \(0^\circ\) के संगत बिंदु के निर्देशांक \((1,0)\) हैं और sine उस बिंदु का \(y\)-निर्देशांक होता है। इसलिए सही मान 0 है। \(\sin 90^\circ=1\), अतः 1 इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(0^\circ\) से \(90^\circ\) तक sine के मान \(0,\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{2},1\) क्रम में याद रखें। / For the standard angle, \(\sin 0^\circ=0\). On the unit circle, the point corresponding to \(0^\circ\) is \((1,0)\), and sine is the \(y\)-coordinate of that point. Therefore, the correct value is 0. Since \(\sin 90^\circ=1\), 1 is not correct here. Exam tip: Remember the sine values from \(0^\circ\) to \(90^\circ\) in the order \(0,\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{2},1\).
मानक कोण के लिए \(\cos 0^\circ=1\) होता है। इकाई वृत्त पर \(0^\circ\) का संगत बिंदु \((1,0)\) है और उसका x-निर्देशांक कोसाइन को दर्शाता है। इसलिए सही मान 1 है। विकल्प 0, \(\sin 0^\circ\) का मान है, \(\cos 0^\circ\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(0^\circ\) पर \(\sin\theta=0\) और \(\cos\theta=1\) याद रखें। / For the standard angle, \(\cos 0^\circ=1\). On the unit circle, the point corresponding to \(0^\circ\) is \((1,0)\), and its x-coordinate represents cosine. Hence, the correct value is 1. Option 0 is the value of \(\sin 0^\circ\), not \(\cos 0^\circ\). Exam tip: Remember that at \(0^\circ\), \(\sin\theta=0\) and \(\cos\theta=1\).
\(45^\circ\)–\(45^\circ\)–\(90^\circ\) समकोण त्रिभुज में दोनों लम्ब भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः \(\tan 45^\circ=\frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}=1\)। \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\tan 30^\circ\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\tan 30^\circ,\tan 45^\circ,\tan 60^\circ\) के मान क्रमशः \(\frac{1}{\sqrt{3}},1,\sqrt{3}\) याद रखें। / In a \(45^\circ\)–\(45^\circ\)–\(90^\circ\) right triangle, the two perpendicular sides are equal. Therefore, \(\tan 45^\circ=\frac{\text{perpendicular}}{\text{base}}=1\). The value \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) is \(\tan 30^\circ\), so it is not correct here. Exam tip: remember \(\tan 30^\circ,\tan 45^\circ,\tan 60^\circ\) as \(\frac{1}{\sqrt{3}},1,\sqrt{3}\), respectively.
\(\sin \theta\) का व्युत्क्रम \(\dfrac{1}{\sin \theta}\) होता है। परिभाषा के अनुसार \(\cosec \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}\), इसलिए सही विकल्प \(\cosec \theta\) है। \(\sec \theta\), \(\cos \theta\) का व्युत्क्रम होता है, जबकि \(\cot \theta\), \(\tan \theta\) का व्युत्क्रम है। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम युग्म याद रखें—sin–cosec, cos–sec और tan–cot। / The reciprocal of \(\sin \theta\) is \(\dfrac{1}{\sin \theta}\). By definition, \(\cosec \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}\), so \(\cosec \theta\) is the correct option. \(\sec \theta\) is the reciprocal of \(\cos \theta\), whereas \(\cot \theta\) is the reciprocal of \(\tan \theta\). Exam tip: Remember the reciprocal pairs: sin–cosec, cos–sec, and tan–cot.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होता है। परीक्षा में \(\sec \theta\) और \(\cosec \theta\) को न मिलाएँ। / \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\). Do not confuse \(\sec \theta\) with \(\cosec \theta\) in exams.
\(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\) होता है। व्युत्क्रम फलनों को सूत्र रूप में लिखकर जाँचें। / \(\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}\). Check reciprocal functions by writing them as formulas.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) होता है। भाग वाले संबंध पहचानना आसान प्रश्नों में उपयोगी है। / \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\). Recognizing quotient relations is useful in easy questions.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) होता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) के संबंध उलटे होते हैं। / \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\). The relations of \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) are reciprocal.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) मूल सर्वसमिका है। इसे हर अध्याय में आधार सूत्र की तरह प्रयोग करें। / \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) is a basic identity. Use it as a base formula throughout the chapter.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) से मान (1) मिलता है। सूत्र को स्थानांतरित करके उत्तर निकालें। / From \(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\), the value is (1). Rearrange the formula to get the answer.
त्रिकोणमितीय पहचान \(cosec^2\theta=1+\cot^2\theta\) के अनुसार, \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=(1+\cot^2\theta)-\cot^2\theta=1\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(\cot^2\theta\) के पद कटने के बाद स्थिर पद 1 बचता है। परीक्षा में पहचान \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=1\) सीधे याद रखें। / Using the trigonometric identity \(cosec^2\theta=1+\cot^2\theta\), we obtain \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=(1+\cot^2\theta)-\cot^2\theta=1\). Hence, option A is correct. Option B is incorrect because the constant term 1 remains after the \(\cot^2\theta\) terms cancel. For exams, remember the direct identity \(cosec^2\theta-\cot^2\theta=1\).
\(\sin \theta\) का मूल काल \(2\pi\) होता है। काल संबंधी प्रश्नों में फलन का नाम पहले पहचानें। / The fundamental period of \(\sin \theta\) is \(2\pi\). In period questions, identify the function first.
\(\cos \theta\) का मूल काल \(2\pi\) होता है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का काल समान है। / The fundamental period of \(\cos \theta\) is \(2\pi\). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same period.
\(\tan \theta\) का मूल काल \(\pi\) होता है। \(\tan \theta\) का काल \(\sin \theta\) से अलग है। / The fundamental period of \(\tan \theta\) is \(\pi\). The period of \(\tan \theta\) differs from that of \(\sin \theta\).
\(\cot \theta\) का मूल काल \(\pi\) होता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) का काल समान है। / The fundamental period of \(\cot \theta\) is \(\pi\). \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) have the same period.
\(sin \theta\) विषम फलन है इसलिए \(sin(-\theta)=-\sin \theta\)। ऋण कोण वाले प्रश्नों में सम-विषम गुण पहचानें। / \(sin \theta\) is an odd function, so \(sin(-\theta)=-\sin \theta\). For negative angles, identify even-odd properties.
\(cos \theta\) सम फलन है इसलिए \(cos(-\theta)=\cos \theta\)। सम फलन में ऋण चिह्न से मान नहीं बदलता। / \(cos \theta\) is an even function, so \(cos(-\theta)=\cos \theta\). In an even function, the negative sign does not change the value.
\(\sec \theta\) सम फलन है इसलिए (\sec\(-\theta\)=\sec \theta)। \(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) दोनों सम हैं। / \(\sec \theta\) is an even function, so (\sec\(-\theta\)=\sec \theta). Both \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are even.
\(\cosec \theta\) विषम फलन है इसलिए (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta)। यह \(\sin \theta\) के व्युत्क्रम जैसा व्यवहार करता है। / \(\cosec \theta\) is an odd function, so (\cosec\(-\theta\)=-\cosec \theta). It behaves like the reciprocal of \(\sin \theta\).
\(\sin \theta\) का मान हमेशा ([-1,1]) में रहता है। परिसर पूछे जाने पर अधिकतम और न्यूनतम मान देखें। / The value of \(\sin \theta\) always lies in ([-1,1]). For range questions, check the maximum and minimum values.
\(\cos \theta\) का परिसर ([-1,1]) है। \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का परिसर समान होता है। / The range of \(\cos \theta\) is ([-1,1]). \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) have the same range.
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) है। \(\cos\theta\ne0\) होने पर \(\tan\theta\) प्रत्येक वास्तविक मान प्राप्त कर सकता है, इसलिए इसका परिसर \(( -\infty,\infty )\) है। \([-1,1]\), \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) का परिसर है, \(\tan\theta\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\tan\theta\) का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ है, जबकि यह \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर अपरिभाषित होता है। / \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). For values of \(\theta\) where \(\cos\theta\ne0\), \(\tan\theta\) can take every real value. Hence its range is \(( -\infty,\infty )\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin\theta\) and \(\cos\theta\), not \(\tan\theta\). Exam tip: the range of \(\tan\theta\) is all real numbers, although it is undefined at \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) होने से इसके मान ([-1,1]) के अंदर नहीं आते। परिसर (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)) होता है। / Since \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), its values do not lie inside ([-1,1]). Its range is (\(-\infty,-1]\cup[1,\infty\)).
\(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\) है। चूँकि \(-1\leq\sin\theta\leq1\) तथा \(\sin\theta\neq0\) होना चाहिए, इसलिए \(\cosec\theta\) का मान \(-1\) से छोटा या बराबर अथवा 1 से बड़ा या बराबर होता है। \(\sin\theta=-1\) और \(1\) पर क्रमशः \(\cosec\theta=-1\) और \(1\) मिलते हैं, इसलिए दोनों सिरों को शामिल किया जाता है। विकल्प C में इन्हीं सिरों को बाहर रखा गया है। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों में उन मानों को जाँचें जहाँ हर शून्य हो सकता है। / \(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\). Since \(-1\leq\sin\theta\leq1\) and \(\sin\theta\neq0\), the value of \(\cosec\theta\) is either less than or equal to \(-1\), or greater than or equal to 1. At \(\sin\theta=-1\) and \(1\), we get \(\cosec\theta=-1\) and \(1\), so both endpoints are included. Option C incorrectly excludes these endpoints. Exam tip: for reciprocal trigonometric functions, check values for which the denominator becomes zero.
\(\cot \theta\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) का परिसर समान है। / \(\cot \theta\) can take all real values. \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) have the same range.
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) है इसलिए \(\cos \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर में शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), so it is undefined when \(\cos \theta=0\). The denominator must not be zero.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) है इसलिए \(\cos \theta=0\) पर यह अपरिभाषित है। व्युत्क्रम फलन में हर की जाँच करें। / \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), so it is undefined when \(\cos \theta=0\). Check the denominator in reciprocal functions.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) है इसलिए \(\sin \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर शून्य होने पर फलन नहीं बनता। / \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), so it is undefined when \(\sin \theta=0\). A function is not defined when the denominator is zero.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) है इसलिए \(\sin \theta=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। भाग वाले फलनों में हर पहचानें। / \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), so it is undefined when \(\sin \theta=0\). In quotient functions, identify the denominator.
\(\sin(\pi+\theta)=-\sin \theta\) होता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) का चिह्न ऋण होता है। / \(\sin(\pi+\theta)=-\sin \theta\). In the third quadrant, \(\sin \theta\) is negative.
\(\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta\) होता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) का चिह्न ऋण होता है। / \(\cos(\pi+\theta)=-\cos \theta\). In the third quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\tan \theta\) का काल \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta)। काल याद रखने से रूपांतरण आसान होता है। / The period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), so (\tan\(\pi+\theta\)=\tan \theta). Knowing periods makes transformations easier.
\(\sin \theta\) का काल \(2\pi\) है इसलिए मान \(\sin \theta\) ही रहता है। पूर्ण चक्र जुड़ने पर \(\sin \theta\) नहीं बदलता। / The period of \(\sin \theta\) is \(2\pi\), so the value remains \(\sin \theta\). Adding a full cycle does not change \(\sin \theta\).
कोसाइन फलन का आवर्त \(2\pi\) है। इसलिए \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\), अतः \(\cos(2\pi+\theta)=\cos\theta\)। \(-\cos\theta\) तब प्राप्त होता है जब कोण में \(\pi\) जोड़ा जाता है: \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\)। परीक्षा टिप: \(2\pi\) के किसी भी पूर्ण गुणज को कोण में जोड़ने या घटाने पर साइन और कोसाइन के मान अपरिवर्तित रहते हैं। / The cosine function has period \(2\pi\). Therefore, \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\), so \(\cos(2\pi+\theta)=\cos\theta\). The expression \(-\cos\theta\) results when \(\pi\) is added to the angle: \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\). Exam tip: Adding or subtracting any integral multiple of \(2\pi\) leaves the values of sine and cosine unchanged.
\(\sin(\pi-\theta)=\sin \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) धनात्मक होता है। / \(\sin(\pi-\theta)=\sin \theta\). In the second quadrant, \(\sin \theta\) is positive.
\(\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\cos(\pi-\theta)=-\cos \theta\). In the second quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\tan(\pi-\theta)=-\tan \theta\) होता है। दूसरे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\tan(\pi-\theta)=-\tan \theta\). In the second quadrant, \(\tan \theta\) is negative.
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) सह-फलन संबंध है। \(\frac{\pi}{2}\) वाले रूपांतरण में फलन बदलता है। / \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta\) is a cofunction relation. In transformations with \(\frac{\pi}{2}\), the function changes.
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\) होता है। सह-फलन संबंध में \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) आपस में बदलते हैं। / \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta\). In cofunction relations, \(\sin \theta\) and \(\cos \theta\) interchange.
\(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\) होता है। \(\tan \theta\) का सह-फलन \(\cot \theta\) है। / \(\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cot \theta\). The cofunction of \(\tan \theta\) is \(\cot \theta\).
\(\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cosec \theta\) होता है। \(\sec \theta\) और \(\cosec \theta\) सह-फलन हैं। / \(\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cosec \theta\). \(\sec \theta\) and \(\cosec \theta\) are cofunctions.
\(\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x\), अतः \(\tan x\) विषम फलन है। \(\cos x\) और \(\sec x\) सम फलन हैं, क्योंकि इनके लिए \(f(-x)=f(x)\) होता है। \(\cos^2 x\) भी सम है। परीक्षा टिप: विषम फलन की जाँच के लिए \(f(-x)=-f(x)\) लगाएँ। / \(\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x\); therefore, \(\tan x\) is an odd function. \(\cos x\) and \(\sec x\) are even, and \(\cos^2 x\) is also even. Exam tip: test an odd function using \(f(-x)=-f(x)\).
मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\) होता है, इसलिए विकल्प B सही है। \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 30^\circ\) का मान है, \(\cos 60^\circ\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(30^\circ\), \(45^\circ\) और \(60^\circ\) के मानों की सारणी याद रखें। / From the standard trigonometric values, \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), so option B is correct. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) is the value of \(\cos 30^\circ\), not \(\cos 60^\circ\). Exam tip: Memorise the standard values for \(30^\circ\), \(45^\circ\), and \(60^\circ\).
\(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\) होता है। \(\tan 30^\circ\) और \(\tan 60^\circ\) को अलग-अलग याद करें। / \(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Remember \(\tan 30^\circ\) and \(\tan 60^\circ\) separately.
\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) होता है। यह तब अपरिभाषित होता है जब हर \(\cos\theta=0\) हो। \(\cos\theta=0\) के लिए \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\), जहाँ \(n\) पूर्णांक है; इसलिए विकल्प B सही है। \(n\pi\) पर \(\tan\theta=0\) होता है, जबकि \(\frac{\pi}{4}+n\pi\) और \(\frac{\pi}{3}+n\pi\) पर यह परिभाषित रहता है। परीक्षा टिप: \(\tan\theta\) में हर \(\cos\theta\) है, इसलिए पहले \(\cos\theta=0\) जाँचें। / \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\). It is undefined when its denominator, \(\cos\theta\), is zero. Since \(\cos\theta=0\) at \(\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi\), where \(n\) is an integer, option B is correct. At \(n\pi\), \(\tan\theta=0\), and it is defined at \(\frac{\pi}{4}+n\pi\) and \(\frac{\pi}{3}+n\pi\). Exam tip: for tangent, first check where \(\cos\theta=0\).
मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार \(\cos 90^\circ=0\) होता है। इकाई वृत्त पर \(90^\circ\) के बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है, और वही कोज्या का मान है। \(1\), \(\cos 0^\circ\) का मान है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) के मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / From the standard trigonometric values, \(\cos 90^\circ=0\). On the unit circle, the x-coordinate of the point at \(90^\circ\) is 0, and this coordinate represents cosine. The value 1 is \(\cos 0^\circ\), so it is not correct here. Exam tip: Memorise the standard trigonometric values at \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\), and \(90^\circ\).
\(\tan 0^\circ=0\) होता है। \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) से भी इसे जाँचा जा सकता है। / \(\tan 0^\circ=0\). It can also be checked using \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\).
\(\sec 0^\circ=\frac{1}{\cos 0^\circ}=1\) होता है। व्युत्क्रम मान निकालते समय मूल फलन का मान पहले लिखें। / \(\sec 0^\circ=\frac{1}{\cos 0^\circ}=1\). While finding reciprocal values, first write the value of the basic function.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) से \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\) मिलता है। परीक्षा में मूल सर्वसमिका को पहले लिखें। / From \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\), we get \(\sin^2 \theta=1-\cos^2 \theta\). In exams, write the basic identity first.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) होता है। \(\tan \theta\) वाले प्रश्नों में \(\sec^2 \theta\) पहचानना उपयोगी है। / \(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\). In questions involving \(\tan \theta\), recognizing \(\sec^2 \theta\) is useful.
पहले चतुर्थांश में सभी त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होते हैं। परीक्षा में चतुर्थांश के चिह्न याद रखें। / In the first quadrant, all trigonometric functions are positive. Remember quadrant signs for exams.
दूसरे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) और \(\cosec \theta\) धनात्मक होते हैं। चिह्न नियम को याद रखने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / In the second quadrant, \(\sin \theta\) and \(\cosec \theta\) are positive. Knowing sign rules helps solve such questions quickly.
तीसरे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) और \(\cot \theta\) धनात्मक होते हैं। चतुर्थांश के अनुसार चिह्न बदलता है। / In the third quadrant, \(\tan \theta\) and \(\cot \theta\) are positive. The sign changes according to the quadrant.
चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) धनात्मक होते हैं। संकेत नियम को छोटी तालिका से याद करें। / In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are positive. Remember sign rules using a small table.
\(\frac{\pi}{2}\) के साथ \(\sin \theta\) सह-फलन \(\cos \theta\) में बदलता है। दूसरे चतुर्थांश में चिह्न धनात्मक रहता है। / With \(\frac{\pi}{2}\), \(\sin \theta\) changes to its cofunction \(\cos \theta\). The sign remains positive in the second quadrant.
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta\) होता है। \(\frac{\pi}{2}\) पर फलन बदलता है और चिह्न चतुर्थांश से तय होता है। / \(\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta\). At \(\frac{\pi}{2}\), the function changes and the sign is decided by the quadrant.
\(\tan \theta\) का सह-फलन \(\cot \theta\) है और दूसरे चतुर्थांश में चिह्न ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cot \theta\) है। / The cofunction of \(\tan \theta\) is \(\cot \theta\), and the sign is negative in the second quadrant. Therefore the answer is \(-\cot \theta\).
\(\cot \theta\) का सह-फलन \(\tan \theta\) है और दूसरे चतुर्थांश में चिह्न ऋणात्मक होता है। ऐसे प्रश्नों में पहले सह-फलन पहचानें। / The cofunction of \(\cot \theta\) is \(\tan \theta\), and the sign is negative in the second quadrant. In such questions, first identify the cofunction.
\(\sec \theta\) का सह-फलन \(\cosec \theta\) है और दूसरे चतुर्थांश में \(\sec \theta\) ऋणात्मक होता है। इसलिए मान \(-\cosec \theta\) है। / The cofunction of \(\sec \theta\) is \(\cosec \theta\), and \(\sec \theta\) is negative in the second quadrant. Hence the value is \(-\cosec \theta\).
\(\cosec \theta\) का सह-फलन \(\sec \theta\) है और दूसरे चतुर्थांश में चिह्न धनात्मक रहता है। सह-फलन जोड़ों को याद रखें। / The cofunction of \(\cosec \theta\) is \(\sec \theta\), and the sign remains positive in the second quadrant. Remember cofunction pairs.
\(\frac{3\pi}{2}\) के साथ \(\sin \theta\) सह-फलन में बदलता है और तीसरे चतुर्थांश में चिह्न ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cos \theta\) है। / With \(\frac{3\pi}{2}\), \(\sin \theta\) changes to a cofunction and the sign is negative in the third quadrant. So the answer is \(-\cos \theta\).
\(\frac{3\pi}{2}\) के साथ \(\cos \theta\) सह-फलन \(\sin \theta\) में बदलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) ऋणात्मक होता है। / With \(\frac{3\pi}{2}\), \(\cos \theta\) changes to the cofunction \(\sin \theta\). In the third quadrant, \(\cos \theta\) is negative.
\(\frac{3\pi}{2}\) के साथ \(\tan \theta\) \(\cot \theta\) में बदलता है। तीसरे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) धनात्मक होता है। / With \(\frac{3\pi}{2}\), \(\tan \theta\) changes to \(\cot \theta\). In the third quadrant, \(\tan \theta\) is positive.
\(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=-\cos \theta\) होता है। \(\frac{3\pi}{2}\) वाले रूप में \(\sin \theta\) सह-फलन में बदलता है। / \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=-\cos \theta\). In a \(\frac{3\pi}{2}\) form, \(\sin \theta\) changes to its cofunction.
\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=\sin \theta\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक माना जाता है। / \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\theta\right)=\sin \theta\). In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is taken as positive.
\(\frac{3\pi}{2}\) के साथ \(\tan \theta\) \(\cot \theta\) में बदलता है और चौथे चतुर्थांश में चिह्न ऋणात्मक होता है। इसलिए उत्तर \(-\cot \theta\) है। / With \(\frac{3\pi}{2}\), \(\tan \theta\) changes to \(\cot \theta\), and the sign is negative in the fourth quadrant. Therefore the answer is \(-\cot \theta\).
\(\sin \theta\) का काल \(2\pi\) है इसलिए \(2\pi\) जोड़ने से मान नहीं बदलता। काल का उपयोग करके बड़े कोण सरल करें। / The period of \(\sin \theta\) is \(2\pi\), so adding \(2\pi\) does not change its value. Use periods to simplify large angles.
कोसाइन फलन का आवर्त \(2\pi\) होता है। अतः कोण में \(2\pi\) जोड़ने पर इकाई वृत्त पर बिंदु उसी स्थिति में लौट आता है और \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\) होता है। \(-\cos\theta\) तब प्राप्त होता है जब कोण में \(\pi\) जोड़ा जाए, क्योंकि \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\)। परीक्षा टिप: \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) दोनों के लिए \(2\pi\) जोड़ने पर मान अपरिवर्तित रहता है। / The cosine function has period \(2\pi\). Therefore, adding \(2\pi\) returns the point to the same position on the unit circle, giving \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\). In contrast, adding \(\pi\) gives \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\). Exam tip: for both sine and cosine, adding \(2\pi\) leaves the value unchanged.
\(\tan \theta\) का काल \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\theta+\pi\)=\tan \theta)। \(\tan \theta\) के लिए \(2\pi\) की जरूरत नहीं होती। / The period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), so (\tan\(\theta+\pi\)=\tan \theta). For \(\tan \theta\), \(2\pi\) is not needed.
\(\cot \theta\) का काल \(\pi\) होता है। इसलिए (\cot\(\theta+\pi\)) का मान \(\cot \theta\) ही रहता है। / The period of \(\cot \theta\) is \(\pi\). Therefore (\cot\(\theta+\pi\)) remains \(\cot \theta\).
\(\sec \theta\) का काल \(2\pi\) है क्योंकि यह \(\cos \theta\) का व्युत्क्रम है। इसलिए \(2\pi\) जोड़ने पर मान वही रहता है। / The period of \(\sec \theta\) is \(2\pi\) because it is the reciprocal of \(\cos \theta\). Hence adding \(2\pi\) keeps the value same.
\(\cosec \theta\) का काल \(2\pi\) है क्योंकि यह \(\sin \theta\) का व्युत्क्रम है। काल से उत्तर तुरंत मिलता है। / The period of \(\cosec \theta\) is \(2\pi\) because it is the reciprocal of \(\sin \theta\). The period gives the answer directly.
\(\sin(\theta+\pi)=-\sin \theta\) होता है। \(\pi\) जोड़ने पर \(\sin \theta\) का चिह्न बदल जाता है। / \(\sin(\theta+\pi)=-\sin \theta\). Adding \(\pi\) changes the sign of \(\sin \theta\).
\(\cos(\theta+\pi)=-\cos \theta\) होता है। आधा चक्र जोड़ने से \(\cos \theta\) का चिह्न बदलता है। / \(\cos(\theta+\pi)=-\cos \theta\). Adding half a cycle changes the sign of \(\cos \theta\).
(\sin\(\theta-\pi\)=-\sin \theta) होता है। \(\pi\) घटाने पर भी \(\sin \theta\) का चिह्न बदलता है। / (\sin\(\theta-\pi\)=-\sin \theta). Subtracting \(\pi\) also changes the sign of \(\sin \theta\).
\(\cos(\theta-\pi)=-\cos \theta\) होता है। \(\pi\) का अंतर \(\cos \theta\) का चिह्न बदल देता है। / \(\cos(\theta-\pi)=-\cos \theta\). A difference of \(\pi\) changes the sign of \(\cos \theta\).
\(\tan \theta\) का काल \(\pi\) है इसलिए (\tan\(\theta-\pi\)=\tan \theta)। काल घटाने पर भी मान वही रहता है। / The period of \(\tan \theta\) is \(\pi\), so (\tan\(\theta-\pi\)=\tan \theta). Subtracting the period keeps the value same.
\(\sin(2\pi-\theta)=-\sin \theta\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\sin \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\sin(2\pi-\theta)=-\sin \theta\). In the fourth quadrant, \(\sin \theta\) is negative.
\(\cos(2\pi-\theta)=\cos \theta\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\cos \theta\) धनात्मक होता है। / \(\cos(2\pi-\theta)=\cos \theta\). In the fourth quadrant, \(\cos \theta\) is positive.
\(\tan(2\pi-\theta)=-\tan \theta\) होता है। चौथे चतुर्थांश में \(\tan \theta\) ऋणात्मक होता है। / \(\tan(2\pi-\theta)=-\tan \theta\). In the fourth quadrant, \(\tan \theta\) is negative.
\(\sec \theta\) \(\cos \theta\) का व्युत्क्रम है और चौथे चतुर्थांश में धनात्मक रहता है। इसलिए (\sec\(2\pi-\theta\)=\sec \theta) है। / \(\sec \theta\) is the reciprocal of \(\cos \theta\) and remains positive in the fourth quadrant. So (\sec\(2\pi-\theta\)=\sec \theta).
\(\cosec \theta\) \(\sin \theta\) का व्युत्क्रम है और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। इसलिए मान \(-\cosec \theta\) है। / \(\cosec \theta\) is the reciprocal of \(\sin \theta\) and is negative in the fourth quadrant. Therefore the value is \(-\cosec \theta\).
\(\sin \theta\) का मान ([-1,1]) में होता है इसलिए \(\sin^2 \theta\) का अधिकतम मान (1) है। वर्ग करने पर मान ऋणात्मक नहीं रहता। / The value of \(\sin \theta\) lies in ([-1,1]), so the maximum value of \(\sin^2 \theta\) is (1). Squaring makes the value non-negative.
प्रत्येक वास्तविक \(\theta\) के लिए \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\) होता है। इसलिए \(\cos^2\theta\) का मान \(0\) से \(1\) के बीच होता है। जब \(\cos\theta=0\), जैसे \(\theta=\frac{\pi}{2}\) पर, तब \(\cos^2\theta=0\) होता है। अतः इसका न्यूनतम मान \(0\) है। \(1\) इसका अधिकतम मान है, न्यूनतम नहीं। परीक्षा टिप: किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता। / For every real \(\theta\), \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\). Hence, \(\cos^2\theta\) lies in the interval from \(0\) to \(1\). When \(\cos\theta=0\), for example at \(\theta=\frac{\pi}{2}\), we get \(\cos^2\theta=0\). Therefore, the minimum value is \(0\). The value \(1\) is the maximum, not the minimum. Exam tip: the square of a real number cannot be negative.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) होता है इसलिए यह स्थिर मान है। मूल सर्वसमिका सीधे पहचानें। / \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\), so it is a constant value. Identify the basic identity directly.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) में \(\sin \theta=0\) रखने पर \(\cos^2 \theta=1\) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में पहचान सूत्र लगाएँ। / Putting \(\sin \theta=0\) in \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) gives \(\cos^2 \theta=1\). Use the identity in such questions.
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) में \(\cos \theta=0\) रखने पर \(\sin^2 \theta=1\) आता है। ज्ञात मान को सूत्र में रखें। / Putting \(\cos \theta=0\) in \(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\) gives \(\sin^2 \theta=1\). Substitute the known value in the formula.
\(\1+\tan^2 \theta=\sec^2 \theta\) और \(\frac{1}{\sec^2 \theta}=\cos^2 \theta\) होता है। व्युत्क्रम लेते समय सावधानी रखें। / \(\1+\tan^2 \theta=\sec^2 \theta\) and \(\frac{1}{\sec^2 \theta}=\cos^2 \theta\). Be careful while taking reciprocals.
\(\1+\cot^2 \theta=\cosec^2 \theta\) और \(\frac{1}{\cosec^2 \theta}=\sin^2 \theta\) होता है। पहचान सूत्र से भिन्न सरल करें। / \(\1+\cot^2 \theta=\cosec^2 \theta\) and \(\frac{1}{\cosec^2 \theta}=\sin^2 \theta\). Simplify fractions using identities.
\(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\) से \(\sec^2 \theta-1=\tan^2 \theta\) मिलता है। सूत्र को सरल रूप में बदलें। / From \(\sec^2 \theta=1+\tan^2 \theta\), we get \(\sec^2 \theta-1=\tan^2 \theta\). Rearrange the formula into a simple form.
\(\cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\) से \(\cosec^2 \theta-1=\cot^2 \theta\) होता है। समान पहचान सूत्रों की जोड़ी बनाकर अभ्यास करें। / From \(\cosec^2 \theta=1+\cot^2 \theta\), \(\cosec^2 \theta-1=\cot^2 \theta\). Practice similar identities in pairs.
\(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) इसलिए \(\frac{\sin \theta}{\cosec \theta}=\sin^2 \theta\) है। व्युत्क्रम संबंध को भिन्न में बदलें। / Since \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), \(\frac{\sin \theta}{\cosec \theta}=\sin^2 \theta\). Convert reciprocal relations into fractions.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) इसलिए \(\frac{\cos \theta}{\sec \theta}=\cos^2 \theta\) होता है। व्युत्क्रम लिखने से सरलीकरण आसान होता है। / Since \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), \(\frac{\cos \theta}{\sec \theta}=\cos^2 \theta\). Writing the reciprocal makes simplification easy.
\(\sin \theta\) और \(\cosec \theta\) परस्पर व्युत्क्रम हैं इसलिए उनका गुणनफल (1) होता है। व्युत्क्रम जोड़ों को याद रखें। / \(\sin \theta\) and \(\cosec \theta\) are reciprocals, so their product is (1). Remember reciprocal pairs.
\(\cos \theta\) और \(\sec \theta\) एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। इसलिए उनका गुणनफल (1) है। / \(\cos \theta\) and \(\sec \theta\) are reciprocals of each other. Therefore their product is (1).
परिभाषा के अनुसार \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) तथा \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)। अतः \(\tan\theta\cdot\cot\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1\), जहाँ दोनों फलन परिभाषित हों। \(0\) केवल कुछ अन्य त्रिकोणमितीय गुणनफलों में आ सकता है, इस गुणनफल में नहीं। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों का गुणनफल सामान्यतः \(1\) होता है। / Using the definitions, \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) and \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\). Therefore, \(\tan\theta\cdot\cot\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=1\), wherever both functions are defined. It is not \(0\); tangent and cotangent are reciprocal ratios. Exam tip: the product of reciprocal trigonometric ratios is usually \(1\).
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) और \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) रखने पर उत्तर \(\sin \theta\) मिलता है। भाग को भिन्न में बदलकर काटें। / Using \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) and \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\), the answer is \(\sin \theta\). Convert division into fractions and cancel.
\(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) और \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\) रखने पर \(\cos \theta\) मिलता है। मानक रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Using \(\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) and \(\cosec \theta=\frac{1}{\sin \theta}\), we get \(\cos \theta\). Writing standard forms is the safest method.
\(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) और \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) से \(\frac{1}{\sin \theta}=\cosec \theta\) मिलता है। भिन्नों को सावधानी से सरल करें। / From \(\sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}\) and \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), we get \(\frac{1}{\sin \theta}=\cosec \theta\). Simplify fractions carefully.
\(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\) तथा \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\) रखने पर
\(\frac{\cosec\theta}{\cot\theta}=\frac{1/\sin\theta}{\cos\theta/\sin\theta}=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta\)। इसलिए सही विकल्प \(\sec\theta\) है। \(\tan\theta\) के लिए \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम और भागफल वाले त्रिकोणमितीय अनुपातों को पहले \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) के रूप में लिखें। / Using \(\cosec\theta=\frac{1}{\sin\theta}\) and \(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\),
\(\frac{\cosec\theta}{\cot\theta}=\frac{1/\sin\theta}{\cos\theta/\sin\theta}=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta\). Hence, \(\sec\theta\) is correct. \(\tan\theta\) equals \(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\), so it is not the answer. Exam tip: rewrite reciprocal and quotient trigonometric ratios in terms of \(\sin\theta\) and \(\cos\theta\) before simplifying.
\(\sin x\) हर \(2\pi\) के बाद अपना मान दोहराता है। परीक्षा में काल पूछने पर सबसे पहले मूल फलन पहचानें। / \(\sin x\) repeats its value after every \(2\pi\). In exams first identify the basic function.
\(\cos x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। परिसर में अंतिम मान भी शामिल होते हैं। / The value of \(\cos x\) always lies between (-1) and (1). The end values are included in the range.
क्योंकि (\sin(-x)=-\sin x), इसलिए \(\sin x\) विषम फलन है। विषम फलन में (f(-x)=-f(x)) होता है। / Since (\sin(-x)=-\sin x), \(\sin x\) is an odd function. For an odd function, (f(-x)=-f(x)).
सम फलन के लिए प्रत्येक परिभाषित मान पर \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए। क्योंकि \(\cos(-x)=\cos x\), इसलिए \(\cos x\) सम फलन है। इसके विपरीत, \(\sin x\), \(\tan x\) और \(\cot x\) विषम फलन हैं, क्योंकि इनके लिए \(f(-x)=-f(x)\) होता है। परीक्षा टिप: सम फलन सामान्यतः \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / For an even function, \(f(-x)=f(x)\) for every value in its domain. Since \(\cos(-x)=\cos x\), \(\cos x\) is an even function. In contrast, \(\sin x\), \(\tan x\), and \(\cot x\) are odd functions because they satisfy \(f(-x)=-f(x)\). Exam tip: an even function is symmetric about the \(y\)-axis.
मूल पायथागोरीय त्रिकोणमितीय पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) है। अतः सही मान 1 है। \(\sec^2 x\) की पहचान \(1+\tan^2 x\) के बराबर होती है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin^2 x+\cos^2 x\) दिखते ही उसका मान 1 लिखें। / The fundamental Pythagorean trigonometric identity is \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\). Therefore, the correct value is 1. Note that \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), so it is not the value of this expression. Exam tip: whenever you see \(\sin^2 x+\cos^2 x\), replace it with 1.
\(\tan x\) हर \(\pi\) के बाद अपना मान दोहराता है। \(\tan x\) और \(\cot x\) का काल \(\pi\) होता है। / \(\tan x\) repeats its value after every \(\pi\). The period of \(\tan x\) and \(\cot x\) is \(\pi\).
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) होता है, इसलिए \(\sec x\), \(\cos x\) का व्युत्क्रम फलन है। \(\tan x\) का व्युत्क्रम \(\cot x\) होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में याद रखें: \(\sec\leftrightarrow\cos\), \(\cosec\leftrightarrow\sin\), तथा \(\cot\leftrightarrow\tan\)। / \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\), so \(\sec x\) is the reciprocal of \(\cos x\). The reciprocal of \(\tan x\) is \(\cot x\), so option B is not correct. Exam tip: remember the pairs \(\sec\leftrightarrow\cos\), \(\cosec\leftrightarrow\sin\), and \(\cot\leftrightarrow\tan\).
सही उत्तर \(\sin x\) है, क्योंकि \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cosec x\), \(\sin x\) का गुणात्मक व्युत्क्रम है। \(\sec x\), \(\cos x\) का व्युत्क्रम होता है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\sin\)–\(\cosec\), \(\cos\)–\(\sec\) और \(\tan\)–\(\cot\) व्युत्क्रम युग्म याद रखें। / The correct answer is \(\sin x\), because \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Thus, \(\cosec x\) is the multiplicative reciprocal of \(\sin x\). \(\sec x\) is the reciprocal of \(\cos x\), so it is not correct here. Exam tip: Remember the reciprocal pairs \(\sin\)–\(\cosec\), \(\cos\)–\(\sec\), and \(\tan\)–\(\cot\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) मूल अनुपात पहचान है। ऐसे प्रश्नों में अंश और हर को ध्यान से देखें। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) is a basic quotient identity. In such questions, check numerator and denominator carefully.
सह-फलन की भागफल पहचान के अनुसार \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A, \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), का सूत्र है; अतः वह \(\cot x\) नहीं है। ध्यान दें कि \(\cot x\) तभी परिभाषित है जब \(\sin x\ne0\) हो। परीक्षा टिप: \(\tan x\) में sin ऊपर और cos नीचे होता है, जबकि \(\cot x\) में क्रम उलटा होता है। / By the quotient identity, \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), so option B is correct. Option A is the formula for \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), not for \(\cot x\). Note that \(\cot x\) is defined only when \(\sin x\ne0\). Exam tip: in \(\tan x\), sine is in the numerator and cosine in the denominator; for \(\cot x\), the order is reversed.
वास्तविक मानों के लिए \(\sin x\) का मान हमेशा \(-1\) और \(1\) के बीच रहता है तथा \(x=\frac{\pi}{2}\) पर \(1\) और \(x=\frac{3\pi}{2}\) पर \(-1\) प्राप्त होता है। इसलिए इसका परिसर \([-1,1]\) है। \([0,1]\) केवल \(\sin x\) के अऋणात्मक मानों को दर्शाता है, इसलिए वह पूर्ण परिसर नहीं है। परीक्षा टिप: साइन और कोसाइन दोनों का परिसर \([-1,1]\) याद रखें। / For real values of \(x\), \(\sin x\) always lies between \(-1\) and \(1\). It attains \(1\) at \(x=\frac{\pi}{2}\) and \(-1\) at \(x=\frac{3\pi}{2}\), so its range is \([-1,1]\). The interval \([0,1]\) includes only the non-negative sine values, so it is not the complete range. Exam tip: remember that both sine and cosine have range \([-1,1]\).
\(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) उन सभी \(x\) के लिए परिभाषित है जहाँ \(\cos x\ne0\)। अपने प्रत्येक परिभाषित अंतराल में \(\tan x\) का मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। इसलिए इसका परिसर \(( -\infty,\infty )\) है। \([-1,1]\), \(\sin x\) और \(\cos x\) का परिसर है, \(\tan x\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\tan x\) और \(\cot x\) का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ होता है। / \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) is defined wherever \(\cos x\ne0\). On every interval where it is defined, \(\tan x\) takes every real value from \(-\infty\) to \(\infty\). Hence its range is \(( -\infty,\infty )\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin x\) and \(\cos x\), not of \(\tan x\). Exam tip: the ranges of \(\tan x\) and \(\cot x\) are all real numbers.
क्योंकि \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), इसलिए \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\)। पहचान को सही दिशा में प्रयोग करें। / Since \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(\sec^2 x-\tan^2 x=1\). Use the identity in the correct direction.
क्योंकि \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), अंतर (1) होगा। यह पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से जुड़ी है। / Since \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), the difference is (1). This identity is linked to \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
जब \(x=0\) हो, तब \(\cos 0=1\) होता है। इसलिए सही विकल्प \(1\) है। ध्यान दें कि \(\sin x=0\) के लिए \(x=n\pi\) भी हो सकता है, पर प्रश्न में विशेष रूप से \(x=0\) दिया गया है। परीक्षा टिप: \(0\) पर \(\sin 0=0\) और \(\cos 0=1\) याद रखें। / At \(x=0\), \(\cos 0=1\). Therefore, the correct option is \(1\). Note that \(\sin x=0\) can also occur at \(x=n\pi\), but the question specifically asks for \(x=0\). Exam tip: Remember that \(\sin 0=0\) and \(\cos 0=1\).
\(\sin 0=0\) एक मानक मान है। परीक्षा में (0), \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) के मान जरूर याद रखें। / \(\sin 0=0\) is a standard value. In exams, remember the values for (0), \(\frac{\pi}{2}\), and \(\pi\).
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) होता है। अतः \(\tan 0=\frac{\sin 0}{\cos 0}=\frac{0}{1}=0\)। इसलिए सही विकल्प 0 है। \(\tan 0\) अपरिभाषित नहीं है, क्योंकि \(\cos 0=1\), जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: \(\tan \theta\) केवल तब अपरिभाषित होता है जब \(\cos \theta=0\)। / Using \(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), we get \(\tan 0=\frac{\sin 0}{\cos 0}=\frac{0}{1}=0\). Hence, 0 is the correct option. It is not undefined because \(\cos 0=1\), not zero. Exam tip: \(\tan \theta\) is undefined only when \(\cos \theta=0\).
\(\frac{\pi}{2}\) पर \(\sin x\) का मान (1) होता है। यूनिट सर्कल से यह मान जल्दी याद होता है। / At \(\frac{\pi}{2}\), the value of \(\sin x\) is (1). The unit circle helps remember this value quickly.
इकाई वृत्त पर कोण \(\frac{\pi}{2}\) के संगत बिंदु के निर्देशांक \((0,1)\) होते हैं। कोसाइन x-निर्देशांक के बराबर होता है, इसलिए \(\cos \frac{\pi}{2}=0\)। \(-1\) का मान \(\cos \pi\) के लिए होता है, \(\cos \frac{\pi}{2}\) के लिए नहीं। परीक्षा टिप: \(0, \frac{\pi}{2}, \pi\) के लिए कोसाइन के मान क्रमशः \(1,0,-1\) याद रखें। / On the unit circle, the point corresponding to the angle \(\frac{\pi}{2}\) is \((0,1)\). Cosine equals the x-coordinate, so \(\cos \frac{\pi}{2}=0\). The value \(-1\) is for \(\cos \pi\), not for \(\cos \frac{\pi}{2}\). Exam tip: Remember that cosine values at \(0, \frac{\pi}{2}, \pi\) are \(1,0,-1\), respectively.
\(\pi-x\) दूसरे चतुर्थांश में होता है और वहाँ \(\sin x\) धनात्मक रहता है। इसलिए (\sin\(\pi-x\)=\sin x)। / \(\pi-x\) lies in the second quadrant and \(\sin x\) remains positive there. Hence (\sin\(\pi-x\)=\sin x).
सहपूरक कोण के सूत्र के अनुसार \(\cos(\pi-x)=-\cos x\)। क्योंकि \(\pi-x\) का कोज्या, \(x\) के कोज्या के बराबर परंतु विपरीत चिह्न वाला होता है। \(\sin(\pi-x)=\sin x\) होता है, इसलिए \(\sin x\) वाला विकल्प इस प्रश्न में सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\pi-x\) के लिए sine का चिह्न धनात्मक और cosine का चिह्न ऋणात्मक याद रखें। / Using the supplementary-angle identity, \(\cos(\pi-x)=-\cos x\). The cosine of \(\pi-x\) has the same magnitude as \(\cos x\), but the opposite sign. Note that \(\sin(\pi-x)=\sin x\), so the sine options do not apply here. Exam tip: for \(\pi-x\), remember that sine remains positive while cosine changes sign.
\(\tan x\) का काल \(\pi\) है, इसलिए (\tan\(\pi+x\)=\tan x)। काल का उपयोग करके उत्तर जल्दी मिलता है। / The period of \(\tan x\) is \(\pi\), so (\tan\(\pi+x\)=\tan x). Using period gives the answer quickly.
साइन एक विषम फलन है। इसलिए कोण का चिह्न बदलने पर साइन का मान भी विपरीत चिह्न का हो जाता है: \(\sin(-x)=-\sin x\)। \(\sin x\) लेना सम फलन वाला नियम होगा, जो यहाँ गलत है। परीक्षा टिप: \(\sin\) और \(\tan\) विषम हैं, जबकि \(\cos\) सम फलन है। / Sine is an odd function. Therefore, changing the sign of the angle changes the sign of its value: \(\sin(-x)=-\sin x\). Choosing \(\sin x\) would apply the even-function rule, so it is incorrect here. Exam tip: \(\sin\) and \(\tan\) are odd functions, whereas \(\cos\) is an even function.
\(\cos x\) सम फलन है, इसलिए (\cos(-x)=\cos x)। ऋण कोण वाले प्रश्नों में सम-विषम गुण लगाएँ। / \(\cos x\) is an even function, so (\cos(-x)=\cos x). Use even-odd properties for negative angle questions.
\(\tan x\) विषम फलन है, इसलिए (\tan(-x)=-\tan x)। इसे \(\frac{\sin x}{\cos x}\) से भी समझ सकते हैं। / \(\tan x\) is an odd function, so (\tan(-x)=-\tan x). This can also be understood from \(\frac{\sin x}{\cos x}\).
पहले चतुर्थांश में सभी त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होते हैं। चतुर्थांश संकेत तालिका याद रखें। / In the first quadrant, all trigonometric functions are positive. Remember the quadrant sign table.
दूसरे चतुर्थांश में केवल \(\sin x\) और \(\cosec x\) धनात्मक होते हैं। इसलिए \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। / In the second quadrant, only \(\sin x\) and \(\cosec x\) are positive. Therefore, \(\cos x\) is negative.
तीसरे चतुर्थांश में \(\tan x\) और \(\cot x\) धनात्मक होते हैं। संकेत नियम से उत्तर सीधे मिलता है। / In the third quadrant, \(\tan x\) and \(\cot x\) are positive. The sign rule gives the answer directly.
चौथे चतुर्थांश में बिंदु का y-निर्देशांक ऋणात्मक होता है। क्योंकि \(\sin x=\frac{y}{r}\) और \(r\) सदैव धनात्मक है, इसलिए \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। शून्य केवल x-अक्ष पर होता है, चतुर्थांश के भीतर नहीं। परीक्षा टिप: चतुर्थ चतुर्थांश में cos धनात्मक और sin ऋणात्मक याद रखें। / In the fourth quadrant, the y-coordinate of a point is negative. Since \(\sin x=\frac{y}{r}\) and \(r\) is always positive, \(\sin x\) is negative. It is zero only on the x-axis, not within a quadrant. Exam tip: In the fourth quadrant, remember that cosine is positive and sine is negative.
साइन फलन का आवर्त \(2\pi\) होता है। इसलिए किसी भी कोण \(x\) में \(2\pi\) जोड़ने पर उसका साइन नहीं बदलता: \(\sin(2\pi+x)=\sin x\)। \(-\sin x\) तब प्राप्त होता है जब कोण में \(\pi\) जोड़ा जाता है, क्योंकि \(\sin(\pi+x)=-\sin x\)। परीक्षा टिप: \(\sin(x+2n\pi)=\sin x\) पहचान याद रखें। / The sine function has period \(2\pi\). Hence, adding \(2\pi\) to any angle \(x\) does not change its sine: \(\sin(2\pi+x)=\sin x\). The value \(-\sin x\) occurs on adding \(\pi\), since \(\sin(\pi+x)=-\sin x\). Exam tip: remember \(\sin(x+2n\pi)=\sin x\).
कोसाइन फलन का आवर्तकाल \(2\pi\) होता है। अतः किसी भी कोण \(x\) में \(2\pi\) जोड़ने पर उसका कोसाइन नहीं बदलता: \(\cos(x+2\pi)=\cos x\)। इसलिए सही विकल्प \(\cos x\) है। \(-\cos x\) कोसाइन के चिह्न-परिवर्तन से जुड़ा है, जो \(\pi\) जोड़ने पर होता है: \(\cos(x+\pi)=-\cos x\)। परीक्षा टिप: \(\sin x\) और \(\cos x\) दोनों का आवर्तकाल \(2\pi\) याद रखें। / The cosine function has period \(2\pi\). Therefore, adding \(2\pi\) to any angle \(x\) does not change its cosine: \(\cos(x+2\pi)=\cos x\). Hence, \(\cos x\) is correct. The expression \(-\cos x\) occurs on adding \(\pi\), since \(\cos(x+\pi)=-\cos x\). Exam tip: Remember that both \(\sin x\) and \(\cos x\) have period \(2\pi\).
पूरक कोण पहचान से (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x) होता है। \(\frac{\pi}{2}\) के साथ फलन बदलता है। / By the complementary angle identity, (\sin\(\frac{\pi}{2}-x\)=\cos x). With \(\frac{\pi}{2}\), the function changes.
पूरक कोण पहचान से (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x) होता है। ऐसे प्रश्नों में \(\sin x\) और \(\cos x\) आपस में बदलते हैं। / By the complementary angle identity, (\cos\(\frac{\pi}{2}-x\)=\sin x). In such questions, \(\sin x\) and \(\cos x\) interchange.
\(\frac{\pi}{2}\) के पूरक कोण में \(\tan x\) बदलकर \(\cot x\) हो जाता है। पूरक पहचान याद रखें। / For a complementary angle with \(\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) changes to \(\cot x\). Remember cofunction identities.
\(\sec x\) का काल \(\cos x\) जैसा \(2\pi\) होता है। व्युत्क्रम फलन का काल मूल फलन से जुड़ा रहता है। / The period of \(\sec x\) is \(2\pi\), like \(\cos x\). The reciprocal function keeps the related basic period.
\(\cot x\) हर \(\pi\) के बाद अपना मान दोहराता है। \(\tan x\) और \(\cot x\) दोनों का काल \(\pi\) है। / \(\cot x\) repeats its value after every \(\pi\). Both \(\tan x\) and \(\cot x\) have period \(\pi\).
\(\cosec x\) \(\sin x\) का व्युत्क्रम है और इसका काल \(2\pi\) है। व्युत्क्रम संबंध से काल पहचानें। / \(\cosec x\) is the reciprocal of \(\sin x\) and its period is \(2\pi\). Use reciprocal relation to identify the period.
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) है और \(\cos x\) का मान ([-1,1]) में होता है। इसलिए \(\sec x\) का मान (1) से बड़ा या (-1) से छोटा होता है। / \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) and \(\cos x\) lies in ([-1,1]). Hence \(\sec x\) is greater than or equal to (1) or less than or equal to (-1).
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) होता है। क्योंकि \(-1\leq \sin x\leq 1\) तथा \(\sin x\neq 0\) के लिए इसका व्युत्क्रम लेने पर \(\cosec x\leq -1\) या \(\cosec x\geq 1\) मिलता है। अतः परिसर \((-\infty,-1]\cup[1,\infty)\) है। \([-1,1]\) वास्तव में \(\sin x\) का परिसर है, \(\cosec x\) का नहीं। परीक्षा टिप: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपातों में \(0\) से संबंधित मान संभव नहीं होते। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\). Since \(-1\leq\sin x\leq 1\), and \(\sin x\neq0\) wherever cosecant is defined, its reciprocal satisfies \(\cosec x\leq-1\) or \(\cosec x\geq1\). Hence, the range is \((-\infty,-1]\cup[1,\infty)\). The interval \([-1,1]\) is the range of \(\sin x\), not of \(\cosec x\). Exam tip: reciprocal trigonometric functions cannot take values between \(-1\) and \(1\).
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\) है, इसलिए \(\cos x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। / \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\), so it is undefined when \(\cos x=0\). A fraction is not defined when the denominator is zero.
\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। हर को हमेशा ध्यान से देखें। / \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\), so it is undefined when \(\sin x=0\). Always check the denominator carefully.
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\) है, इसलिए \(\cos x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। व्युत्क्रम फलनों में हर शून्य नहीं हो सकता। / \(\sec x=\frac{1}{\cos x}\), so it is undefined when \(\cos x=0\). In reciprocal functions, the denominator cannot be zero.
\(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\) है, इसलिए \(\sin x=0\) पर यह अपरिभाषित होता है। व्युत्क्रम में नीचे वाला फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\cosec x=\frac{1}{\sin x}\), so it is undefined when \(\sin x=0\). In a reciprocal, the denominator function must not be zero.
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=\frac{4}{5}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=\frac{4}{5}\). In the first quadrant, \(\cos x\) is positive.
\(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) से \(\sin x=\frac{5}{13}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक लिया जाता है। / From \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\), \(\sin x=\frac{5}{13}\). In the first quadrant, the positive value is taken.
\(\sec^2 x=1+\tan^2 x\) लगाने पर \(\sec x=\frac{25}{24}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\sec x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sec^2 x=1+\tan^2 x\), \(\sec x=\frac{25}{24}\). In the first quadrant, \(\sec x\) is positive.
\(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\) से \(\cosec x=\frac{17}{15}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक मान लें। / From \(\cosec^2 x=1+\cot^2 x\), \(\cosec x=\frac{17}{15}\). Take the positive value in the first quadrant.
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश में आता है और वहाँ \(\sin x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\sin\(\pi+x\)=-\sin x)। / \(\pi+x\) lies in the third quadrant and \(\sin x\) is negative there. Hence (\sin\(\pi+x\)=-\sin x).
\(\pi+x\) तीसरे चतुर्थांश में है और वहाँ \(\cos x\) ऋणात्मक होता है। इसलिए (\cos\(\pi+x\)=-\cos x)। / \(\pi+x\) is in the third quadrant and \(\cos x\) is negative there. Therefore, (\cos\(\pi+x\)=-\cos x).
सही पहचान \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\) है। पहचान आधारित प्रश्नों में चिन्ह और भिन्न को सावधानी से देखें। / The correct identity is \(1+\tan^2 x=\sec^2 x\). In identity-based questions, check signs and fractions carefully.
