Level 62 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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A. (220)
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (12) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{12}{3}=220\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (12). Hence \(\binom{12}{3}=220\).
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B. (330)
(2) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके होंगे। / After excluding (2) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{4}=330\).
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C. 350
चयन में ठीक 3 लड़के होने पर शेष 2 विद्यार्थी लड़कियाँ होंगी। 7 लड़कों में से 3 लड़कों को चुनने के \,\(\binom{7}{3}=35\) तरीके और 5 लड़कियों में से 2 लड़कियों को चुनने के \,\(\binom{5}{2}=10\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\times10=350\) हैं। यहाँ क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, इसलिए क्रमचय नहीं बल्कि संयोजन का प्रयोग होगा। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ शब्द दिखे तो प्रत्येक समूह से चुनी जाने वाली संख्या पहले निश्चित करें। / With exactly 3 boys, the remaining 2 selected students must be girls. The number of ways to choose 3 of the 7 boys is \(\binom{7}{3}=35\), and the number of ways to choose 2 of the 5 girls is \(\binom{5}{2}=10\). Therefore, the total number of selections is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\times10=350\). Since the order of selection does not matter, combinations—not permutations—are used. Exam tip: when a question says “exactly,” first fix the required number from each group.
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B. (665)
मामले (2), (3) और (4) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\) नहीं बल्कि सही जोड़ (420+160+15=595) है। / The cases are (2), (3), and (4) women. The correct sum is \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\).
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C. 525
कुल 5 गेंदों में ठीक 2 लाल गेंदें चाहिए, इसलिए शेष 3 गेंदें नीली होंगी। 6 लाल गेंदों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके और 7 नीली गेंदों में से 3 चुनने के \(\binom{7}{3}=35\) तरीके हैं। अतः कुल तरीके \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=15\times35=525\) हैं। 315 जैसे विकल्प में लाल और नीली गेंदों के चयन को सही संख्या में नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: ‘ठीक’ शब्द होने पर पहले शेष रंग की आवश्यक संख्या निर्धारित करें, फिर स्वतंत्र चयनों को गुणा करें। / Out of the 5 balls, exactly 2 must be red, so the remaining 3 must be blue. The number of ways to choose 2 of the 6 red balls is \(\binom{6}{2}=15\), and the number of ways to choose 3 of the 7 blue balls is \(\binom{7}{3}=35\). Hence, the total number of selections is \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=15\times35=525\). A value such as 315 does not correctly account for the required numbers of red and blue balls. Exam tip: when “exactly” is given, first fix the number required from each group and then multiply the independent selections.
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D. (147)
मामले पहले (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the first (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\).
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A. (450)
कुल \(\binom{12}{4}=495\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{2}=45\) हैं। इसलिए (495-45=450) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{4}=495\) and ways with both special books are \(\binom{10}{2}=45\). Hence (495-45=450).
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B. (168)
(3) विशेष में से (2) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\).
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B. (106)
कुल \(\binom{16}{2}=120\) जोड़ियां हैं और (6) समरेखीय बिंदु \(\binom{6}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (120-15+1=106) है। / Total pairs are \(\binom{16}{2}=120\) and (6) collinear points give (1) line instead of \(\binom{6}{2}\). Hence (120-15+1=106).
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C. (276)
कुल \(\binom{13}{3}=286\) त्रिक हैं और \(\binom{5}{3}=10\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (286-10=276) है। / Total triples are \(\binom{13}{3}=286\) and \(\binom{5}{3}=10\) collinear triples do not form triangles. Hence (286-10=276).
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C. (132)
टीमों की जोड़ियां \(\binom{12}{2}=66\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (132) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{12}{2}=66\). With (2) matches for each pair the total is (132).
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C. (105)
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{7}{2}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and ways with both special persons are \(\binom{7}{2}=21\). Hence (126-21=105).
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C. (560)
मामले (2), (3) और (4) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\) नहीं बल्कि सही जोड़ (280+280+70=630) है। / The cases are (2), (3), and (4) chemistry books. The correct sum is \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\).
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A. (920)
कुल \(\binom{14}{4}=1001\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{6}{4}=15\) और केवल हिंदी \(\binom{8}{4}=70\) हटाने पर (916) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{14}{4}=1001\). Removing only English \(\binom{6}{4}=15\) and only Hindi \(\binom{8}{4}=70\) gives (916) ways.
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C. (581)
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\).
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In how many ways can at least (2) and at most (3) gifts be selected from (11) different gifts?
C. 220
चयन में या तो 2 उपहार होंगे या 3 उपहार। अतः कुल तरीके \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=55+165=220\) हैं। विकल्प 165 केवल 3 उपहार चुनने के तरीकों की संख्या है; इसमें 2 उपहार चुनने के तरीके शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: “कम से कम” और “अधिकतम” के बीच आने वाले सभी सम्भव चयन-आकारों के संयोजन जोड़ें। / The selection may contain either 2 gifts or 3 gifts. Therefore, the total number of ways is \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=55+165=220\). Option 165 counts only the selections of 3 gifts and does not include selections of 2 gifts. Exam tip: Add the combinations for every permitted selection size between “at least” and “at most.”
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B. (35)
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (3) रंग (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (3) colors from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
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C. (120)
(4) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
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D. (3003)
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with no special student are \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688) ways.
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Which of the following situations is an example of a combination?
A. 10 विद्यार्थियों में से 4 विद्यार्थियों की समिति चुननाSelecting a committee of 4 students from 10 students
समिति चुनने में केवल सदस्य चुने जाते हैं; उनका क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता, इसलिए यह संयोजन है। पुस्तकों का क्रम और पदों का वितरण क्रम पर निर्भर हैं। परीक्षा टिप: चयन में क्रम न हो तो संयोजन लें। / When a committee is chosen, only the members matter; their order does not, so it is a combination. Book arrangements and assigned posts depend on order. Exam tip: use combinations whenever selection is made without order.
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B. (1260)
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। केवल पेन \(\binom{7}{5}=21\) और केवल पेंसिल \(\binom{6}{5}=6\) हटाने पर (1260) है। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing only pens \(\binom{7}{5}=21\) and only pencils \(\binom{6}{5}=6\) gives (1260).
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If \(\binom{n}{2}=78\), what is the value of (n)?
C. 13
\(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n-1)}{2}=78\), यानी \(n(n-1)=156\)। \(13\times12=156\), इसलिए \(n=13\) है। \(n=12\) निकटतम विकल्प है, लेकिन \(\binom{12}{2}=66\), 78 नहीं। परीक्षा टिप: संयोजन के ऐसे प्रश्नों में पहले \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ। / We use \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Thus, \(\frac{n(n-1)}{2}=78\), so \(n(n-1)=156\). Since \(13\times12=156\), \(n=13\). Although 12 is a close option, \(\binom{12}{2}=66\), not 78. Exam tip: for questions involving \(\binom{n}{2}\), first apply \(\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\).
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If \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\), what will be the value of (n)?
C. 10
संयोजन के सममिति गुण के अनुसार \,\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। अतः \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\) के लिए \(6=n-4\) होना चाहिए। इसलिए \(n=10\)। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि तब \(\binom{9}{4}\) और \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: \(\binom{n}{r}\) में नीचे के पदों का योग \(n\) हो, तो दोनों संयोजन बराबर होते हैं। / Using the symmetry property of combinations, \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Therefore, for \(\binom{n}{4}=\binom{n}{6}\), we need \(6=n-4\). Hence, \(n=10\). Option 9 is not correct because \(\binom{9}{4}\) and \(\binom{9}{6}=\binom{9}{3}\) are not equal. Exam tip: Two combinations with the same upper number are equal when their lower numbers add up to that upper number.
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Which of the following statements about combinations is always true?
A. \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)
\(\binom{n}{r}\) में चुनी गई वस्तुओं के स्थान पर छोड़ी गई \(n-r\) वस्तुओं को चुनना समान समूह निर्धारित करता है। अतः \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)। विकल्प D में \((n-r)!\) भी होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक चयन वाली यह सममिति तुरंत पहचानें। / Choosing \(r\) objects from \(n\) is equivalent to deciding which \(n-r\) objects are left out, so \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\). Option D misses the factor \((n-r)!\). Exam tip: use this complementary-selection symmetry to identify equivalent combinations.
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Using Pascal's identity \(\binom{9}{4}+\binom{9}{5}\) is equal to which expression?
A. \(\binom{10}{5}\)
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{10}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{10}{5}\).
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What is the value of \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}\)?
B. 210
पास्कल के सर्वसमिका के अनुसार \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\)। अतः \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}=\binom{10}{4}=210\)। विकल्प 252, \(\binom{10}{5}\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमागत द्विपद गुणांकों के अंतर में पास्कल की सर्वसमिका सीधे लागू करें। / Using Pascal’s identity, \(\binom{n}{r}-\binom{n-1}{r}=\binom{n-1}{r-1}\). Therefore, \(\binom{11}{5}-\binom{10}{5}=\binom{10}{4}=210\). The value 252 is \(\binom{10}{5}\), not the required difference. Exam tip: apply Pascal’s identity directly when consecutive binomial coefficients are subtracted.
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How many (4)-element subsets can be formed from \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) that contain (1)?
B. (56)
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) तत्व (8) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (3) elements are chosen from (8). The number of ways is \(\binom{8}{3}=56\).
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A. (91)
कुल \(\binom{9}{5}=126\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{7}{3}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total subsets are \(\binom{9}{5}=126\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{7}{3}=35\). Hence (126-35=91).
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From numbers (1) to (18), how many ways are there to choose (4) even numbers?
B. 126
1 से 18 तक सम संख्याएँ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 और 18 हैं, अर्थात कुल 9 सम संख्याएँ। इनमें से 4 संख्याएँ चुनने में क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं है, इसलिए संयोजन का प्रयोग होगा: \(\binom{9}{4}=126\)। अतः सही उत्तर 126 है। 3024 क्रमचय से जुड़ा मान है, क्योंकि उसमें चयन का क्रम भी गिना जाता है। परीक्षा टिप: “चुनने” में यदि क्रम का उल्लेख न हो, तो सामान्यतः \(nCr\) लगाएँ। / The even numbers from 1 to 18 are 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 and 18, so there are 9 even numbers. Since the order of selecting 4 numbers does not matter, use combinations: \(\binom{9}{4}=126\). Therefore, the correct answer is 126. The value 3024 is related to permutations, where the order of selection is also counted. Exam tip: When items are “chosen” and no order is specified, usually use \(nCr\).
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From numbers (1) to (20), how many ways are there to choose (2) odd and (2) even numbers?
A. (2025)
विषम संख्याएं (10) और सम संख्याएं (10) हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\) हैं। / There are (10) odd numbers and (10) even numbers. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\).
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B. (462)
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (4) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
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B. (3213)
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\) है। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\).
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B. (1260)
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। सभी सफेद \(\binom{6}{5}=6\) और सभी काली \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (1260) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing all-white \(\binom{6}{5}=6\) and all-black \(\binom{7}{5}=21\) gives (1260).
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A. 330
पुरस्कार समान होने पर चुने गए 4 उम्मीदवारों का क्रम महत्त्वपूर्ण नहीं होता। इसलिए संयोजन का प्रयोग करेंगे: \(\binom{11}{4}=\frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=330\)। अतः सही उत्तर 330 है। 7920 क्रमचय \(^{11}P_4\) है, जो तब लिया जाता जब पुरस्कार अलग-अलग होते। परीक्षा टिप: “समान” वस्तुओं या पुरस्कारों के चयन में सामान्यतः संयोजन लगाएँ। / Since the prizes are identical, the order of the 4 selected candidates does not matter. Therefore, use combinations: \(\binom{11}{4}=\frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2\times1}=330\). Hence, the correct answer is 330. The value 7920 is \(^{11}P_4\), which would apply if the prizes were distinct. Exam tip: use combinations when identical prizes or objects are being selected.
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B. (91)
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and if both special friends do not go then \(\binom{7}{4}=35\). Hence (126-35=91).
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C. (120)
विशेष फलों में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
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C. (525)
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\).
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C. (20)
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (6). The ways are \(\binom{6}{3}=20\).
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C. (25)
कुल \(\binom{7}{4}=35\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{5}{2}=10\) हैं। इसलिए (35-10=25) है। / Total ways are \(\binom{7}{4}=35\) and if both special subjects are included there are \(\binom{5}{2}=10\) ways. Hence (35-10=25).
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A. (84)
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
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B. \(\binom{6}{3}\)
असफल त्रिभुज के लिए (6) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{6}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (6) collinear points. So the number is \(\binom{6}{3}\).
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B. (6)
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (6) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। / After removing (3) broken chairs (6) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{6}{5}=6\).
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B. (126)
दोनों शामिल हों तो \(\binom{8}{3}=56\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{8}{5}=56\) तरीके हैं। कुल (56+56=112) है। / If both are included there are \(\binom{8}{3}=56\) ways and if both are excluded there are \(\binom{8}{5}=56\) ways. The total is (112).
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C. (101)
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\).
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C. (896)
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\).
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B. (168)
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (9) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (9). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\).
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In how many ways can an even number of coins be selected from (8) different coins?
B. 128
8 अलग-अलग सिक्कों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। सम संख्या में चुने गए सिक्कों के तरीके \(\binom80+\binom82+\binom84+\binom86+\binom88\) होंगे। सम और विषम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है, इसलिए सम संख्या वाले चयन \(2^8/2=2^7=128\) हैं। विकल्प 127 में शून्य सिक्के चुनने का एक तरीका शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \((1+1)^n\) और \((1-1)^n\) का प्रयोग करके सम तथा विषम पदों के योग बराबर सिद्ध किए जा सकते हैं। / The total number of subsets of 8 distinct coins is \(2^8=256\). The selections containing an even number of coins are \(\binom80+\binom82+\binom84+\binom86+\binom88\). The numbers of even-sized and odd-sized subsets are equal, so the number of even selections is \(2^8/2=2^7=128\). Option 127 omits the one way of selecting zero coins. Exam tip: Use \((1+1)^n\) and \((1-1)^n\) to show that the sums of even and odd binomial terms are equal.
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In how many ways can an odd number of toys be selected from (8) different toys?
C. 128
8 अलग-अलग खिलौनों के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^8=256\) है। किसी एक निश्चित खिलौने को शामिल या बाहर करके प्रत्येक सम-आकार के चयन का एक विषम-आकार के चयन से युग्म बनाया जा सकता है। इसलिए सम और विषम आकार के चयनों की संख्या बराबर होती है, अर्थात \(256/2=128\)। \(127\) केवल रिक्त चयन हटाने पर गैर-रिक्त सम चयनों की संख्या है, विषम चयनों की नहीं। परीक्षा टिप: \(n\) अलग-अलग वस्तुओं के विषम आकार के चयन हमेशा \(2^{n-1}\) होते हैं। / The total number of subsets of 8 distinct toys is \(2^8=256\). By including or excluding one fixed toy, every even-sized selection can be paired with an odd-sized selection. Hence, the numbers of even-sized and odd-sized selections are equal, so the required number is \(256/2=128\). The value \(127\) is the number of non-empty even selections after excluding the empty selection, not the number of odd selections. Exam tip: For \(n\) distinct objects, the number of odd-sized selections is \(2^{n-1}\).
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B. 70
कप्तान को चयन में शामिल नहीं करना है, इसलिए 9 में से केवल 8 खिलाड़ी उपलब्ध हैं। इन 8 खिलाड़ियों में से 4 चुनने के तरीकों की संख्या display? / The captain is excluded from the selection, so only 8 players are available. The number of ways to choose 4 players from these 8 is display?
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C. (882)
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\).
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