Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले दोनों पक्षों से 13 घटाने पर \\(-3x\leq -9\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\geq 3\\)। विकल्प A में चिन्ह उलटने का नियम लागू नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 13 from both sides gives \\(-3x\leq -9\\). Dividing by \\(-3\\) reverses the inequality sign, so \\(x\geq 3\\). Option A is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number.
\(\frac{x}{6}\geq 3\) से \(x\geq 18\) मिलता है। सकारात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(\frac{x}{6}\geq 3\), we get \(x\geq 18\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
\(6x-7>2x+17\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x-7>17\) मिलता है। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x>24\), और 4 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प C \(x\geq6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(6x-7>2x+17\), subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x-7>17\). Adding 7 and then dividing by the positive number 4 gives \(4x>24\), hence \(x>6\). Therefore, option D is correct. Option C, \(x\geq6\), is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
पहले बाएँ पक्ष को सरल करें: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\)। अतः \(3x-7\leq 2x+1\), जिससे \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x\geq 8\) विकल्प B नहीं हो सकता, क्योंकि असमानता को हल करते समय किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों का ध्यान रखें—\(\leq\) में 8 भी हल-समुच्चय में शामिल होता है। / Simplify the left-hand side: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\). Thus, \(3x-7\leq 2x+1\), which gives \(x\leq 8\). Therefore, option A is correct. Option B, \(x\geq 8\), is incorrect because no multiplication or division by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: Since the sign is \(\leq\), the endpoint 8 is included in the solution set.
कोष्ठक खोलने पर \(10x+5-3x<26\) मिलता है। समान पदों को मिलाने पर \(7x+5<26\), इसलिए \(7x<21\)। 7 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर B है। विकल्प C \(x≤3\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में '<' है और \(x=3\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 7 धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा। / Expanding the brackets gives \(10x+5-3x<26\). Combining like terms, \(7x+5<26\), so \(7x<21\). Dividing by the positive number 7 gives \(x<3\), making option B correct. Option C, \(x≤3\), is incorrect because the original inequality is strict; \(x=3\) does not satisfy it. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; since 7 is positive here, the sign remains unchanged.
असमानता \(2\le 3x-1<11\) के तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(3\le 3x<12\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(1\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल है, जिसके लिए कोष्ठक [ लगाया जाता है, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ ) लगाया जाता है। अतः सही अंतराल \([1,4)\) है। परीक्षा-टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले छोर को square bracket और \(<\) या \(>\) वाले छोर को round bracket से लिखें। / Adding 1 to all three parts of \(2\le 3x-1<11\) gives \(3\le 3x<12\). Dividing throughout by 3 gives \(1\le x<4\). Thus, 1 is included and is written with a square bracket, whereas 4 is excluded and is written with a round bracket. Therefore, the interval is \([1,4)\). Exam tip: use a square bracket for an included endpoint marked by \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for an excluded endpoint marked by \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x-3<21\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(4x<24\) मिलता है। 4 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि सख्त असमानता में \(x=6\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: \(<\) या \(>\) वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Adding 3 to both sides of \(4x-3<21\) gives \(4x<24\). Dividing by the positive number 4 yields \(x<6\). Therefore, the greatest integer less than 6 is 5. Option 6 is incorrect because a strict inequality does not include the boundary value \(x=6\). Exam tip: In inequalities with \(<\) or \(>\), the endpoint is not included.
असमानता को हल करने पर \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\) मिलता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) से शुरू होती हैं, इसलिए संभव मान \(1,2,3,4,5\) हैं और कुल 5 मान हैं। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0\) को भी प्राकृतिक संख्या माना जाता, लेकिन इस प्रश्न में प्रचलित विद्यालयी परिभाषा के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू हैं। परीक्षा युक्ति: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय में मानों की सूची बनाकर गिनती करें। / Solving the inequality gives \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\). Natural numbers begin with \(1\), so the possible values are \(1,2,3,4,5\), giving a total of 5 values. The answer 6 would result only if \(0\) were included as a natural number; here, the usual school convention takes natural numbers to begin with 1. Exam tip: After solving an inequality, list the allowed values and count them carefully.
\(4x\geq -20\) से \(x\geq -5\) मिलता है। समुच्चय रूप में सही असमानता चिन्ह लिखना जरूरी है। / From \(4x\geq -20\), we get \(x\geq -5\). In set form, writing the correct inequality sign is important.
(-5x>-15) में (-5) से भाग देने पर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / In (-5x>-15), dividing by (-5) gives (x<3). Dividing by a negative number reverses the sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(3x-2>28\)। अतः \(3x>30\), इसलिए \(x>10\)। विकल्प D गलत है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=10\) रखने पर \(\frac{30-2}{4}=7\) मिलता है, जो \(7>7\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality: \(3x-2>28\). Thus, \(3x>30\), giving \(x>10\). Option D is incorrect because the original inequality is strict; when \(x=10\), \(\frac{30-2}{4}=7\), and \(7>7\) is false. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर \(7-x\leq 6\) मिलता है। अतः \(-x\leq -1\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x\geq 1\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Since 3 is positive, multiplying both sides by 3 gives \(7-x\leq 6\). Thus, \(-x\leq -1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq 1\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
(4) से गुणा करने पर \(2x+10+x-1\geq 24\) मिलता है। इसलिए \(3x\geq 15\) नहीं बल्कि \(3x\geq 15\) से \(x\geq 5\) होगा, इसलिए गणना दोबारा जांचें। / Multiplying by (4) gives \(2x+10+x-1\geq 24\). So \(3x\geq 15\), giving \(x\geq 5\), so recheck arithmetic carefully.
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\)। इससे \(3x+9\geq 24\), अतः \(3x\geq 15\) और \(x\geq 5\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 4 धनात्मक है। / Multiply both sides by 4 to clear the denominators. Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\). This gives \(3x+9\geq 24\), so \(3x\geq 15\) and hence \(x\geq 5\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; here, 4 is positive.
दिए गए असमानता से \(9x-4\leq 5x+12\) ⇒ \(4x\leq 16\) ⇒ \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 सहित सभी 4 से छोटी संख्याएँ हल हैं, जिसका अंतराल रूप \((- infty,4]\) है। 4 पर वर्ग कोष्ठक इसलिए लगाया जाता है क्योंकि बराबरी शामिल है; विकल्प C में 4 को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु को बंद कोष्ठक से लिखें। / Starting with \(9x-4\leq 5x+12\), we get \(4x\leq 16\), and hence \(x\leq 4\). Thus, all numbers less than or equal to 4 are solutions, represented in interval notation by \((- infty,4]\). The square bracket at 4 shows that equality is included; option C is incorrect because it excludes 4. Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality contains \(\leq\) or \(\geq\).
−4x − 1 < 11 से −4x < 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए x > −3। चूँकि यह सख्त असमानता है, −3 शामिल नहीं होगा; अतः अंतराल (−3, ∞) है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From −4x − 1 < 11, we get −4x < 12. Dividing both sides by −4 reverses the inequality sign, giving x > −3. Since the inequality is strict, −3 is not included, so the interval is (−3, ∞). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(5x+2\ge 27\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(5x\ge 25\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है, क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः \(x=5\) सीमा मान होने के कारण सही है। \(x=4\) रखने पर \(22\ge 27\) मिलता है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Starting with \(5x+2\ge 27\), subtracting 2 from both sides gives \(5x\ge 25\). Dividing by 5 gives \(x\ge 5\); the inequality sign remains unchanged because 5 is positive. Therefore, \(x=5\) is correct as it is the boundary value. The closest distractor, \(x=4\), gives \(22\ge 27\), which is false. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.
( -2x<-14) से (x>7) नहीं, बल्कि (x>7) मिलता है। विकल्पों में सीमा (7) शामिल नहीं है, इसलिए कोई दिए गए मानों में सही नहीं होना चाहिए। / From (-2x<-14), we get (x>7). Since the boundary (7) is not included, none of the given values should be correct.
असमानता को हल करने पर \(20-2x\le 6\), अर्थात् \(-2x\le -14\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न बदल जाता है और \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए दिए गए मानों में केवल \(x=7\) सही है; इसमें बराबरी का मान शामिल है। उदाहरण के लिए, \(x=6\) रखने पर \(20-12=8\), और \(8\le 6\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality \(20-2x\le 6\) gives \(-2x\le -14\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\ge 7\). Therefore, among the given values, only \(x=7\) satisfies the inequality, including the equality case. For example, substituting \(x=6\) gives \(20-12=8\), and \(8\le 6\) is false. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों तरफ से (8x) घटाने पर (3>-10) मिलता है जो हमेशा सत्य है। इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Subtracting (8x) from both sides gives (3>-10), which is always true. Therefore all real (x) are solutions.
दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(-6 \ge 2\\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती और हल-समुच्चय रिक्त है। विकल्प B और D में \\(x\\) के लिए सीमा बताई गई है, जबकि यहाँ \\(x\\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान पदों को घटाने के बाद यदि असत्य कथन मिले, तो असमानता का कोई हल नहीं होता। / Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(-6 \ge 2\\), which is false. Therefore, no real number satisfies the inequality, so the solution set is empty. Options B and D incorrectly give bounds for \\(x\\), even though all \\(x\\)-terms cancel. Exam tip: after simplifying an inequality, a false statement means there is no solution.
पहले \(ax-7\geq 2\) से \(ax\geq 9\) प्राप्त होता है। चूँकि \(a>0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x\geq \frac{9}{a}\) मिलेगा। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=\frac{9}{a}\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के मामले में ऐसा नहीं होता। / From \(ax-7\geq 2\), adding 7 to both sides gives \(ax\geq 9\). Since \(a>0\), division by \(a\) does not reverse the inequality sign, so \(x\geq \frac{9}{a}\). Option C is incorrect because it excludes the equality case \(x=\frac{9}{a}\). Exam tip: the inequality sign reverses when multiplying or dividing by a negative number, but not when the number is positive.
पहले \(ax+4>10\) से \(ax>6\) प्राप्त होता है। अब \(a<0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और \(x<\frac{6}{a}\) मिलता है। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिह्न जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने या गुणा करने पर असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / From \(ax+4>10\), we first obtain \(ax>6\). Since \(a<0\), dividing both sides by \(a\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{6}{a}\). Option B ignores this sign reversal, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
किसी संख्या को x मानने पर उसका 6 गुना 6x होगा। ‘42 से अधिक’ का अर्थ 42 से बड़ा है, इसलिए असमानता का चिह्न > लगेगा और सही रूप 6x>42 होगा। विकल्प A और D में संख्या में 6 जोड़ा या घटाया गया है, जबकि विकल्प C में ‘कम’ का अर्थ निकलता है। परीक्षा में ‘गुना’ को गुणा और ‘अधिक’ को > के रूप में लिखना याद रखें। / Let the number be x. Six times the number is written as 6x, and ‘greater than 42’ requires the symbol >. Therefore, the correct inequality is 6x>42. Options A and D represent adding or subtracting 6, not multiplying by 6, while option C means less than 42. In exams, translate ‘times’ as multiplication and ‘greater than’ as >.
“30 से कम नहीं” का अर्थ 30 या उससे अधिक, अर्थात् \(x+11\geq 30\), होता है। दोनों पक्षों से 11 घटाने पर \(x\geq 19\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C में 19 को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-टिप: “कम नहीं” को \(\geq\) और “अधिक नहीं” को \(\leq\) के रूप में लिखें। / “Not less than 30” means 30 or more, so the inequality is \(x+11\geq 30\). Subtracting 11 from both sides gives \(x\geq 19\), making option A correct. Option B reverses the inequality, while option C incorrectly excludes 19. Exam tip: translate “not less than” as \(\geq\) and “not more than” as \(\leq\).
‘अधिकतम 35’ का अर्थ है कि परिणाम 35 से कम या उसके बराबर होगा, इसलिए असमिका \(4x+3\leq 35\) है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\leq 32\) और 4 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\leq\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘At most 35’ means the result is less than or equal to 35, so the inequality is \(4x+3\leq 35\). Subtracting 3 from both sides gives \(4x\leq 32\), and dividing by the positive number 4 gives \(x\leq 8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: use \(\leq\) for ‘at most’ and \(\geq\) for ‘at least’.
यदि पेन की संख्या को x मानें, तो बची हुई राशि 120-15x होगी। शर्त के अनुसार, \(120-15x\geq 30\), इसलिए \(-15x\geq -90\) और \(x\leq 6\)। पेन की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, अतः अधिकतम 6 पेन खरीदे जा सकते हैं। 7 पेन खरीदने पर केवल 15 रुपये बचेंगे, जो 30 रुपये से कम हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है। / Let the number of pens be x. The remaining money is \(120-15x\), and the saving condition gives \(120-15x\geq 30\). Thus, \(-15x\geq -90\), so \(x\leq 6\). Since the number of pens must be a whole number, the maximum is 6. Buying 7 pens would leave only 15 rupees, which is less than the required 30 rupees. Exam tip: When an inequality is divided by a negative number, its sign is reversed.
मान लीजिए कि और बैठने वाले यात्रियों की संख्या \(x\) है। बस की क्षमता के अनुसार \(x+19\leq52\), इसलिए \(x\leq33\)। अतः अधिकतम 33 और यात्री बैठ सकते हैं। विकल्प 34 गलत है, क्योंकि तब कुल यात्री 53 हो जाएंगे, जो बस की क्षमता से अधिक है। परीक्षा में “अधिकतम” या “at most” का अर्थ \(\leq\) लगाना याद रखें। / Let \(x\) be the number of additional passengers. The capacity condition is \(x+19\leq52\), so \(x\leq33\). Therefore, at most 33 more passengers can sit. Option 34 is incorrect because it would make the total 53 passengers, exceeding the capacity of the bus. In an exam, remember that “at most” translates to \(\leq\).
कोष्ठक खोलने पर \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\) मिलता है। अतः \(4x-17\geq 7\), इसलिए \(4x\geq 24\) और \(x\geq 6\)। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D में 6 को शामिल करने या न करने की शर्त गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(3(2x-5)-2(x+1)=6x-15-2x-2=4x-17\). Thus, \(4x-17\geq 7\), so \(4x\geq 24\) and \(x\geq 6\). Option A reverses the inequality, while options C and D incorrectly include or exclude the boundary value 6. Exam tip: When dividing an inequality by a positive number, its sign does not reverse.
कोष्ठक खोलने पर \\(10-2x+3>3x-12\\), अर्थात् \\(13-2x>3x-12\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(12\\) जोड़ने पर \\(25>5x\\) और 5 से भाग देने पर \\(x<5\\) प्राप्त होता है। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B गलत दिशा दर्शाता है, जबकि C और D में बराबर होने की स्थिति अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \\(10-2x+3>3x-12\\), or \\(13-2x>3x-12\\). Adding \\(12\\) to both sides gives \\(25>5x\\); dividing by the positive number 5 yields \\(x<5\\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Option B gives the opposite direction, while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हर पद का समान हर 12 करने पर \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), अर्थात् \(\frac{5x}{12}\leq 5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(\frac{12}{5}\) से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x=12\) को छोड़ दिया गया है, जबकि मूल असमानता में बराबरी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Using the common denominator 12, we get \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), so \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Multiplying both sides by the positive number \(\frac{12}{5}\) does not reverse the inequality, giving \(x\leq 12\). Hence, option B is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=12\), even though equality is included in the original inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its direction unchanged.
हर का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(5x+6>2x+54\)। अतः \(3x>48\), इसलिए \(x>16\)। इसीलिए विकल्प A सही है; \(x\geq16\) गलत है क्योंकि \(x=16\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जबकि यहाँ सख्त असमानता है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common denominator is 6. Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+6>2x+54\). Thus, \(3x>48\), so \(x>16\). Therefore, option A is correct. The distractor \(x\geq16\) is incorrect because substituting \(x=16\) makes both sides equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when an inequality is multiplied or divided by a negative number, its sign must be reversed.
(2) से गुणा करने पर \(-10\leq x-1<8\) मिलता है। फिर (1) जोड़कर \(-9\leq x<9\) नहीं, सही \(-9\leq x<9\) होगा। / Multiplying by (2) gives \(-10\leq x-1<8\). Adding (1) gives \(-9\leq x<9\), so check endpoints carefully.
असमानता \(-3\le x<4\) में \(-3\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\le\) का चिन्ह है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) का चिन्ह है। इसलिए \(-3\) से \(3\) तक के सभी पूर्णांक हल हैं, अर्थात विकल्प C सही है। विकल्प B में \(4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा में बंद सिरा शामिल और खुला सिरा बहिष्कृत करना याद रखें। / In the inequality \(-3\le x<4\), \(-3\) is included because the symbol is \(\le\), while \(4\) is excluded because the symbol is \(<\). Thus, all integers from \(-3\) through \(3\) are solutions, so option C is correct. Option B is incorrect because it includes \(4\). In an exam, remember that a closed endpoint is included and an open endpoint is excluded.
\(3x+4<19\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) मिलता है। धनात्मक पूर्णांक 1 से शुरू होते हैं, इसलिए संभव मान \(x=1,2,3,4\) हैं और कुल 4 हल हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(3(5)+4=19\) मिलता है, जबकि असमानता सख्त रूप से \(<19\) है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता में सीमा का मान शामिल नहीं किया जाता। / From \(3x+4<19\), we get \(3x<15\), so \(x<5\). Since positive integers start at 1, the possible values are \(x=1,2,3,4\), giving 4 solutions. The distractor 5 is incorrect because \(x=5\) gives \(3(5)+4=19\), which does not satisfy the strict inequality \(<19\). Exam tip: the boundary value is excluded in a strict inequality.
असमानता को सरल करने पर \\(11x+6\geq 7x+34\\) से \\(4x\geq 28\\), अतः \\(x\geq 7\\) प्राप्त होता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल 7 है। 6 गलत है क्योंकि वह \\(x\geq 7\\) को संतुष्ट नहीं करता, जबकि 8 और 9 सही हल तो हैं, पर सबसे छोटे नहीं। परीक्षा में असमानता हल करने के बाद सबसे छोटी पूर्णांक सीमा अवश्य जाँचें। / Simplifying \\(11x+6\geq 7x+34\\) gives \\(4x\geq 28\\), so \\(x\geq 7\\). Therefore, the least integer solution is 7. The value 6 is not allowed because it does not satisfy the inequality, while 8 and 9 are valid solutions but are not the least. In an exam, check the smallest integer at the boundary after solving the inequality.
असमानता को हल करने पर \(2x-5\leq 9\) से \(2x\leq 14\) और फिर \(x\leq 7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=7\) हल-समुच्चय में शामिल है, क्योंकि \(\leq\) का अर्थ ‘छोटा या बराबर’ होता है और इसमें बराबरी का मान भी स्वीकार किया जाता है। विकल्प A गलत है, क्योंकि \(x<7\) में \(x=7\) शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है। / Solving the inequality gives \(2x-5\leq 9\), so \(2x\leq 14\) and therefore \(x\leq 7\). Thus, \(x=7\) belongs to the solution set because \(\leq\) means ‘less than or equal to’, which includes equality. Option A is incorrect because \(x<7\) excludes \(x=7\). Exam tip: The boundary value is included when the inequality sign is \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता को हल करने पर 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4 प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय का सीमा बिंदु 4 है। चूँकि असमानता सख्त (> ) है, इसलिए 4 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता और इसे खुले बिंदु से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: x के गुणांक से भाग देने के बाद प्राप्त वह मान सीमा बिंदु होता है जहाँ असमानता का चिह्न बदलकर बराबरी पर विचार किया जाता है। / Solving the inequality gives 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4. Hence, the boundary point of the solution set is 4. Since the inequality is strict (>), 4 is not included in the solution set and is represented by an open point. Exam tip: After isolating x, the resulting value is the boundary point; check whether the inequality sign is strict or inclusive to decide whether the point is excluded or included.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(-2x\geq -16\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\leq 8\)। अतः 8 सहित सभी छोटी संख्याएँ हल हैं और अंतराल \((-\infty,8]\) होगा। विकल्प B में 8 को शामिल नहीं किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 7 from both sides gives \(-2x\geq -16\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\leq 8\). Therefore, all numbers less than or equal to 8 are solutions, giving the interval \((-\infty,8]\). Option B excludes 8, so it is incorrect. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(8x-6<5x+15\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x-6<15\), अर्थात् \(3x<21\) प्राप्त होता है। 3 से भाग देने पर \(x<7\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। चूँकि मूल असमानता में '<' है, इसलिए \(x=7\) शामिल नहीं होगा; अतः \(x\leq7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(8x-6<5x+15\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x-6<15\), or \(3x<21\). Dividing by 3 yields \(x<7\), so option A is correct. Since the original inequality is strict, \(x=7\) is not included; therefore, \(x\leq7\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
कोष्ठक खोलने पर \(6-x-2\leq 2x-5\), अर्थात् \(4-x\leq 2x-5\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(x\) और \(5\) को व्यवस्थित करने पर \(9\leq 3x\) प्राप्त होता है। अब 3 से भाग देने पर \(x\geq 3\), इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6-x-2\leq 2x-5\), or \(4-x\leq 2x-5\). Rearranging the terms yields \(9\leq 3x\). Dividing by the positive number 3 gives \(x\geq 3\), so option B is correct. Option A incorrectly reverses the direction of the inequality. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों हरों 3 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। 6 से गुणा करने पर, क्योंकि 6 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलेगी: \(2(2x+1)\leq x+9\), अर्थात् \(4x+2\leq x+9\)। इसलिए \(3x\leq7\), और \(x\leq\frac{7}{3}\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में बराबरी स्वीकार्य है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 6 धनात्मक है। / The least common multiple of the denominators 3 and 6 is 6. Multiplying by 6 does not reverse the inequality because 6 is positive: \(2(2x+1)\leq x+9\), so \(4x+2\leq x+9\). Thus, \(3x\leq7\), giving \(x\leq\frac{7}{3}\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=\frac{7}{3}\), even though equality is allowed in the original inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 6 is positive.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, \(2(2x+1)\leq x+9\) मिलता है। अतः \(4x+2\leq x+9\), इसलिए \(3x\leq7\) और \(x\leq\frac{7}{3}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत रूप से बदल दी गई है, जबकि C और D में अनावश्यक रूप से कड़ी असमानता लगाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by 6, which is positive, gives \(2(2x+1)\leq x+9\). Thus, \(4x+2\leq x+9\), so \(3x\leq7\) and \(x\leq\frac{7}{3}\). Option B incorrectly reverses the inequality, while C and D replace the non-strict inequality with an unnecessarily strict one. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not change its sign.
दिया है: \(2x+3>15\)। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>12\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल कथन में ‘से अधिक’ है, इसलिए 6 को शामिल नहीं किया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / We have \(2x+3>15\). Subtracting 3 from both sides gives \(2x>12\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(x>6\). Option C is incorrect because “greater than” is a strict inequality, so 6 is not included. Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
(5) से गुणा करने पर \(15\leq x+2\leq 30\) मिलता है। फिर (2) घटाने पर \(13\leq x\leq 28\) मिलता है। / Multiplying by (5) gives \(15\leq x+2\leq 30\). Subtracting (2) gives \(13\leq x\leq 28\).
पहली असमानता को हल करने पर \(2x-3>7\Rightarrow 2x>10\Rightarrow x>5\) मिलता है। दूसरी असमानता \(x<8\) है। इसलिए दोनों शर्तों का साझा हल \(5<x<8\), अर्थात् अंतराल \((5,8)\), होगा। 5 और 8 दोनों शामिल नहीं होंगे, क्योंकि दोनों असमानताएँ सख्त हैं। परीक्षा-युक्ति: \(>\) और \(<\) के लिए संबंधित सीमा-बिंदु खुले सिरे से लिखे जाते हैं। / Solving the first inequality gives \(2x-3>7\Rightarrow 2x>10\Rightarrow x>5\). The second condition is \(x<8\). Thus, their common solution is \(5<x<8\), represented by the interval \((5,8)\). Neither 5 nor 8 is included because both inequalities are strict. Exam tip: use an open endpoint for \(>\) or \(<\), and a closed endpoint only for \(\geq\) or \(\leq\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(5-x)+2=17-3x\) मिलता है। अतः \(17-3x<4x-11\), जिससे \(28<7x\) और इसलिए \(x>4\) प्राप्त होता है। सही उत्तर C है। विकल्प D गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=4\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटने का ध्यान रखें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(5-x)+2=17-3x\). Thus, \(17-3x<4x-11\), which leads to \(28<7x\), and hence \(x>4\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=4\) is not included. In exams, remember to reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 10 है। दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर, क्योंकि 10 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\)। अतः \(2x-8-x-1\geq 20\), यानी \(x-9\geq 20\), इसलिए \(x\geq 29\)। इसीलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / The least common denominator is 10. Multiplying both sides by 10 does not reverse the inequality sign because 10 is positive: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\). Thus, \(2x-8-x-1\geq 20\), so \(x-9\geq 20\), which gives \(x\geq 29\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
(4) से गुणा करने पर \(-8\leq 3x+1<28\) मिलता है। फिर (1) घटाकर और (3) से भाग देकर \(-3\leq x<9\) मिलता है। / Multiplying by (4) gives \(-8\leq 3x+1<28\). Subtracting (1) and dividing by (3) gives \(-3\leq x<9\).
एक छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए कम-से-कम 60 अंक चाहिए। यदि प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक मिलते हैं और सही उत्तरों की संख्या \(x\) है, तो \(x\) का न्यूनतम मान क्या होगा?
उत्तीर्ण होने की शर्त \(4x\ge 60\) है। दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर \(x\ge 15\) प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तरों की न्यूनतम संख्या 15 है। विकल्प 14 से केवल 56 अंक मिलेंगे, जो 60 से कम हैं। परीक्षा में ‘कम-से-कम’ का अर्थ \(\ge\) याद रखें। / The passing condition is \(4x\ge 60\). Dividing both sides by 4 gives \(x\ge 15\), so the minimum number of correct answers is 15. With 14 correct answers, the student would score only 56 marks, which is below 60. In exams, remember that ‘at least’ indicates \(\ge\).
