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सीमा रेखा बनाने के लिए असमानता के चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले रेखा बनाएं फिर क्षेत्र चुनें। / For a boundary line, replace the inequality sign by equality. In exams, draw the line first and then choose the region.
चिन्ह \(\ge\) होने पर सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। इसलिए ठोस रेखा सही होती है। / With \(\ge\), the boundary line is included in the solution. Therefore a solid line is correct.
((0,0)) रखने पर \(0\le 9\) सत्य है। मूल बिंदु परीक्षण से शेडिंग जल्दी तय होती है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 9\), which is true. The origin test quickly decides the shaded side.
B. नहीं क्योंकि \(9\le 8\) असत्य है/no because \(9\le 8\) is false
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (1+8=9) मिलता है जो (8) से बड़ा है। बिंदु जांच में दोनों निर्देशांक सही जगह रखें। / Substituting ((1,4)) gives (1+8=9), which is greater than (8). In point testing, place both coordinates carefully.
(x)-अवरोध के लिए (y=0) रखते हैं इसलिए (x=6)। अवरोध विधि से रेखा जल्दी बनती है। / For the (x)-intercept, put (y=0), so (x=6). The intercept method helps draw the line quickly.
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं इसलिए (y=8)। ग्राफ में अवरोधों को साफ चिन्हित करें। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=8). Mark intercepts clearly on the graph.
\(y\ge 2x+1\) में (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का अर्ध-समतल लिया जाता है। / In \(y\ge 2x+1\), (y) is greater than or equal to the line value. Hence the half-plane above the line is taken.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/first quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्देशांक ऋणात्मक नहीं हैं इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश और अक्ष हैं। गैर-ऋणात्मक शर्तों को हमेशा पहले पहचानें। / Both coordinates are non-negative, so the region is the first quadrant including axes. Always identify non-negativity conditions first.
B. रेखा (x=4) के बाईं ओर सहित/left of (x=4) including the line
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 4\) में (x) का मान (4) या उससे कम है। इसलिए (x=4) के बाईं ओर का क्षेत्र लिया जाता है। / In \(x\le 4\), (x) is (4) or less. Hence the region to the left of (x=4) is taken.
A. रेखा (y=3) के ऊपर पर रेखा शामिल नहीं/above (y=3) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(y>3) में (y) का मान (3) से बड़ा है और सीमा रेखा शामिल नहीं है। इसलिए टूटी क्षैतिज रेखा के ऊपर शेड करें। / In (y>3), (y) is greater than (3) and the boundary is excluded. Shade above the dashed horizontal line.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8) इसलिए (x=4) और (y=2)। प्रतिच्छेद बिंदु feasible region के कोने बनाते हैं। / Adding the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=2). Intersection points form corners of a feasible region.
पहले समीकरण से (y=10-2x) रखकर (x+2(10-2x)=8) मिलता है। इससे (x=4) और (y=2) आते हैं। / Using (y=10-2x) in the second equation gives (x+2(10-2x)=8). Thus (x=4) and (y=2).
अक्षों और रेखा (x+2y=10) से बंद त्रिभुज बनता है। प्रथम चतुर्थांश की शर्तें क्षेत्र को सीमित कर सकती हैं। / The axes and the line (x+2y=10) form a closed triangle. First-quadrant conditions can make the region bounded.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=4) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। इसलिए क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=4) extends infinitely. Hence the region is unbounded.
((2,2)) पर (x+y=4) है जो (3) से बड़ा है। विकल्पों को असमानताओं में रखकर जांचें। / At ((2,2)), (x+y=4), which is greater than (3). Test options by substituting them into the inequalities.
B. मूल बिंदु के विपरीत ओर/side opposite the origin
Explanation
Simple Explanation
यदि परीक्षण बिंदु असत्य देता है तो हल क्षेत्र उस ओर नहीं होगा। इसलिए विपरीत अर्ध-समतल चुनते हैं। / If the test point gives false, the solution region is not on that side. Hence choose the opposite half-plane.
((0,0)) रखने पर \(0\ge 6\) असत्य है। इसलिए मूल बिंदु के विपरीत भाग को चुनें। / Substituting ((0,0)) gives \(0\ge 6\), which is false. Hence choose the region opposite to the origin.
(y=0) पर (x=10) और (x=0) पर (y=4) मिलता है। सीमा रेखा खींचने में ये दो बिंदु पर्याप्त हैं। / At (y=0), (x=10), and at (x=0), (y=4). These two points are enough to draw the boundary line.
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं। / The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
A. रेखा (x=5) के बाईं और (y=3) के नीचे का क्षेत्र/left of (x=5) and below (y=3)
Explanation
Simple Explanation
\(x\le 5\) बाईं ओर और \(y\le 3\) नीचे का भाग देता है। संयुक्त क्षेत्र दोनों शर्तों का ओवरलैप होता है। / \(x\le 5\) gives the left side and \(y\le 3\) gives the lower side. The common region is the overlap of both conditions.
चिन्ह (>) होने से बराबरी वाले बिंदु शामिल नहीं होते। इसलिए सीमा रेखा हल का हिस्सा नहीं है। / With the sign (>), equality points are not included. Therefore the boundary line is not part of the solution.
\(\ge\) में बराबरी भी शामिल होती है। इसलिए सीमा रेखा ठोस बनती है और हल में आती है। / The sign \(\ge\) includes equality. So the boundary line is solid and belongs to the solution.
\(x-y\le 2\) से \(-y\le 2-x\) और चिन्ह बदलकर \(y\ge x-2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह पलटना न भूलें। / From \(x-y\le 2\), \(-y\le 2-x\), and reversing the sign gives \(y\ge x-2\). Do not forget to reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y-x\le 6\) में (x) जोड़ने पर \(2y\le x+6\) मिलता है। इसलिए \(y\le \frac{x+6}{2}\) सही है। / Adding (x) gives \(2y\le x+6\). Hence \(y\le \frac{x+6}{2}\) is correct.
A. रेखा (y=x) के ऊपर और (y=4) के नीचे/above (y=x) and below (y=4)
Explanation
Simple Explanation
पहली असमानता ऊपर का क्षेत्र और दूसरी नीचे का क्षेत्र देती है। संयुक्त क्षेत्र दोनों के बीच का ओवरलैप है। / The first inequality gives the region above the line and the second gives the region below (y=4). The common region is their overlap.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमा रेखाएं (x+y=5) और (x+y=2) समानांतर हैं। इनके बीच का क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+y=5) and (x+y=2) are parallel. The region between them is the common solution.
कोई संख्या एक साथ (1) से कम या बराबर और (4) से अधिक या बराबर नहीं हो सकती। इसलिए संयुक्त हल नहीं है। / No value can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4) at the same time. Hence there is no common solution.
((2,2)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा रेखा पर है और हल में शामिल है। / Substituting ((2,2)) gives (2+4=6). Equality means the point lies on the boundary and is included.
B. सीमा रेखा पर लेकिन हल में शामिल नहीं/on boundary but not included
Explanation
Simple Explanation
((3,0)) पर (3x+y=9) है लेकिन असमानता (<) है। इसलिए सीमा रेखा के बिंदु हल में शामिल नहीं होते। / At ((3,0)), (3x+y=9), but the inequality is (<). Thus boundary points are not included in the solution.
(x-3y>0) से (-3y>-x) और चिन्ह पलटकर \(y<\frac{x}{3}\) मिलता है। इसलिए रेखा के नीचे का क्षेत्र होगा। / From (x-3y>0), (-3y>-x), and reversing the sign gives \(y<\frac{x}{3}\). So the region is below the line.
((3,3)) रखने पर \(12+3=15\le 16\) सत्य है। प्रत्येक विकल्प को जल्दी से असमानता में जांचें। / Substituting ((3,3)) gives \(12+3=15\le 16\), which is true. Quickly test each option in the inequality.
((3,1)) रखने पर \(6+5=11\ge 10\) सत्य है। सही विकल्प के लिए सीधे substitution करें। / Substituting ((3,1)) gives \(6+5=11\ge 10\), which is true. Use direct substitution to choose the correct option.
सीमा रेखा (y=-2x+7) है और (x) का गुणांक ढाल होता है। ढाल देखकर रेखा की दिशा समझें। / The boundary line is (y=-2x+7), and the coefficient of (x) is the slope. Use the slope to understand the line direction.
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है। / Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
B. एक-आयामी सीमित हल/one-dimensional bounded solution
Explanation
Simple Explanation
रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं लेकिन वह क्षेत्रफल वाला द्वि-आयामी भाग नहीं होता। इसे सीमित रैखिक हल माना जाता है। / A line segment has infinitely many points but not a two-dimensional area. It is considered a bounded linear solution.
दोनों शर्तें मिलकर (x=2) देती हैं। जब \(\ge\) और \(\le\) एक ही संख्या पर हों तो बराबरी मिलती है। / Both conditions together give (x=2). When \(\ge\) and \(\le\) occur at the same number, equality is obtained.
एक ही (y) मान (1) से बड़ा और छोटा दोनों नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / The same (y)-value cannot be both greater than and less than (1). Therefore there is no common solution.
(x=0) रखने पर (3y=12) इसलिए (y=4)। इसलिए (y)-अक्ष पर शीर्ष ((0,4)) है। / Putting (x=0) gives (3y=12), so (y=4). Hence the vertex on the (y)-axis is ((0,4)).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y<5) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y<5). Dividing by a positive number does not change the sign.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता चिन्ह को (=) से बदलते हैं। इसलिए (-x+y=3) सही है। / To get the boundary line, replace the inequality sign by (=). Hence (-x+y=3) is correct.
((5,0)) पर \(x\le 4\) असत्य है। सभी शर्तों को अलग-अलग जांचना जरूरी है। / At ((5,0)), \(x\le 4\) is false. It is necessary to check every condition separately.
रेखा (x+y=5) है और मूल बिंदु \(0\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करता। ठोस रेखा होने से बराबरी शामिल होगी। / The line is (x+y=5), and the origin does not satisfy \(0\ge 5\). Since the line is solid, equality is included.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
(y=0) और (y=x-2) को मिलाने पर (x=2) मिलता है। इसलिए ((2,0)) क्षेत्र का एक शीर्ष है। / Solving (y=0) with (y=x-2) gives (x=2). Hence ((2,0)) is one vertex of the region.
B. मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी/side containing origin is shaded
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0<12) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर का अर्ध-समतल हल है। / Substituting ((0,0)) gives (0<12), which is true. Hence the half-plane containing the origin is the solution.
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु के विपरीत ओर/dashed line and opposite to origin
Explanation
Simple Explanation
चिन्ह (>) होने से रेखा टूटी होगी। ((0,0)) रखने पर (0>8) असत्य है इसलिए विपरीत ओर शेड होगा। / The sign (>) makes the boundary dashed. Substituting ((0,0)) gives (0>8), false, so shade the opposite side.
((4,3)) रखने पर (4+6=10) मिलता है। \(\le\) में सीमा रेखा शामिल होती है। / Substituting ((4,3)) gives (4+6=10). The boundary line is included with \(\le\).
\(y\le -3x+9\) में (y) रेखा के मान से कम या बराबर है। इसलिए रेखा के नीचे का भाग सीमा सहित हल है। / In \(y\le -3x+9\), (y) is less than or equal to the line value. Therefore the region below the line including the boundary is the solution.
\(2y+x\ge 14\) से \(2y\ge 14-x\) मिलता है। इसलिए \(y\ge \frac{14-x}{2}\) सही है। / From \(2y+x\ge 14\), we get \(2y\ge 14-x\). Hence \(y\ge \frac{14-x}{2}\) is correct.
रेखा (2x+y=12) के अवरोध ((6,0)) और ((0,12)) हैं। अक्षों के साथ ((0,0)) तीसरा शीर्ष है। / The intercepts of (2x+y=12) are ((6,0)) and ((0,12)). With the axes, ((0,0)) is the third vertex.
((3,2)) सभी शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि \(3\ge 2\), \(2\ge 1\) और \(3+2\le 7\)। हर शर्त अलग से जांचें। / The point ((3,2)) satisfies all conditions because \(3\ge 2\), \(2\ge 1\), and \(3+2\le 7\). Check each condition separately.
दोनों शर्तें मिलकर (x+y=6) देती हैं। विपरीत दिशाओं की बराबरी वाली असमानताएं समान रेखा देती हैं। / Both conditions together give (x+y=6). Opposite inequalities with equality give the same line.
D. ((2,3)) नहीं बल्कि ((2,3))/not ((2,3)) but ((2,3))
Explanation
Simple Explanation
(x+2y=8) और (3x-y=3) हल करने पर (x=2) और (y=3) मिलता है। प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में जांचें। / Solving (x+2y=8) and (3x-y=3) gives (x=2) and (y=3). Verify the intersection in both equations.
C. \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) के ऊपर/above \(y\ge \frac{5x-10}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(-2y\le 10-5x\) से चिन्ह पलटकर \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-2y\le 10-5x\), reversing the sign gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). The inequality sign changes when dividing by a negative.
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
ऊपर के क्षेत्र में (y) का मान (-2) से बड़ा होता है। टूटी रेखा बराबरी को शामिल नहीं करती। / In the region above, (y) is greater than (-2). A dashed line does not include equality.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
क्षेत्र (4) चौड़ाई और (3) ऊंचाई वाला आयत है। इसलिए क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) है। / The region is a rectangle of width (4) and height (3). Hence the area is \(4\times 3=12\).
रेखा के अवरोध ((9,0)) और ((0,6)) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\) है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)). The area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\).
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
B. मूल बिंदु हल क्षेत्र में है/origin is in the solution region
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर (0<8) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाला भाग हल क्षेत्र है। / Substituting ((0,0)) gives (0<8), which is true. Hence the side containing the origin is the solution region.
असमानता को (2) से भाग देने पर \(2x+y\le 8\) मिलता है। इसकी सीमा रेखा (2x+y=8) होगी। / Dividing the inequality by (2) gives \(2x+y\le 8\). Its boundary line is (2x+y=8).
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
((2,4)) पर \(4\ge 3\) और \(4\le 5\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र के लिए सभी असमानताएं जांचें। / At ((2,4)), both \(4\ge 3\) and \(4\le 5\) are true. For a common region, check all inequalities.
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच पट्टी/strip between two horizontal lines
Explanation
Simple Explanation
(y=2) और (y=6) क्षैतिज रेखाएं हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The lines (y=2) and (y=6) are horizontal. The closed region between them is the common solution.
(1<x) में बराबरी शामिल नहीं है। इसलिए (x=1) की सीमा टूटी रेखा से दिखाई जाएगी। / Equality is not included in (1<x). Therefore the boundary (x=1) is shown by a dashed line.
(x-y=4) से (-y=4-x) और (y=x-4) मिलता है। यह ढाल-अवरोध रूप में सीमा रेखा है। / From (x-y=4), (-y=4-x), so (y=x-4). This is the slope-intercept form of the boundary line.
((4,0)) रखने पर \(12\le 9\) असत्य है। इसलिए यह हल क्षेत्र के बाहर है। / Substituting ((4,0)) gives \(12\le 9\), which is false. Therefore it lies outside the solution region.
D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों। / In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=6) मिलता है। ग्राफ बनाने से पहले समीकरण सरल कर लेना चाहिए। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=6). Simplify the equation before drawing the graph.
((3,-3)) में (y=-3) है और (-3>-4) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / For ((3,-3)), (y=-3), and (-3>-4) is true. In a strict inequality, boundary points are not included.
A. रेखा (x=-2) के बाईं ओर और रेखा शामिल नहीं/left of (x=-2) excluding the line
Explanation
Simple Explanation
(x< -2) में (x) का मान (-2) से कम है। इसलिए बाईं ओर शेड होगा और सीमा रेखा टूटी होगी। / In (x< -2), (x) is less than (-2). Hence shade the left side and draw a dashed boundary.
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है। / (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/origin is in solution because \(0\le 5\) is true
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 5\) सत्य है। इसलिए मूल बिंदु वाली ओर शेड होगी। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 5\), which is true. Therefore shade the side containing the origin.
एक ही बिंदु के लिए (x+y) एक साथ (4) से कम और (4) से अधिक नहीं हो सकता। इसलिए संयुक्त हल रिक्त है। / For the same point, (x+y) cannot be both less than (4) and greater than (4). Hence the common solution is empty.
पूरी असमानता को (3) से भाग देने पर \(x+y\ge 7\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (3) gives \(x+y\ge 7\). Dividing by a positive number does not change the sign.
पूरी असमानता को (-1) से गुणा करने पर चिन्ह पलटता है। इसलिए \(2x+y\ge 6\) मिलता है। / Multiplying the whole inequality by (-1) reverses the sign. Hence \(2x+y\ge 6\) is obtained.
((5,2)) रखने पर (5+10=15) मिलता है और \(\ge\) में बराबरी शामिल है। इसलिए यह हल क्षेत्र में है। / Substituting ((5,2)) gives (5+10=15), and equality is included in \(\ge\). Therefore it lies in the solution region.
जहां (y) का मान (x) से बड़ा या बराबर है वहां \(y\ge x\) होगा। सीमा रेखा (y=x) शामिल होने पर बराबरी भी आती है। / Where (y) is greater than or equal to (x), the inequality is \(y\ge x\). If the boundary (y=x) is included, equality is also used.
(x+2y=6) और (2x+y=6) हल करने पर (x=2) और (y=2) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का महत्वपूर्ण शीर्ष है। / Solving (x+2y=6) and (2x+y=6) gives (x=2) and (y=2). This is an important vertex of the common region.
C. \(\frac{15}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{15}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र के शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), ((1,4)) हैं। समांतर भुजाओं (4) और (1) तथा दूरी (3) से क्षेत्रफल (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}) है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((4,1)), and ((1,4)). With parallel sides (4) and (1) and distance (3), the area is (\frac{1}{2}(4+1)3=\frac{15}{2}).
\(0+0\le 6\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर छायांकित होगी। परीक्षा में हमेशा परीक्षण बिंदु लगाएं। / \(0+0\le 6\) is true, so the side containing origin is shaded. In exams, always use a test point.
क्योंकि असमिका में (>) है, सीमा रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा में (<) और (>) के लिए टूटी रेखा याद रखें। / Since the inequality has (>), the boundary line is not included. Remember dashed lines for (<) and (>).
सीमा रेखा पाने के लिए असमिका चिन्ह को बराबर में बदलते हैं। परीक्षा में पहले boundary line बनाएं। / To get the boundary line, replace the inequality sign by equality. First draw the boundary line in exams.
A. पहले चतुर्थांश में सीमित त्रिभुज/Bounded triangle in first quadrant
Explanation
Simple Explanation
दोनों अक्षों और रेखा (x+y=8) से सीमित त्रिभुज बनता है। परीक्षा में vertices पहचानना उपयोगी है। / The axes and the line (x+y=8) form a bounded triangle. Identifying vertices is useful in exams.
((3,1)) के लिए \(3+1\le 5\) और \(3\ge 1\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में विकल्पों को सीधे substitute करें। / For ((3,1)), both \(3+1\le 5\) and \(3\ge 1\) are true. Substitute options directly in exams.
नीचे का क्षेत्र (y<) देता है और रेखा शामिल नहीं होने से strict inequality होगी। परीक्षा में solid और dashed रेखा देखें। / Below the line gives (y<), and exclusion of the line makes it strict. Check solid or dashed boundary in exams.
(y=0) रखने पर (x=3) और (x=0) रखने पर (y=4) मिलता है। परीक्षा में intercept method graph के लिए तेज है। / Putting (y=0) gives (x=3), and putting (x=0) gives (y=4). The intercept method is quick for graphing.
A. क्योंकि \(0-0\ge 2\) असत्य है/Because \(0-0\ge 2\) is false
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर असमिका गलत हो जाती है। परीक्षा में test point से सही half-plane चुनें। / Substituting origin makes the inequality false. Use a test point to choose the correct half-plane.
A. पहला चतुर्थांश सहित अक्ष/First quadrant including axes
Explanation
Simple Explanation
(x) और (y) दोनों non-negative हैं, इसलिए क्षेत्र पहला चतुर्थांश है। परीक्षा में non-negative restrictions को न भूलें। / Both (x) and (y) are non-negative, so the region is the first quadrant. Do not miss non-negative restrictions in exams.
एक ही समय में (x+y) का (2) से कम और (5) से अधिक होना संभव नहीं है। परीक्षा में विरोधी conditions पहचानें। / It is impossible for (x+y) to be at most (2) and at least (5) at the same time. Identify contradictory conditions in exams.
पहले चतुर्थांश में रेखा (x+y=7) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक जाता है। परीक्षा में bounded और unbounded में अंतर करें। / In the first quadrant, the region above (x+y=7) extends infinitely. Distinguish bounded and unbounded regions in exams.
\(\le\) में boundary शामिल होती है, इसलिए रेखा पूर्ण बनेगी। परीक्षा में \(\le\) और \(\ge\) के लिए solid line बनाएं। / The boundary is included in \(\le\), so the line is solid. Draw solid lines for \(\le\) and \(\ge\).
A. हाँ, क्योंकि (2+2(3)\le 8)/Yes, because (2+2(3)\le 8)
Explanation
Simple Explanation
(2+6=8), इसलिए बिंदु boundary पर है और शामिल है। परीक्षा में equality आने पर भी \(\le\) में बिंदु मान्य होता है। / (2+6=8), so the point lies on the boundary and is included. Equality is allowed in \(\le\).
(x) और (y) दोनों सीमित intervals में हैं, इसलिए आयत बनता है। परीक्षा में ऐसी असमिकाओं को vertical और horizontal lines से बनाएं। / Both (x) and (y) lie in bounded intervals, so a rectangle is formed. Use vertical and horizontal lines for such inequalities.
दोनों रेखाओं (2x+y=6) और (x+2y=6) का प्रतिच्छेद ((2,2)) है। परीक्षा में vertices के लिए boundary lines solve करें। / The intersection of (2x+y=6) and (x+2y=6) is ((2,2)). Solve boundary lines to find vertices.
(x<4) में (x) का मान (4) से छोटा होता है, इसलिए बायां क्षेत्र चुना जाता है। परीक्षा में vertical line के लिए left-right सोचें। / In (x<4), (x) is less than (4), so the left side is chosen. For vertical lines, think left-right.
\(y\ge -2\) में boundary शामिल है और ऊपर का भाग लिया जाता है। परीक्षा में horizontal line के लिए above-below देखें। / For \(y\ge -2\), the boundary is included and the region above it is taken. For horizontal lines, check above-below.
(3y<9-x), इसलिए \(y<3-\frac{x}{3}\) होगा। परीक्षा में graph से पहले slope-intercept form मदद करता है। / Since (3y<9-x), we get \(y<3-\frac{x}{3}\). Slope-intercept form helps before graphing.
A. मूल बिंदु वाली ओर सही है/The side containing origin is correct
Explanation
Simple Explanation
\(-0+0\le 1\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु वाली ओर shading होगी। परीक्षा में सरल test point चुनें। / \(-0+0\le 1\) is true, so the side containing origin is shaded. Choose a simple test point in exams.
A. कोई ऐसा बिंदु जो रेखा पर न हो/Any point not lying on the line
Explanation
Simple Explanation
boundary पर स्थित बिंदु shading side नहीं बताता। परीक्षा में रेखा से बाहर का आसान बिंदु लें। / A point on the boundary does not identify the shaded side. Take an easy point away from the line.
किसी (x) के लिए (y) एक साथ (x+1) से कम और (x+4) से अधिक नहीं हो सकता। परीक्षा में parallel constraints check करें। / For any (x), (y) cannot be both below (x+1) and above (x+4). Check parallel constraints in exams.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/Strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाओं की slope समान है और क्षेत्र इनके बीच आता है। परीक्षा में समान slope से parallel lines पहचानें। / Both lines have the same slope and the region lies between them. Use equal slopes to identify parallel lines.
A. boundary पर और हल में/On boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
(2(5)+5(0)=10), इसलिए बिंदु boundary पर है और \(\ge\) में शामिल है। परीक्षा में equality को ध्यान से देखें। / (2(5)+5(0)=10), so the point is on the boundary and included for \(\ge\). Check equality carefully.
(y=mx+c) में (m) ढाल होता है, यहां \(m=-\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में boundary line का equation पढ़ें। / In (y=mx+c), (m) is the slope, here \(m=-\frac{1}{2}\). Read the boundary equation carefully.
\(y\ge\) के कारण रेखा के ऊपर का क्षेत्र लिया जाता है और रेखा शामिल होती है। परीक्षा में (y)-form में दिशा तुरंत दिखती है। / Because of \(y\ge\), the region above the line is taken and the line is included. The direction is clear in (y)-form.
रेखा (x+y=6) axes को ((6,0)) और ((0,6)) पर काटती है। परीक्षा में axes के साथ triangle vertices लिखें। / The line (x+y=6) cuts the axes at ((6,0)) and ((0,6)). Write triangle vertices with axes in exams.
((2,4)) में \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), और \(2+4\le 7\) सत्य हैं। परीक्षा में सभी असमिकाएं एक-एक करके जांचें। / For ((2,4)), \(x\ge 1\), \(y\ge 2\), and \(2+4\le 7\) are true. Check all inequalities one by one.
मूल बिंदु रखने पर \(0\le 10\) सत्य है और solid line \(\le\) बताती है। परीक्षा में shading और line type दोनों मिलाएं। / At origin, \(0\le 10\) is true, and the solid line indicates \(\le\). Match both shading and line type.
(2x-y<0) से (-y<-2x), इसलिए (y>2x) होगा। परीक्षा में negative से divide करते समय sign बदलें। / From (2x-y<0), (-y<-2x), so (y>2x). Reverse the sign when dividing by a negative.
\(2y\ge 6+3x\), इसलिए \(y\ge 3+\frac{3x}{2}\)। परीक्षा में coefficient divide करना न भूलें। / \(2y\ge 6+3x\), so \(y\ge 3+\frac{3x}{2}\). Do not forget to divide the coefficient.
A. (x=5) पूर्ण और (y=1) टूटी/(x=5) solid and (y=1) dashed
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में solid line और (>) में dashed line होती है। परीक्षा में हर inequality का boundary type अलग जांचें। / \(\le\) gives a solid line and (>) gives a dashed line. Check each boundary type separately.
((2,-1)) के लिए (2+(-1)=1>0) है। परीक्षा में strict inequality में boundary point reject करें। / For ((2,-1)), (2+(-1)=1>0). Reject boundary points in strict inequalities.
axes के साथ छोटा bounded region पहले चतुर्थांश में और रेखा के नीचे होता है। परीक्षा में origin test करें। / The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
\(3x-y\le 0\) से \(y\ge 3x\) मिलता है। परीक्षा में inequality को (y)-form में बदलना आसान होता है। / \(3x-y\le 0\) gives \(y\ge 3x\). Converting to (y)-form makes graphing easier.
क्षेत्र \(2\times 3\) का आयत है, इसलिए क्षेत्रफल (6) है। परीक्षा में bounded rectangle को तुरंत पहचानें। / The region is a \(2\times 3\) rectangle, so its area is (6). Recognize bounded rectangles quickly.
त्रिभुज के intercepts (4) और (4) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\) है। परीक्षा में intercept triangle का formula याद रखें। / The intercepts are (4) and (4), so area is \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\). Remember the intercept triangle formula.
A. मूल बिंदु वाली ओर/On the side containing origin
Explanation
Simple Explanation
सत्य test point जिस half-plane में होता है वही solution side होती है। परीक्षा में यह सबसे तेज graphical check है। / The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, इसलिए origin वाली ओर \(\le 6\) है और विपरीत ओर \(\ge 6\) होगी। परीक्षा में boundary included हो तो equality वाला चिन्ह लें। / At origin the value is (0), so the origin side is \(\le 6\) and the opposite side is \(\ge 6\). Use equality signs when boundary is included.
boundary (x-2y=6) है, इससे (x=6) और (y=-3) मिलता है। परीक्षा में inequality से पहले equality line बनाएं। / The boundary is (x-2y=6), giving (x=6) and (y=-3). Draw the equality line before the inequality.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(4x\le 8\) और \(x\le 2\)। परीक्षा में axis पर दूसरे variable को (0) रखें। / On the (x)-axis, (y=0), so \(4x\le 8\) and \(x\le 2\). Put the other variable (0) on an axis.
(y)-अक्ष पर (x=0), इसलिए \(4y\le 12\) और \(y\le 3\)। परीक्षा में intercept से graph साफ बनता है। / On the (y)-axis, (x=0), so \(4y\le 12\) and \(y\le 3\). Intercepts make the graph clear.
((5,0)) में \(5-0\le 2\) असत्य है। परीक्षा में एक भी असमिका false हो तो point feasible नहीं होता। / For ((5,0)), \(5-0\le 2\) is false. If even one inequality fails, the point is not feasible.
((2,1)) boundary पर है क्योंकि (2(2)+1=5), लेकिन strict असमिका boundary को शामिल नहीं करती। परीक्षा में (<) में equal point न लें। / ((2,1)) is on the boundary because (2(2)+1=5), but a strict inequality excludes the boundary. Do not include equal points for (<).
(x=2), (y=1), और (x+y=6) के प्रतिच्छेदों से ये तीन vertices मिलते हैं। परीक्षा में boundary lines pairwise solve करें। / Pairwise intersections of (x=2), (y=1), and (x+y=6) give these vertices. Solve boundary lines pairwise in exams.
नीचे का क्षेत्र \(y\le\) देता है और boundary शामिल होने से equality भी शामिल है। परीक्षा में नीचे के लिए \(y\le\) याद रखें। / Below the line gives \(y\le\), and including the boundary includes equality. Remember \(y\le\) for below the line.
क्षेत्र वर्ग \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) के भीतर और (x+y=4) के ऊपर है। परीक्षा में पहले बड़ा rectangle बनाकर कटे भाग पहचानें। / The region lies inside the square \(0\le x\le 4\), \(0\le y\le 4\) and above (x+y=4). Draw the larger rectangle first in exams.
((6,0)) रखने पर \(12\le 10\) असत्य है, इसलिए बिंदु बाहर है। परीक्षा में point location के लिए substitution करें। / Substituting ((6,0)) gives \(12\le 10\), which is false, so the point is outside. Use substitution for point location.
boundary (x+y=3) है और ((1,2)) पर (1+2=3)। परीक्षा में boundary point equality satisfy करता है। / The boundary is (x+y=3), and for ((1,2)), (1+2=3). A boundary point satisfies equality.
((2,3)) में \(3\ge 0\) और \(3\le 4\) दोनों सत्य हैं। परीक्षा में common region के लिए दोनों conditions लगाएं। / For ((2,3)), both \(3\ge 0\) and \(3\le 4\) are true. Apply both conditions for common regions.
A. पहले सभी boundary lines बनाकर common shaded region लें/Draw all boundary lines first and take the common shaded region
Explanation
Simple Explanation
system का graph common shaded region से मिलता है। परीक्षा में हर inequality का half-plane काटकर intersection लें। / The graph of a system is the common shaded region. In exams, intersect the half-planes of all inequalities.
