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हर \(x\in A\) की ठीक एक छवि (B) में है। परीक्षा में पहले domain के हर element की उपस्थिति और uniqueness जांचें। / Every \(x\in A\) has exactly one image in (B). In exams, first check presence and uniqueness for each domain element.
(A) के हर (4) element के लिए (B) में (2) choices हैं, इसलिए कुल \(2^4=16\) फलन हैं। सूत्र याद रखें: (A) से (B) तक फलन \(=|B|^{|A|}\)। / Each of the (4) elements of (A) has (2) choices in (B), so total functions are \(2^4=16\). Remember the formula: functions from (A) to (B) \(=|B|^{|A|}\).
एक input की ठीक एक output होना जरूरी है; अलग inputs की same output हो सकती है। common mistake: same image को function rule का violation न मानें। / A function needs exactly one output for each input; different inputs may have the same output. Common mistake: do not treat same image as a violation of function rule.
यहां \(2\in A\) की दो images (q) और (r) हैं। फलन में एक input की दो अलग outputs नहीं हो सकतीं। / Here \(2\in A\) has two images (q) and (r). In a function, one input cannot have two different outputs.
हर ordered pair में (y=2x+1) satisfies करता है। दिए गए pairs से rule पहचानते समय सभी pairs पर rule जांचें। / Every ordered pair satisfies (y=2x+1). While identifying a rule from pairs, test the rule on all pairs.
(x=0,1,2,3) रखने पर outputs (1,3,5,7) मिलते हैं। range हमेशा actual images का set होता है, पूरा codomain जरूरी नहीं। / Putting (x=0,1,2,3) gives outputs (1,3,5,7). The range is the set of actual images, not necessarily the whole codomain.
A. हर \(a\in A\) से (B) के ठीक एक element तक arrow है/Every \(a\in A\) has exactly one arrow to an element of (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में domain के प्रत्येक element से ठीक एक arrow निकलना चाहिए। diagram में arrows की direction और count दोनों देखें। / In a function, exactly one arrow must start from each domain element. In diagrams, check both arrow direction and arrow count.
A. \(4\in A\) की कोई image नहीं है/\(4\in A\) has no image
Explanation
Simple Explanation
(A) के हर element की image होनी चाहिए, लेकिन (4) missing है। codomain का कोई unused element होना function को गलत नहीं बनाता। / Every element of (A) must have an image, but (4) is missing. An unused element of the codomain does not make a function invalid.
A. (x=3) के लिए (y=0,1,2) possible हैं/For (x=3), (y=0,1,2) are possible
Explanation
Simple Explanation
(x=3) की कई images हैं, इसलिए uniqueness टूटती है। inequality वाले relations में एक input पर possible outputs गिनें। / For (x=3), there are many images, so uniqueness fails. In inequality relations, count possible outputs for one input.
(f(4)=1), इसलिए ((4,0)) relation में नहीं है। ordered pair जांचते समय first coordinate को rule में रखकर image निकालें। / (f(4)=1), so ((4,0)) is not in the relation. To test an ordered pair, put the first coordinate into the rule.
दिए गए प्रत्येक domain मान के लिए \(y=\frac{x+1}{2}\) निकालते हैं: \(x=1\) पर \(y=1\), \(x=3\) पर \(y=2\), \(x=5\) पर \(y=3\), और \(x=7\) पर \(y=4\)। इसलिए range \(\{1,2,3,4\}\) है। विकल्प B domain है, range नहीं। परीक्षा-युक्ति: function की range पाने के लिए दिए गए input मानों पर प्राप्त सभी distinct output लिखें। / Substitute each domain value into \(y=\frac{x+1}{2}\): for \(x=1\), \(y=1\); for \(x=3\), \(y=2\); for \(x=5\), \(y=3\); and for \(x=7\), \(y=4\). Hence, the range is \(\{1,2,3,4\}\). Option B is the domain, not the range. Exam tip: to find a function’s range, list all distinct output values obtained from the given inputs.
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) हो ताकि \((a,b)\in R\)/For every \(a\in A\), there is exactly one \(b\in B\) such that \((a,b)\in R\)
Explanation
Simple Explanation
फलन की शर्त domain elements पर लगती है, codomain elements पर नहीं। definition questions में exactly one शब्द सबसे जरूरी है। / The condition for a function is on domain elements, not codomain elements. In definition questions, the words exactly one are most important.
(x=1,2,3) के लिए pairs ((1,1),(2,4),(3,9)) मिलते हैं। rule relation में domain values को systematically substitute करें। / For (x=1,2,3), pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In rule-based relations, substitute domain values systematically.
किसी भी फलन में ordered pairs की संख्या domain के elements की संख्या के बराबर होती है। यहां (|A|=3), इसलिए pairs (3) हैं। / In any function, the number of ordered pairs equals the number of elements in the domain. Here (|A|=3), so there are (3) pairs.
A. यह constant function है/It is a constant function
Explanation
Simple Explanation
हर input की image (2) है, इसलिए यह constant function है। एक ही output बार-बार आना function को invalid नहीं बनाता। / Every input has image (2), so it is a constant function. Repeated output does not make a function invalid.
सर्वसमिका फलन में प्रत्येक \(x\in A\) का प्रतिबिंब स्वयं \(x\) ही होता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। विकल्प A में \(1\to1, 2\to2, 3\to3\) और \(4\to4\) है, इसलिए यह identity function है। विकल्प C एक स्थिर फलन है, जबकि B और D में कुछ तत्वों का प्रतिबिंब स्वयं से भिन्न है। परीक्षा-युक्ति: identity function की पहचान के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म \((x,y)\) में जाँचें कि \(x=y\) है या नहीं। / In an identity function, every \(x\in A\) maps to itself, so \(I_A(x)=x\). In option A, the mappings are \(1\to1, 2\to2, 3\to3\), and \(4\to4\); hence it is the identity function. Option C is a constant function, while B and D map at least some elements to different elements. Exam tip: for an identity function, check whether every ordered pair has equal components, \((x,y)\) with \(x=y\).
domain first coordinates का set है और यहां \(A=\{1,2,3\}\) है। ordered pairs और domain को अलग-अलग पहचानें। / The domain is the set of first coordinates, and here \(A=\{1,2,3\}\). Distinguish ordered pairs from the domain.
A. हर \(a\in A\) के लिए \(f(a)\in B\) unique होता है/For every \(a\in A\), \(f(a)\in B\) is unique
Explanation
Simple Explanation
function में हर domain element की unique image codomain में होती है। यह जरूरी नहीं कि पूरा codomain range बन जाए। / In a function, every domain element has a unique image in the codomain. The whole codomain need not become the range.
outputs (5,0,-3,-4,-3) हैं, इसलिए distinct values ({-4,-3,0,5}) range हैं। set में repeated values नहीं लिखते। / The outputs are (5,0,-3,-4,-3), so distinct values ({-4,-3,0,5}) form the range. Repeated values are not written in a set.
domain के हर (m) element के लिए codomain में (n) choices हैं, इसलिए कुल \(n^m\) फलन हैं। exponent हमेशा domain size पर होता है। / Each of the (m) domain elements has (n) choices in the codomain, so total functions are \(n^m\). The exponent is always the domain size.
यहां (|A|=2) और (|B|=3), इसलिए functions \(=3^2=9\)। counting में base codomain size और exponent domain size रखें। / Here (|A|=2) and (|B|=3), so functions \(=3^2=9\). In counting, keep codomain size as base and domain size as exponent.
\(y^2=x\) में (x=4) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक (x) की दो (y) values function नहीं बनातीं। / In \(y^2=x\), for (x=4), both (y=2) and (y=-2) are possible. Two (y)-values for one (x) do not define a function.
absolute value में (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), (|2|=2)। ordered pair में first coordinate input ही रहता है। / For absolute value, (|-1|=1), (|0|=0), (|1|=1), and (|2|=2). In an ordered pair, the first coordinate remains the input.
हर \(x\in A\) के लिए (y=5-x) unique और (A) में है। equation relation को function बनाने के लिए uniqueness check करें। / For every \(x\in A\), (y=5-x) is unique and lies in (A). For an equation relation, check uniqueness to decide function status.
A. (x=2) के लिए (y=1) और (y=2) दोनों possible हैं/For (x=2), both (y=1) and (y=2) are possible
Explanation
Simple Explanation
(x=2) की दो images बनती हैं, इसलिए uniqueness नहीं रहती। divisibility relations में एक input के सभी divisors in codomain देखें। / (x=2) gets two images, so uniqueness fails. In divisibility relations, check all divisors in the codomain for one input.
(f(1)=3), (f(2)=4), और (f(3)=5)। rule से relation बनाते समय हर domain element की image लिखें। / (f(1)=3), (f(2)=4), and (f(3)=5). When forming a relation from a rule, write the image of every domain element.
outputs (2,4,6) हैं, इसलिए smallest codomain इन्हीं images का set हो सकता है। codomain में सभी possible outputs होने चाहिए। / The outputs are (2,4,6), so the smallest codomain can be the set of these images. The codomain must contain all possible outputs.
यदि \\(A=\{1,2,3,4,5\}\\) और \\(B=\{0,1\}\\) हैं, तथा संबंध \\(R\\) में सम \\(x\\) के लिए \\(y=0\\) और विषम \\(x\\) के लिए \\(y=1\\) है, तो क्या \\(R\\), \\(A\\) से \\(B\\) में एक फलन है?
A. हाँ, क्योंकि प्रत्येक \\(x\\) का ठीक एक प्रतिबिंब है/Yes, because every \\(x\\) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय \\(A\\) के प्रत्येक अवयव का parity के आधार पर एक निश्चित प्रतिबिंब है: सम संख्याओं का प्रतिबिंब \\(0\\) और विषम संख्याओं का प्रतिबिंब \\(1\\) है। इसलिए प्रत्येक \\(x\\in A\\) के लिए \\(B\\) में ठीक एक \\(y\\) मिलता है, अतः \\(R\\) एक फलन है। कई अलग-अलग \\(x\\) का एक ही \\(y\\) होना मान्य है; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच में देखें कि domain के प्रत्येक अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब हो। / Each element of \\(A\\) has exactly one image determined by its parity: an even number maps to \\(0\\), while an odd number maps to \\(1\\). Thus, every \\(x\\in A\\) is associated with exactly one \\(y\\in B\\), so \\(R\\) is a function. Different inputs are allowed to have the same output, so option B is incorrect. Exam tip: To test a function, verify that every domain element has exactly one image.
ordered pairs से (f(3)=7) और (f(4)=9), इसलिए sum (16) है। function value पढ़ते समय input first coordinate होता है। / From the ordered pairs, (f(3)=7) and (f(4)=9), so the sum is (16). While reading function values, the input is the first coordinate.
किसी फलन के प्रांत (domain) में सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटक लिए जाते हैं। दिए गए युग्मों के प्रथम घटक \(a,b,c,d\) हैं, इसलिए \(A=\{a,b,c,d\}\)। विकल्प B केवल फलन की range है, जबकि विकल्प C पूरा फलन और विकल्प D दोनों प्रकार के अवयवों का अनावश्यक मिश्रण है। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रथम घटक और range के लिए द्वितीय घटक देखें। / The domain of a function is the set of first components of all its ordered pairs. The first components here are \(a,b,c,d\), so \(A=\{a,b,c,d\}\). Option B is only the range, option C is the complete set of ordered pairs, and option D incorrectly combines domain and range elements. Exam tip: identify first components for the domain and second components for the range.
यह empty नहीं है, लेकिन (1) की दो images हैं और (3) की image missing है। hard MCQ में दोनों conditions अलग-अलग जांचें। / It is not empty, but (1) has two images and (3) has no image. In hard MCQs, check both conditions separately.
(x=2) पर denominator (0) हो जाता है, इसलिए (f(2)) defined नहीं है। rational function में denominator zero न हो, यह जरूरी है। / At (x=2), the denominator becomes (0), so (f(2)) is not defined. In a rational function, the denominator must not be zero.
A. नहीं, क्योंकि \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)/No, because \(f(3)=9\notin{1,2,3,4,5}\)
Explanation
Simple Explanation
output unique तो है, लेकिन (f(3)=9) codomain में नहीं है। function के लिए image codomain के अंदर भी होनी चाहिए। / The output is unique, but (f(3)=9) is not in the codomain. For a function, every image must also lie in the codomain.
\(0^2=0\), \(1^2=1\), और \(2^2=4\)। function का graph finite case में ordered pairs का set है। / \(0^2=0\), \(1^2=1\), and \(2^2=4\). In a finite case, the graph of a function is the set of ordered pairs.
A. (2) की दो different images (b) और (c) हैं/(2) has two different images (b) and (c)
Explanation
Simple Explanation
एक input (2) दो outputs से जुड़ा है, इसलिए यह function नहीं है। function check में repeated first coordinate पर सबसे पहले ध्यान दें। / One input (2) is related to two outputs, so it is not a function. In function checks, first notice repeated first coordinates.
(f(x)=0) even inputs (2) और (4) पर मिलता है। preimage हमेशा domain के elements का set होता है। / (f(x)=0) occurs for even inputs (2) and (4). A preimage is always a set of domain elements.
A. identity में \(x\mapsto x\), constant में हर \(x\mapsto 1\)/In identity, \(x\mapsto x\); in constant, every \(x\mapsto 1\)
Explanation
Simple Explanation
identity input को उसी पर map करती है, जबकि constant function हर input को same value पर भेजता है। दोनों valid functions हो सकते हैं। / Identity maps each input to itself, while a constant function sends every input to the same value. Both can be valid functions.
outputs (2,1,0,1,2) हैं, इसलिए distinct range ({0,1,2}) है। set में order और repetition important नहीं होते। / The outputs are (2,1,0,1,2), so the distinct range is ({0,1,2}). In a set, order and repetition are not important.
हर pair में second coordinate first coordinate का (4) times है। rule पहचानने के लिए सभी given values पर verify करें। / In every pair, the second coordinate is (4) times the first coordinate. To identify a rule, verify it on all given values.
actual outputs (2,3,4,5) हैं, जबकि codomain given (B) है। range हमेशा codomain का subset होती है। / The actual outputs are (2,3,4,5), while the codomain is the given set (B). The range is always a subset of the codomain.
कुल relations \(2^{|A\times B|}=2^6=64\) हैं और functions \(2^3=8\) हैं। not functions (=64-8=56)। / Total relations are \(2^{|A\times B|}=2^6=64\), and functions are \(2^3=8\). Hence not functions (=64-8=56).
\(|A\times B|=6\), इसलिए relations \(2^6\) और functions \(3^2\) हैं। relation और function counting formulas अलग रखें। / \(|A\times B|=6\), so relations are \(2^6\) and functions are \(3^2\). Keep relation and function counting formulas separate.
A. (x=3) के लिए \(y=4\notin B\), इसलिए image नहीं बनती/For (x=3), \(y=4\notin B\), so no image is formed
Explanation
Simple Explanation
(x=3) का required output (4) codomain में नहीं है, इसलिए domain का हर element mapped नहीं है। codomain restriction relation को बदल सकती है। / The required output for (x=3) is (4), which is not in the codomain, so every domain element is not mapped. A codomain restriction can change the relation.
A. जब repeated first coordinate की image वही same हो और duplicate pair हटाने पर uniqueness रहे/When the repeated first coordinate has the same image and uniqueness remains after removing duplicate pairs
Explanation
Simple Explanation
set में duplicate ordered pair अलग element नहीं माना जाता। यदि same input same output ही दे रहा है, तो uniqueness नहीं टूटती। / A duplicate ordered pair is not a separate element in a set. If the same input gives the same output, uniqueness is not broken.
A. हाँ, duplicate ((1,2)) same pair है/Yes, duplicate ((1,2)) is the same pair
Explanation
Simple Explanation
sets में repeated pair count नहीं होता, इसलिए each input की unique image है। duplicate pair और different image को अलग-अलग समझें। / In sets, a repeated pair is not counted, so each input has a unique image. Understand duplicate pair and different image separately.
A. (f) फिर भी function हो सकता है/(f) may still be a function
Explanation
Simple Explanation
दो अलग inputs की same image होना function rule का violation नहीं है। violation तभी होता है जब एक input की दो अलग images हों। / Two different inputs having the same image does not violate the function rule. Violation occurs when one input has two different images.
A. valid function with graph ({(1,3),(2,2),(3,1)})
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) पर \(4-x\in A\) और output unique है। closed output और uniqueness दोनों check करें। / For every \(x\in A\), \(4-x\in A\) and the output is unique. Check both closed output and uniqueness.
A. (x=1) की images (y=-1) और (y=1) दोनों हैं/(x=1) has images (y=-1) and (y=1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए दो possible (y) values हैं, इसलिए uniqueness टूटती है। absolute value relation को direction के साथ पढ़ें। / For (x=1), two possible (y)-values exist, so uniqueness fails. Read an absolute value relation with direction carefully.
A. (R) (A) से (B) में function है और range (=B) है/(R) is a function from (A) to (B) and range (=B)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x\in A\) की unique image (1,4,9,16) में है और सभी codomain elements images हैं। इस case में range और codomain equal हैं। / Every \(x\in A\) has a unique image in (1,4,9,16), and all codomain elements are images. In this case, range and codomain are equal.
