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यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में है। इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ (union) \(B\) से बड़ा या अलग कुछ नहीं देगा; इसलिए \(A\cup B=B\) हमेशा सत्य है। विकल्प C (\(A\cap B=B\)) तब ही सत्य होगा जब \(B\subseteq A\) हो — यहाँ दिया गया है \(A\subseteq B\), अतः सामान्यतः \(A\cap B=A\)। विकल्प B (\(A\cup B=A\)) उसी तरह तभी सत्य होगा जब \(B\subseteq A\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\setminus B=\emptyset\) जब \(A\subseteq B\) हो, न कि \(B\)। परीक्षा की टिप: सबसे पहले \(A\subseteq B\) का मतलब याद रखें — सभी तत्व A के B में होते हैं; फिर संघ और छेद (intersection) के सिद्धांत लागू करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already an element of \(B\). Hence forming the union adds no new elements and \(A\cup B=B\) always holds. Option C (\(A\cap B=B\)) would require \(B\subseteq A\), so in our case the intersection equals \(A\), not \(B\). Option B (\(A\cup B=A\)) is likewise only true when \(B\subseteq A\). Option D is incorrect because when \(A\subseteq B\) we have \(A\setminus B=\emptyset\), not \(B\). Exam tip: translate the subset relation into “every element of A is in B” and then apply union/intersection identities: \(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\), \(A\setminus B=\emptyset\) when \(A\subseteq B\).
यदि \(A\cup B = B\), तो किसी भी तत्व \(x\) के लिए, यदि \(x\in A\) तो निश्चित रूप से \(x\in A\cup B\), और इसलिए \(x\in B\)। इसका सीधा अर्थ है कि हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) तभी सत्य होगा जब \(A=B\) हो — यह जरूरी नहीं है। विकल्प C (\(A=B^{c}\)) और D (\(A\cap B=\emptyset\)) भी आवश्यक सत्य नहीं हैं क्योंकि वे अतिरिक्त परिस्थितियों पर निर्भर करते हैं। परीक्षा-टिप: यूनियन का अर्थ तत्व-स्तर पर जांचें — यदि \(A\cup B=B\), तो हर \(A\) का तत्व \(B\) में होना चाहिए। / From \(A\cup B = B\) consider any element \(x\). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup B\), so by equality \(x\in B\). Thus every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) would hold only if \(A=B\), which is not guaranteed. Options C (\(A=B^{c}\)) and D (\(A\cap B=\emptyset\)) are not implied by the given equality and require extra assumptions. Exam tip: use element-wise reasoning — check what membership in \(A\) implies from the union equality.
\(A - B = \emptyset\) का अर्थ है कि सेट \(A\) का कोई भी सदस्य ऐसा नहीं है जो \(B\) के बाहर हो। यही कहता है कि प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी सत्य है, अतः \(A\subseteq B\)। यह समकक्षता (equality) \(A= B\) की गारंटी नहीं देता क्योंकि \(B\) में ऐसे सदस्य हो सकते हैं जो \(A\) में न हों। समान रूप से \(A\cap B=\emptyset\) या \(B\subseteq A\) के विकल्प गलत हैं। परीक्षा टिप: सेट-भेद \(A-B\) का हमेशा अर्थ याद रखें — यह वही तत्व देता है जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। / \(A - B = \emptyset\) means there is no element of \(A\) that lies outside \(B\). Therefore every \(x\in A\) is also in \(B\), so \(A\subseteq B\). This does not imply equality \(A= B\) because \(B\) may have extra elements; nor does it imply \(B\subseteq A\) or that \(A\) and \(B\) are disjoint. Exam tip: translate set-difference statements into "for every element..." form to decide subset relations quickly.
दिए गए सम्बन्धों से ट्रान्जिटिविटी के कारण \(A\subseteq C\) होगा। इसका अर्थ है कि जिस भी तत्व का होना \(A\) में आवश्यक है, वह तत्व \(C\) में भी होगा। अतः \(A\) और \(C\) का प्रतिच्छेद उसी सेट के बराबर होगा जो \(A\) में पहले से है, यानी \(A\cap C= A\)। विकल्पों की जाँच: \(B\) सही नहीं क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो \(A\) में नहीं हैं; \(C\) सही नहीं क्योंकि \(C\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं; \(\emptyset\) तभी होगा जब \(A=\emptyset\), पर सामान्य स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। परीक्षाई सुझाव: याद रखें—यदि \(X\subseteq Y\) हो तो \(X\cap Y=X\)। / By transitivity from the given relations we have \(A\subseteq C\). Every element of \(A\) is therefore an element of \(C\), so the intersection \(A\cap C\) contains exactly the elements of \(A\). Hence \(A\cap C=A\). Why other options fail: \(B\) may contain elements not in \(A\); \(C\) may be strictly larger than \(A\); \(\emptyset\) would only be correct if \(A=\emptyset\), which is not generally assumed. Exam tip: draw a small Venn diagram or use the rule “if \(X\subseteq Y\) then \(X\cap Y=X\)” to answer quickly.
क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का हर तत्व भी \(B\) में है। इसलिए \(A\setminus B\) — अर्थात् उन तत्वों का समूह जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं — का कोई तत्व शेष नहीं रहेगा। अतः \(A\setminus B=\emptyset\) (रिक्त समुच्चय)। अक्सर भ्रामक विचार यह होता है कि \(A\setminus B= A\); यह गलत है क्योंकि उस कथन के लिए \(A\) के कुछ तत्वों का \(B\) के बाहर होना आवश्यक है, जो यहाँ संभव नहीं। परिक्षा सुझाव: किसी छोटा उदाहरण ले कर (उदा. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) प्रतीकात्मक अर्थ की पुष्टि करें। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is also an element of \(B\). Removing from \(A\) all elements that belong to \(B\) leaves nothing, so \(A\setminus B=\emptyset\). A common wrong thought is \(A\setminus B=A\), which would require elements of \(A\) lying outside \(B\); that is not the case here. Note that \(B\setminus A\) denotes elements of \(B\) not in \(A\) and may be nonempty. Exam tip: verify set-relations with a concrete small example (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) to build intuition.
परिभाषा के अनुसार \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\)। यदि \(A\subseteq B\) है तो \(A-B=\emptyset\) होगा, अतः \(A\triangle B=B-A\)। दिया गया है कि \(A\triangle B=\{7\}\), इसलिए \(B-A=\{7\}\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि symmetric difference खाली नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B-A\) और \(A\) आपस में विषम होते हैं यदि \(A\subseteq B\) हो; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) भी शामिल हो सकता है और केवल \(\{7\}\) के बराबर नहीं। परीक्षा-सूत्र: जब \(A\subseteq B\) दिया हो तो \(A\triangle B\) को सीधे \(B-A\) मानकर समस्या सरल बनाएं। / By definition, \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\). If \(A\subseteq B\) then \(A-B=\emptyset\), so \(A\triangle B=B-A\). Given \(A\triangle B=\{7\}\), it follows that \(B-A=\{7\}\). Option (B) is wrong because the symmetric difference is nonempty; (C) is wrong because elements in \(B-A\) are not in \(A\) when \(A\subseteq B\); (D) is wrong because \(B\) may contain all of \(A\) plus the element 7 and thus need not equal \{7\}. Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A\triangle B\) by \(B-A\) to simplify.
एक कक्षा में 95 विद्यार्थी हैं। इनमें 56 विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं, 49 विद्यार्थी विज्ञान पढ़ते हैं और 27 विद्यार्थी दोनों विषय पढ़ते हैं। ठीक एक विषय पढ़ने वाले कितने हैं?
ठीक एक विषय = (केवल गणित) + (केवल विज्ञान)। केवल गणित = 56−27, केवल विज्ञान = 49−27 इसलिए ठीक एक = (56−27)+(49−27) = 51। वैकल्पिक रूप से पहले से मिलकर पढ़ने वाले की संख्या (union) = 56+49−27 = 78 होती है और ठीक एक = union − दोनों = 78−27 = 51। निकटतम भ्रमित विकल्प: 78 उन छात्रों की संख्या है जो कम से कम एक विषय पढ़ते हैं (दोनों सहित), और 22 केवल विज्ञान पढ़ने वाले हैं (49−27)। परीक्षा-सुझाव: वेन आरेख बनाकर क्षेत्रों को लेबल करें या फार्मूला \\(exactly\ one = M+S-2\times(both)\\) याद रखें। / Exactly one subject = (only Math) + (only Science). Only Math = 56−27, Only Science = 49−27, so exactly one = (56−27)+(49−27) = 51. Alternatively union = 56+49−27 = 78 and exactly one = union − both = 78−27 = 51. Closest distractors: 78 is the count of students studying at least one subject (includes both), and 22 equals only Science (49−27), not the sum of both "only" regions. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and label the three regions or use the formula \(exactly\ one = M+S-2\times(both)\) to avoid errors.
(n(A)=15), (n(B)=10) और (n\(A\cap B\)=5), इसलिए (n\(A\cup B\)=20)। ऐसी गिनती में समावेशन-बहिष्करण याद रखें। / (n(A)=15), (n(B)=10) and (n\(A\cap B\)=5), so (n\(A\cup B\)=20). Use inclusion-exclusion in such counting questions.
\(A\cup B\) से \(A\setminus B\) हटाने पर (B) के सभी तत्व बचते हैं। ऐसे प्रश्न में वेन आरेख के क्षेत्रों को अलग-अलग देखें। / Removing \(A\setminus B\) from \(A\cup B\) leaves all elements of (B). In such questions, view separate Venn diagram regions.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\), इसलिए उत्तर \(B\setminus A\) है। उपसमुच्चय की शर्त पहले लगाएं। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\), hence the answer is \(B\setminus A\). Apply the subset condition first.
\(A\cup B\) तीन अलग भागों से बनता है, इसलिए (54=17+21+n\(A\cap B\))। अतः (n\(A\cap B\)=16), वेन आरेख में क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A\cup B\) is made of three separate parts, so (54=17+21+n\(A\cap B\)). Hence (n\(A\cap B\)=16), add Venn regions carefully.
दोनों अंतर रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चय एक-दूसरे में समाहित हैं, इसलिए (A=B)। समानता सिद्ध करने में दोनों दिशाएं जांचें। / Both differences being empty means each set is contained in the other, so (A=B). To prove equality, check both containments.
(B=(-1,6]) में (-1) नहीं है और (6) शामिल है, इसलिए (A) से बीच का भाग हटकर ([-4,-1]\cup(6,9]) बचता है। अंतर में खुले-बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / Since (B=(-1,6]) excludes (-1) and includes (6), removing it from (A) leaves ([-4,-1]\cup(6,9]). In differences, handle open and closed endpoints carefully.
क्योंकि \(A\cap B\subseteq A\cup B\) सदैव होता है, समानता तभी होगी जब दोनों समुच्चय समान हों। ऐसे प्रश्न में तत्व-आधारित सोच उपयोगी है। / Since \(A\cap B\subseteq A\cup B\) always, equality here forces both sets to be equal. Element-wise thinking is useful in such questions.
पहले \(A=\{2,3\}\) और \(B=\{1,3\}\) मिलते हैं, इसलिए साझा तत्व ({3}) है। समीकरण वाले समुच्चय में पहले मूल निकालें। / First \(A=\{2,3\}\) and \(B=\{1,3\}\), so the common element is ({3}). For equation-defined sets, find roots first.
(B) में (1) शामिल है, इसलिए (A) से (1) और उसके बाद का साझा भाग हटेगा। अंतर में सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Since (1) is included in (B), (1) and the common part after it are removed from (A). Watch open and closed endpoints in interval differences.
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\), (A) के अलग-अलग भाग हैं और उनका संघ (A) है। ऐसे पहचान प्रश्न में भागों को विभाजन की तरह देखें। / \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are disjoint parts of (A), and their union is (A). View such identities as partitioning a set.
(n\(A\cap B\)=18+22-31=9), इसलिए (n\(A\setminus B\)=18-9=9)। पहले प्रतिच्छेद निकालना अक्सर आसान रहता है। / (n\(A\cap B\)=18+22-31=9), so (n\(A\setminus B\)=18-9=9). Finding the intersection first is often easier.
सममित अंतर में वे तत्व आते हैं जो केवल एक समुच्चय में हों, इसलिए ({1,3,5,6}) है। साझा तत्वों को हटाना न भूलें। / The symmetric difference contains elements present in exactly one set, so it is ({1,3,5,6}). Do not include common elements.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) नहीं बदलता, इसलिए (B) के सभी तत्व (A) में हैं। संघ से उपसमुच्चय संबंध पहचानें। / Adding (B) to (A) by union does not change (A), so every element of (B) is in (A). Detect subset relations from union identities.
\(B\cup C\) से बाहर रहने का अर्थ है (B) से भी बाहर और (C) से भी बाहर। डी मॉर्गन जैसी सोच अंतर में भी लागू होती है। / Being outside \(B\cup C\) means being outside both (B) and (C). De Morgan style thinking also helps with set difference.
जो तत्व \(B\cap C\) में नहीं है, वह कम-से-कम (B) या (C) में नहीं होगा। इसलिए संघ आता है, प्रतिच्छेद नहीं। / An element not in \(B\cap C\) is missing from at least one of (B) or (C). Hence union appears, not intersection.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), फिर (C) से साझा तत्व ({1,4}) मिलते हैं। कोष्ठक के अनुसार क्रम रखें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\), then common elements with (C) are ({1,4}). Follow the parentheses order.
\(A\setminus B={a,c}\) और \(B\cap C={d,e}\), इसलिए संघ ({a,c,d,e}) है। अलग-अलग भाग पहले निकालें। / \(A\setminus B={a,c}\) and \(B\cap C={d,e}\), so the union is ({a,c,d,e}). Find each part separately first.
जब (A) और (B) दोनों (C) में हैं, तब \(A\cup B\subseteq C\), इसलिए बाहर कुछ नहीं बचता। उपसमुच्चय से अंतर तुरंत तय हो सकता है। / When both (A) and (B) lie in (C), \(A\cup B\subseteq C\), so nothing remains outside (C). Subset facts can determine differences quickly.
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए संघ की संख्या (p+q) है। प्रतिच्छेद रिक्त हो तो घटाने की जरूरत नहीं। / Disjoint sets have no common elements, so the union size is (p+q). If the intersection is empty, no subtraction is needed.
कम-से-कम एक विषय चुनने वाले (40-7=33) हैं, इसलिए दोनों (24+18-33=9) हैं। पहले न तो वाले घटाएं। / Students choosing at least one subject are (40-7=33), so both are (24+18-33=9). Subtract neither cases first.
20 तक की अभाज्य संख्याएँ \(2,3,5,7,11,13,17,19\) हैं। इनमें केवल \(2\) विषम नहीं है, इसलिए वह \(A\) में है लेकिन \(B\) में नहीं; अतः \(A\setminus B=\{2\}\)। विकल्प B, \(A\cap B\) अर्थात् विषम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है, अंतर का नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(A\setminus B\) में वे तत्व आते हैं जो \(A\) में हों, पर \(B\) में न हों। / The prime numbers up to 20 are \(2,3,5,7,11,13,17,19\). Only \(2\) is not odd, so it belongs to \(A\) but not to \(B\); therefore, \(A\setminus B=\{2\}\). Option B represents \(A\cap B\), the odd prime numbers, not the difference. Exam tip: \(A\setminus B\) contains elements that are in \(A\) but not in \(B\).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) और \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\), इसलिए अंतर ({-3,3}) है। पूर्णांक शर्त अलग से देखें। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) and \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\), so the difference is ({-3,3}). Check the integer condition separately.
हर वास्तविक संख्या या तो (2) से छोटी है या (-1) से बड़ी है, इसलिए संघ \(\mathbb{R}\) है। संघ में क्षेत्रों को मिलाकर पूरी रेखा देखें। / Every real number is either less than (2) or greater than (-1), so the union is \(\mathbb{R}\). In unions, visualize the whole number line.
A. जब (B') सार्वत्रिक समुच्चय (U) के सापेक्ष पूरक हो/When (B') is complement relative to universal set (U)
Explanation
Simple Explanation
\(A\setminus B\) में (A) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं, यानी \(A\cap B'\)। पूरक हमेशा (U) के सापेक्ष समझें। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) not in (B), which is \(A\cap B'\). Always understand complement relative to (U).
\(A\cup B={1,2,3,5,7,9,11}\), इसलिए (U) में बचे तत्व ({4,6,8,10,12}) हैं। पूरक निकालते समय (U) जरूरी है। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,9,11}\), so remaining elements in (U) are ({4,6,8,10,12}). The universal set is essential for complements.
समुच्चय अंतर अदला-बदली योग्य नहीं है, इसलिए \(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) सामान्यतः अलग होते हैं। अंतर में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / Set difference is not commutative, so \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are generally different. Order matters greatly in difference.
(B) हटाने पर (A) नहीं बदला, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अंतर पहचान से असंबद्धता समझें। / Removing (B) from (A) changes nothing, so (A) and (B) have no common element. Difference identities reveal disjointness.
(A) का कोई भी तत्व (B) के बाहर नहीं है, इसलिए \(A\subseteq B\)। रिक्त अंतर अक्सर उपसमुच्चय बताता है। / No element of (A) lies outside (B), so \(A\subseteq B\). An empty difference often indicates a subset relation.
(x<y) वाले युग्मों में केवल ((1,3)) का योग (4) है। क्रमित युग्मों में क्रम बदलने से तत्व बदल जाता है। / Among pairs with (x<y), only ((1,3)) has sum (4). In ordered pairs, changing order changes the element.
जो संख्या (2) और (3) दोनों से विभाज्य है, वह (6) की गुणज है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ लगती हैं। / A number divisible by both (2) and (3) is a multiple of (6). In intersection, both conditions apply together.
(A) में (7), (B) में (3) और साझा ({10}) है, इसलिए संख्या (7+3-1=9) है। साझा तत्व दो बार न गिनें। / (A) has (7) elements, (B) has (3), and the common set is ({10}), so the count is (7+3-1=9). Do not count common elements twice.
समुच्चय A के प्रत्येक अवयव के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: वह B में हो या B में न हो। B में न होने वाले अवयव \(A\setminus B\) में और B में होने वाले अवयव \(A\cap B\) में आते हैं। इसलिए इन दोनों असंयुक्त भागों का संघ पूरा A देता है। विकल्प D केवल A के उस भाग को दर्शाता है जो B में नहीं है, इसलिए उसमें \(A\cap B\) के अवयव छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(A\) को \(B\) में और \(B\) के बाहर के भागों में बाँटकर ऐसे व्यंजकों को सरल करें। / Every element of A has exactly one of two possibilities: it either belongs to B or does not belong to B. Elements of A that are not in B form \(A\setminus B\), while those that are in B form \(A\cap B\). Hence, the union of these two disjoint parts is the whole set A. Option D includes only the part of A outside B and omits the elements in \(A\cap B\). Exam tip: Partition A into its portions inside and outside B to simplify such set expressions.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है, इसलिए (5+7+4=16)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को जोड़ें। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) and \(A\cap B\), so (5+7+4=16). Add separate Venn regions.
(n\(A\cup B\)=32+27-11=48), इसलिए पूरक में (60-48=12) तत्व हैं। पहले संघ निकालें फिर (U) से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=32+27-11=48), so the complement has (60-48=12) elements. Find the union first, then subtract from (U).
(A) का हर तत्व (B) के पूरक में है, इसलिए (A) और (B) में साझा तत्व नहीं है। पूरक में होने का अर्थ बाहर होना है। / Every element of (A) is in the complement of (B), so (A) and (B) have no common element. Being in a complement means being outside the set.
\(B\setminus C\) से हटाने का अर्थ है (B) में और (C) से बाहर तत्व हटाना, इसलिए (A) में या तो (B) से बाहर या (C) में मौजूद तत्व बचते हैं। पहचान को तत्व विधि से जांचें। / Removing \(B\setminus C\) means removing elements in (B) and outside (C), so elements of (A) remain if they are outside (B) or in (C). Verify identities by element method.
\(A\setminus B\) के (2) तत्व चुनना (A) से (2) तत्व चुनने जैसा है, इसलिए \(\binom{4}{2}=6\)। अंतर का आकार पूरक उपचयन से जुड़ा है। / Choosing (2) elements for \(A\setminus B\) is like choosing (2) elements from (A), so \(\binom{4}{2}=6\). Difference size is linked to complementary selection.
\(A\cup B\) में \(A\setminus B\) और पूरा (B) असंबद्ध रूप से जुड़ते हैं, इसलिए (12+20=32)। कभी-कभी सीधे क्षेत्रों को जोड़ना आसान है। / \(A\cup B\) is formed by the disjoint parts \(A\setminus B\) and all of (B), so (12+20=32). Sometimes adding regions directly is easier.
\(x^2-4x+3\le0\) से ([1,3]) मिलता है, जो (A) के अंदर है। द्विघात असमानता हल करके फिर प्रतिच्छेद लें। / \(x^2-4x+3\le0\) gives ([1,3]), which lies inside (A). Solve the quadratic inequality first, then intersect.
A. \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\)/\(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\)
Explanation
Simple Explanation
बायां पक्ष (A) को समाहित करता है और दायां पक्ष (A) में समाहित है, इसलिए दोनों (A) के बराबर हैं। इससे \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\) मिलता है। / The left side contains (A), and the right side is contained in (A), so both must equal (A). Hence \(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\).
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\) हमेशा असंबद्ध होते हैं, इसलिए वे समान तभी हो सकते हैं जब दोनों रिक्त हों। तब (A) भी रिक्त है। / \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are always disjoint, so they can be equal only when both are empty. Then (A) is empty too.
\(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) हमेशा असंबद्ध होते हैं, इसलिए दोनों समान गैर-रिक्त समुच्चय नहीं हो सकते। असंभवता में असंबद्धता जांचें। / \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are always disjoint, so they cannot be the same non-empty set. Check disjointness in impossibility questions.
संघ से (A) हटाने पर (B) बचता है क्योंकि (A) और (B) साझा नहीं हैं। असंबद्धता अंतर को सरल कर देती है। / Removing (A) from the union leaves (B) because (A) and (B) do not overlap. Disjointness simplifies set differences.
दोनों से विभाज्य संख्याएं (\operatorname{lcm}(4,6)=12) की गुणज हैं, और (50) तक (12,24,36,48) हैं। प्रतिच्छेद में लघुत्तम समापवर्त्य उपयोग करें। / Numbers divisible by both are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12), and up to (50) they are (12,24,36,48). Use LCM for intersections of multiples.
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) और \(B=\{-1,1\}\), इसलिए इन्हें हटाने पर ({-3,-2,0,2,3}) बचता है। पहले दोनों समुच्चय सूचीबद्ध करें। / \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) and \(B=\{-1,1\}\), so removing them leaves ({-3,-2,0,2,3}). List both sets first.
कोई वास्तविक संख्या एक साथ \(x\le0\) और (x>2) नहीं हो सकती, इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। असंगत शर्तों को जल्दी पहचानें। / No real number can satisfy \(x\le0\) and (x>2) together, so the intersection is empty. Recognize incompatible conditions quickly.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। दो कोष्ठकों में (A) दोहरना वितरण का संकेत है। / This is distribution of union over intersection. Repetition of (A) in two brackets signals distribution.
\(A\setminus B\) हमेशा (A) का उपसमुच्चय होता है, इसलिए \(C\subseteq A\) सत्य है। अंतर का परिणाम मूल समुच्चय से बाहर नहीं जा सकता। / \(A\setminus B\) is always a subset of (A), so \(C\subseteq A\) is true. A difference cannot contain elements outside the original set.
(A) के अंदर (B) और (C) का हिस्सा समान है, इसलिए (A) में उनका सममित अंतर नहीं बचेगा। समान प्रतिच्छेद से पूरे (B=C) निष्कर्ष न निकालें। / Inside (A), the parts of (B) and (C) are the same, so no symmetric difference remains within (A). Do not conclude full (B=C) from equal intersections.
\(|A\cup B|=30+20-10=40\) क्योंकि (6) से विभाज्य (10) संख्याएँ हैं। परीक्षा में समावेशन-अपवर्जन सूत्र पहले लगाएँ। / Here \(|A\cup B|=30+20-10=40\) because (10) numbers are divisible by (6). In exams, apply inclusion-exclusion first.
(B) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए (A) से (1) के बाद वाले तत्व हटेंगे और ([-2,1]) बचेगा। अंतर निकालते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Since (1) is not included in (B), elements after (1) are removed from (A), leaving ([-2,1]). In difference questions, check open and closed endpoints carefully.
यदि कोई तत्व \(A\cup B\) में है, तो वह \(A\cap B\) में भी है, इसलिए दोनों सेटों में समान तत्व हैं। ऐसी स्थितियों में तत्व-आधारित तर्क सबसे सुरक्षित रहता है। / Any element in \(A\cup B\) must also be in \(A\cap B\), so both sets have the same elements. Element-wise reasoning is safest here.
(|A|=15), (|B|=6) और \(|A\cap B|=3\) क्योंकि सामान्य गुणज (30) के होंगे। अतः \(|A\cup B|=15+6-3=18\) है। / Here (|A|=15), (|B|=6), and \(|A\cap B|=3\) because common multiples are multiples of (30). So \(|A\cup B|=15+6-3=18\).
\(|A\cap B|=28+35-50=13\), इसलिए \(|A\setminus B|=28-13=15\) नहीं बल्कि (15) है। पहले प्रतिच्छेद निकालना न भूलें। / Here \(|A\cap B|=28+35-50=13\), so \(|A\setminus B|=28-13=15\). Always find the intersection before the difference.
A. (\(A\cup B\)\setminus C=\(A\setminus C\)\cup\(B\setminus C\))
Explanation
Simple Explanation
(C) को \(A\cup B\) से हटाने पर वही तत्व बचते हैं जो (A) में (C) से बाहर या (B) में (C) से बाहर हैं। वितरण नियम को पहचानना परीक्षा में समय बचाता है। / Removing (C) from \(A\cup B\) leaves elements that are in (A) outside (C) or in (B) outside (C). Recognizing distribution laws saves time in exams.
\(A\setminus B=A\) का अर्थ है कि (A) का कोई भी तत्व (B) में नहीं गया। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / The condition means no element of (A) is removed by (B). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
एक कक्षा में (120) विद्यार्थियों में से (72) विद्यार्थी गणित सेट (M) में, (64) विद्यार्थी भौतिकी सेट (P) में और (28) विद्यार्थी दोनों में हैं। न तो (M) में और न ही (P) में कितने विद्यार्थी हैं?
\(|M\cup P|=72+64-28=108\), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (120-108=12) हैं। पहले संघ निकालें, फिर सार्वत्रिक सेट से घटाएँ। / Here \(|M\cup P|=72+64-28=108\), so students outside both sets are (120-108=12). First find the union, then subtract from the universal set.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य तत्व ({1,4,8}) हैं। कोष्ठक का क्रम हमेशा ध्यान रखें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\), then common elements with (C) are ({1,4,8}). Always follow the brackets.
जब \(A\subseteq B\) हो, तो (B) के तत्व (A) और \(B\setminus A\) में बँट जाते हैं। इसलिए उनका संघ (B) है। / When \(A\subseteq B\), the elements of (B) split into (A) and \(B\setminus A\). Therefore their union is (B).
(A) और (B) में जो भी सामान्य तत्व है, वह (C) के बाहर नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap B\subseteq C\) है। / Any common element of (A) and (B) cannot lie outside (C). Hence \(A\cap B\subseteq C\).
\(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है और (A) में अतिरिक्त केवल (4) है। असमानता से सेट बनाकर फिर अंतर लें। / Here \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), and only (4) remains extra in (A). Build each set first, then take the difference.
\(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\) है। तीन सेटों में अंतिम \(+|A\cap B\cap C|\) जोड़ना याद रखें। / Here \(|A\cup B\cup C|=12+18+20-5-7-4+2=36\). For three sets, remember to add the triple intersection at the end.
\(A\cap B=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक तत्व \(B\) में भी मौजूद है; इसलिए \(A\subseteq B\)। यही बात \(A\cup B=B\) से भी पुष्ट होती है, क्योंकि \(A\) के तत्वों को \(B\) में मिलाने पर कोई नया तत्व नहीं जुड़ता। विकल्प B तभी सही होता जब \(B\subseteq A\) भी हो, जो यहाँ आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B=A\) या \(A\cup B=B\) दिखते ही \(A\subseteq B\) निष्कर्षित करें। / The equation \(A\cap B=A\) means that every element of \(A\) is also an element of \(B\); hence \(A\subseteq B\). The equation \(A\cup B=B\) confirms the same fact, because adding the elements of \(A\) to \(B\) introduces nothing new. Option B would require \(B\subseteq A\) as well, which is not implied. Exam tip: \(A\cap B=A\) or \(A\cup B=B\) directly indicates \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(B\) में वे ही सदस्य होंगे जिनका 1 जोड़ने पर प्राप्त परिणाम भी \(A\) में हो। \(2+1=3\), और 3, \(A\) में है; जबकि 3+1=4, 5+1=6, 7+1=8 तथा 11+1=12, ये सभी \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(B=\{2\}\) और \(A\setminus B=\{3,5,7,11\}\)। परीक्षा-युक्ति: अंतर समुच्चय \(A\setminus B\) में \(A\) के वे सदस्य रखे जाते हैं जो \(B\) में नहीं होते। / The set \(B\) contains those elements of \(A\) whose successor is also in \(A\). Since \(2+1=3\) and 3 belongs to \(A\), while 4, 6, 8 and 12 do not belong to \(A\), we get \(B=\{2\}\). Therefore, removing 2 from \(A\) gives \(A\setminus B=\{3,5,7,11\}\). Exam tip: \(A\setminus B\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(B\).
A. जो (A) में हैं लेकिन (B) और (C) दोनों में नहीं हैं/Elements in (A) but in neither (B) nor (C)
Explanation
Simple Explanation
\(B\cup C\) से हटाने का अर्थ है (B) में नहीं और (C) में नहीं। इसलिए यह (A) का वह भाग है जो दोनों से बाहर है। / Removing \(B\cup C\) means not in (B) and not in (C). So it is the part of (A) outside both sets.
पहले प्रतिच्छेद निकालते हैं: \(A\cap C=\{4,8,16\}\), क्योंकि ये तीनों तत्व \(A\) और \(C\) दोनों में हैं। अब \(B\) के तत्वों को इस समुच्चय से हटाने पर 4 और 8 हट जाते हैं, जबकि 16, \(B\) में नहीं है। अतः \((A\cap C)\setminus B=\{16\}\)। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय के अंतर \(X\setminus Y\) में केवल वे तत्व रखे जाते हैं जो \(X\) में हों, लेकिन \(Y\) में न हों। / First find the intersection: \(A\cap C=\{4,8,16\}\), since these elements belong to both \(A\) and \(C\). Next, remove from this set every element that is also in \(B\). The elements 4 and 8 are removed, while 16 remains because it is not in \(B\). Therefore, \((A\cap C)\setminus B=\{16\}\). Exam tip: In \(X\setminus Y\), retain elements that are in \(X\) but not in \(Y\).
\(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\) है। सममित अंतर में सामान्य भाग दो बार घटता है। / Here \(|A\triangle B|=|A|+|B|-2|A\cap B|=21+19-16=24\). In symmetric difference, the common part is removed twice.
यह सेट दोनों में से केवल एक में आने वाले तत्वों का सेट है। इसके खाली होने का अर्थ है (A) और (B) समान हैं। / This set contains elements that lie in exactly one of the two sets. If it is empty, then (A) and (B) are equal.
\(A\setminus B\) और \(B\setminus A\) सदैव असंयुक्त होते हैं, इसलिए उनके बराबर होने पर दोनों खाली होंगे। अतः (A=B) है। / The sets \(A\setminus B\) and \(B\setminus A\) are always disjoint, so if they are equal, both are empty. Hence (A=B).
प्रतिच्छेद, संघ पर वितरित होता है, इसलिए (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)) है। सूत्र याद करने से वेन आरेख वाले प्रश्न तेज बनते हैं। / Intersection distributes over union, so (A\cap\(B\cup C\)=\(A\cap B\)\cup\(A\cap C\)). Remembering this identity speeds up Venn diagram questions.
(20) तक केवल (2) ही सम अभाज्य संख्या है। इसलिए विषम संख्याएँ हटाने पर ({2}) बचता है। / Only (2) is an even prime number up to (20). Therefore after removing odd numbers, ({2}) remains.
\(A\cup B\) का हर तत्व (C) में है, इसलिए (C) हटाने पर कुछ नहीं बचेगा। अतः परिणाम \(\varnothing\) है। / Every element of \(A\cup B\) lies in (C), so removing (C) leaves nothing. Hence the result is \(\varnothing\).
सामान्य संख्याएँ (4) और (10) के लघुत्तम समापवर्त्य (20) से विभाज्य होंगी। (100) तक ऐसी (5) संख्याएँ हैं। / Common numbers must be divisible by the least common multiple (20) of (4) and (10). There are (5) such numbers up to (100).
किसी तत्व (x) के लिए (A) के अंदर और बाहर दोनों स्थितियों में (B) और (C) की सदस्यता समान मिलती है। इसलिए (B=C) है। / For any element (x), inside (A) and outside (A), membership in (B) and (C) matches. Hence (B=C).
\(A\setminus B\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) में हैं लेकिन \(B\) में नहीं, इसलिए \(A\setminus B=\{a,c\}\)। इसी प्रकार \(B\setminus A=\{e\}\), क्योंकि \(b\) और \(d\) दोनों समुच्चयों में समान हैं। अतः इन दोनों का संघ \(\{a,c\}\cup\{e\}=\{a,c,e\}\) है। विकल्प B केवल समान तत्वों का समुच्चय है, जबकि विकल्प C दोनों समुच्चयों का पूर्ण संघ है। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्न में पहले दोनों अंतर ज्ञात करें और अंत में उनका संघ लें। / The set \(A\setminus B\) contains elements that are in \(A\) but not in \(B\), so \(A\setminus B=\{a,c\}\). Similarly, \(B\setminus A=\{e\}\), since \(b\) and \(d\) belong to both sets. Therefore, their union is \(\{a,c\}\cup\{e\}=\{a,c,e\}\). Option B gives only the common elements, while option C gives the union of the two original sets. Exam tip: For this expression, find both set differences first and take their union at the end.
असंयुक्त सेटों में कोई दोहराया हुआ तत्व नहीं होता। इसलिए संघ की संख्या सीधे (|A|+|B|) होती है। / Disjoint sets have no repeated common element. Therefore the number of elements in the union is simply (|A|+|B|).
संघ तीन असंयुक्त भागों \(A\setminus B\), \(A\cap B\), और \(B\setminus A\) से बनता है। सभी तत्व मिलाकर ({1,2,3,4,5,6,7}) मिलते हैं। / The union is made from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Combining all gives ({1,2,3,4,5,6,7}).
पहले समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को \((x-2)(x-3)=0\) लिखने पर \(A=\{2,3\}\) मिलता है। दूसरे समीकरण \(x^2-7x+12=0\) से \((x-3)(x-4)=0\), अतः \(B=\{3,4\}\)। दोनों समुच्चयों का एकमात्र उभयनिष्ठ तत्व \(3\) है, इसलिए \(A\cap B=\{3\}\)। विकल्प \(\{2,3,4\}\) संघ से संबंधित है, प्रतिच्छेद से नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B\) में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में उपस्थित हों। / Factor the first equation as \((x-2)(x-3)=0\), giving \(A=\{2,3\}\). Factor the second as \((x-3)(x-4)=0\), giving \(B=\{3,4\}\). The only element common to both sets is \(3\), so \(A\cap B=\{3\}\). The set \(\{2,3,4\}\) represents the union, not the intersection. Exam tip: for \(A\cap B\), include only elements that belong to both sets.
संघ तीन अलग भागों का योग है: (9+4+11=24)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों की गिनती जोड़ें। / The union is the sum of three separate parts: (9+4+11=24). In a Venn diagram, add the disjoint regions.
\(A\cap B=B\) का अर्थ है कि \(B\) का प्रत्येक तत्व \(A\) में भी उपस्थित है; अतः \(B\subseteq A\)। यही बात \(A\cup B=A\) से भी मिलती है, क्योंकि \(B\) के तत्व जोड़ने पर \(A\) में कोई नया तत्व नहीं जुड़ता। विकल्प B विपरीत समावेशन बताता है, जबकि विकल्प C और D इन शर्तों से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cup B=A\) या \(A\cap B=B\) दिखे, तो तुरंत \(B\subseteq A\) निष्कर्षित करें। / The relation \(A\cap B=B\) means that every element of \(B\) is also an element of \(A\); therefore, \(B\subseteq A\). The relation \(A\cup B=A\) gives the same conclusion because adding the elements of \(B\) introduces nothing new to \(A\). Option B states the reverse inclusion, while options C and D do not necessarily follow. Exam tip: From \(A\cup B=A\) or \(A\cap B=B\), immediately infer \(B\subseteq A\).
\(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\) है और (A) के साथ सामान्य तत्व ({3,5,9}) हैं। पहले अंदर का संघ निकालें। / Here \(B\cup C={0,3,4,5,6,9}\), and the common elements with (A) are ({3,5,9}). Find the inner union first.
किसी भी सेट (A) को (\(A\setminus C\)) और (\(A\cap C\)) में बाँटा जा सकता है। दोनों भाग (B) के समान हैं, इसलिए (A=B) है। / Any set (A) can be split into (\(A\setminus C\)) and (\(A\cap C\)). Since both parts match those of (B), (A=B).
यदि \(A\cap B\) का हर तत्व (C) में है, तो (C) के बाहर इसका कोई तत्व नहीं होगा। इसलिए (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing) है। / If every element of \(A\cap B\) lies in (C), then none of its elements lies outside (C). Hence (\(A\cap B\)\setminus C=\varnothing).
\(A\cap B={3,4}\) और \(A\setminus B={1,2}\) असंयुक्त हैं। इनके पावर सेटों में सामान्य उपसमुच्चय केवल \(\varnothing\) है। / Here \(A\cap B={3,4}\) and \(A\setminus B={1,2}\) are disjoint. The only common subset in their power sets is \(\varnothing\).
समान संघ और समान प्रतिच्छेद मिलकर (B) और (C) की सदस्यता को हर स्थिति में समान कर देते हैं। इसलिए (B=C) सिद्ध होता है। / Equal unions and equal intersections make membership in (B) and (C) identical in every case. Therefore (B=C).
\(A\cap B=A\setminus C\) होने से \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं है। इसलिए \(A\cap B\cap C=\varnothing\) है। / Since \(A\cap B=A\setminus C\), no element of \(A\cap B\) lies in (C). Hence \(A\cap B\cap C=\varnothing\).
\(|x|\le 4\) के कारण \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) है। इसी प्रकार, \(x^2\le 9\) का अर्थ \(-3\le x\le 3\) है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। अतः \(A\setminus B\) में वे तत्व होंगे जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं; इसलिए उत्तर \(\{-4,4\}\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(-3\) और \(3\), दोनों \(B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: \(A\setminus B\) निकालते समय पहले \(A\) लिखें और उसमें से \(B\) के सभी समान तत्व हटा दें। / Since \(|x|\le 4\), \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). Also, \(x^2\le 9\) means \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). Therefore, \(A\setminus B\) contains the elements that are in \(A\) but not in \(B\), giving \(\{-4,4\}\). Option C is incorrect because \(-3\) and \(3\) both belong to \(B\). Exam tip: To find \(A\setminus B\), list the elements of \(A\) and remove every element common to \(B\).
\(B\setminus C\) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं। (A) से इन्हें हटाने पर (A) में या तो (B) से बाहर वाले या (C) में रहने वाले तत्व बचते हैं। / The set \(B\setminus C\) has elements in (B) but not in (C). Removing these from (A) leaves elements of (A) outside (B) or inside (C).
(n(A)=0) से \(A=\varnothing\) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) होगा। खाली सेट का किसी भी सेट से प्रतिच्छेद खाली होता है। / Since (n(A)=0), \(A=\varnothing\), so \(A\cap B=\varnothing\). The intersection of the empty set with any set is empty.
\(A\cap B\) और \(A\setminus B\) सदैव असंयुक्त होते हैं। बराबर होने पर दोनों खाली होंगे, इसलिए (A) भी खाली है। / The sets \(A\cap B\) and \(A\setminus B\) are always disjoint. If they are equal, both are empty, so (A) is empty.
(A) के सभी तत्व (B) में हैं और (B) का (C) से कोई सामान्य तत्व नहीं है। इसलिए \(A\cap C=\varnothing\) है। / All elements of (A) are in (B), and (B) has no common element with (C). Therefore \(A\cap C=\varnothing\).
\(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) और \(C=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। सामान्य (2) को एक बार गिनकर कुल (9) तत्व मिलते हैं। / Here \(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) and \(C=\{2,3,5,7,11\}\). Counting common (2) once gives (9) elements.
दायाँ पक्ष (B) का कोई तत्व नहीं रखता, पर बायाँ पक्ष (B) के सभी तत्व रखता है। समानता तभी संभव है जब \(B=\varnothing\) हो। / The right side contains no element of (B), while the left side contains all elements of (B). Equality is possible only when \(B=\varnothing\).
A. \(C\subseteq A\cap B\) और (A=B)/\(C\subseteq A\cap B\) and (A=B)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(A\cap B\subseteq A\cup B\) और समानता में \(A\cup B\) भी उसी के बराबर होना चाहिए, इसलिए (A=B) और \(C\subseteq A\cap B\) है। / Since \(A\cap B\subseteq A\cup B\), equality forces \(A\cup B=A\cap B\), so (A=B), and also \(C\subseteq A\cap B\).
पहले संघ लेते हैं: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}। अब इस समुच्चय में से C = {2, 3, 5} के वे अवयव हटाएँगे जो इसमें मौजूद हैं। 2 और 3 हटने पर {1, 4} बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में 2 को नहीं हटाया गया है। परीक्षा-युक्ति: X ∖ Y में केवल वे अवयव रखे जाते हैं जो X में हों, लेकिन Y में न हों। / First find the union: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Now remove from this set the elements that are also present in C = {2, 3, 5}. Removing 2 and 3 leaves {1, 4}, so option A is correct. Option C is incorrect because it retains 2, even though 2 belongs to C. Exam tip: X ∖ Y contains elements of X that are not elements of Y; it is not a symmetric operation.
संघ \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), और \(A\cap B\) का योग है। अतः \(|A\cap B|=70-25-30=15\) है। / The union is the sum of \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence \(|A\cap B|=70-25-30=15\).
समुच्चय का विघटन \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\) होता है। दिए गए अनुसार \(A\setminus B\) और \(A\cap B\), दोनों \(C\) के उपसमुच्चय हैं; इसलिए उनका संघ भी \(C\) का उपसमुच्चय होगा और \(A\subseteq C\) प्राप्त होता है। \(B\subseteq C\) या \(A\cup B\subseteq C\) आवश्यक नहीं हैं, क्योंकि \(B\setminus A\) के तत्वों के बारे में कोई सूचना नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय को उसके अंतर और प्रतिच्छेद के रूप में लिखकर उपसमुच्चय संबंध जाँचें। / A set can be decomposed as \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\). Since both \(A\setminus B\) and \(A\cap B\) are subsets of \(C\), their union is also a subset of \(C\), giving \(A\subseteq C\). Neither \(B\subseteq C\) nor \(A\cup B\subseteq C\) is necessary because the elements of \(B\setminus A\) are unrestricted. Exam tip: Rewrite a set as the union of its difference and intersection parts before applying subset relations.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है, इसलिए \(A\cup B=B\) होगा। चूँकि \(A\cup B=U\), इसलिए (B=U) है। / From \(A\setminus B=\varnothing\), \(A\subseteq B\), so \(A\cup B=B\). Since \(A\cup B=U\), we get (B=U).
दोनों पक्ष उन तत्वों को बताते हैं जो (A) और (C) में हैं लेकिन (B) में नहीं हैं। इसलिए पहचान सदैव सत्य है। / Both sides describe elements that are in (A) and (C) but not in (B). Hence the identity is always true.
(|A|=12), (|B|=7) और \(|A\cap B|=1\), इसलिए \(|A\cup B|=18\) है। ऐसे प्रश्नों में सामान्य गुणज के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Here (|A|=12), (|B|=7) and \(|A\cap B|=1\), so \(|A\cup B|=18\). In such questions, use the least common multiple for common multiples.
(A) में (15) तत्व हैं और \(A\cap B\) में (12) से विभाज्य (5) तत्व हैं। इसलिए \(|A\setminus B|=15-5=10\) है। / The set (A) has (15) elements and \(A\cap B\) has (5) elements divisible by (12). So \(|A\setminus B|=15-5=10\).
(B) में (-1) शामिल नहीं है, इसलिए (A) का (-1) तक का भाग बचता है। अंतर निकालते समय खुले और बंद सिरों को अलग से जाँचें। / The point (-1) is not included in (B), so the part of (A) up to (-1) remains. Check open and closed endpoints separately in interval difference.
सममित अंतर में सामान्य भाग शामिल नहीं होता। इसलिए संघ के बराबर होने के लिए \(A\cap B=\varnothing\) होना चाहिए। / The symmetric difference does not include the common part. Therefore it can equal the union only when \(A\cap B=\varnothing\).
क्योंकि \(A\cap B=C\), इसलिए (A) से (B) हटाने का अर्थ (A) से उसका सामान्य भाग (C) हटाना है। सेट अंतर में पहले प्रतिच्छेद पहचानें। / Since \(A\cap B=C\), removing (B) from (A) means removing the common part (C) from (A). In set difference, identify the intersection first.
पहले \(B\setminus C=(-1,2)\) है क्योंकि (2) (C) में शामिल है। इसका (A) से प्रतिच्छेद भी ((-1,2)) है। / First \(B\setminus C=(-1,2)\) because (2) is included in (C). Its intersection with (A) is also ((-1,2)).
संघ तीन अलग भागों का योग है: (17+23+14=54)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three disjoint parts: (17+23+14=54). In a Venn diagram, add the separate regions directly.
\(A\setminus B\) में (B) का कोई तत्व नहीं हो सकता, इसलिए उसके (B) के बराबर होने पर (B) खाली होगा। ऐसे प्रश्नों में असंयुक्तता का उपयोग करें। / The set \(A\setminus B\) cannot contain any element of (B), so if it equals (B), then (B) must be empty. Use disjointness in such questions.
किसी सेट (A) का किसी सेट से प्रतिच्छेद फिर (A) ही हो, तो (A) उस सेट का उपसमुच्चय होता है। यहाँ वह सेट \(B\cup C\) है। / If the intersection of (A) with a set is (A) itself, then (A) is a subset of that set. Here the set is \(B\cup C\).
\(A\cup B\) में (6) और (12) दोनों हैं, पर (18) नहीं है। इसलिए (C) के साथ प्रतिच्छेद ({6,12}) है। / The set \(A\cup B\) contains (6) and (12), but not (18). Hence the intersection with (C) is ({6,12}).
\(|A\cap B|=41-19=22\), इसलिए \(|A\cup B|=41+36-22=55\)। पहले सामान्य भाग निकालना आवश्यक है। / Here \(|A\cap B|=41-19=22\), so \(|A\cup B|=41+36-22=55\). Finding the common part first is essential.
संघ सममित अंतर और सामान्य भाग से बनता है, इसलिए \(|A\cap B|=51-34=17\)। वेन आरेख में क्षेत्रों को अलग रखें। / The union is made of the symmetric difference and the common part, so \(|A\cap B|=51-34=17\). Keep Venn regions separate.
(A) का हर तत्व (B) में और (C) का हर तत्व (D) में है। इसलिए उनके संघ में भी समावेशन बना रहता है। / Every element of (A) is in (B), and every element of (C) is in (D). Therefore inclusion is preserved under union.
पहली शर्त से \(B\subseteq A\) और दूसरी से \(A\subseteq B\) मिलता है। दोनों मिलकर (A=B) देते हैं। / The first condition gives \(B\subseteq A\), and the second gives \(A\subseteq B\). Together they imply (A=B).
यदि \(A=\{x\mid x\in\mathbb{N},\ x\le 40 और\ x\text{ एक पूर्ण वर्ग है}\}\) तथा \(B=\{x\mid x\in\mathbb{N},\ x\le 40 और\ x\text{ सम है}\}\), जहाँ \(\mathbb{N}\) धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, तो \(A\cap B\) क्या होगा?
40 तक की धनात्मक वर्ग संख्याएँ \(1,4,9,16,25,36\) हैं। इनमें से सम संख्याएँ \(4,16,36\) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयवों का समुच्चय \(A\cap B=\{4,16,36\}\) होगा। विकल्प C में सभी वर्ग संख्याएँ हैं, जबकि उनमें \(1,9,25\) विषम हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद के लिए केवल वे अवयव चुनें जो दोनों समुच्चयों में हों। / The positive perfect squares not exceeding 40 are \(1,4,9,16,25,36\). The even ones among them are \(4,16,36\); hence \(A\cap B=\{4,16,36\}\). Option C lists all the square numbers, including the odd squares \(1,9,25\), so it is not the intersection. Exam tip: For an intersection, retain only the elements common to both sets.
तीनों सेट परस्पर असंयुक्त हैं, इसलिए संघ की संख्या (9+11+13=33) है। असंयुक्त सेटों में कोई घटाव नहीं होता। / The three sets are pairwise disjoint, so the union has (9+11+13=33) elements. No subtraction is needed for disjoint sets.
(A) से \(B\cap C\) हटाने पर कुछ नहीं बचा, इसका अर्थ है (A) पूरा \(B\cap C\) में है। शून्य अंतर से उपसमुच्चय पहचानें। / Nothing remains after removing \(B\cap C\) from (A), so all of (A) lies inside \(B\cap C\). Identify subset relations from empty difference.
पहले \(B\cap C\) ज्ञात करें। दोनों समुच्चयों में समान अवयव 4 और 6 हैं, इसलिए \(B\cap C=\{4,6\}\)। अब \(A\) में से 4 और 6 हटाने पर \(A\setminus(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि समुच्चय अंतर में पहले समुच्चय के वे अवयव रखे जाते हैं जो दूसरे समुच्चय में नहीं होते। / First find \(B\cap C\). The common elements of \(B\) and \(C\) are 4 and 6, so \(B\cap C=\{4,6\}\). Removing 4 and 6 from \(A\) gives \(A\setminus(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\). Exam tip: in a set difference, retain the elements of the first set that are not present in the second set.
\(A\setminus B\) में (B) के बाहर वाले तत्व हैं और \(A\cap B\) में (B) के अंदर वाले तत्व हैं। इसलिए दोनों में कोई सामान्य तत्व नहीं होता। / The set \(A\setminus B\) has elements of (A) outside (B), while \(A\cap B\) has elements of (A) inside (B). So they have no common element.
समान संघ और समान प्रतिच्छेद में (B) के अंदर तथा बाहर दोनों जगह (A) और (C) की सदस्यता समान होती है। इसलिए (A=C) है। / Equal union and equal intersection make membership of (A) and (C) the same both inside and outside (B). Hence (A=C).
\(A\setminus B\) की संख्या (39-18=21) है। संघ से (A) का यह भाग और सामान्य भाग हटाने पर (65-39=26) मिलता है। / The number in \(A\setminus B\) is (39-18=21). Since the part outside (A) in the union is (65-39=26), \(|B\setminus A|=26\).
पहले समीकरण \(x^2-9=0\) से \((x-3)(x+3)=0\), इसलिए \(A=\{-3,3\}\)। दूसरा समीकरण \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\) देता है, इसलिए \(B=\{3\}\)। संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव लिए जाते हैं; अतः \(A\cup B=\{-3,3\}\)। परीक्षा-युक्ति: संघ में दोहराए गए अवयव को केवल एक बार लिखें। / From \(x^2-9=0\), we get \((x-3)(x+3)=0\), so \(A=\{-3,3\}\). Also, \(x^2-6x+9=(x-3)^2=0\), so \(B=\{3\}\). A union contains every distinct element from both sets; therefore, \(A\cup B=\{-3,3\}\). Exam tip: list a repeated element only once in a union.
\(C\setminus B\) में (B) के बाहर के तत्व हैं, जबकि (A) पूरा (B) के अंदर है। इसलिए दोनों का प्रतिच्छेद खाली है। / The set \(C\setminus B\) has elements outside (B), while all of (A) lies inside (B). Hence their intersection is empty.
\(A\setminus B\) और \(A\cap B\) असंयुक्त होते हैं, इसलिए बराबर होने पर दोनों खाली होंगे। इससे \(A=\varnothing\) मिलता है। / The sets \(A\setminus B\) and \(A\cap B\) are disjoint, so if they are equal, both must be empty. This gives \(A=\varnothing\).
\(A\setminus C\) में (C) का कोई तत्व नहीं होता। इसलिए \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं होगा। / The set \(A\setminus C\) contains no element of (C). Therefore no element of \(A\cap B\) can lie in (C).
दिए गए समुच्चय \(A\) में 10 से छोटे अवयव \(1,2,4,8\) हैं, इसलिए \(B=\{1,2,4,8\}\)। अंतर समुच्चय \(A\setminus B\) में \(A\) के वे अवयव होते हैं जो \(B\) में नहीं हैं; अतः \(A\setminus B=\{16,32\}\)। ध्यान रखें कि \(A\setminus B\) में पहले समुच्चय के अवयव लिए जाते हैं और दूसरे समुच्चय के अवयव हटाए जाते हैं। / The elements of \(A\) that are less than 10 are \(1,2,4,8\), so \(B=\{1,2,4,8\}\). The difference \(A\setminus B\) contains the elements of \(A\) that are not in \(B\); therefore, \(A\setminus B=\{16,32\}\). Exam tip: in \(A\setminus B\), remove the elements of the second set from the first set; the order matters.
A. \(B\subseteq A\) और \(A\subseteq C\)/\(B\subseteq A\) and \(A\subseteq C\)
Explanation
Simple Explanation
दायाँ पक्ष (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए \(A\cup B\subseteq A\) से \(B\subseteq A\) मिलता है। साथ ही \(A\subseteq A\cup B=A\cap C\), इसलिए \(A\subseteq C\) है। / The right side is a subset of (A), so \(A\cup B\subseteq A\) gives \(B\subseteq A\). Also \(A\subseteq A\cup B=A\cap C\), so \(A\subseteq C\).
(A) में (25) सम संख्याएँ हैं और (10) से विभाज्य (5) संख्याएँ (B) में भी हैं। इसलिए (25-5=20) तत्व बचते हैं। / There are (25) even numbers in (A), and (5) of them are also divisible by (10). Therefore (25-5=20) elements remain.
यदि \(x\in B\setminus C\), तो \(x\in A\cup C\) होना चाहिए और \(x\notin C\), इसलिए \(x\in A\) है। सदस्यता तर्क ऐसे निष्कर्षों में सहायक है। / If \(x\in B\setminus C\), then \(x\in A\cup C\) and \(x\notin C\), so \(x\in A\). Membership reasoning helps in such conclusions.
पहले प्रतिच्छेद लें: A\cap C=\{a,d\}। फिर B\setminus A में वे अवयव होंगे जो B में हैं, लेकिन A में नहीं; इसलिए B\setminus A=\{f,g\}। अतः \{a,d\}\cup\{f,g\}=\{a,d,f,g\}, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद बताता है और विकल्प C केवल अंतर। परीक्षा-युक्ति: अंतर निकालते समय पहले सेट के वे अवयव हटाएँ जो दूसरे सेट में भी मौजूद हों। / First find the intersection: A\cap C=\{a,d\}. Next, B\setminus A contains the elements that are in B but not in A, so B\setminus A=\{f,g\}. Therefore, \{a,d\}\cup\{f,g\}=\{a,d,f,g\}, making option A correct. Option B gives only the intersection, while option C gives only the difference. Exam tip: in a set difference, remove from the first set every element that also belongs to the second set.
\(|A\cup B\cup C|=30+27+25-12-10-8+4=56\)। तीन सेटों के सूत्र में अंतिम प्रतिच्छेद जोड़ना न भूलें। / Here \(|A\cup B\cup C|=30+27+25-12-10-8+4=56\). Do not forget to add the triple intersection in the three-set formula.
किसी भी सेट (A) को \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बाँटा जा सकता है। दोनों भाग (C) के समान हैं, इसलिए (A=C) है। / Any set (A) can be split into \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Since both parts match those of (C), (A=C).
(A) से \(B\setminus C\) हटाने पर कुछ नहीं घटा, इसलिए (A\cap\(B\setminus C\)=\varnothing)। अतः \(A\cap B\) के तत्व (C) में होंगे। / Removing \(B\setminus C\) from (A) changes nothing, so (A\cap\(B\setminus C\)=\varnothing). Hence elements of \(A\cap B\) must lie in (C).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (3) तक है और दोनों सिरे शामिल हैं। प्रतिच्छेद में साझा भाग ही लें। / The common part of the two intervals is from (0) to (3), and both endpoints are included. In intersection, take only the shared part.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) के अंदर (B) और (C) की सदस्यता समान है। इसलिए (A) में \(B\triangle C\) का कोई तत्व नहीं है। / Both conditions show that inside (A), membership in (B) and (C) is the same. Therefore (A) contains no element of \(B\triangle C\).
केवल चाय का अर्थ \(|T\setminus C|=|T|-|T\cap C|=88-39=49\) है। केवल वाले प्रश्नों में प्रतिच्छेद घटाएँ। / Only tea means \(|T\setminus C|=|T|-|T\cap C|=88-39=49\). In only-type questions, subtract the intersection.
पहली शर्त से \(B\subseteq A\) और दूसरी से \(B\subseteq C\) है। इसलिए \(B\subseteq A\cap C\) है। / The first condition gives \(B\subseteq A\), and the second gives \(B\subseteq C\). Hence \(B\subseteq A\cap C\).
(25) तक (3) के गुणज (3,6,9,12,15,18,21,24) हैं। इनमें विषम (3,9,15,21,25) नहीं, बल्कि (3,9,15,21) और (?) नहीं; कुल (4) है। / Multiples of (3) up to (25) are (3,6,9,12,15,18,21,24). The odd ones are (3,9,15,21), so the count is (4).
A. (A\setminus\(B\cup C\)=\varnothing) और (B\setminus\(A\cup C\)=\varnothing)/(A\setminus\(B\cup C\)=\varnothing) and (B\setminus\(A\cup C\)=\varnothing)
Explanation
Simple Explanation
(C) के बाहर (A) और (B) के तत्व समान हैं। इसलिए (A) का (B) और (C) दोनों से बाहर कोई तत्व नहीं और वैसा ही (B) के लिए है। / Outside (C), the elements of (A) and (B) are the same. Hence no element of (A) lies outside both (B) and (C), and similarly for (B).
किसी सेट का पावर सेट केवल \({\varnothing}\) तभी होता है जब मूल सेट \(\varnothing\) हो। इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। / The power set of a set is only \({\varnothing}\) exactly when the original set is \(\varnothing\). Therefore \(A\cap B=\varnothing\).
यदि कोई सेट \(A\cap C\) का उपसमुच्चय है, तो वह (C) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए \(A\setminus B\subseteq C\) है। / If a set is a subset of \(A\cap C\), then it is also a subset of (C). Hence \(A\setminus B\subseteq C\).
पहले \(A\setminus B\) निकालते हैं। इसका अर्थ है \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं, इसलिए \(A\setminus B=\{1,5,7,11\}\)। अब इसका \(C=\{5,9,13\}\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल 5 समान तत्व मिलता है, अतः उत्तर \(\{5\}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 9, \(B\) में होने के कारण \(A\setminus B\) में शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(A\setminus B\) में पहले \(B\) के सभी तत्वों को \(A\) से हटाएँ, फिर प्रतिच्छेद लें। / First find \(A\setminus B\), which contains the elements of \(A\) that are not in \(B\): \(A\setminus B=\{1,5,7,11\}\). Intersecting this set with \(C=\{5,9,13\}\) leaves only 5, so the answer is \(\{5\}\). Option B is incorrect because 9 belongs to \(B\), so it is removed from \(A\setminus B\). Exam tip: For \(A\setminus B\), remove every element of \(B\) from \(A\) before taking the intersection.
किसी सेट को (A) से जोड़ने पर परिणाम (A) ही रहे, तो वह सेट (A) का उपसमुच्चय होता है। यहाँ वह \(B\cap C\) है। / If adding a set to (A) by union still gives (A), that set is a subset of (A). Here that set is \(B\cap C\).
पहले \(B\cup C=[3,12)\) प्राप्त होता है, क्योंकि \(B\) में 3 शामिल है और \(C\), 5 से 12 तक के खुले अंतराल में है। अब \(A=[1,10]\) में से \([3,12)\) के तत्व हटाने पर \([1,3)\) बचता है। 3 को शामिल नहीं किया जाएगा, क्योंकि 3, \(B\cup C\) का सदस्य है। परीक्षा-युक्ति: अंतराल घटाते समय शामिल और बहिष्कृत सिरों के कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / First, \(B\cup C=[3,12)\), since 3 is included in \(B\), while \(C\) extends from just above 5 to just below 12. Removing this union from \(A=[1,10]\) leaves \([1,3)\). The endpoint 3 is excluded because 3 belongs to \(B\cup C\). Exam tip: carefully track whether each interval endpoint is included or excluded when performing set difference.
संघ में \(A\setminus B\), \(A\cap B\) और \(B\setminus A\) हैं। \(B\setminus A=92-31-27=34\), इसलिए (|B|=34+27=61)। / The union has \(A\setminus B\), \(A\cap B\), and \(B\setminus A\). Here \(B\setminus A=92-31-27=34\), so (|B|=34+27=61).
(A) के अंदर (B) से बाहर और (C) से बाहर भाग समान हैं। इसलिए (A\cap\(C\setminus B\)) खाली है, जो दिए गए समावेशन के बराबर है। / Inside (A), the parts outside (B) and outside (C) are equal. Thus (A\cap\(C\setminus B\)) is empty, which is equivalent to the given inclusion.
\(A\setminus B\) का हर तत्व (A) में है, इसलिए वह \(A\cup B\) में भी है। अतः प्रतिच्छेद वही \(A\setminus B\) रहेगा। / Every element of \(A\setminus B\) lies in (A), so it also lies in \(A\cup B\). Therefore the intersection remains \(A\setminus B\).
तीन सेटों के सूत्र में अंत में \(|A\cap B\cap C|\) जोड़ा जाता है, पर यहाँ वह (0) है। इसलिए केवल युग्म प्रतिच्छेद घटते हैं। / In the three-set formula, \(|A\cap B\cap C|\) is added at the end, but here it is (0). So only pairwise intersections are subtracted.
\(B\setminus A=\varnothing\) से \(B\subseteq A\) है और \(A\setminus B\ne\varnothing\) से \(A\ne B\)। इसलिए \(B\subset A\) है। / From \(B\setminus A=\varnothing\), \(B\subseteq A\), and from \(A\setminus B\ne\varnothing\), \(A\ne B\). Hence \(B\subset A\).
बाएँ पक्ष में (C) के तत्व नहीं हो सकते, फिर भी वह \(A\cap B\) के बराबर है। इसलिए \(A\cap B\) का कोई तत्व (C) में नहीं है। / The left side cannot contain elements of (C), yet it equals \(A\cap B\). Therefore no element of \(A\cap B\) lies in (C).
