Topic Quiz • 150 questions • 45 seconds per question.
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A. (120)
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (10) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{10}{3}=120\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (10). Hence \(\binom{10}{3}=120\).
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B. (126)
विशेष विद्यार्थी को हटाने पर (9) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके होंगे। / After excluding the special student (9) students remain. So the number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
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C. 840
ठीक 2 लड़कियाँ चुनने के बाद शेष 3 स्थान लड़कों से भरने होंगे। 6 लड़कियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके और 8 लड़कों में से 3 चुनने के \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=15\times56=840\) हैं। \(\binom{14}{5}\) लेने पर लड़कियों की संख्या ठीक 2 होने की शर्त पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: “ठीक” दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / After selecting exactly 2 girls, the remaining 3 students must be boys. The number of ways to choose 2 of the 6 girls is \(\binom{6}{2}=15\), and the number of ways to choose 3 of the 8 boys is \(\binom{8}{3}=56\). Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=15\times56=840\). Using \(\binom{14}{5}\) would not enforce the condition of exactly 2 girls. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required number from each group separately and multiply.
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D. (460)
कुल चयन \(\binom{12}{4}=495\) हैं और केवल पुरुष \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (495-35=460) तरीके हैं। / Total selections are \(\binom{12}{4}=495\) and all-men selections are \(\binom{7}{4}=35\). Hence (495-35=460).
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B. (275)
मामले (2), (3) और (4) लाल गेंदों के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\) है। / The cases are (2), (3), and (4) red balls. The total is \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\).
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C. (119)
कुल चयन \(\binom{9}{5}=126\) हैं और पहले (2) में से कोई न हो तो \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) नहीं बल्कि सही शर्त के अनुसार (105) है। / Total selections are \(\binom{9}{5}=126\) and selections with none of the first (2) are \(\binom{7}{5}=21\). Thus the valid selections are (105).
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C. (285)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{2}=36\) तरीके हैं। इसलिए (330-36=294) नहीं बल्कि सही गणना (294) है। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\) and ways with both special books are \(\binom{9}{2}=36\). Hence the correct count is (294).
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B. (56)
दो विशेष खिलाड़ी पहले से चुने गए हैं। बाकी (3) खिलाड़ी (8) में से \(\binom{8}{3}=56\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special players are already selected. The remaining (3) players are chosen from (8) in \(\binom{8}{3}=56\) ways.
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A. (96)
कुल \(\binom{15}{2}=105\) जोड़ियां हैं लेकिन (5) समरेखीय बिंदु \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (105-10+1=96) है। / Total pairs are \(\binom{15}{2}=105\) but (5) collinear points give (1) line instead of \(\binom{5}{2}\). Hence (105-10+1=96).
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B. (216)
कुल \(\binom{12}{3}=220\) त्रिक हैं और (4) समरेखीय बिंदुओं से \(\binom{4}{3}=4\) त्रिभुज नहीं बनते। इसलिए (220-4=216) है। / Total triples are \(\binom{12}{3}=220\) and \(\binom{4}{3}=4\) triples from collinear points do not form triangles. Hence (220-4=216).
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B. 72
9 टीमों में से किसी भी 2 टीमों की एक जोड़ी बनेगी, इसलिए जोड़ियों की संख्या \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\) है। प्रत्येक जोड़ी के बीच 2 मैच खेले जाते हैं, अतः कुल मैच \(36\times2=72\) होंगे। 36 केवल टीमों की जोड़ियों की संख्या है, कुल मैचों की नहीं। परीक्षा टिप: ऐसी लीग में कुल मैच = \(\binom{n}{2}\times\) प्रत्येक जोड़ी के मैच। / A match-up is formed by choosing any 2 teams from 9, so the number of pairs is \(\binom{9}{2}=\frac{9\times8}{2}=36\). Since each pair plays 2 matches, the total number of matches is \(36\times2=72\). Note that 36 counts only the pairs of teams, not the total matches. Exam tip: use \(\binom{n}{2}\times\) matches per pair for such league questions.
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C. (48)
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो तीसरा व्यक्ति (6) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (56-6=50) नहीं बल्कि सही उत्तर (50) है। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\) and if both special persons are together the third person is chosen in (6) ways. Hence the valid count is (50).
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D. (595)
मामले (2), (3) और (4) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\) है। / The cases are (2), (3), and (4) mathematics books. The total is \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\).
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B. (185)
कुल \(\binom{12}{3}=220\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{5}{3}=10\) और केवल हिंदी \(\binom{7}{3}=35\) हटाने पर (175) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{12}{3}=220\). Removing only English \(\binom{5}{3}=10\) and only Hindi \(\binom{7}{3}=35\) gives (175) ways.
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B. (105)
मामले (3) डॉक्टर (1) नर्स और (4) डॉक्टर हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\) है। / The cases are (3) doctors (1) nurse and (4) doctors. The total is \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\).
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In how many ways can at least (2) and at most (4) gifts be selected from (10) different gifts?
C. (385)
चयन (2), (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\) है। / The selection can be of (2), (3), or (4) gifts. The total is \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\).
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A. (15)
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (2) रंग (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (2) colors from (6). The ways are \(\binom{6}{2}=15\).
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B. (45)
(3) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (2) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\) हैं। / Choose (2) from (3) special students and (2) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\).
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A. (736)
कुल \(\binom{12}{5}=792\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (792-56=736) है। / Total ways are \(\binom{12}{5}=792\) and ways with no special student are \(\binom{8}{5}=56\). Hence (792-56=736).
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B. 525
समिति में ठीक 3 पुरुष होने पर शेष 2 सदस्य महिलाएँ होंगी। 7 पुरुषों में से 3 चुनने के \(\binom{7}{3}=35\) तरीके और 6 महिलाओं में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\) हैं। \(\binom{13}{5}\) लेना गलत होगा, क्योंकि उसमें पुरुषों की संख्या ठीक 3 होने की शर्त लागू नहीं होती। परीक्षा टिप: ऐसी समिति-चयन समस्याओं में प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / With exactly 3 men, the remaining 2 committee members must be women. The number of ways to choose 3 of the 7 men is \(\binom{7}{3}=35\), and the number of ways to choose 2 of the 6 women is \(\binom{6}{2}=15\). Hence, the total number of committees is \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=35\times15=525\). Using \(\binom{13}{5}\) would be incorrect because it does not enforce the condition of exactly 3 men. Exam tip: when fixed numbers are chosen from separate groups, multiply the respective combinations.
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C. (305)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। केवल पेन \(\binom{6}{4}=15\) और केवल पेंसिल \(\binom{5}{4}=5\) हटाने पर (310) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing only pens \(\binom{6}{4}=15\) and only pencils \(\binom{5}{4}=5\) gives (310) ways.
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If \(\binom{n}{2}=66\), what is the value of (n)?
C. 12
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=66\) से \(n(n-1)=132\) मिलता है। \(12\times 11=132\), इसलिए \(n=12\) है। विकल्प 11 के लिए \(\binom{11}{2}=55\) होता है, 66 नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) लिखकर क्रमागत संख्याओं का गुणनफल जाँचें। / \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Hence, \(\frac{n(n-1)}{2}=66\) gives \(n(n-1)=132\). Since \(12\times 11=132\), \(n=12\). For option 11, \(\binom{11}{2}=55\), not 66. Exam tip: In such combination questions, first use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) and look for consecutive integers whose product matches the result.
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If \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\), what will be the value of (n)?
C. \(8\)
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\) है और \(3\ne5\), इसलिए \(5=n-3\)। अतः \(n=8\)। विकल्प \(7\) में \(\binom{7}{3}=35\), जबकि \(\binom{7}{5}=21\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब \(\binom{n}{r}\) और \(\binom{n}{s}\) बराबर हों तथा \(r\ne s\), तो पहले \(r+s=n\) जाँचें। / Use the symmetry property of combinations: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Here \(\binom{n}{3}=\binom{n}{5}\) and \(3\ne5\), so \(5=n-3\). Therefore, \(n=8\). For example, for \(n=7\), \(\binom{7}{3}=35\) but \(\binom{7}{5}=21\), so it is not correct. Exam tip: when \(\binom{n}{r}\) and \(\binom{n}{s}\) are equal with \(r\ne s\), first check whether \(r+s=n\).
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For fixed \(n\) and \(0\le r\le n\), which pair always represents the same number of combinations?
A. \(\binom{n}{r}\) और \(\binom{n}{n-r}\)
\(n\) वस्तुओं में से \(r\) चुनना, छोड़ी गई \(n-r\) वस्तुओं को चुनने के समतुल्य है। इसलिए \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प B सामान्यतः बराबर नहीं होता। परीक्षा में इसे संयोजनों की सममिति गुणधर्म के रूप में याद रखें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to identifying the \(n-r\) objects left out. Hence \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option B is not equal in general. Exam tip: remember this as the symmetry property of combinations.
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Using Pascal's identity \(\binom{8}{3}+\binom{8}{4}\) is equal to which expression?
A. \(\binom{9}{4}\)
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{9}{4}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{9}{4}\).
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What is the value of \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}\)?
A. 84
पास्कल के सर्वसमिका \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\) के अनुसार, \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}=\binom{9}{3}=84\)। अतः सही उत्तर 84 है। \(126\), \(\binom{9}{4}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे घटाव में पहले पास्कल सर्वसमिका पहचानने से लंबी गणना बचती है। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\), we get \(\binom{10}{4}-\binom{9}{4}=\binom{9}{3}=84\). Hence, the correct answer is 84. The value 126 is \(\binom{9}{4}\), not the required difference. Exam tip: Recognising Pascal’s identity avoids lengthy calculation in such questions.
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How many (3)-element subsets can be formed from \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) that contain (1)?
C. (15)
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (2) तत्व (6) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (2) elements are chosen from (6). The number of ways is \(\binom{6}{2}=15\).
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How many (4)-element subsets of \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) do not contain both (2) and (3) together?
B. (55)
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total subsets are \(\binom{8}{4}=70\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{6}{2}=15\). Hence (70-15=55).
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C. 20
1 से 12 तक सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10 और 12 हैं, अर्थात कुल 6 संख्याएँ। इनमें से 3 संख्याएँ चुनने के तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। इसलिए सही उत्तर 20 है। 24 जैसी संख्या क्रमचय गिनने पर आ सकती है, लेकिन यहाँ केवल चयन करना है, क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: चयन के प्रश्नों में, जब क्रम का उल्लेख न हो, तो संयोजन \(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / The even numbers from 1 to 12 are 2, 4, 6, 8, 10 and 12, so there are 6 eligible numbers. The number of ways to choose 3 of them is \(\binom{6}{3}=20\). Therefore, the correct answer is 20. A value such as 24 may result from counting arrangements, but here only selection is required and order does not matter. Exam tip: when a question asks for selection without considering order, use combinations \(\binom{n}{r}\).
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From numbers (1) to (15), how many ways are there to choose (2) odd and (1) even number?
A. 196
1 से 15 तक 8 विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; तथा 7 सम संख्याएँ हैं। 8 विषम संख्याओं में से 2 चुनने के तरीके \(\binom{8}{2}=28\) हैं और 7 सम संख्याओं में से 1 चुनने के तरीके \(\binom{7}{1}=7\) हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=28\times7=196\) हैं। 224 प्राप्त करना गलत गिनती का परिणाम हो सकता है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समूहों से स्वतंत्र चयन हों, तो उनके संयोजनों को गुणा करें। / From 1 to 15, there are 8 odd numbers: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, and 7 even numbers. The number of ways to choose 2 of the 8 odd numbers is \(\binom{8}{2}=28\), and the number of ways to choose 1 of the 7 even numbers is \(\binom{7}{1}=7\). Therefore, the total number of ways is \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=28\times7=196\). The value 224 can result from an incorrect count. Exam tip: multiply combinations when selections are made independently from separate groups.
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A. (252)
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (10) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) तरीके हैं। / After removing (3) special students (10) students remain. Hence there are \(\binom{10}{5}=252\) ways.
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B. (1554)
कुल \(\binom{14}{5}=2002\) हैं। (0) शिक्षक \(\binom{8}{5}=56\) और (1) शिक्षक \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\) हटाएं। उत्तर (1526) है। / Total ways are \(\binom{14}{5}=2002\). Remove (0) teacher \(\binom{8}{5}=56\) and (1) teacher \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\). The answer is (1526).
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D. (320)
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। सभी सफेद \(\binom{5}{4}=5\) और सभी काली \(\binom{6}{4}=15\) हटाने पर (310) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing all-white \(\binom{5}{4}=5\) and all-black \(\binom{6}{4}=15\) gives (310).
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A. 120
पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 3 उम्मीदवारों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\)। इसलिए सही उत्तर 120 है। \(360\) क्रमचय-आधारित गिनती से जुड़ा भ्रामक विकल्प है, लेकिन समान पुरस्कारों में क्रम नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: “समान” वस्तुएँ या पुरस्कार हों तो सामान्यतः संयोजन सोचें। / Since the prizes are identical, the order of the 3 selected candidates does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{10}{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\). Hence, the correct answer is 120. The option \(360\) is a permutation-based distractor, but order is not counted when prizes are identical. Exam tip: For identical prizes or objects, usually think of combinations.
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B. (55)
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{6}{4}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special friends do not go then \(\binom{6}{4}=15\). Hence (70-15=55).
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B. (60)
विशेष फलों में से (1) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\) हैं। / Choose (1) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\).
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C. 120
लाल गेंद चुनने के 4, नीली गेंद चुनने के 5 और हरी गेंद चुनने के 6 विकल्प हैं। गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=4\times5\times6=120\) होंगे। 60 केवल दो रंगों के विकल्पों का गुणन करने पर प्राप्त हो सकता है, इसलिए वह पूर्ण चयन को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: जब अलग-अलग समूहों से एक-एक वस्तु चुननी हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / There are 4 choices for the red ball, 5 for the blue ball, and 6 for the green ball. By the multiplication principle, the total number of ways is \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=4\times5\times6=120\). The value 60 can result from multiplying choices for only two colours, so it does not represent the complete selection. Exam tip: When one item is chosen from each independent group, multiply the numbers of choices.
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B. (10)
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (2) अक्षर (5) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (2) letters from (5). The ways are \(\binom{5}{2}=10\).
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C. (16)
कुल \(\binom{6}{3}=20\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो तीसरा विषय (4) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (20-4=16) है। / Total ways are \(\binom{6}{3}=20\) and if both special subjects are included the third subject is chosen in (4) ways. Hence (20-4=16).
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B. (28)
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (2) संख्याएं (8) में से \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (2) numbers are chosen from (8) in \(\binom{8}{2}=28\) ways.
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B. \(\binom{5}{3}\)
असफल त्रिभुज के लिए (5) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{5}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (5) collinear points. So the number is \(\binom{5}{3}\).
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A. (5)
(2) खराब कुर्सियां हटाने पर (5) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (4) चुनने के तरीके \(\binom{5}{4}=5\) हैं। / After removing (2) broken chairs (5) good chairs remain. The ways to choose (4) are \(\binom{5}{4}=5\).
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C. (70)
दोनों शामिल हों तो \(\binom{7}{2}=21\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। कुल (21+35=56) है। / If both are included there are \(\binom{7}{2}=21\) ways and if both are excluded there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The total is (56).
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B. (31)
मामले अंतिम (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the last (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\).
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D. (350)
वरिष्ठों की संख्या (0) या (1) हो सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\) है। / The number of seniors can be (0) or (1). The total is \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\).
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A. (112)
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (8) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (8). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
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In how many ways can an even number of coins be selected from (6) different coins?
B. (32)
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6) सिक्कों का होगा। कुल \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\) है। / An even selection means (0), (2), (4), or (6) coins. The total is \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\).
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In how many ways can an odd number of toys be selected from (7) different toys?
C. 64
7 अलग-अलग खिलौनों में से विषम संख्या में चयन करने के तरीके हैं: \(\binom71+\binom73+\binom75+\binom77=7+35+21+1=64\)। सामान्यतः \(n\) वस्तुओं के लिए सम संख्या और विषम संख्या के चयन बराबर होते हैं, प्रत्येक \(2^{n-1}\) के बराबर। विकल्प 127 सभी गैर-रिक्त चयनों की संख्या \(2^7-1\) है, केवल विषम चयनों की नहीं। परीक्षा टिप: सम/विषम चयन के प्रश्न में सीधे \(2^{n-1}\) का उपयोग करें। / The selections with an odd number of toys are \(\binom71+\binom73+\binom75+\binom77=7+35+21+1=64\). In general, for \(n\) distinct objects, the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal, each being \(2^{n-1}\). Option 127 is \(2^7-1\), the number of all non-empty selections, not only odd-sized selections. Exam tip: For even/odd selection questions, use \(2^{n-1}\) directly.
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A. 35
कप्तान पहले से तय है और उसे चयन में शामिल नहीं करना है, इसलिए 8 में से केवल 7 खिलाड़ी उपलब्ध हैं। इन 7 खिलाड़ियों में से 3 का चयन करने के तरीके \(\binom{7}{3}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\) हैं। इसलिए सही उत्तर 35 है। \(\binom{8}{3}=56\) तब होता, जब कप्तान को भी चयन के लिए उपलब्ध माना जाता। परीक्षा टिप: जिन व्यक्तियों को चयन से बाहर रखा गया हो, उन्हें पहले कुल संख्या से घटाएँ। / Since the captain is already fixed and must not be included in the selection, only 7 players are available. The number of ways to choose 3 from these 7 players is \(\binom{7}{3}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\). Therefore, the correct answer is 35. \(\binom{8}{3}=56\) would apply only if the captain were also available for selection. Exam tip: First subtract anyone who is excluded from the selection.
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A. (336)
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\).
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A. (220)
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (12) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{12}{3}=220\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (12). Hence \(\binom{12}{3}=220\).
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B. (330)
(2) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके होंगे। / After excluding (2) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{4}=330\).
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C. 350
चयन में ठीक 3 लड़के होने पर शेष 2 विद्यार्थी लड़कियाँ होंगी। 7 लड़कों में से 3 लड़कों को चुनने के \,\(\binom{7}{3}=35\) तरीके और 5 लड़कियों में से 2 लड़कियों को चुनने के \,\(\binom{5}{2}=10\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\times10=350\) हैं। यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन का प्रयोग होगा। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ शब्द दिखे तो प्रत्येक समूह से चुनी जाने वाली संख्या पहले निश्चित करें। / With exactly 3 boys, the remaining 2 selected students must be girls. The number of ways to choose 3 of the 7 boys is \(\binom{7}{3}=35\), and the number of ways to choose 2 of the 5 girls is \(\binom{5}{2}=10\). Therefore, the total number of selections is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\times10=350\). Since the order of selection does not matter, combinations—not permutations—are used. Exam tip: when a question says “exactly,” first fix the required number from each group.
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B. (665)
मामले (2), (3) और (4) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\) नहीं बल्कि सही जोड़ (420+160+15=595) है। / The cases are (2), (3), and (4) women. The correct sum is \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\).
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C. 525
कुल 5 गेंदों में ठीक 2 लाल गेंदें चाहिए, इसलिए शेष 3 गेंदें नीली होंगी। 6 लाल गेंदों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके और 7 नीली गेंदों में से 3 चुनने के \(\binom{7}{3}=35\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=15\times35=525\) हैं। 315 जैसे विकल्प में लाल और नीली गेंदों के चयन को सही संख्या में नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ शब्द होने पर पहले शेष रंग की आवश्यक संख्या निर्धारित करें, फिर स्वतंत्र चयनों को गुणा करें। / Out of the 5 balls, exactly 2 must be red, so the remaining 3 must be blue. The number of ways to choose 2 of the 6 red balls is \(\binom{6}{2}=15\), and the number of ways to choose 3 of the 7 blue balls is \(\binom{7}{3}=35\). Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=15\times35=525\). A value such as 315 does not correctly account for the required numbers of red and blue balls. Exam tip: when “exactly” is given, first fix the number required from each group and then multiply the independent selections.
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D. (147)
मामले पहले (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the first (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\).
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A. (450)
कुल \(\binom{12}{4}=495\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{2}=45\) हैं। इसलिए (495-45=450) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{4}=495\) and ways with both special books are \(\binom{10}{2}=45\). Hence (495-45=450).
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B. (168)
(3) विशेष में से (2) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\).
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B. (106)
कुल \(\binom{16}{2}=120\) जोड़ियां हैं और (6) समरेखीय बिंदु \(\binom{6}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (120-15+1=106) है। / Total pairs are \(\binom{16}{2}=120\) and (6) collinear points give (1) line instead of \(\binom{6}{2}\). Hence (120-15+1=106).
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C. (276)
कुल \(\binom{13}{3}=286\) त्रिक हैं और \(\binom{5}{3}=10\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (286-10=276) है। / Total triples are \(\binom{13}{3}=286\) and \(\binom{5}{3}=10\) collinear triples do not form triangles. Hence (286-10=276).
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C. (132)
टीमों की जोड़ियां \(\binom{12}{2}=66\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (132) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{12}{2}=66\). With (2) matches for each pair the total is (132).
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C. (105)
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{7}{2}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and ways with both special persons are \(\binom{7}{2}=21\). Hence (126-21=105).
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C. (560)
मामले (2), (3) और (4) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\) नहीं बल्कि सही जोड़ (280+280+70=630) है। / The cases are (2), (3), and (4) chemistry books. The correct sum is \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\).
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A. (920)
कुल \(\binom{14}{4}=1001\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{6}{4}=15\) और केवल हिंदी \(\binom{8}{4}=70\) हटाने पर (916) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{14}{4}=1001\). Removing only English \(\binom{6}{4}=15\) and only Hindi \(\binom{8}{4}=70\) gives (916) ways.
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C. (581)
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\).
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In how many ways can at least (2) and at most (3) gifts be selected from (11) different gifts?
C. 220
चयन में या तो 2 उपहार होंगे या 3 उपहार। अतः कुल तरीके \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=55+165=220\) हैं। विकल्प 165 केवल 3 उपहार चुनने के तरीकों की संख्या है; इसमें 2 उपहार चुनने के तरीके शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” और “अधिकतम” के बीच आने वाले सभी सम्भव चयन-आकारों के संयोजन जोड़ें। / The selection may contain either 2 gifts or 3 gifts. Therefore, the total number of ways is \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=55+165=220\). Option 165 counts only the selections of 3 gifts and does not include selections of 2 gifts. Exam tip: Add the combinations for every permitted selection size between “at least” and “at most.”
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B. (35)
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (3) रंग (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (3) colors from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
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C. (120)
(4) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
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D. (3003)
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with no special student are \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688) ways.
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Which of the following situations is an example of a combination?
A. 10 विद्यार्थियों में से 4 विद्यार्थियों की समिति चुननाSelecting a committee of 4 students from 10 students
समिति चुनने में केवल सदस्य चुने जाते हैं; उनका क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए यह संयोजन है। पुस्तकों का क्रम और पदों का वितरण क्रम पर निर्भर हैं। परीक्षा टिप: चयन में क्रम न हो तो संयोजन लें। / When a committee is chosen, only the members matter; their order does not, so it is a combination. Book arrangements and assigned posts depend on order. Exam tip: use combinations whenever selection is made without order.
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B. (1260)
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। केवल पेन \(\binom{7}{5}=21\) और केवल पेंसिल \(\binom{6}{5}=6\) हटाने पर (1260) है। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing only pens \(\binom{7}{5}=21\) and only pencils \(\binom{6}{5}=6\) gives (1260).
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If \(\binom{n}{2}=78\), what is the value of (n)?
C. 13
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=78\), यानी \(n(n-1)=156\)। \(13\times12=156\), इसलिए \(n=13\) है। \(n=12\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(\binom{12}{2}=66\), 78 नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ। / We use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=78\), so \(n(n-1)=156\). Since \(13\times12=156\), \(n=13\). Although 12 is a close option, \(\binom{12}{2}=66\), not 78. Exam tip: for questions involving \(\binom{n}{2}\), first apply \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
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If \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\), what will be the value of (n)?
C. 10
संयोजन के सममिति गुण के अनुसार \,\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\) के लिए \(6=n-4\) होना चाहिए। इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि तब \(\binom{9}{4}\) और \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) में नीचे के पदों का योग \(n\) हो, तो दोनों संयोजन बराबर होते हैं। / Using the symmetry property of combinations, \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, for \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\), we need \(6=n-4\). Hence, \(n=10\). Option 9 is not correct because \(\binom{9}{4}\) and \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) are not equal. Exam tip: Two combinations with the same upper number are equal when their lower numbers add up to that upper number.
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Which of the following statements about combinations is always true?
A. \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)
\(\binom{n}{r}\) में चुनी गई वस्तुओं के स्थान पर छोड़ी गई \(n-r\) वस्तुओं को चुनना समान समूह निर्धारित करता है। अतः \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प D में \((n-r)!\) भी होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक चयन वाली यह सममिति तुरंत पहचानें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to deciding which \(n-r\) objects are left out, so \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option D misses the factor \((n-r)!\). Exam tip: use this complementary-selection symmetry to identify equivalent combinations.
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Using Pascal's identity \(\binom{9}{4}+\binom{9}{5}\) is equal to which expression?
A. \(\binom{10}{5}\)
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{10}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{10}{5}\).
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What is the value of \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}\)?
B. 210
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}=\binom{10}{4}=210\)। विकल्प 252, \(\binom{10}{5}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमागत द्विपद गुणांकों के अंतर में पास्कल की सर्वसमिका सीधे लागू करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}=\binom{10}{4}=210\). The value 252 is \(\binom{10}{5}\), not the required difference. Exam tip: apply Pascal’s identity directly when consecutive binomial coefficients are subtracted.
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How many (4)-element subsets can be formed from \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) that contain (1)?
B. (56)
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) तत्व (8) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (3) elements are chosen from (8). The number of ways is \(\binom{8}{3}=56\).
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A. (91)
कुल \(\binom{9}{5}=126\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{7}{3}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total subsets are \(\binom{9}{5}=126\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{7}{3}=35\). Hence (126-35=91).
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From numbers (1) to (18), how many ways are there to choose (4) even numbers?
B. 126
1 से 18 तक सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 और 18 हैं, अर्थात कुल 9 सम संख्याएँ। इनमें से 4 संख्याएँ चुनने में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{9}{4}=126\)। अतः सही उत्तर 126 है। 3024 क्रमचय से जुड़ा मान है, क्योंकि उसमें चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: “चुनने” में यदि क्रम का उल्लेख न हो, तो सामान्यतः \(nCr\) लगाएँ। / The even numbers from 1 to 18 are 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 and 18, so there are 9 even numbers. Since the order of selecting 4 numbers does not matter, use combinations: \(\binom{9}{4}=126\). Therefore, the correct answer is 126. The value 3024 is related to permutations, where the order of selection is also counted. Exam tip: When items are “chosen” and no order is specified, usually use \(nCr\).
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From numbers (1) to (20), how many ways are there to choose (2) odd and (2) even numbers?
A. (2025)
विषम संख्याएं (10) और सम संख्याएं (10) हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\) हैं। / There are (10) odd numbers and (10) even numbers. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\).
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B. (462)
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (4) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
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B. (3213)
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\) है। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\).
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B. (1260)
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। सभी सफेद \(\binom{6}{5}=6\) और सभी काली \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (1260) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing all-white \(\binom{6}{5}=6\) and all-black \(\binom{7}{5}=21\) gives (1260).
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A. 330
पुरस्कार समान होने पर चुने गए 4 उम्मीदवारों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{11}{4}=\frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 7920 क्रमचय \(^{11}P_4\) है, जो तब लिया जाता जब पुरस्कार अलग-अलग होते। परीक्षा टिप: “समान” वस्तुओं या पुरस्कारों के चयन में सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Since the prizes are identical, the order of the 4 selected candidates does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{11}{4}=\frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=330\). Hence, the correct answer is 330. The value 7920 is \(^{11}P_4\), which would apply if the prizes were distinct. Exam tip: use combinations when identical prizes or objects are being selected.
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B. (91)
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and if both special friends do not go then \(\binom{7}{4}=35\). Hence (126-35=91).
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C. (120)
विशेष फलों में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
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C. (525)
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\).
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C. (20)
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (6). The ways are \(\binom{6}{3}=20\).
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C. (25)
कुल \(\binom{7}{4}=35\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{5}{2}=10\) हैं। इसलिए (35-10=25) है। / Total ways are \(\binom{7}{4}=35\) and if both special subjects are included there are \(\binom{5}{2}=10\) ways. Hence (35-10=25).
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A. (84)
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
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B. \(\binom{6}{3}\)
असफल त्रिभुज के लिए (6) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{6}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (6) collinear points. So the number is \(\binom{6}{3}\).
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B. (6)
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (6) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। / After removing (3) broken chairs (6) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{6}{5}=6\).
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B. (126)
दोनों शामिल हों तो \(\binom{8}{3}=56\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{8}{5}=56\) तरीके हैं। कुल (56+56=112) है। / If both are included there are \(\binom{8}{3}=56\) ways and if both are excluded there are \(\binom{8}{5}=56\) ways. The total is (112).
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C. (101)
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\).
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C. (896)
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\).
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B. (168)
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (9) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (9). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\).
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In how many ways can an even number of coins be selected from (8) different coins?
B. 128
8 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। सम संख्या में चुने गए सिक्कों के तरीके \(\binom80+\binom82+\binom84+\binom86+\binom88\) होंगे। सम और विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है, इसलिए सम संख्या वाले चयन \(2^8/2=2^7=128\) हैं। विकल्प 127 में शून्य सिक्के चुनने का एक तरीका शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \((1+1)^n\) और \((1-1)^n\) का प्रयोग करके सम तथा विषम पदों के योग बराबर सिद्ध किए जा सकते हैं। / The total number of subsets of 8 distinct coins is \(2^8=256\). The selections containing an even number of coins are \(\binom80+\binom82+\binom84+\binom86+\binom88\). The numbers of even-sized and odd-sized subsets are equal, so the number of even selections is \(2^8/2=2^7=128\). Option 127 omits the one way of selecting zero coins. Exam tip: Use \((1+1)^n\) and \((1-1)^n\) to show that the sums of even and odd binomial terms are equal.
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In how many ways can an odd number of toys be selected from (8) different toys?
C. 128
8 अलग-अलग खिलौनों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। किसी एक निश्चित खिलौने को शामिल या बाहर करके प्रत्येक सम-आकार के चयन का एक विषम-आकार के चयन से युग्म बनाया जा सकता है। इसलिए सम और विषम आकार के चयनों की संख्या बराबर होती है, अर्थात \(256/2=128\)। \(127\) केवल रिक्त चयन हटाने पर गैर-रिक्त सम चयनों की संख्या है, विषम चयनों की नहीं। परीक्षा टिप: \(n\) अलग-अलग वस्तुओं के विषम आकार के चयन हमेशा \(2^{n-1}\) होते हैं। / The total number of subsets of 8 distinct toys is \(2^8=256\). By including or excluding one fixed toy, every even-sized selection can be paired with an odd-sized selection. Hence, the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal, so the required number is \(256/2=128\). The value \(127\) is the number of non-empty even selections after excluding the empty selection, not the number of odd selections. Exam tip: For \(n\) distinct objects, the number of odd-sized selections is \(2^{n-1}\).
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B. 70
कप्तान को चयन में शामिल नहीं करना है, इसलिए 9 में से केवल 8 खिलाड़ी उपलब्ध हैं। इन 8 खिलाड़ियों में से 4 चुनने के तरीकों की संख्या display? / The captain is excluded from the selection, so only 8 players are available. The number of ways to choose 4 players from these 8 is display?
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C. (882)
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\).
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A. (715)
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (4) सदस्य (13) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{13}{4}=715\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (4) are chosen from (13). Hence \(\binom{13}{4}=715\).
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B. (462)
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) तरीके होंगे। / After excluding (3) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{5}=462\).
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C. 2940
चयन में ठीक 3 लड़कियाँ चाहिए, इसलिए 7 लड़कियों में से 3 लड़कियों का चयन \(\binom{7}{3}=35\) तरीकों से होगा। शेष 3 विद्यार्थी लड़के होंगे, जिन्हें 9 लड़कों में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=35\times84=2940\) हैं। 2520 जैसा विकल्प तब मिल सकता है जब लड़कों या लड़कियों की संख्या/चयन गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: “ठीक” दिए होने पर प्रत्येक समूह से चुनी जाने वाली संख्या पहले निश्चित करें, फिर संयोजनों को गुणा करें। / Exactly 3 girls must be selected, which can be done in \(\binom{7}{3}=35\) ways. The remaining 3 students must be boys, who can be selected from 9 boys in \(\binom{9}{3}=84\) ways. Therefore, the total number of selections is \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=35\times84=2940\). A value such as 2520 results from using an incorrect group size or selection count. Exam tip: when the word “exactly” is used, first fix the number selected from each group and then multiply the combinations.
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D. (3752)
मामले (2), (3), (4) और (5) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\) है। / The cases are (2), (3), (4), and (5) women. The total is \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\).
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A. n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनना, n-r वस्तुओं को न चुनने के बराबर है।Choosing r objects from n is equivalent to leaving out n-r objects.
r वस्तुओं का प्रत्येक चयन शेष n-r वस्तुओं को छोड़ने का एक अद्वितीय तरीका देता है, इसलिए दोनों संख्याएँ बराबर हैं। उदाहरणतः 8 में से 3 चुनना, 5 छोड़ने के बराबर है। परीक्षा टिप: पूरक चयन पहचानें। / Each selection of r objects uniquely identifies the n-r objects left out, so the two counts are equal. For example, choosing 3 from 8 means leaving 5. Exam tip: use the complementary-selection idea.
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C. (371)
मामले पहले (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the first (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\).
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B. (1188)
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{11}{3}=165\) हैं। इसलिए (1287-165=1122) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\) and ways with both special books are \(\binom{11}{3}=165\). Hence (1287-165=1122).
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C. (378)
(3) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\).
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B. (133)
कुल \(\binom{18}{2}=153\) जोड़ियां हैं और (7) समरेखीय बिंदु \(\binom{7}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (153-21+1=133) है। / Total pairs are \(\binom{18}{2}=153\) and (7) collinear points give (1) line instead of \(\binom{7}{2}\). Hence (153-21+1=133).
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A. (344)
कुल \(\binom{14}{3}=364\) त्रिक हैं और \(\binom{6}{3}=20\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (364-20=344) है। / Total triples are \(\binom{14}{3}=364\) and \(\binom{6}{3}=20\) collinear triples do not form triangles. Hence (364-20=344).
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B. (210)
टीमों की जोड़ियां \(\binom{15}{2}=105\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (210) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{15}{2}=105\). With (2) matches for each pair the total is (210).
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B. (196)
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and ways with both special persons are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
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C. (1932)
मामले (3), (4) और (5) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\) है। / The cases are (3), (4), and (5) chemistry books. The total is \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\).
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B. (4326)
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{7}{5}=21\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (4221) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing only English \(\binom{7}{5}=21\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (4221) ways.
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A. (1176)
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\).
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In how many ways can at least (3) and at most (4) gifts be selected from (12) different gifts?
B. 715
चयन में या तो 3 उपहार होंगे या 4 उपहार। अतः कुल तरीके \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=220+495=715\) हैं। विकल्प 495 केवल 4 उपहार चुनने के तरीकों को दर्शाता है, इसलिए उसमें 3 उपहार वाले चयन शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम 3 और अधिकतम 4” का अर्थ 3 तथा 4, दोनों स्थितियों के संयोजनों का योग है। / The selection may contain either 3 gifts or 4 gifts. Hence, the total number of ways is \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=220+495=715\). Option 495 counts only the selections of 4 gifts, so it omits the selections of 3 gifts. Exam tip: “At least 3 and at most 4” means add the cases for 3 and 4 selections.
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C. (70)
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (8) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{8}{4}=70\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (8). The ways are \(\binom{8}{4}=70\).
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B. (210)
(4) विशेष में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
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A. (2877)
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{10}{6}=210\) हैं। इसलिए (3003-210=2793) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with no special student are \(\binom{10}{6}=210\). Hence (3003-210=2793) ways.
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C. 1260
समिति में ठीक 2 पुरुष होने चाहिए, इसलिए शेष 4 स्थान महिलाओं के होंगे। 9 पुरुषों में से 2 चुनने के \(\binom{9}{2}=36\) तरीके और 7 महिलाओं में से 4 चुनने के \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=36\times35=1260\) हैं। इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: “ठीक” दिए होने पर प्रत्येक समूह से आवश्यक संख्या अलग-अलग चुनकर गुणा करें। / Exactly 2 men must be selected, so the remaining 4 committee members must be women. The number of ways to choose 2 of the 9 men is \(\binom{9}{2}=36\), and the number of ways to choose 4 of the 7 women is \(\binom{7}{4}=35\). Hence, the total number of committees is \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=36\times35=1260\). Therefore, option C is correct. Exam tip: When “exactly” is specified, choose the required members from each group separately and multiply the results.
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C. (2982)
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। केवल पेन \(\binom{8}{5}=56\) और केवल पेंसिल \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (2926) है। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing only pens \(\binom{8}{5}=56\) and only pencils \(\binom{7}{5}=21\) gives (2926).
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A. \(\binom{8}{3}-\binom{6}{1}\)
कुल टीमों की संख्या \(\binom{8}{3}\) है। जिन अमान्य टीमों में दोनों विशेष विद्यार्थी हों, उनके लिए तीसरा सदस्य शेष 6 में से चुना जाता है, अर्थात \(\binom{6}{1}\)। अतः सही व्यंजक \(\binom{8}{3}-\binom{6}{1}\) है। परीक्षा में निषिद्ध मामलों को कुल से घटाएँ। / There are \(\binom{8}{3}\) total teams. In every invalid team, both particular students are already chosen, so the third member is selected from the remaining 6 students: \(\binom{6}{1}\). Hence subtract \(\binom{6}{1}\). Exam tip: count forbidden cases separately before subtracting.
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If \(\binom{n}{5}=\binom{n}{7}\), what will be the value of (n)?
C. 12
संयोजन का सममिति गुण है: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। यहाँ \(\binom{n}{5}=\binom{n}{7}\) होने के लिए \(7=n-5\) होगा। अतः \(n=5+7=12\)। इसलिए सही विकल्प 12 है। उदाहरण के लिए, \(n=11\) पर \(\binom{11}{5}\) और \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}\) बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) में बराबर संयोजनों के लिए प्रायः \(r\) और \(n-r\) पूरक होते हैं। / Use the symmetry property of combinations: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). For \(\binom{n}{5}=\binom{n}{7}\), we need \(7=n-5\). Thus, \(n=5+7=12\). Hence, 12 is the correct option. For example, when \(n=11\), \(\binom{11}{5}\) and \(\binom{11}{7}=\binom{11}{4}\) are not equal. Exam tip: for equal binomial coefficients, check whether the lower indices are complementary, i.e. \(r\) and \(n-r\).
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B. \(2^n-1\)
\(n\) तत्वों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। इनमें एक रिक्त समुच्चय होता है, इसलिए उसे हटाने पर संख्या \(2^n-1\) मिलती है। परीक्षा में ‘कम-से-कम एक’ पढ़कर रिक्त समुच्चय घटाएँ। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) total subsets. Exactly one of them is the empty set, so subsets with at least one element are \(2^n-1\). Exam tip: subtract 1 whenever the empty subset is excluded.
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Using Pascal's identity \(\binom{10}{4}+\binom{10}{5}\) is equal to which expression?
A. \(\binom{11}{5}\)
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{11}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{11}{5}\).
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What is the value of \(\binom{12}{5}-\binom{11}{5}\)?
C. 330
पास्कल के सर्वसमिका सूत्र \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}\) से \(\binom{12}{5}=\binom{11}{5}+\binom{11}{4}\) मिलता है। इसलिए \(\binom{12}{5}-\binom{11}{5}=\binom{11}{4}=330\)। विकल्प 462, \(\binom{11}{5}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में पास्कल की सर्वसमिका लगाकर सीधे शेष संयोजन पद पहचानें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}\), we get \(\binom{12}{5}=\binom{11}{5}+\binom{11}{4}\). Hence, \(\binom{12}{5}-\binom{11}{5}=\binom{11}{4}=330\). The value 462 is \(\binom{11}{5}\), not the required difference. Exam tip: for differences of adjacent binomial coefficients, apply Pascal’s identity to identify the remaining term directly.
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How many (5)-element subsets can be formed from \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) that contain (1)?
B. (126)
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{9}{4}=126\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (4) elements are chosen from (9). The number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
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C. (196)
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total subsets are \(\binom{10}{5}=252\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
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From numbers (1) to (22), how many ways are there to choose (4) even numbers?
B. 330
1 से 22 तक सम संख्याएँ 2, 4, 6, ..., 22 हैं, अर्थात कुल 11 सम संख्याएँ। इनमें से 4 संख्याएँ चुनने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{11}{4}=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 462, \(\binom{11}{5}\) का मान है, इसलिए वह 4 संख्याएँ चुनने के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले उपलब्ध सम संख्याओं की संख्या गिनें, फिर चुनी जाने वाली संख्या के अनुसार \(\binom{n}{r}\) लगाएँ। / The even numbers from 1 to 22 are 2, 4, 6, ..., 22, so there are 11 even numbers. Since the order of selection does not matter, use combinations: \(\binom{11}{4}=330\). Therefore, the correct answer is 330. The value 462 equals \(\binom{11}{5}\), so it does not represent choosing 4 numbers. Exam tip: first count the eligible numbers, then apply \(\binom{n}{r}\) for the required selection.
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From numbers (1) to (24), how many ways are there to choose (3) odd and (2) even numbers?
C. (14520)
विषम संख्याएं (12) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\) हैं। / There are (12) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\).
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B. (462)
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
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B. (17472)
कुल \(\binom{18}{6}=18564\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\) है। / Total ways are \(\binom{18}{6}=18564\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\).
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A. (2926)
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। सभी सफेद \(\binom{7}{5}=21\) और सभी काली \(\binom{8}{5}=56\) हटाने पर (2926) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing all-white \(\binom{7}{5}=21\) and all-black \(\binom{8}{5}=56\) gives (2926).
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B. 495
चूँकि पुरस्कार समान हैं, इसलिए चुने गए 4 उम्मीदवारों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। अतः संयोजनों की संख्या \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\) होगी। विकल्प 11880, \(12P4\) है, जिसमें क्रम को भी अलग माना जाता है; इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: जब चयन हो और वस्तुएँ समान हों, तो सामान्यतः संयोजन का प्रयोग करें। / Since the prizes are identical, the order of the 4 selected candidates does not matter. Therefore, the required number of combinations is \(\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\,8!}=495\). Option 11880 is \(12P4\), which counts different orders separately, so it is not applicable here. Exam tip: use combinations when a selection is made and the objects are identical.
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B. (182)
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and if both special friends do not go then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (252-56=196).
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A. (210)
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
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B. (3528)
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\).
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C. (35)
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
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C. (55)
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special subjects are included there are \(\binom{6}{2}=15\) ways. Hence (70-15=55).
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A. (84)
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
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B. \(\binom{7}{3}\)
असफल त्रिभुज के लिए (7) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{7}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (7) collinear points. So the number is \(\binom{7}{3}\).
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C. (21)
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (7) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{7}{5}=21\) हैं। / After removing (3) broken chairs (7) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{7}{5}=21\).
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C. (280)
दोनों शामिल हों तो \(\binom{9}{3}=84\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{9}{5}=126\) तरीके हैं। कुल (84+126=210) है। / If both are included there are \(\binom{9}{3}=84\) ways and if both are excluded there are \(\binom{9}{5}=126\) ways. The total is (210).
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C. (185)
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\).
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B. (2016)
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\).
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B. (420)
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (10) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (10). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\).
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In how many ways can an even number of coins be selected from (10) different coins?
B. (512)
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6), (8), (10) सिक्कों का होगा। कुल संख्या \(2^{10-1}=512\) है। / An even selection means (0), (2), (4), (6), (8), or (10) coins. The total number is \(2^{10-1}=512\).
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In how many ways can an odd number of toys be selected from (9) different toys?
C. 256
9 अलग-अलग खिलौनों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^9=512\) है। किसी एक निश्चित खिलौने को लेकर, जिन चयनों में वह खिलौना शामिल है और जिनमें नहीं है, ऐसे चयन जोड़े बनाते हैं; प्रत्येक जोड़े में एक चयन विषम आकार का और दूसरा सम आकार का होता है। इसलिए विषम संख्या वाले चयन कुल का आधा, अर्थात \(2^9/2=2^8=256\), हैं। 255 इसलिए गलत है क्योंकि सम और विषम आकार के चयनों की संख्याएँ बराबर होती हैं। परीक्षा टिप: \(n\geq1\) अलग-अलग वस्तुओं के विषम आकार के उपसमुच्चय हमेशा \(2^{n-1}\) होते हैं। / There are \(2^9=512\) subsets of 9 distinct toys. Pair every selection not containing one fixed toy with the selection obtained by adding that toy. Each pair has one even-sized selection and one odd-sized selection. Hence, the number of odd-sized selections is half of 512: \(2^9/2=2^8=256\). Thus, 255 is incorrect because the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal. Exam tip: For \(n\geq1\) distinct objects, the number of odd-sized subsets is \(2^{n-1}\).
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B. 126
पहले से तय कप्तान को चयन में शामिल नहीं करना है, इसलिए चयन के लिए केवल 9 खिलाड़ी बचते हैं। इनमें से 4 खिलाड़ियों का चयन करने के तरीकों की संख्या \\( \binom{9}{4}= \frac{9!}{4!5!}=126 \\) है। विकल्प 210, \(\binom{10}{4}\) होगा, जो कप्तान को बाहर न करने पर मिलता। परीक्षा टिप: जिन व्यक्तियों को चयन से बाहर रखा गया हो, उन्हें पहले कुल संख्या से घटाएँ। / The fixed captain is not to be included in the selection, so only 9 players are available. The number of ways to select 4 of them is \(\binom{9}{4}= \frac{9!}{4!5!}=126 \). The value 210 is \(\binom{10}{4}\), which would result if the captain were not excluded. Exam tip: First remove any person who is explicitly excluded from the total number of choices.
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C. (1512)
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\).
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