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functions-as-relations se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
ग्राफ में प्रत्येक क्रमित युग्म \((x,f(x))\) होता है। यहाँ \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=1\), इसलिए ग्राफ \(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\) है। विकल्प B पहचान फलन \(f(x)=x\) का ग्राफ है, जबकि विकल्प D में \((1,4)\) का युग्म छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: फलन के ग्राफ में प्रांत के प्रत्येक अवयव से संबंधित एक क्रमित युग्म अवश्य होना चाहिए। / The graph of a function consists of ordered pairs \((x,f(x))\). Here, \(f(1)=4\), \(f(2)=3\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=1\), so the graph is \(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}\). Option B represents the identity function \(f(x)=x\), while option D is incomplete because it omits \((1,4)\). Exam tip: the graph of a function must contain exactly one ordered pair for every element of its domain.
यदि \\(A=\{1,2,3,4,5\}\\) और \\(B=\{0,1\}\\) हैं, तथा संबंध \\(R\\) में सम \\(x\\) के लिए \\(y=0\\) और विषम \\(x\\) के लिए \\(y=1\\) है, तो क्या \\(R\\), \\(A\\) से \\(B\\) में एक फलन है?
A. हाँ, क्योंकि प्रत्येक \\(x\\) का ठीक एक प्रतिबिंब है/Yes, because every \\(x\\) has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय \\(A\\) के प्रत्येक अवयव का parity के आधार पर एक निश्चित प्रतिबिंब है: सम संख्याओं का प्रतिबिंब \\(0\\) और विषम संख्याओं का प्रतिबिंब \\(1\\) है। इसलिए प्रत्येक \\(x\\in A\\) के लिए \\(B\\) में ठीक एक \\(y\\) मिलता है, अतः \\(R\\) एक फलन है। कई अलग-अलग \\(x\\) का एक ही \\(y\\) होना मान्य है; इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच में देखें कि domain के प्रत्येक अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब हो। / Each element of \\(A\\) has exactly one image determined by its parity: an even number maps to \\(0\\), while an odd number maps to \\(1\\). Thus, every \\(x\\in A\\) is associated with exactly one \\(y\\in B\\), so \\(R\\) is a function. Different inputs are allowed to have the same output, so option B is incorrect. Exam tip: To test a function, verify that every domain element has exactly one image.
यदि \(f:\{1,2,3,4\}\to\{0,1\}\) को इस नियम से परिभाषित किया गया है कि \(x\) अभाज्य होने पर \(f(x)=1\) और \(x\) अभाज्य न होने पर \(f(x)=0\), तो \(f(4)\) का मान क्या है?
4 अभाज्य संख्या नहीं है, क्योंकि इसके 1 और 4 के अतिरिक्त 2 से भी गुणनखंड बनते हैं। इसलिए दिए गए नियम के अनुसार \(f(4)=0\)। विकल्प 1 तब सही होता जब 4 अभाज्य होता। परीक्षा में पहले जाँचें कि दिया गया इनपुट अभाज्य है या नहीं। / The number 4 is not prime because it has a factor other than 1 and itself, namely 2. Therefore, by the given rule, \(f(4)=0\). Option 1 would apply only if 4 were prime. In an exam, first check whether the input is prime or non-prime.
यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{0,1,2\}\) हों तथा \(f:A\to B\) इस प्रकार परिभाषित हो कि \(f(x)\), \(x\) को 2 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल हो, तो \(f\) का परास (range) क्या होगा?
डोमेन \(A\) के लिए \(f(1)=1\), \(f(2)=0\) और \(f(3)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त मान केवल 0 और 1 हैं, अतः \(f\) का परास \(\{0,1\}\) है। विकल्प C सह-परास \(B\) है, परंतु परास केवल वे मान होते हैं जो वास्तव में प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का फलन-मान निकालकर अलग-अलग मानों का समुच्चय बनाइए। / For the elements of \(A\), we get \(f(1)=1\), \(f(2)=0\), and \(f(3)=1\). Thus, the only values actually obtained are 0 and 1, so the range of \(f\) is \(\{0,1\}\). Option C is the codomain \(B\), not the range, because 2 is not attained by the function. Exam tip: To find a range, evaluate the function for every element of the domain and list only the distinct outputs.
यदि फलन \(f:\{1,2,3\}\to\{2,4,6,8\}\) को \(f(x)=2x\) द्वारा परिभाषित किया गया है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा क्रमित युग्म फलन \(f\) के आलेख में नहीं है?
फलन के आलेख में \((x,f(x))\) के रूप के क्रमित युग्म होते हैं। यहाँ \(f(1)=2\), \(f(2)=4\) और \(f(3)=6\), इसलिए \((1,2)\), \((2,4)\) तथा \((3,6)\) आलेख में हैं। \((3,8)\) के लिए \(f(3)=8\) होना चाहिए, जबकि वास्तव में \(f(3)=6\) है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक युग्म में पहले घटक को \(x\) मानकर दिए गए नियम से दूसरा घटक जाँचें। / The graph of a function contains ordered pairs of the form \((x,f(x))\). Here, \(f(1)=2\), \(f(2)=4\), and \(f(3)=6\), so \((1,2)\), \((2,4)\), and \((3,6)\) belong to the graph. For \((3,8)\), the rule would require \(f(3)=8\), but actually \(f(3)=6\). Exam tip: treat the first component as \(x\) and use the given rule to check the second component.
